프레드홀름 가군

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1. 개요

프레드홀름 가군은 C* 대수 위에 정의되는 수학적 구조이다. 마이클 아티야가 추상 타원 연산자로 처음 도입했고, 알랭 콘이 비가환 기하학 연구에서 재발견하여 프레드홀름 가군이라는 이름을 붙였다. 프레드홀름 가군은 힐베르트 공간, C* 대수의 표현, 선형 작용소로 구성되며, 특정 조건을 만족해야 한다. 대합 대수의 경우, 힐베르트 공간 상의 대합 표현과 자기 수반 연산자로 정의된다.

프레드홀름 가군

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1. 개요
2. 역사
3. 정의
- 3.1. 대합 대수 표현

2. 역사

마이클 아티야가 "추상 타원 연산자"(abstract elliptic operator^영어)라는 이름으로 도입하였다. 알랭 콘이 비가환 기하학을 연구하면서 재발견하였으며, "프레드홀름 가군"이라는 이름을 붙였다.

3. 정의

$A$ 가 복소수에 대한 C* 대수라고 하자. $A$ 위의 프레드홀름 가군(Fredholm module^영어) $(\mathcal H, T)$ 는 다음과 같은 데이터로 이루어진다.
* 분해 가능 힐베르트 공간 $\mathcal H$
* C* 대수의 표현 $\rho\colon A\to\mathcal B(\mathcal H)$ ( $\mathcal B$ 는 유계 연산자들의 C* 대수)
* 선형 작용소 $T\colon\mathcal H\to\mathcal H$

이들은 다음 조건을 만족시킨다.
* $T\sim T^*$ ( $T^*$ 는 $T$ 의 에르미트 수반)
* $T^2\sim 0$
* 임의의 $a\in A$ 에 대하여, $[T,\rho(a)]\sim 0$ ( $[ \cdot, \cdot ]$ 는 교환자)

여기서 $X\sim Y$ 는 $X-Y$ 가 콤팩트 작용소임을 의미한다.

3.1. 대합 대수 표현

만약 $A$ 가 복소수 $\mathbb{C}$ 상의 대합 대수라면, $A$ 위의 프레드홀름 가군은 다음 요소들로 구성된다.

* 힐베르트 공간 $\mathcal{H}$ 상의 $A$ 의 대합 표현
* 다음 두 조건을 만족하는 자기 수반 연산자 $F$
* $F^2 = 1$ (즉, 제곱하면 항등 연산자가 된다)
* 모든 $a \in A$ 에 대해 교환자 $[F, a]$ 는 콤팩트 연산자이다.