스펙트럼 삼조

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1. 개요

스펙트럼 삼조는 복소수 힐베르트 공간, 유계 작용소의 대수, 자기 수반 작용소로 구성된 수학적 구조이다. 이 구조는 기묘, 짝수, 실수 스펙트럼 삼조로 분류되며, 제타 함수, 차원 스펙트럼, 정규성과 같은 개념과 연관된다. 스펙트럼 삼조는 비가환 기하학 연구에 중요한 역할을 하며, 콘 거리와 K-이론과의 쌍대성을 통해 다양한 수학적 개념과 연결된다. 콤팩트 스핀 다양체의 디랙 연산자를 예시로 들 수 있으며, 알랭 콘에 의해 1995년에 처음 소개되었다.

스펙트럼 삼조

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편평도는 아직 내용이 없어 정의를 내릴 수 없는 위키백과 페이지이다.

1. 개요
2. 정의
3. 주요 개념
- 3.1. 콘의 상태 공간 위의 거리
- 3.2. K-이론과의 쌍대성
4. 예시
5. 역사
6. 관련 개념

2. 정의

스펙트럼 삼조 $(H,\mathcal A,D)$ 는 다음의 데이터로 구성된다.

* $H$ 는 복소수 힐베르트 공간이다.
* $\mathcal A\subseteq\operatorname B(H,H)$ 는 $H$ 속의 유계 작용소들의 집합이며, 덧셈, 스칼라곱, 합성, 에르미트 수반에 대하여 닫혀 있다. 즉, 복소수 대합 대수를 이룬다.
* $H$ 의 조밀 부분 벡터 공간 $V\subseteq H$ 위에 정의된 자기 수반 작용소 $D\colon V\to H$ 가 존재하여, 임의의 $A\in\mathcal A$ 에 대하여 $\|[A,D]\|<\infty$ 를 만족한다. 여기서 $\|\;\|$ 는 작용소 노름이다.

스펙트럼 삼조가 p-합산 가능할 때, 제타 함수 ζ_D(s) = Tr(|D|^−s)를 정의할 수 있다. 더 일반적으로, 양의 정수 n에 대해 δⁿ(A) 및 δⁿ([a, D])에 의해 생성된 대수 B의 각 원소 b에 대한 제타 함수 ζ_b(s) = Tr(b|D|^−s)가 있다. 이들은 열핵 exp(-t|D|)과 멜린 변환으로 관련된다. B에서 b에 대한 ζ_b의 해석적 연속의 극점 집합을 (A, H, D)의 차원 스펙트럼이라고 한다.

2.1. 짝수 및 기묘한 스펙트럼 삼조

짝수 스펙트럼 삼조는 힐베르트 공간 H에 대한 Z/2Z-등급을 갖는 기묘한 스펙트럼 삼조이며, 여기서 A의 원소는 짝수이고 D는 이 등급에 대해 홀수이다. 짝수 스펙트럼 삼조는 γ가 H에 대한 자기 수반 유니터리이고 모든 a ∈ A에 대해 a γ = γ a 및 D γ = - γ D를 만족하는 사중주 (A, H, D, γ)로 주어질 수도 있다.

기묘한 스펙트럼 삼조는 힐베르트 공간 H, H 위의 연산자 대수 A (보통 켤레를 취하는 것에 대해 닫혀 있음) 및 모든 a ∈ A에 대해 ‖[a, D]‖ < ∞를 만족하는 조밀하게 정의된 자기 수반 연산자 D로 구성된 삼조 (A, H, D)이다.

2.2. 유한 합산 가능성

모든 a ∈ A에 대해 a.D가 고정된 p에 대해 L^p+-연산자 클래스에 속하는 컴팩트한 레졸벤트를 갖는 스펙트럼 삼조 (A, H, D)를 유한 합산 가능 스펙트럼 삼조라고 한다. (A가 H에 대한 항등 연산자를 포함하는 경우, D⁻¹이 L^p+(H)에 있는 것을 요구하는 것만으로 충분하다). 이 조건이 충족되면 삼조 (A, H, D)는 p-합산 가능이라고 한다. 스펙트럼 삼조는 모든 t > 0에 대해 e^−tD²가 트레이스 클래스에 속할 때 θ-합산 가능이라고 한다.

2.3. 정규성

스펙트럼 삼조에서 A의 원소와 A의 원소 a에 대한 [a, D] 형태의 연산자가 δ의 반복인 δⁿ의 영역에 있을 때 정규라고 한다. 여기서 δ(T)는 H의 연산자 T와 |D|의 교환자를 나타낸다.

2.4. 실수 스펙트럼 삼조

실수 스펙트럼 삼조는 H에 대한 반선형 대합 J와 함께 제공되는 스펙트럼 삼조 (A, H, D)이며, A의 원소 a, b에 대해 [a, JbJ] = 0을 만족한다. 짝수의 경우 일반적으로 J가 H에 대한 등급에 대해 짝수라고 가정한다.

3. 주요 개념

스펙트럼 삼조는 콤팩트 스핀 다양체 위의 매끄러운 함수 대수가 L²-스피너의 힐베르트 공간에서 작용하고, 스핀 구조와 관련된 디랙 연산자가 함께 주어지는 상황을 예시로 들어 설명할 수 있다. 이러한 대상들에 대한 정보를 통해 원래의 다양체를 거리 공간으로 복구할 수 있는데, 다양체는 위상 공간으로서 대수의 스펙트럼으로, (절댓값) 디랙 연산자는 거리를 유지하는 방식으로 복구된다. 디랙 연산자의 위상 부분은 함수 대수와 함께 지수 이론적 정보를 담고 있는 K-사이클을 제공한다.

국소 지수 공식은 다양체의 K-군과 이 K-사이클의 쌍을 두 가지 방식으로 나타낸다. '분석적/전역적' 측면은 힐베르트 공간에서의 일반적인 추적과 위상 연산자와 함수의 교환자를 포함하며, 이는 지수 정리의 '지수' 부분에 해당한다. '기하학적/국소적' 측면은 딕스미어 트레이스와 디랙 연산자와의 교환자를 포함하며, 이는 지수 정리의 '특성 클래스 적분' 부분에 해당한다.

지수 정리의 확장은 다양체에 그룹이 작용하거나, 다양체에 엽층 구조가 부여된 경우 등에서 고려될 수 있다. 이러한 경우, 기본적인 기하학적 객체를 표현하는 '함수'의 대수적 시스템은 더 이상 가환적이지 않다. 그러나 대수가 작용하는 제곱 적분 가능한 스피너 공간 (또는 클리포드 모듈의 단면)과 유사 미분 미적분에 의해 암시되는 특정 교환자의 유계성을 만족하는 해당 '디랙' 연산자를 찾을 수 있다.

스펙트럼 삼조 (A, H, D)가 주어지면, D의 극분해 D = F|D|를 통해 자기 수반 유니타리 연산자 F (D의 '위상')와 조밀하게 정의된 양의 연산자 |D| ('메트릭' 부분)로 분해할 수 있다.

3.1. 콘의 상태 공간 위의 거리

만약 $(A,H,D)$ 가 스펙트럼 삼중항이고, $\mathfrak{A}$ 가 작용소 노름에 대한 $A$ 의 폐포라면, 콘은 $\mathfrak{A}$ 의 상태 공간 $S(\mathfrak{A})$ 에 대한 확장된 유사 거리를 다음과 같이 도입한다. 임의의 두 상태 $\varphi,\psi \in S(A)$ 에 대해,

: $d(\varphi,\psi) = \sup\{ |\varphi(a) - \psi(a)| : a \in A, \|[D,a]\| \leq 1 \} .$

일반적으로, "콘 거리"는 $\infty$ 값을 가질 수 있으며, 서로 다른 상태 사이에서 0이 될 수도 있다. 콘은 $X$ 가 연결된 콤팩트 스핀 리만 다양체일 때, 이 유사 거리의 순수한 상태, 즉 C*-대수 $C(X)$ 의 문자(character)로의 제한(그 공간은 자연스럽게 약한* 위상으로 부여될 때 $X$ 와 위상 동형)은 스펙트럼 삼중항이 $(C^\infty(X),\Gamma,D)$ 일 때 리만 다양체 위의 리만 계량에 의해 유도된 $X$ 에 대한 경로 계량을 복구한다는 것을 처음으로 관찰했다. 여기서 $C^\infty(X)$ 는 다양체 $X$ 위의 매끄러운 함수 대수이고, D는 $X$ 위의 스피너 다발의 제곱 적분 가능한 단면의 힐베르트 공간 $\Gamma$ 의 조밀한 부분 공간에서 작용하는 통상적인 디랙 연산자의 폐포이다.

더욱이, 콘은 이 거리가 존재할 경우에만 유계임을 관찰했다. 즉, 다음 집합
: $\{ a \in A : \|[D,a]\| \leq 1, \mu(a) = 0 \}$
이 유계인 상태 $\mu \in S(\mathfrak{A})$ 가 존재한다.

이 구성은 칸토로비치가 라돈 확률 측정 공간에서 거리를 구성한 것과 유사하며, 칸토로비치는 몽주의 수송 문제를 연구하는 동안 이 거리를 도입했다. 실제로, $(X,d)$ 가 콤팩트 거리 공간이고, $\mu,\nu$ 가 두 개의 확률 측정이라면, 칸토로비치와 루빈스타인에 의해 관찰된 바와 같이, $\mu,\nu$ 사이의 칸토로비치 거리는 다음과 같이 정의될 수 있다.

: $k(\mu,\nu) = \sup\{ |\int_X f d\mu - \int_X f d\nu| : f \in C(X), \mathrm{Lip}(f) \leq 1 \},$

여기서 $C(X)$ 는 $X$ 위의 복소수 값을 갖는 연속 함수로 구성된 C*-대수이고, 임의의 함수 $f \in C(X)$ 에 대해, $\mathrm{Lip}(f)$ 는 그 립시츠 반노름을 나타낸다.

: $\mathrm{Lip}(f) = \sup\{ \frac$

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좌우로 밀어서 보기

{d(x,y)} : x,y \in X, x\not= y \}.

이 유추는 형식적인 것 이상이다. 위에 설명된 경우, 즉

X

가 연결된 콤팩트 스핀 리만 다양체이고,

d

가

X

에 대한 관련된 경로 계량인 경우,

\|[D,f]\|\leq 1

은

\mathrm{Lip}(f)\leq 1

일 경우에만 해당한다.

이 관찰에 따라, 콘의 거리가 칸토로비치의 거리와 어떤 성질을 공유하는지 궁금해하는 것은 당연하다. 일반적으로, 콘의 거리에 의해 유도된 위상은 하우스도르프가 아닐 수 있으며,

\mathfrak{A}

의 상태 공간에 유한한 지름을 부여하지 못할 수 있지만, 칸토로비치의 거리는 항상

X

위의 라돈 확률 측정 공간에서 약한* 위상을 유도한다. 이는 약한* 콤팩트이다.

리펠은 콘의 거리가 실제로

\mathfrak{A}

의 상태 공간에서 약한* 위상을 유도하기 위한 스펙트럼 삼중항(그리고 더 일반적으로, 립시츠 반노름의 유사한 역할을 하는 반노름)에 대한 필요 충분 조건을 연구했다. 즉, 스펙트럼 삼중항

(A,H,D)

에 의해 유도된 콘의 거리는 상태 공간

S(\mathfrak{A})

에서 약한* 위상을 토폴로지화하는데, 이는 다음 상태

\mu \in S(\mathfrak{A})

가 존재할 경우에만 해당한다.

:

\left\{ a \in A : \|[D,a]\| \leq 1, \mu(a) = 0 \right\}

가 전체 유계이다.

이러한 관찰은 비가환 거리 기하학 연구의 기초가 된다. 이는 양자 거리 공간의 기하학을 다루며, 이들 중 많은 것들은 콘의 거리가 기본 상태 공간에서 약한* 위상을 유도하는 스펙트럼 삼중항을 사용하여 구성된다. 이 맥락에서, 메트릭 스펙트럼 삼중항 공간에 그로모프-하우스도르프 거리의 유사가 구성되어, 이 공간의 기하학에 대한 논의와 "더 간단한"(더 규칙적이거나 유한 차원) 스펙트럼 삼중항에 의한 스펙트럼 삼중항의 근사를 구성할 수 있게 한다.

3.2. K-이론과의 쌍대성

콤팩트 스핀 다양체 위의 매끄러운 함수 대수가 L²-스피너의 힐베르트 공간에서 작용하는 경우, 스핀 구조와 관련된 디랙 연산자가 동반된다. 이러한 객체에 대한 지식으로부터 원래의 다양체를 거리 공간으로 복구할 수 있는데, 다양체는 위상 공간으로서 대수의 스펙트럼으로 복구되며, (절댓값) 디랙 연산자는 거리를 유지한다. 반면에 디랙 연산자의 위상 부분은 함수 대수와 함께 지수 이론적 정보를 인코딩하는 K-사이클을 제공한다.

자기 수반 유니타리 F는 프레드홀름 지수를 취함으로써 A의 K-이론에서 정수로의 사상을 제공한다. 짝수 차원에서는, A의 각 사영 e는 등급에 따라 e₀ ⊕ e₁으로 분해되고, e₁Fe₀는 e₀H에서 e₁H로의 프레드홀름 연산자가 된다. 따라서 e → Ind e₁Fe₀는 K₀(A)에서 Z로의 가법 사상을 정의한다. 홀수 차원에서는 F의 고유 공간 분해가 H에 대한 등급을 부여하고, A의 각 가역 원소는 (F + 1) u (F − 1)/4에서 (F − 1)H에서 (F + 1)H로의 프레드홀름 연산자를 제공한다. 따라서 u → Ind (F + 1) u (F − 1)/4는 K₁(A)에서 Z로의 가법 사상을 제공한다.

스펙트럼 삼조가 유한하게 합산 가능할 때, 위 지수를 (슈퍼) 트레이스, F의 곱, e(또는 u) 그리고 F와 e(또는 u)의 교환자를 사용하여 쓸 수 있다.

4. 예시

콤팩트 스핀 다양체 $M$ 이 주어졌을 때, 그 위의 스피너 다발의 L² 단면 공간
: $H=\Gamma_{\operatorname L^2}(\mathrm SM)$
은 분해 가능 복소수 힐베르트 공간을 이룬다. 그 위의 디랙 연산자
: $\nabla\colon(\operatorname{dom}\nabla\subseteq H)\to H$
는 $H$ 의 조밀 부분 벡터 공간 위에 정의된 자기 수반 작용소이다. 또한, $M$ 위의 2-르베그 공간은 $H$ 위에 점별 곱셈으로 작용한다.
: $A=\operatorname L^2(M;\mathbb C)$
: $A\times H\to H$
: $(f,\psi)\mapsto(x\mapsto f(x)\psi(x))$
이에 따라 $A\subseteq\operatorname B(H,H)$ 로 간주할 수 있다. 그렇다면, $(M,A,\nabla)$ 는 스펙트럼 삼조를 이룬다.
스펙트럼 삼조의 동기 부여 예시는 콤팩트 스핀 다양체 위의 매끄러운 함수 대수가 L²-스피너의 힐베르트 공간에서 작용하는 경우, 스핀 구조와 관련된 디랙 연산자가 동반되는 경우이다. 이러한 객체에 대한 지식으로부터 원래의 다양체를 거리 공간으로 복구할 수 있다. 다양체는 위상 공간으로서 대수의 스펙트럼으로 복구되며, (절댓값) 디랙 연산자는 거리를 유지한다. 반면에 디랙 연산자의 위상 부분은 함수 대수와 함께 지수 이론적 정보를 인코딩하는 K-사이클을 제공한다. 국소 지수 공식은 다양체의 K-군과 이 K-사이클의 쌍을 두 가지 방식으로 표현한다. '분석적/전역적' 측면은 힐베르트 공간에서의 일반적인 추적과 위상 연산자와 함수의 교환자를 포함하며 (지수 정리의 '지수' 부분에 해당), '기하학적/국소적' 측면은 딕스미어 트레이스와 디랙 연산자와의 교환자를 포함한다 (지수 정리의 '특성 클래스 적분' 부분에 해당).

5. 역사

알랭 콘이 1995년에 “스펙트럼 삼조”라는 용어를 도입하였다.

6. 관련 개념

스펙트럼 삼조의 동기 부여 예시는 콤팩트 스핀 다양체 위의 매끄러운 함수 대수가 L²-스피너의 힐베르트 공간에서 작용하는 경우, 스핀 구조와 관련된 디랙 연산자가 동반되는 경우이다. 이러한 객체에 대한 지식으로부터 원래의 다양체를 거리 공간으로 복구할 수 있다. 다양체는 위상 공간으로서 대수의 스펙트럼으로 복구되며, (절댓값) 디랙 연산자는 거리를 유지한다. 반면에 디랙 연산자의 위상 부분은 함수 대수와 함께 지수 이론적 정보를 인코딩하는 K-사이클을 제공한다. 국소 지수 공식은 다양체의 K-군과 이 K-사이클의 쌍을 두 가지 방식으로 표현한다. '분석적/전역적' 측면은 힐베르트 공간에서의 일반적인 추적과 위상 연산자와 함수의 교환자를 포함하며 (지수 정리의 '지수' 부분에 해당), '기하학적/국소적' 측면은 딕스미어 트레이스와 디랙 연산자와의 교환자를 포함한다 (지수 정리의 '특성 클래스 적분' 부분에 해당).

지수 정리의 확장은 일반적으로 다양체에 그룹의 작용이 있거나, 다양체에 엽층 구조가 부여된 경우 등에서 고려될 수 있다.