하우스도르프 측도

2. 정의

거리 공간 $(X,d\_X)$의 '''지름'''은 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash operatorname\{diam\}X=\backslash sup\backslash \{d\_X(x,y)\backslash colon\; x,y\backslash in\; X\backslash \}\backslash qquad(X\backslash ne\backslash varnothing)$

:$\backslash operatorname\{diam\}\backslash varnothing=0$

임의의 $d>0$ 및 $\backslash delta>0$에 대하여, 함수

:$H^d\_\backslash delta\backslash colon\backslash mathcal\; P(X)\backslash to[0,\backslash infty]$

:$H^d\_\{\backslash delta,\backslash text\{open\}\}\backslash colon\backslash mathcal\; P(X)\backslash to[0,\backslash infty]$

:$H^d\_\{\backslash delta,\backslash text\{closed\}\}\backslash colon\backslash mathcal\; P(X)\backslash to[0,\backslash infty]$

를 다음과 같이 정의한다.

:

:

:

그렇다면 '''하우스도르프 외측도'''

:$H^d\backslash colon\backslash mathcal\; P(X)\backslash to[0,\backslash infty]$

는 다음과 같다.

:$H^d(S)=\backslash sup\_\{\backslash delta>0\}H^d\_\backslash delta(S)=\backslash lim\_\{\backslash delta\backslash to0\}H^d\_\backslash delta(S)$

=\sup_{\delta>0}H^d_{\delta,\text{open}}(S)=\lim_{\delta\to0}H^d_{\delta,\text{open}}(S)

=\sup_{\delta>0}H^d_{\delta,\text{closed}}(S)=\lim_{\delta\to0}H^d_{\delta,\text{closed}}(S)



즉, 덮개를 열린 집합 또는 닫힌 집합에 국한하여도 상관없다. 이는 외측도를 이루며, 이를 하우스도르프 외측도에 대한 카라테오도리 가측 집합들로 국한하면 이는 측도를 이룬다. 이를 $d$차원 '''하우스도르프 측도'''라고 한다.

$(X,\backslash rho)$를 거리 공간이라고 하자. 임의의 부분 집합 $U\backslash subset\; X$에 대해, $\backslash operatorname\{diam\}U$를 그 지름이라고 표시하며, 다음과 같이 정의한다.

:$\backslash operatorname\{diam\}\; U\; :=\backslash sup\backslash \{\backslash rho(x,y):x,y\backslash in\; U\backslash \},\; \backslash quad\; \backslash operatorname\{diam\}\; \backslash emptyset:=0.$

$S$를 $X$의 임의의 부분 집합이라고 하고, $\backslash delta>0$을 실수라고 할 때, 다음을 정의한다.

:

여기서 하한은 를 만족하는 집합 $U\_i\backslash subset\; X$에 의한 $S$의 모든 가산 덮개에 대해 취한다.

$H^d\_\backslash delta(S)$는 $\backslash delta$에 대해 단조 감소하는데, 그 이유는 $\backslash delta$가 클수록 허용되는 집합의 모임이 더 많아져서 하한이 더 커지지 않기 때문이다. 따라서 $\backslash lim\_\{\backslash delta\backslash to\; 0\}H^d\_\backslash delta(S)$는 존재하지만 무한대가 될 수 있다. $H^d(S)$는 다음과 같이 정의한다.

:$H^d(S):=\backslash sup\_\{\backslash delta>0\}\; H^d\_\backslash delta(S)=\backslash lim\_\{\backslash delta\backslash to\; 0\}H^d\_\backslash delta(S).$

$H^d(S)$는 외측도이며 (더 정확히는, 거리 외측도이다). 카라테오도리 확장 정리에 의해, Carathéodory 가측 집합의 σ-필드에 대한 제한은 측도이다. 이것을 $S$의 $d$-'''차원 하우스도르프 측도'''라고 부른다. 거리 외측도 속성에 의해, $X$의 모든 보렐 집합은 $H^d$ 가측이다.

위 정의에서 덮개 내 집합은 임의적이다. 그러나 덮개 집합이 열린 집합 또는 닫힌 집합이 되도록 요구하거나, 노름 공간에서는 심지어 볼록 집합이 되도록 요구할 수 있는데, 이는 동일한 $H^d\_\backslash delta(S)$ 숫자, 따라서 동일한 측도를 생성한다. $\backslash R^n$에서 덮개 집합을 공으로 제한하면 측도가 변경될 수 있지만, 측정된 집합의 차원은 변경되지 않는다.