근사 이론

3. 주요 근사 방법

주어진 함수를 근사하는 방법은 여러 가지이며, 각각 장단점과 적용 분야가 다르다. 주요 근사 방법은 다음과 같다.

• 다항식 근사: 다루기 쉽고 미적분 등 연산이 용이하여 가장 널리 사용되는 방법 중 하나이다. 스톤-바이어슈트라스 정리에 의해, 닫힌 구간에서 정의된 연속 함수는 다항식으로 근사할 수 있다.
• 테일러 급수: 테일러 전개를 이용하여 함수를 특정 점 근방에서 다항식으로 근사한다.
• 체비쇼프 근사: 체비쇼프 다항식을 이용하여 주어진 구간에서 오차의 최댓값을 최소화하는 다항식을 찾는다. 동요 정리에 따르면, 최적의 N차 다항식은 오차 곡선이 N+2번 +ε과 -ε 사이를 진동하게 만든다.^[8]
• 레메즈 알고리즘: 주어진 함수를 근사하는 최적의 다항식을 찾는 반복 알고리즘이다. 동요 정리에 의해 수렴하는 다항식이 최적임을 보장한다.
• 스톤-바이어슈트라스 정리: 콤팩트 집합 위에서 정의된 연속 함수는 다항식으로 균등하게 근사할 수 있다는 정리이다.^[8]

3. 1. 다항식 근사

3. 1. 1. 테일러 급수

• $e^x\backslash simeq\; 1+x+\backslash frac\{x^2\}\{2\}$
• $\backslash ln(1+x)\backslash simeq\; x-\backslash frac\{x^2\}\{2\}$
• $(1+x)^n\backslash simeq\; 1+nx+\backslash frac\{n(n-1)\}\{2\}x^2$
• $\backslash sin\; x\backslash simeq\; x$
• $\backslash cos\; x\backslash simeq\; 1-\backslash frac\{x^2\}\{2\}$

3. 1. 2. 체비쇼프 근사

3. 1. 3. 레메즈 알고리즘

3. 1. 4. 스톤-바이어슈트라스 정리

4. 무리수의 근사 (디오판토스 근사)

실수(특히 무리수)를 유리수로 근사하는 것은 디오판토스 근사로 알려져 있다.^[1] 예를 들어 원주율 $\backslash pi\; =\; 3.14159...$의 유리수에 의한 근사값으로, 고대 이집트에서는 256/81 = 3.16049..., 고대 바빌로니아에서는 25/8 = 3.125가 알려져 있었다.^[2] 아르키메데스는 다음 부등식을 증명했다.^[3]

디오판토스 근사는 연분수와 밀접한 관계가 있다.^[1]

5. 점근 전개

특수 함수 등의 함수의 거동은 종종 점근 전개에 의해 기술된다. 함수열 $\backslash \{\; \backslash varphi\_n\; \backslash \}\_\{n\; =\; 0\}^\backslash infty$가 점 $x\_0$에서의 점근 함수열이라는 것은, 모든 $n$에 대해

:$\backslash varphi\_\{n+1\}\; (\; x\; )\; =\; o\; (\; \backslash varphi\_n\; (\; x\; )\; )\; \backslash \; \backslash \; x\; \backslash to\; x\_0$

가 성립하는 것을 말한다(점 $x\_0$으로는 무한대 $x\_0\; =\; \backslash infty$여도 좋다)^[4]。어떤 함수 $f$의 점 $x\_0$에서의 (광의의) 점근 급수는, 형식 급수 $\backslash sum\_\{n\; =\; 0\}^\backslash infty\; a\_n\; \backslash varphi\_n\; (\; x\; )$로 모든 $k$에 대해

:$f\; (\; x\; )\; -\; \backslash sum\_\{n\; =\; 0\}^k\; a\_n\; \backslash varphi\_n\; (\; x\; )\; =\; o\; \backslash left(\; \backslash varphi\_k\; (\; x\; )\; \backslash right)$

를 만족하는 것을 말한다^[4]。이 때

:$f\; (\; x\; )\; \backslash sim\; \backslash sum\_\{n\; =\; 0\}^\backslash infty\; a\_n\; \backslash varphi\_n\; (\; x\; )$

로 표기한다^[4]。

점근 급수는 일반적으로는 발산 급수여도 좋으며, 종종 그 유한항의 합이 원래의 함수 $f\; (\; x\; )$를 잘 근사한다^[5]。예를 들어 함수

:$f\; (\; x\; )\; =\; x\; \backslash int\_0^\backslash infty\; \backslash frac\{\; e^\{-\; t\}\; \}\{\; x\; +\; t\; \}\; dt$

는 $x\; \backslash to\; \backslash infty$에서 스틸체스 급수를 점근 전개로 가진다^[6]。

:$f\; (\; x\; )\; \backslash sim\; \backslash sum\_\{n\; =\; 0\}^\backslash infty\; (\; -\; 1\; )^n\; n!\; x^n$

$f\; (\; 10\; )$의 값은 스틸체스 급수의 제9항까지의 합으로 오차 $3.6\; \backslash times\; 10^\{-4\}$로 평가할 수 있다^[7]。단, 스틸체스 급수는 발산 급수이며, 더 많은 합을 계산하면 오히려 오차가 증대한다^[7]。

6. 상미분 방정식의 근사 해법

상미분 방정식의 근사 해를 구하는 방법에는 섭동 이론, 경계층 이론, WKB 근사, 복합 스케일 해석 등이 있다. 섭동 이론은 일반적인 경우에 사용되지만, 최고차 미분항의 계수가 미소 파라미터인 경우 특이 섭동 문제로 인해 적용하기 어렵다. 경계층 이론은 해석 대상 영역에 따라 유효한 근사 방정식이 다른 경우에 적용되며, 각 영역에서 경계 조건을 만족하는 근사 해를 구성하고 점근적으로 연결하여 전체 해를 구한다. WKB 근사는 특정 형태의 2계 상미분 방정식에서 계수의 변화가 완만할 때 지수 함수 형태의 근사 해를 이용하는 방법이다. 복합 스케일 해석은 여러 시간 스케일을 갖는 문제에서 각 스케일에 대응하는 변수를 도입하여 특이 섭동 문제를 해결한다.

6. 1. 섭동 이론

6. 2. 경계층 이론

6. 3. WKB 근사

6. 4. 복합 스케일 해석

7. 관련 학술지

• 근사 이론 저널
• 구성적 근사
• 동부 근사 저널

참조

_[1] 문서 Hensley, p. 13.
_[2] 문서 中村, pp. 51-52.
_[3] 문서 中村, pp. 53-54.
_[4] 문서 柴田, p. 33.
_[5] 문서 柴田, p. 22.
_[6] 문서 柴田, p. 23.
_[7] 문서 柴田, pp. 24-25.
_[8] 문서 Gil, Segura & Temme, p. 55.
_[9] 문서 Gil, Segura & Temme, p. 51.
_[10] 문서 Gil, Segura & Temme, p. 54.
_[11] 문서 Gil, Segura & Temme, p. 63.
_[12] 웹사이트 FUNCTION APPROXIMATION AND THE REMEZ ALGORITHM https://abiy-tasissa[...] 2021-01-22
_[13] 간행물 浜田望：「コンピューティングの玉手箱(80) ルメの最良近似アルゴリズム」、共立出版「bit」、vol.23,no.9, pp.1286-1287 (1991年8月号)
_[14] 문서 Gil, Segura & Temme, p. 62.
_[15] 서적 Numerical Recipes in C: The Art of Scientific Computing Cambridge University Press 1992
_[16] 문서 柴田, p. 86.
_[17] 문서 柴田, p. 89.
_[18] 문서 柴田, p. 90.
_[19] 문서 柴田, p. 125.
_[20] 문서 柴田, pp. 124-125.
_[21] 문서 柴田, p. 120.
_[22] 문서 柴田, p. 126.
_[23] 문서 柴田, p. 151.
_[24] 문서 柴田, pp. 154-158.
_[25] 문서 柴田, pp. 151, 167-174.