호만 전이 궤도

3. 계산

어떤 물체가 다른 물체 주위를 공전할 때, 그 물체의 총 에너지는 운동 에너지와 위치 에너지의 합으로 나타낼 수 있으며, 이 총 에너지는 평균 거리 $a$에서의 위치 에너지의 절반과 같다. 이를 수식으로 표현하면 다음과 같다.

::$E=\backslash begin\{matrix\}\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash end\{matrix\}\; m\; v^2\; -\; \backslash frac\{G\; M\; m\}\{r\}\; =\; \backslash frac\{-G\; M\; m\}\{2\; a\}\; .\backslash ,$

이 식을 속도($v$)에 대해 풀면 활력방정식을 얻을 수 있다.

::$v^2\; =\; \backslash mu\; \backslash left(\; \backslash frac\{2\}\{r\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{a\}\; \backslash right)$

여기서,

• $v\; \backslash ,\backslash !$는 공전하는 물체의 속도이다.
• $\backslash mu\; =\; GM\backslash ,\backslash !$는 중심 물체(예: 지구)의 표준 중력 매개 변수이다. ($M+m$은 $M$보다 크지 않다고 가정)
• $r\; \backslash ,\backslash !$는 중심 물체로부터 공전하는 물체까지의 거리이다.
• $a\; \backslash ,\backslash !$는 공전 궤도의 긴반지름이다.

• $r\_1$은 출발 궤도의 반지름, $r\_2$는 도착 궤도의 반지름이다.
• $r\_1$과 $r\_2$ 중 작은 값은 호만 전이 궤도의 근점 거리에 해당하고, 큰 값은 원점 거리에 해당한다.

3. 1. 기본 원리

4. 유형

이상적인 호만 전이 궤도는 같은 평면 상의 두 개의 원형 궤도 사이를 이동하며 중심 천체 주위를 정확히 180° 이동한다. 현실 세계에서는 목표 궤도가 원형이 아닐 수도 있으며, 초기 궤도와 동일 평면상에 있지 않을 수도 있다. 현실 세계의 전이 궤도는 중심 천체 주위를 180°보다 약간 더 이동하거나 약간 더 적게 이동할 수 있다. 중심 천체 주위를 180° 미만으로 이동하는 궤도를 "유형 I" 호만 전이라고 하고, 180° 이상 이동하는 궤도를 "유형 II" 호만 전이라고 한다.^[6][7]

전이 궤도는 중심 천체 주위를 360° 이상 이동할 수도 있다. 이러한 다회전 전이는 때때로 유형 III 및 유형 IV라고 하는데, 유형 III는 유형 I + 360°이고, 유형 IV는 유형 II + 360°이다.^[8]

5. 응용

호만 전이 궤도는 더 무거운 천체를 공전하는 두 천체 사이에서 한 천체의 궤도를 다른 천체 쪽으로 이동시키는 데 사용될 수 있다. 태양계의 경우, 태양을 공전하는 모든 천체가 포함된다. 호만 전이 궤도를 사용하는 예시로는 태양을 공전하는 소행성을 지구와 접촉시키는 것이 있다.^[9]

궤도의 가역성 때문에, 호만 전이 궤도는 높은 궤도에서 낮은 궤도로 이동할 때도 사용된다. 이 경우, 우주선의 엔진은 현재 궤도의 반대 방향으로 점화되어 우주선을 느리게 하고, 이에 따라 우주선은 낮은 에너지의 타원형 전이 궤도로 옮겨지게 된다. 이후, 우주선이 감속하여 작은 궤도를 돌기 위해 엔진은 낮은 궤도에서 다시 점화된다.

호만 전이 궤도는 즉각적인 속도 변경을 전제로 한다. 하지만 실제로는 가속을 위해 시간이 걸릴 수 있다는 사실 때문에 이를 보상하기 위한 여분의 연료가 필요하다. 이는 들어오는 시간을 최소화하기 위해 높은 추력 엔진을 통하여 이루어진다. 저추력 엔진은 신중한 시간 간격의 엔진 점화를 통해 초기 원형 궤도를 점진적으로 확대시켜 호만 전이 궤도의 근사 궤도로 이동할 수 있다. 이는 속도 변화가 두 최소 전이 궤도보다 최대 141% 이상 필요하며, 도착하는 시간은 더 많이 걸린다.

호만 전이 궤도는 안쪽 궤도상에 근점이 있고, 바깥쪽 궤도상에 원점이 있는 타원궤도이다(근점·원점 참조). 궤도 반지름의 비가 약 11.94를 넘지 않고, 동일한 궤도면상의 두 원궤도 사이의 전이 중에서 최소의 에너지로 전이할 수 있는 궤도이다. 근점과 원점의 두 번만 속도 변화를 필요로 한다. 궤도 반지름의 비가 약 11.94를 넘는 경우에는, 이중 타원 전이가 에너지 효율이 더 높다.

행성 탐사선에서는 황도면 및 목적지의 궤도 경사각이 문제가 되고, 발사 시기가 회합 주기(행성에 따라 0.3년~2.2년)에 한 번밖에 오지 않으므로, 단순한 호만 전이 궤도를 사용하는 사례는 적다.

5. 1. 정지 천이 궤도

6. 다른 전이 궤도와의 비교

호만 전이 궤도는 안쪽 궤도에 근점을, 바깥쪽 궤도에 원점을 갖는 타원 궤도이다(근점·원점 참조). 궤도 반지름의 비가 약 11.94를 넘지 않는 범위에서, 동일 평면상의 두 원 궤도 사이를 최소 에너지로 전이할 수 있다. 이 궤도는 근점과 원점에서 두 번의 속도 변화만 필요로 한다.

정지 전이 궤도는 저궤도에서 정지 궤도로 가는 호만 전이 궤도이다. 지구에서 정지 위성을 궤도에 투입할 때 주로 사용되며, 저궤도의 궤도면이 적도면과 일치하는 경우가 드물기 때문에 궤도면 변경도 함께 이루어진다.

행성 탐사선의 경우, 황도면과 목적지 행성의 궤도 경사각이 문제가 되고, 발사 가능 시기가 회합 주기(행성마다 0.3년~2.2년)에 한 번뿐이어서, 단순 호만 전이 궤도를 사용하는 경우는 많지 않다. 궤도 반지름의 비가 약 11.94를 넘는 경우에는, 이중 타원 전이가 에너지 효율이 더 높다.

6. 1. 이중 타원 전이

6. 2. 저추력 전이

6. 3. 행성 간 수송 네트워크 (ITN)

7. 한국의 우주 개발과 호만 전이 궤도

호만 전이 궤도는 정지 전이 궤도를 통해 저궤도에서 정지궤도로 이동하는 데 사용된다. 지구에서 정지위성을 궤도에 투입할 때 대부분 정지 전이 궤도를 사용한다. 하지만 저궤도의 궤도면이 적도면과 일치하는 경우는 드물기 때문에, 호만 전이와 함께 궤도면 변경도 함께 이루어진다.

행성 탐사선의 경우, 황도면과 목적지 행성의 궤도 경사각이 문제가 된다. 또한 발사 시기는 회합 주기(행성마다 0.3년~2.2년)에 따라 제한되므로, 단순한 호만 전이 궤도를 사용하는 경우는 많지 않다.

8. 한계

두 개의 원형 궤도 사이에서 호만 전이를 수행하는 데 필요한 Δv는 목표 궤도의 반지름이 무한대일 때 최대가 아니다. (탈출 속도는 궤도 속도의 √2배이므로, 탈출에 필요한 Δv는 궤도 속도의 √2 − 1(41.4%)이다.) Δv는 더 큰 궤도의 반지름이 더 작은 궤도의 반지름의 15.5817...배일 때 최대가 된다.^[10] 이 숫자는 ''x³ − 15x² − 9x − 1 = 0''의 양의 근이며, $5+4\backslash ,\backslash sqrt\{7\}\backslash cos\backslash left(\{1\backslash over\; 3\}\backslash arctan\{\backslash sqrt\{3\}\backslash over\; 37\}\backslash right)$이다. 더 높은 궤도 비율에서는 두 번째 연소에 필요한 Δv가 첫 번째 연소에 필요한 Δv보다 더 빠르게 감소한다.

호만 전이 궤도는 안쪽 궤도상에 근점이 있고, 바깥쪽 궤도상에 원점이 있는 타원궤도이다(근점·원점 참조). 궤도 반지름의 비가 약 11.94를 넘지 않고, 동일한 궤도면상의 두 원궤도 사이의 전이 중에서 최소의 에너지로 전이할 수 있는 궤도이다. 또한, 근점과 원점의 두 번만 속도 변화를 필요로 한다. 궤도 반지름의 비가 약 11.94를 넘는 경우에는 이중 타원 전이가 에너지 효율이 더 높다.

참조

_[1] 서적 The Attainability of Heavenly Bodies https://archive.org/[...] NASA 1960
_[2] 웹사이트 Making the Trip to Mars Cheaper and Easier: The Case for Ballistic Capture https://www.universe[...] 2014-12-26
_[3] 웹사이트 A New Way to Reach Mars Safely, Anytime and on the Cheap https://www.scientif[...] 2019-07-29
_[4] 웹사이트 An Introduction to Beresheet and Its Trajectory to the Moon https://gereshes.com[...] 2019-04-08
_[5] 논문 Kick In the Apogee: 40 years of upper stage applications for solid rocket motors, 1957-1997 https://arc.aiaa.org[...] AIAA 1997-07-04
_[6] 웹사이트 Trajectories https://solarsystem.[...] NASA
_[7] 웹사이트 Trajectories to Mars http://ccar.colorado[...] 2012-12-14
_[8] 서적 Design issues for Space Science Missions Cambridge University Press 2005
_[9] 논문 Asteroid mining with small spacecraft and its economic feasibility
_[10] 서적 Fundamentals of Astrodynamics and Applications https://books.google[...] Springer 2001
_[11] 서적 Orbital Mechanics for Engineering Students https://books.google[...] Elsevier
_[12] 서적 Fundamentals of Astrodynamics and Applications https://books.google[...] Springer
_[13] 논문 Sur les trajectoires permettant d'approcher d'un corps attractif central à partir d'une orbite keplérienne donnée http://gallica.bnf.f[...] 1934-02-12
_[14] 웹사이트 Analytical Approximations for Low Thrust Maneuvers https://ocw.mit.edu/[...] MIT
_[15] 특허 Optimal Transfer Orbit Trajectory using Electric Propulsion https://patents.goog[...] USPTO 1997
_[16] 간행물 Surfing the Solar System: Invariant Manifolds and the Dynamics of the Solar System http://www.gg.caltec[...] JPL 1997
_[17] 서적 The Attainability of Heavenly Bodies http://www.archive.o[...] NASA 1960