대합 대수

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1. 개요

대합 대수는 가환환 K 위의 대수 구조로, 결합 대수와 대합으로 구성된다. 대합 대수는 정수환 위의 대합환, 복소수 대합 대수 등 다양한 형태로 나타나며, *-환, *-대수, 자기 수반 원소, 반자기 수반 원소, 유니터리 원소, 정규원 등의 개념과 관련된다. 복소수, 체의 확대, 다항식환, 행렬환, 사원수환, C* 대수 등 다양한 예시가 존재하며, 에르미트 원소는 조르당 대수를, 비 에르미트 원소는 리 대수를 형성한다.

대합 대수

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2. 정의

가환환 $K$ 위의 대합 대수(algebra with involution^영어, *-algebra^영어) $(A,^*)$ 는 다음과 같은 데이터로 주어지는 대수 구조이다.

* $R$ 는 $K$ 위의 (항등원을 갖는) 결합 대수이다.
* $^*\colon A\to A^{\operatorname{op}}$ 는 $K$ -가군 준동형이자 환 준동형이며, 대합이다. (여기서 $A^{\operatorname{op}}$ 는 반대환을 뜻한다.)

즉, 구체적으로 다음이 성립한다.

* 임의의 $k\in K$ 및 $a\in A$ 에 대하여, $(ka)^*=ka^*$
* 임의의 $a,b\in A$ 에 대하여, $(ab)^*=b^*a^*$
* 임의의 $a,b\in A$ 에 대하여, $(a+b)^*=a^*+b^*$
* 임의의 $a\in A$ 에 대하여, $a^{$ }=a

정수환 $\mathbb Z$ 위의 결합 대수는 환과 같은 개념이므로, 정수환 $\mathbb Z$ 위의 대합 대수를 대합환이라고 한다.

보다 일반적으로, 가환 대합환 $(K,^*)$ 위의 대합 대수 $(A,^*)$ 는 다음과 같은 데이터로 주어지는 대수 구조이다.

* $A$ 는 $K$ 위의 (항등원을 갖는) 결합 대수이다.
* $^*\colon A\to A^{\operatorname{op}}$ 는 다음을 만족시킨다.
임의의 $k\in K$ 및 $a\in A$ 에 대하여, $(ka)^*=k^*a^*$
임의의 $a,b\in A$ 에 대하여, $(ab)^*=b^*a^*$
임의의 $a,b\in A$ 에 대하여, $(a+b)^*=a^*+b^*$
임의의 $a\in A$ 에 대하여, $a^{$ }=a

예를 들어, 보통 ‘복소수 대합 대수’라는 것은 (복소수 켤레를 부여한) 복소수체의 가환 대합환 위의 대합 대수를 일컫는다.

2.1. 대합환

수학에서, *-환은 환이면서, 반 자기 동형 사상이자 대합인 사상 * : A → A를 갖는 환을 말한다.

보다 정확하게는, *는 다음 속성을 만족해야 한다.
* (x + y)* = x* + y*
* (x y)* = y* x*
* 1* = 1
* (x*)* = x
: A의 모든 x, y에 대하여.

이를 대합환, 대합적인 환, 또는 대합을 가진 환이라고도 한다. 세 번째 공리는 두 번째 및 네 번째 공리에 의해 암시되므로 중복된다.

x* = x인 원소를 자기 수반이라고 한다.

*-환의 전형적인 예로는 복소수 체와 대수적 수가 있으며, 복소 켤레가 대합으로 작용한다. 모든 *-환에 대해 반쌍선형 형식을 정의할 수 있다.

또한, *-불변이 되는 요구사항과 함께 아이디얼 및 부분환과 같은 대수적 객체의 *-버전을 정의할 수 있다. 즉, x ∈ I ⇒ x* ∈ I 등이다.

*-환은 계산 이론의 별 반환과는 관련이 없다.
단위적 환 R과 그 위의 antiautomorphism^영어대합 I: R → R의 쌍 (R, I)가 대합환 또는 대합이 있는 환이라고 하는 것은, 대합 I가 R의 곱셈 반군 구조와 양립할 때 (곱셈 반군이 Semigroup with involution^영어을 이룰 때)를 말한다.

보다 구체적으로 쓰면, 사상 I는 다음을 만족한다: x, y ∈ R는 임의로
# 덧셈 법칙: (x + y)^I = x^I + y^I,
# 반곱셈 법칙: (xy)^I = y^I x^I,
# 단위율: 1^I = 1,
# 대합율: (x^I)^I = x.

조건 3.은 사실 과잉이다. 실제로, 조건 2., 4.에 따르면 1^I도 곱셈 단위원이 되어야 하지만, 곱셈 단위원의 유일성에 의해 3.을 얻는다.

대합 I에 대해 원소 x^I를 원소 x의 (I에 관한) 공액원 또는 수반원이라고 부르며, 특히 x^I = x를 만족하는 원소 x는 (I에 관해) 자기 공액 (self-conjugate) 또는 자기 수반 (self-adjoint)이라고 한다.

* 대합환의 전형적인 예는, 복소수체나 대수적 수체상에서 복소 공액을 취하는 조작을 대합으로 본 것이다.
* 임의의 대합환 (R, I) 상에서 (대합 I에 관한) 반쌍선형 형식이 정의될 수 있다.
* 아이디얼이나 부분환 등의 대수적 대상에서, 대합 *에 관해 불변인 것을 생각함으로써, *-아이디얼이나 *-부분환 등의 개념을 생각할 수 있다.

2.2. 대합 대수

가환환 $K$ 위의 대합 대수(algebra with involution^영어, *-algebra^영어) $(A,^*)$ 는 다음과 같은 데이터로 주어지는 대수 구조이다.
* $R$ 는 $K$ 위의 (항등원을 갖는) 결합 대수이다.
* $^*\colon A\to A^{\operatorname{op}}$ 는 $K$ -가군 준동형이자 환 준동형이며, 대합이다. (여기서 $A^{\operatorname{op}}$ 는 반대환을 뜻한다.)

즉, 구체적으로 다음이 성립한다.
* 임의의 $k\in K$ 및 $a\in A$ 에 대하여, $(ka)^*=ka^*$
* 임의의 $a,b\in A$ 에 대하여, $(ab)^*=b^*a^*$
* 임의의 $a,b\in A$ 에 대하여, $(a+b)^*=a^*+b^*$
* 임의의 $a\in A$ 에 대하여, $a^{$ }=a

정수환 $\mathbb Z$ 위의 결합 대수는 환과 같은 개념이므로, 정수환 $\mathbb Z$ 위의 대합 대수를 대합환이라고 한다.

보다 일반적으로, 가환 대합환 $(K,^*)$ 위의 대합 대수 $(A,^*)$ 는 다음과 같은 데이터로 주어지는 대수 구조이다.
* $A$ 는 $K$ 위의 (항등원을 갖는) 결합 대수이다.
* $^*\colon A\to A^{\operatorname{op}}$ 는 다음을 만족시킨다.
임의의 $k\in K$ 및 $a\in A$ 에 대하여, $(ka)^*=k^*a^*$
임의의 $a,b\in A$ 에 대하여, $(ab)^*=b^*a^*$
임의의 $a,b\in A$ 에 대하여, $(a+b)^*=a^*+b^*$
임의의 $a\in A$ 에 대하여, $a^{$ }=a

예를 들어, 보통 ‘복소수 대합 대수’라는 것은 (복소수 켤레를 부여한) 복소수체의 가환 대합환 위의 대합 대수를 일컫는다.

*-대수는 켤레 연산 *가 있는 *-환으로, 켤레 연산이 있는 가환환 *-환 위의 결합 대수이며, $(rx)^{*}=r^{*}x^{*}$ ( $r\in R,x\in A$ )를 만족한다.

기저 *-환은 종종 복소수(이 복소 공액으로 작용)이다.

*-환(ring)에서의 *-연산은 복소수의 켤레 복소수와 유사하다. *-대수(algebra)에서의 *-연산은 복소 행렬 대수에서 수반(adjoint)를 취하는 것과 유사하다.

2.3. 특별한 원소

가환 대합환 $(K,^*)$ 와 그 부분환 $K_0=\{\lambda\in K\colon \lambda=\lambda^*\}$ 가 주어졌을 때, $(K,^*)$ -대합 대수 $A$ 의 원소에 대하여 다음과 같은 특별한 것들을 정의할 수 있다.

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좌우로 밀어서 보기

대합 대수에서의 특별한 원소
용어	정의	비고
자기 수반 원소	$a=a^*$	$a\bullet b=ab+ba$ 아래 $K_0$ -요르단 대수를 이룸
반자기 수반 원소	$a=-a^*$	리 괄호 $[x,y]=xy-yx$ 아래 $K_0$ -리 대수를 이룸
등거리원	$a^*a=1$
유니터리 원소	정규원이자 등거리원 (즉, 가역원이며 $a^{-1}=a^*$ )	유니터리 변환의 개념을 일반화
정규원	$aa^=a^a$	정규 작용소의 개념을 일반화
사영원	멱등원이자 자기 수반 원소 (즉, $a=a^2=a^*$ )
부분 등거리원	$a^*a$ 가 사영원
음이 아닌 원소	$\exists b\colon a=b^*b$

각각의 정의는 하위 섹션에서 보다 자세하게 다루고 있다.

2.3.1. 자기 수반 원소

self-adjoint element^영어인 자기 수반 원소는 $a=a^*$ 를 만족하는 원소이다. 자기 수반 원소들은 $a\bullet b=ab+ba$ 아래 $K_0$ -요르단 대수를 이룬다. 여기서 $K_0=\{\lambda\in K\colon \lambda=\lambda^*\}$ 는 가환 대합환 $(K,^*)$ 의 부분환이다.

자기 수반 원소는 에르미트 원소라고도 불리며, 요르단 대수를 형성한다.

2.3.2. 반자기 수반 원소

반자기 수반 원소(anti-self-adjoint element^영어)는 $a=-a^*$ 를 만족한다. 반자기 수반 원소들은 리 괄호 $[x,y]=xy-yx$ 아래 $K_0$ -리 대수를 이룬다.

2.3.3. 유니터리 원소

가환 대합환 $(K,^*)$ 와 그 부분환 $K_0=\{\lambda\in K\colon \lambda=\lambda^*\}$ 가 주어졌을 때, $(K,^*)$ -대합 대수 $A$ 의 원소 중 다음 조건을 만족하는 원소를 '유니터리 원소'라고 한다.

* 유니터리 원소(unitary元素, unitary element^영어): 정규원이자 등거리원 (즉, 가역원이며 $a^{-1}=a^*$ 인 원소). 유니터리 변환 개념의 일반화이다.

이는 다음 표와 같이 정의할 수 있다.

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용어	정의	비고
유니터리 원소	정규원이자 등거리원 (즉, 가역원이며 $a^{-1}=a^*$ )	유니터리 변환의 개념을 일반화

2.3.4. 정규원

normal element^영어인 정규원은 $aa^* = a^*a$ 를 만족하는 원소이다. 이는 정규 작용소의 개념을 일반화한 것이다.

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대합 대수에서의 특별한 원소
용어	정의	비고
정규원	$aa^=a^a$	정규 작용소의 개념의 일반화

2.3.5. 사영원

멱등원이자 자기 수반 원소(즉, $a=a^2=a^*$ )인 원소를 사영원이라고 한다.

2.3.6. 부분 등거리원

partial isometry element^영어인 부분 등거리원은 $a^*a$ 가 사영원인 경우를 말한다.

2.3.7. 음이 아닌 원소

nonnegative element^영어인 음이 아닌 원소는 어떤 원소 $b$ 에 대해 $a=b^*b$ 로 표현되는 원소이다.

3. 예시

* 가장 잘 알려진 *-환 및 실수에 대한 *-대수의 예로는 *가 단순히 복소 켤레인 복소수 체가 있다.
* 더 일반적으로, 제곱근을 부가하여 만들어진 체 확대 (예: 허수 단위)는 원래 체에 대한 *-대수이며, 이는 자명한 *-환으로 간주된다. *는 해당 제곱근의 부호를 뒤집는다.
* 이차 정수 환 (어떤 $D$ 에 대해)은 *가 유사한 방식으로 정의된 가환 *-환이다; 이차 체는 적절한 이차 정수 환에 대한 *-대수이다.
* 사원수, 분할 복소수, 이중수, 그리고 아마도 다른 초복소수 시스템은 실수에 대한 *-환 (내장된 켤레 연산 포함)과 *-대수를 형성한다 (여기서 *는 자명). 이 셋 중 어느 것도 복소수 대수가 아니다.
* 후르비츠 사원수는 사원수 켤레를 가진 비가환 *-환을 형성한다.
* *가 전치로 주어진 R 위의 행렬의 행렬 대수.
* 헤케 대수에서 대합은 Kazhdan–Lusztig 다항식에 중요하다.
* 타원 곡선의 자기 사상 환은 정수 위의 *-대수가 되며, 여기서 대합은 쌍대 아벨 다양체를 취함으로써 주어진다. 유사한 구조는 아벨 다양체와 편극에 대해 작동하며, 이 경우 Rosati 대합이라고 한다.
* 대합 호프 대수는 *-대수의 중요한 예이다 (호환 가능한 공곱의 추가 구조 포함). 군 호프 대수의 경우 군환에서 대합은 $g \mapsto g^{-1}$ 로 주어진다.

3.1. 자명한 대합환

가환환 $K$ 위의 임의의 결합 대수 $A$ 위에 항등 함수를 대합으로 정의하면, 이는 $K$ -대합 대수를 이룬다. 즉,
: $a=a^*$
이다.

따라서, 모든 가환환은 항등 대합을 갖는 자명한 *-환이 된다.

3.2. 등급환

$\mathbb Z/2$ -등급 $K$ -단위 결합 대수 구조가 주어진 경우, 다음과 같이 대합을 정의할 수 있다.

: $R=R_0\oplus R_1$
: $(r_0+r_1)^*=r_0-r_1\qquad\forall r_0\in R_0,\;r_1\in R_1$

이 역시 $K$ -대합 대수를 이룬다.

3.3. 체의 확대

복소수체 $\mathbb C$ 는 $\mathbb R$ -대합 대수를 이루며, 대합 연산은 복소켤레이다. 보다 일반적으로, 체 $K$ 및 $n\in K^\times\setminus(K^\times)^2$ 에 대하여, 2차 확대 $K(\sqrt n)$ 위에 다음과 같은 대합을 정의할 수 있다.

: $(a+b\sqrt n)^*=a-b\sqrt n\qquad\forall a,b\in K$

이는 $K$ -대합 대수를 이룬다.

3.4. 다항식환

가환환 $K$ 위의 다항식환 $K[x]$ 에는 다음과 같은 대합을 정의할 수 있다.

: $p^*(x)=p(-x)\qquad\forall p\in K[x]$

이 대합은 $K$ -대합 대수를 이룬다.

3.5. 행렬환

가환환 $K$ 위의 행렬환 $\operatorname{Mat}(n;K)$ 에서 대합을 전치행렬로 놓으면 $K$ -대합 대수가 된다.

켤레 전치가 *로 주어진 C 위의 행렬의 행렬 대수도 *-대수에 해당한다.

3.6. 사원수환

사원수환 $\mathbb{H}$ 는 사원수 켤레에 대하여 $\mathbb{R}$ -대합 대수를 이루지만, $\mathbb{C}$ -대합 대수를 이루지 않는다.

3.7. C* 대수

모든 C* 대수나 폰 노이만 대수는 정의에 따라 복소수 대합 대수를 이룬다. 특히, 복소수 힐베르트 공간 $\mathcal H$ 위의 유계 작용소들의 폰 노이만 대수 $\operatorname B(\mathcal H,\mathcal H)$ 는 에르미트 수반을 대합으로 삼아 복소수 대합 대수를 이룬다.

4. 추가 구조

전치의 많은 속성은 일반적인 *-대수에도 적용된다.

* 에르미트 원소는 조르당 대수를 형성한다.
* 비 에르미트 원소는 리 대수를 형성한다.
* *-환에서 2가 가역적이면, 연산자 ½(1 + *)^영어와 ½(1 − *)^영어는 '대칭화'와 '반대칭화'라고 불리는 직교 멱등원이다. 따라서 대수는 대칭 및 반대칭 (에르미트 및 비 에르미트) 원소의 가군 (벡터 공간 - *-환이 체인 경우)의 직합으로 분해된다. 이 공간들은 일반적으로 결합 대수를 형성하지 않는데, 멱등원이 대수의 원소가 아닌 선형 연산자이기 때문이다.

4.1. 왜곡 구조

*-환에서, 사상 를 생각할 수 있다. 표수가 2인 경우를 제외하면(이 경우 는 원래의 와 동일하다), 이 사상은 *-환 구조를 정의하지 않는다. 왜냐하면 이 되어 반곱셈적이지 않기 때문이다. 하지만 다른 공리(가법성, 대합성)는 만족하므로, 가 정의하는 *-환과 매우 유사한 성질을 가진다.

이 사상에 의해 불변인 원소, 즉 를 만족하는 원소를 왜곡 에르미트라고 한다.

복소수 전체에 복소 켤레를 생각한 *-환에서, 실수 전체는 에르미트 원소 전체와 일치하고, 순허수 전체는 왜곡 에르미트 원소 전체와 일치한다.