부분 행렬

\} \quad (i_1 < i_2 < \cdots < i_

)

:$J\; =\; \backslash \{j\_1,\; j\_2,\; \backslash dots,\; j\_$

\} \quad (j_1 < j_2 < \cdots < j_

)

이때 $(I,\; J)$-부분 행렬 $A\_\{I,\; J\}$의 $(r,\; s)$-성분은 다음과 같다.

:$(A\_\{I,\; J\})\_\{r,\; s\}\; =\; A\_\{i\_r,\; j\_s\}\; \backslash quad\; (r\; =\; 1,\; 2,\; \backslash dots,\; |I|,\; \backslash ;\; s\; =\; 1,\; 2,\; \backslash dots,\; |J|)$

부분 행렬에는 다음과 같은 특수한 경우들이 있다.

• $A$의 $I$에 대한 '''주부분 행렬'''(principal submatrix^영어)은 행과 열의 첨자 집합이 같은 경우, 즉 부분 행렬 $A\_\{I,\; I\}$를 뜻한다.^[4]
• $A$의 $k\; \backslash times\; k$ '''선행 주부분 행렬'''(leading principal submatrix^영어)은 첫 $k$개의 행과 첫 $k$개의 열로 이루어진 부분 행렬, 즉 $A\_\{\backslash \{1,\; \backslash dots,\; k\backslash \},\; \backslash \{1,\; \backslash dots,\; k\backslash \}\}$를 뜻한다.^[4]
• $A$의 $i$번째 '''행벡터'''(row vector^영어)는 $i$번째 행 전체로 이루어진 부분 행렬, 즉 $A\_\{\backslash \{i\backslash \},\; \backslash \{1,\; \backslash dots,\; n\backslash \}\}$이다.
• $A$의 $j$번째 '''열벡터'''(column vector^영어)는 $j$번째 열 전체로 이루어진 부분 행렬, 즉 $A\_\{\backslash \{1,\; \backslash dots,\; m\backslash \},\; \backslash \{j\backslash \}\}$이다.

한편, 행렬에서 특정 행과 열을 제거하여 얻는 행렬을 소행렬이라고 부르기도 한다. 이는 특히 행렬식 및 여인자와 관련하여 자주 사용된다.

2. 1. 소행렬과 소행렬식

가환체 $K$ 위의 $m\; \backslash times\; n$행렬$A\; =\; (a\_\{ij\})\; \backslash in\; \backslash operatorname\{Mat\}(m,\; n;\; K)$가 주어졌다고 하자. 행 첨자의 부분 집합 $I\; \backslash subseteq\; \backslash \{1,\; \backslash dots,\; m\backslash \}$와 열 첨자의 부분 집합 $J\; \backslash subseteq\; \backslash \{1,\; \backslash dots,\; n\backslash \}$을 선택하여, 이들에 해당하는 행과 열을 제거하고 남은 성분들로 이루어진 행렬을 $A$의 '''소행렬'''(minor matrix)이라고 하며, $A\_\{IJ\}$로 표기한다.

:$A\_\{IJ\}\; :=\; [a\_\{ij\}]\_\{i\; \backslash in\; \backslash \{\; 1,\; \backslash ldots\; ,\; m\; \backslash \}\; \backslash setminus\; I,\backslash atop\; j\; \backslash in\; \backslash \{\; 1,\; \backslash ldots\; ,\; n\; \backslash \}\; \backslash setminus\; J\}$

이 소행렬 $A\_\{IJ\}$는 $(m\; -\; |I|)$개의 행과 $(n\; -\; |J|)$개의 열을 가진다. 만약 제거하는 행과 열이 각각 하나일 경우, 예를 들어 $I=\backslash \{i\backslash \},\; J=\backslash \{j\backslash \}$이면, 소행렬 $A\_\{\backslash \{i\backslash \}\backslash \{j\backslash \}\}$는 간단히 $A\_\{ij\}$로 쓰기도 한다.

특히, $A$가 정사각 행렬 ($m=n$)이고 제거하는 행과 열의 첨자 집합이 같을 때 ($I=J$), 즉

:$A\_I\; =\; A\_\{II\},\backslash quad\; A\_i\; =\; A\_\{ii\}$

와 같은 소행렬을 '''주소행렬'''(主小行列, principal submatrix^영어)이라고 부른다.
주의: 소행렬을 정의하는 다른 방식도 있다. 특정 행과 열을 선택하여 행렬을 구성하는 방식인데, 이때는 $A\_\{IJ\}\; =\; [a\_\{ij\}]\_\{i\; \backslash in\; I,\; j\; \backslash in\; J\}$ 와 같이 표기한다^[2]. 하지만 여기서는 행과 열을 제거하는 첫 번째 정의를 사용한다. 연속된 번호의 행과 열을 사용하여 얻는 소행렬은 원래 행렬의 블록이라고도 한다.

가환환 성분을 가지는 행렬의 부분 정사각 행렬의 행렬식은 흔히 '''소행렬식'''(minor determinant 또는 minor)이라고 부른다. 주소행렬의 행렬식은 '''주소행렬식'''(主小行列式, principal minor^영어)이라고 하며, 특히 행과 열의 첨자가 $\backslash \{1,\; \backslash dots,\; k\backslash \}$인 형태의 주소행렬, 즉 선행 주부분 행렬(leading principal submatrix)의 행렬식은 '''선행 주소행렬식'''(先行主小行列式, leading principal minor^영어)이라고 한다.

가환환$R$ 위의 $n\backslash times\; n$ 정사각 행렬 $A\backslash in\backslash operatorname\{Mat\}(n;R)$와 크기가 같은 행과 열의 집합 $I,J\backslash subseteq\backslash \{1,2,\backslash dots,n\backslash \}$ ($|I|=|J|$)에 대하여, $A$의 '''$(I,J)$-소행렬식''' $M(A)\_\{I,J\}$은 $I$에 속하는 행과 $J$에 속하는 열을 제거한 부분 행렬의 행렬식이다.

:$M(A)\_\{I,J\}=\backslash det\; A\_\{\backslash \{1,\backslash dots,n\backslash \}\backslash setminus\; I,\backslash \{1,\backslash dots,n\backslash \}\backslash setminus\; J\}\backslash in\; R$

$A$의 '''$(I,J)$-여인자'''(cofactor) $C(A)\_\{I,J\}$는 $(I,J)$-소행렬식에 부호 $(-1)^\{\backslash sum\; I+\backslash sum\; J\}$를 곱한 값이다. 여기서 $\backslash sum\; I$는 집합 $I$에 속하는 모든 원소(행 번호)의 합을 의미하며, $\backslash sum\; J$는 집합 $J$에 속하는 모든 원소(열 번호)의 합을 의미한다.

:$C(A)\_\{I,J\}=(-1)^\{\backslash sum\; I+\backslash sum\; J\}\; M(A)\_\{I,J\}\; =\; (-1)^\{\backslash sum\; I+\backslash sum\; J\}\backslash det\; A\_\{\backslash \{1,\backslash dots,n\backslash \}\backslash setminus\; I,\backslash \{1,\backslash dots,n\backslash \}\backslash setminus\; J\}\backslash in\; R$

특히 $I=\backslash \{i\backslash \},\; J=\backslash \{j\backslash \}$인 경우, 즉 $i$행과 $j$열을 제거하여 얻은 소행렬 $A\_\{ij\}$의 행렬식을 $(i,j)$-소행렬식 $M\_\{ij\}$라고 하며 ($M\_\{ij\}\; =\; M(A)\_\{\backslash \{i\backslash \}\backslash \{j\backslash \}\}$), 이에 부호 $(-1)^\{i+j\}$를 곱한 것을 $(i,j)$-여인자 $C\_\{ij\}$라고 한다 ($C\_\{ij\}\; =\; C(A)\_\{\backslash \{i\backslash \}\backslash \{j\backslash \}\}$).

:$C\_\{ij\}\; =\; (-1)^\{i+j\}\; M\_\{ij\}\; =\; (-1)^\{i+j\}\backslash det\; A\_\{ij\}$

가환환$R$ 위의 $n\backslash times\; n$ 정사각 행렬 $A\backslash in\backslash operatorname\{Mat\}(n;R)$의 '''여인자 행렬'''(餘因子行列, cofactor matrix^영어) $C(A)\backslash in\backslash operatorname\{Mat\}(n;R)$는 각 $(i,j)$-여인자 $C\_\{ij\}$를 $(i,j)$-성분으로 가지는 $n\backslash times\; n$ 정사각 행렬이다.

:

소행렬과 소행렬식은 행렬 이론에서 중요한 개념이다. 예를 들어, 행렬 $A\; \backslash in\; \backslash operatorname\{Mat\}(m,\; n;\; K)$의 계수가 $r$이라면, $A$는 $r\; \backslash times\; r$ 크기의 정사각 소행렬 $A\_\{IJ\}\; \backslash in\; \backslash operatorname\{Mat\}(r;\; K)$ 중에서 행렬식이 0이 아니면서($\backslash det\; A\_\{IJ\}\; \backslash neq\; 0$) 계수가 원래 행렬 $A$의 계수와 같은($\backslash operatorname\{rank\}(A\_\{IJ\})\; =\; \backslash operatorname\{rank\}(A)\; =\; r$) 것을 반드시 가진다^[3]. 이러한 소행렬은 가우스 소거법 등을 통해 찾을 수 있다.

또한, 정사각 행렬 $A$의 여인자 $C\_\{ij\}\; =\; (-1)^\{i+j\}\; \backslash det(A\_\{ij\})$들을 모아 만든 여인자 행렬 $C(A)\; =\; (C\_\{ij\})$의 전치행렬인 수반 행렬(adjugate matrix)을 이용하면 $A$의 역행렬을 명시적으로 계산할 수 있다 (단, $\backslash det\; A\; \backslash neq\; 0$일 때). 행렬식 계산에 사용되는 여인자 전개(라플라스 전개)나 두 행렬의 곱의 행렬식에 관한 비네-코시 정리 등에서도 소행렬식은 핵심적인 개념으로 사용된다.

2. 2. 여인자와 여인자 행렬

정사각 행렬 $A$가 주어졌을 때, $A$의 $i$행과 $j$열을 제거하여 얻은 부분 행렬의 행렬식을 $(i,j)$-'''소행렬식'''(minor^영어)이라고 하며, 보통 $M\_\{ij\}$로 표기한다.

$A$의 '''$(i,j)$-여인자'''(cofactor^영어) $C\_\{ij\}$는 $(i,j)$-소행렬식 $M\_\{ij\}$에 부호 $(-1)^\{i+j\}$를 곱한 값이다.

:$C\_\{ij\}\; =\; (-1)^\{i+j\}\; M\_\{ij\}\; =\; (-1)^\{i+j\}\; \backslash det(A\_\{ij\})$

여기서 $A\_\{ij\}$는 $A$에서 $i$행과 $j$열을 제거한 부분 행렬을 의미한다. 부호 $(-1)^\{i+j\}$는 행 번호 $i$와 열 번호 $j$의 합이 짝수이면 양수(+1), 홀수이면 음수(-1)가 된다. 이는 마치 체스판의 칸처럼 부호가 번갈아 나타나는 패턴을 따른다.

정사각 행렬 $A$의 각 성분 $a\_\{ij\}$에 대응하는 여인자 $C\_\{ij\}$를 구하여 $(i,j)$ 위치에 배치한 행렬을 '''여인자 행렬'''(cofactor matrix^영어)이라고 하며, $C(A)$ 또는 $\backslash operatorname\{cof\}(A)$로 표기한다.

:

즉, 여인자 행렬의 $(i,j)$-성분은 원 행렬 $A$의 $(i,j)$-여인자 $C\_\{ij\}$이다.

여인자 행렬은 역행렬을 계산하는 데 중요한 역할을 한다. 구체적으로, 여인자 행렬의 전치 행렬인 수반 행렬($\backslash operatorname\{adj\}(A)$)을 원래 행렬의 행렬식 $\backslash det(A)$로 나누면 역행렬 $A^\{-1\}$를 얻을 수 있다 (단, $\backslash det(A)\; \backslash neq\; 0$일 때).^[3]

:$A^\{-1\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash det(A)\}\; \backslash operatorname\{adj\}(A)\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash det(A)\}\; C(A)^T$

또한, 여인자는 행렬식 계산 방법 중 하나인 라플라스 전개 정리의 핵심 요소이며, 두 행렬의 곱의 행렬식에 관한 비네-코시 정리 등에서도 중요한 역할을 한다.^[3]

3. 예

실수 3×3 행렬

:$$

\begin{pmatrix}

2 & -1 & 0 \\

3 & 1 & 9 \\

• 5 & 7 & -12

\end{pmatrix}



에서 2번째 행과 1번째 열을 제거한 부분 행렬은

:$$

\begin{pmatrix}

• 1 & 0 \\

7 & -12

\end{pmatrix}



이다. 따라서 (2,1)-여인자는

:$(-1)^\{2+1\}$

\begin{vmatrix}

• 1 & 0 \\

7 & -12

\end{vmatrix}

=(-1)\times((-1)\times(-12)-0\times 7)=-12

이다.

다른 예로, 다음 행렬

:

에 대해, 그 소행렬 중 하나인 $A\_\{2\; 3\}$ (또는 $A\_\{\backslash \{2\backslash \}\backslash \; \backslash \{3\backslash \}\}$로 표기)는 두 번째 행과 세 번째 열을 제거하여 얻을 수 있으며, 결과는 다음과 같다.

:

4. 응용

부분 행렬, 특히 정사각 부분 행렬의 행렬식인 소행렬식(minor)과 이로부터 파생되는 여인자(cofactor)는 선형대수학의 여러 분야에서 중요하게 응용된다.

행렬의 계수는 0이 아닌 소행렬식 중 가장 큰 차수와 같으므로, 소행렬식은 행렬의 계수를 판정하는 데 사용된다. 즉, 계수가 $r$인 행렬에는 반드시 행렬식이 0이 아닌 $r\; \backslash times\; r$ 크기의 정사각 부분 행렬이 존재한다.^[3] 이러한 부분 행렬은 가우스 소거법 등으로 찾을 수 있다.

정사각 행렬 $A$에서 $i$행과 $j$열을 제외하여 만든 부분 행렬 $A\_\{ij\}$의 행렬식에 부호 $(-1)^\{i+j\}$를 곱하면 여인자 $\backslash tilde\{a\}\_\{ij\}$가 정의된다.

: $\backslash tilde\{a\}\_\{ij\}\; =\; (-1)^\{i+j\}\; \backslash det(A\_\{ij\})$

소행렬식과 여인자는 다음과 같은 다양한 계산과 이론에 핵심적인 역할을 한다.

• 역행렬 계산: 여인자 행렬을 이용하여 정사각 행렬의 역행렬을 명시적으로 구할 수 있다.
• 라플라스 전개: 행렬식을 계산하는 방법으로, 특정 행 또는 열의 원소와 해당 여인자의 곱의 합으로 행렬식을 나타낸다.
• 코시-비네 공식: 두 행렬의 곱의 행렬식을 각 행렬의 소행렬식들의 곱의 합으로 표현한다.
• 양의 정부호성 판별: 에르미트 행렬의 주 소행렬식들의 부호를 조사하여 행렬의 양의 정부호성 또는 양의 준정부호성을 판별하는 데 사용된다.

4. 1. 라플라스 전개

가환환 $R$ 위의 $n\; \backslash times\; n$ 정사각 행렬 $A$와 행 및 열의 집합 $I\; \backslash subseteq\; \backslash \{1,\; 2,\; \backslash dots,\; n\backslash \}$에 대해, 다음과 같은 일반화된 라플라스 전개 공식이 성립한다.

:$\backslash det\; A\; =\; \backslash sum\_\{J\; \backslash subseteq\; \backslash \{1,\; \backslash dots,\; n\backslash \},\; |J|=|I|\}\; (\backslash det\; A\_\{I,J\})\; (-1)^\{\backslash sum\; I\; +\; \backslash sum\; J\}\; (\backslash det\; A\_\{\backslash \{1,\; \backslash dots,\; n\backslash \}\; \backslash setminus\; I,\; \backslash \{1,\; \backslash dots,\; n\backslash \}\; \backslash setminus\; J\})$

:$\backslash det\; A\; =\; \backslash sum\_\{J\; \backslash subseteq\; \backslash \{1,\; \backslash dots,\; n\backslash \},\; |J|=|I|\}\; (\backslash det\; A\_\{J,I\})\; (-1)^\{\backslash sum\; J\; +\; \backslash sum\; I\}\; (\backslash det\; A\_\{\backslash \{1,\; \backslash dots,\; n\backslash \}\; \backslash setminus\; J,\; \backslash \{1,\; \backslash dots,\; n\backslash \}\; \backslash setminus\; I\})$

여기서 $A\_\{I,J\}$는 행렬 $A$에서 행 인덱스 집합 $I$와 열 인덱스 집합 $J$에 해당하는 원소들로 이루어진 부분 행렬을 나타낸다. $\backslash sum\; I$는 집합 $I$에 속하는 모든 인덱스의 합을 의미한다.

행렬 $A\; \backslash in\; \backslash mathrm\{Mat\}(m,\; n;\; K)$가 계수 $r$를 가진다면, $r\; \backslash times\; r$ 크기의 정사각 소행렬 $A\_\{IJ\}\; \backslash in\; \backslash mathrm\{Mat\}(r;\; K)$가 존재하여 그 계수가 원래 행렬 $A$의 계수와 같고($\backslash mathrm\{rank\}(A\_\{IJ\})\; =\; \backslash mathrm\{rank\}(A)$), 그 행렬식이 0이 아닐 수 있다($\backslash det\; A\_\{IJ\}\; \backslash neq\; 0$).^[3] 이러한 소행렬은 가우스 소거법 등을 사용하여 찾을 수 있다.

정사각 소행렬의 행렬식을 소행렬식(minor determinant)이라고 부르며, 특히 주부분 행렬의 행렬식은 주 소행렬식(principal minor)이라고 한다. 정사각 행렬 $A$의 $(n-1)\; \backslash times\; (n-1)$ 소행렬, 즉 $i$행과 $j$열을 제외하여 만든 소행렬 $A\_\{ij\}$의 행렬식에 $(-1)^\{i+j\}$를 곱하면 여인자(cofactor) $\backslash tilde\{a\}\_\{ij\}$를 얻는다.

: $\backslash tilde\{a\}\_\{ij\}\; =\; (-1)^\{i+j\}\; \backslash det(A\_\{ij\})$

이 여인자들을 원소로 하는 행렬을 여인자 행렬 $\backslash tilde\{A\}\; =\; (\backslash tilde\{a\}\_\{ij\})$이라고 하며, 이는 행렬 $A$의 역행렬을 구하는 데 사용될 수 있다.

소행렬식은 행렬식을 계산하는 라플라스 전개나 두 행렬의 곱의 행렬식에 관한 비네-코시 정리 등 여러 중요한 정리에서 핵심적인 역할을 한다.

4. 2. 코시-비네 공식

가환환 $R$ 위의 $m\backslash times\; n$ 행렬 $A$ 및 $n\backslash times\; m$ 행렬 $B$에 대하여, $m\backslash le\; n$일 때 다음이 성립한다. 이를 코시-비네 공식(Cauchy–Binet formula)이라고 한다.

:$\backslash det(AB)=\backslash sum\_\{I\backslash subseteq\backslash \{1,\backslash dots,n\backslash \}\}^$

4. 3. 역행렬

가환환 $R$ 위의 $n\backslash times\; n$ 정사각 행렬 $A$의 '''고전적 수반 행렬''' $\backslash operatorname\{adj\}A$은 여인자 행렬의 전치 행렬이다. 가역 행렬 $A$의 역행렬은 고전적 수반 행렬과 행렬식을 통해 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$A^\{-1\}=\backslash frac\{1\}\{\backslash det\; A\}\backslash operatorname\{adj\}A$

행렬 $A\; \backslash in\; \backslash operatorname\{Mat\}(m,\; n;\; K)$가 계수 $r$을 가진다면, $r\; \backslash times\; r$ 크기의 정사각 소행렬 $A\_\{IJ\}\; \backslash in\; \backslash operatorname\{Mat\}(r;\; K)$가 존재하여 $\backslash operatorname\{rank\}(A\_\{IJ\})\; =\; \backslash operatorname\{rank\}(A)\; =\; r$이고 행렬식 $\backslash det(A\_\{IJ\})\; \backslash ne\; 0$을 만족한다^[3]. 이러한 소행렬은 예를 들어 가우스 소거법 등을 사용하여 찾을 수 있다. 정사각 소행렬의 행렬식은 '''소행렬식'''이라고 하며, 특히 주대각선 상의 원소들을 포함하는 주 소행렬의 행렬식은 주 소행렬식이라고 한다.

정사각 행렬 $A$의 $(i,\; j)$번째 소행렬 $A\_\{ij\}$(즉, $A$에서 $i$행과 $j$열을 제거하여 얻은 부분 행렬)의 행렬식에 교대 부호 $(-1)^\{i+j\}$를 곱하면, $A$의 $(i,\; j)$번째 '''여인자'''

: $\backslash tilde\{a\}\_\{ij\}\; =\; (-1)^\{i+j\}\; \backslash det(A\_\{ij\})$

를 얻는다. 이 여인자들을 성분으로 가지는 여인자 행렬 $\backslash tilde\{A\}\; :=\; (\backslash tilde\{a\}\_\{ij\})$의 전치 행렬이 바로 고전적 수반 행렬 $\backslash operatorname\{adj\}A$이며, 이를 이용하여 위 공식처럼 $A$의 역행렬을 계산할 수 있다. 또한, 행렬식 계산에 관한 라플라스 전개 정리나 두 행렬의 곱의 행렬식에 관한 비네-코시 정리 등에서도 소행렬식과 여인자는 중요한 역할을 한다.

4. 4. 양의 정부호성

에르미트 행렬 $A$에 대하여, 소행렬식을 이용하여 양의 정부호 행렬인지 판별할 수 있다. 다음 두 조건은 서로 동치이다.

• 행렬 $A$는 양의 정부호 행렬이다.
• 행렬 $A$의 모든 선행 주소행렬식(leading principal minors)이 양의 실수이다.

또한, 양의 준정부호 행렬인지 판별하는 조건은 다음과 같으며, 이 두 조건 역시 서로 동치이다.

• 행렬 $A$는 양의 준정부호 행렬이다.
• 행렬 $A$의 모든 주소행렬식(principal minors)이 음이 아닌 실수이다.

여기서 주소행렬식은 정사각 행렬에서 같은 번호의 행과 열들을 선택하여 만든 부분 정사각 행렬의 행렬식을 의미하며, 선행 주소행렬식은 특별히 행렬의 왼쪽 위 $1\; \backslash times\; 1$ 부분 행렬부터 시작하여 $k\; \backslash times\; k$ (여기서 $k$는 1부터 행렬의 크기까지) 부분 행렬들의 행렬식을 차례대로 의미한다.

4. 5. 행렬의 계수

크기가 ''m'' × ''n''인 행렬 ''A''가 계수 ''r''을 가진다면, 행렬 ''A''에는 계수가 ''r''이면서 행렬식이 0이 아닌 ''r'' × ''r'' 크기의 정사각 소행렬 ''A''_''IJ''가 반드시 존재한다^[3]。 즉, rank(''A''_''IJ'') = rank(''A'') = ''r'' 이고 det(''A''_''IJ'') ≠ 0인 소행렬 ''A''_''IJ''를 찾을 수 있다. 이러한 소행렬은 예를 들어 가우스 소거법과 같은 방법을 사용하여 계산할 수 있다.

정사각 소행렬의 행렬식은 소행렬식이라고 부르며, 특히 주대각선 상의 원소들을 포함하는 주 소행렬의 행렬식은 주 소행렬식이라고 한다. 정사각 행렬 ''A''에서 ''i''행과 ''j''열을 제외하고 만든 소행렬 ''A''_''ij''의 행렬식 det(''A''_''ij'')에 (-1)^''i''+''j''를 곱하면 여인자 $\backslash tilde\{a\}\_\{i\; j\}$를 얻는다.

: $\backslash tilde\{a\}\_\{i\; j\}\; =\; (-1)^\{i+j\}\; \backslash det(A\_\{i\; j\})$

이 여인자들을 성분으로 하는 여인자 행렬 $\backslash tilde\{A\}\; =\; (\backslash tilde\{a\}\_\{i\; j\})$은 행렬 ''A''의 역행렬을 구하는 데 사용될 수 있다.

또한, 소행렬식은 행렬식을 계산하는 라플라스 전개 정리나 두 행렬 곱의 행렬식에 관한 비네-코시 정리 등 다양한 행렬 이론에서 중요한 역할을 한다.

참조

_[1] 서적 Höhere Mathematik in Rezepten Springer Verlag 2014
_[2] 서적 Computer-Numerik 2
_[3] 서적 Lineare Algebra
_[4] 서적 Matrix computations https://archive.org/[...] The Johns Hopkins University Press 2013

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