체비쇼프 다항식

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1. 개요

체비쇼프 다항식은 실수 n차 다항식으로, 재귀적 정의, 삼각 함수 정의, 극값 특성, 최소 상한 노름 등 여러 가지 동치 조건을 만족한다. 제1종 및 제2종 체비쇼프 다항식이 있으며, 삼각 함수 정의를 통해 유도되거나 재귀 관계를 통해 생성된다. 이 다항식들은 다양한 명시적 표현과 성질을 가지며, 특히 직교성을 통해 수치 해석 및 근사 이론에서 활용된다. 체비쇼프 보간법, 켤레 기울기법, 가우스-체비쇼프 공식 등 다양한 응용 분야에 사용되며, 짝수 차수 수정 체비쇼프 다항식과 같은 변형도 존재한다.

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체비쇼프 다항식
개요
종류	직교 다항식
변수	x
기호	Tₙ(x) 또는 Uₙ(x)
정의	Tₙ(cos θ) = cos(nθ) Uₙ(cos θ) = sin((n+1)θ) / sin θ
제1종 체비쇼프 다항식
기호	Tₙ(x)
재귀 관계	T₀(x) = 1, T₁(x) = x, Tₙ₊₁(x) = 2xTₙ(x) - Tₙ₋₁(x)
직교성	∫₋₁¹ Tₘ(x)Tₙ(x) / √(1-x²) dx = 0 (m ≠ n)
가중 함수	1 / √(1-x²)
로드리게스 공식	Tₙ(x) = (-1)ⁿ √(1-x²) / ( (2n-1)!! ) * dⁿ/dxⁿ (1-x²)^(n-1/2)
삼각 함수 정의	Tₙ(cos θ) = cos(nθ)
제2종 체비쇼프 다항식
기호	Uₙ(x)
재귀 관계	U₀(x) = 1, U₁(x) = 2x, Uₙ₊₁(x) = 2xUₙ(x) - Uₙ₋₁(x)
직교성	∫₋₁¹ Uₘ(x)Uₙ(x) √(1-x²) dx = 0 (m ≠ n)
가중 함수	√(1-x²)
로드리게스 공식	Uₙ(x) = ((-1)ⁿ (n+1) √(1-x²)) / ( (2n+1)!! ) * dⁿ/dxⁿ (1-x²)^(n+1/2)
삼각 함수 정의	Uₙ(cos θ) = sin((n+1)θ) / sin θ
성질
영점	Tₙ(x): cos((2k-1)π / (2n)) (k = 1, 2, ..., n) Uₙ(x): cos(kπ / (n+1)) (k = 1, 2, ..., n)
극값	Tₙ(x): cos(kπ / n) (k = 0, 1, ..., n)
범위	[-1, 1] (x ∈ [-1, 1])
모 함수	Tₙ(x): (1 - tx) / (1 - 2tx + t²) = Σₙ Tₙ(x) tⁿ Uₙ(x): 1 / (1 - 2tx + t²) = Σₙ Uₙ(x) tⁿ

2. 정의

실수 n차 다항식 T_n에 대하여 다음 조건들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 T_n을 n차 '''체비쇼프 다항식'''이라고 한다.

(최소 상한 노름) $\frac{1}{2^{n-1}}\max_{x\in[-1,1]}|\operatorname T_n(x)|=\min_{f\in\mathrm{Mon}(n;\mathbb R)}\max_{x\in[-1,1]}|f(x)|$
T_n은 (-1, 1)에서 서로 다른 n개의 실근을 가지며, [-1, 1]에서 절댓값이 서로 같은 n+1개의 극값을 갖는다.

제1종 체비쇼프 다항식 T_n(x)는 다음을 만족하는 유일한 다항식으로 정의할 수 있다.

:

T_n(x) = \begin{cases}\cos(n \arccos x) & \text{ if }~ |x| \le 1 \\\cosh(n \operatorname{arcosh} x) & \text{ if }~ x \ge 1 \\(-1)^n \cosh(n \operatorname{arcosh}(-x) ) & \text{ if }~ x \le -1\end{cases}

제2종 체비쇼프 다항식은 다음을 만족한다.

:

U_{n-1}(\cos\theta) \sin\theta = \sin(n\theta)

또는

:

U_n(\cos\theta) = \frac{\sin\big((n+1)\,\theta\big)}{\sin\theta}

이는 디리클레 커널 D_n(x)와 구조적으로 매우 유사하다.

:

D_n(x) = \frac{\sin\left((2n+1)\dfrac{x}{2}\,\right)}{\sin \dfrac{x}{2}} = U_{2n}\!\!\left(\cos \frac{x}{2}\right)

복소수의 지수화를 이용하면 다음과 같이 표현할 수도 있다. 절댓값이 1인 복소수 z = a + bi가 주어졌을 때,

:

z^n = T_n(a) + ib U_{n-1}(a)

체비쇼프 다항식은 상미분 방정식 (체비쇼프의 미분 방정식)을 만족한다.^[23]

:

(1-x^2)\,y'' - x\,y' + n^2\,y = 0\quad\text{ for }y=T_n(x)

:

(1-x^2)\,y'' - 3x\,y' + n(n+2)\,y = 0\quad\text{ for }y=U_n(x)

2. 1. 재귀적 정의

제1종 체비쇼프 다항식은 다음 점화 관계로부터 얻어진다.

:

T_0(x) = 1

:

T_1(x) = x

:

T_{n+1}(x) = 2xT_n(x) - T_{n-1}(x)

이 점화 관계는 k × k 크기의 삼대각 행렬의 행렬식으로 명시적으로 나타낼 수 있다.

:

T_k(x) = \begin{bmatrix}x & 1 & 0 & \cdots & 0 \\1 & 2x & 1 & \ddots & \vdots \\0 & 1 & 2x & \ddots & 0 \\\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 1 \\0 & \cdots & 0 & 1 & 2x\end{bmatrix}

T_n

에 대한 일반 생성 함수는 다음과 같다.

:

\sum_{n=0}^{\infty}T_n(x)t^n = \frac{1-tx}{1-2tx+t^2}

체비쇼프 다항식에 대한 다른 몇 가지 생성 함수가 있으며, 지수 생성 함수는 다음과 같다.

:

\sum_{n=0}^{\infty}T_n(x)\frac{t^n}{n!} = \frac{1}{2}\left( e^{t\left(x-\sqrt{x^2 - 1} \right)} + e^{t\left(x+\sqrt{x^2 -1}\right)}\right) = e^{tx}\cosh\left(t\sqrt{x^2-1}\right)

2차원 전위 이론 및 원통형 다중극 전개와 관련된 생성 함수는 다음과 같다.

:

\sum\limits_{n=1}^{\infty}T_{n}(x)\frac{t^n}{n} = \ln\left( \frac{1}{\sqrt{ 1 - 2tx + t^2 }}\right)

제2종 체비쇼프 다항식은 다음 점화 관계로 정의된다.

:

U_0(x) = 1

:

U_1(x) = 2x

:

U_{n+1}(x) = 2xU_n(x) - U_{n-1}(x)

두 점화 관계는

T_1(x) = x

와

U_1(x) = 2x

를 제외하고 동일하다.

U_n

에 대한 일반 생성 함수는 다음과 같다.

:

\sum_{n=0}^{\infty}U_n(x)t^n = \frac{1}{1 - 2tx+t^2}

그리고 지수 생성 함수는 다음과 같다.

:

\sum_{n=0}^{\infty}U_n(x)\frac{t^n}{n!} = e^{tx}\left(\cosh\left(t\sqrt{x^2-1}\right) + \frac{x}{\sqrt{x^2-1}} \sinh\left(t\sqrt{x^2-1}\right)\right)

2. 2. 삼각 함수 정의

$n$차 체비쇼프 다항식 $\operatorname T_n(x)$는 항등식 $\operatorname T_n(\cos\theta)=\cos n\theta$를 만족한다.

드 무아브르 공식에 따르면 $\cos nx$는 $\cos x$의 $n$차 다항식으로 표현된다. 즉, $\cos n\theta + i\sin n\theta = (\cos\theta + i\sin\theta)^n$에서 우변의 실수 부분은 $\cos x$와 $\sin x$에 대한 다항식이다. 이때 $\sin x$의 모든 거듭제곱은 짝수이므로 항등식 $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$을 이용해 $\cos x$에 대한 다항식으로 바꿀 수 있다. 마찬가지로 $\sin nx$는 $\sin x$를 인수로 가지는 다항식의 허수 부분이며, $\sin x$의 홀수 거듭제곱을 묶어 정리하면 $\cos x$에 대한 $(n-1)$차 다항식을 얻을 수 있다.^[4]

2. 3. 교환 다항식 정의

체비쇼프 다항식은 다음 정리에 의해서도 특징지을 수 있다.^[5]

만약

F_n(x)

가 표수가 0인 체에 속하는 계수를 가지는 모닉 다항식들의 족이고,

\deg F_n(x) = n

이며 모든

m

과

n

에 대해

F_m(F_n(x)) = F_n(F_m(x))

이면, 간단한 변수 변환을 통해 모든

n

에 대해

F_n(x) = x^n

이거나 모든

n

에 대해

F_n(x) = 2\cdot T_n(x/2)

이다.

2. 4. 펠 방정식 정의

체비쇼프 다항식은 다음의 펠 방정식의 해로 정의될 수 있다.^[6]

:

환 에서 이다. 따라서, 기본 해의 거듭제곱을 취하는 펠 방정식에 대한 표준 기법에 의해 생성될 수 있다.

:

3. 종류

체비쇼프 다항식에는 제1종 체비쇼프 다항식 $T_n(x)$와 제2종 체비쇼프 다항식 $U_n(x)$가 있다. 이들은 서로 밀접하게 연관되어 있으며, 루카스 수열로 표현할 수 있다.

제1종 체비쇼프 다항식 $T_n(x)$는 다음의 재귀적 정의를 갖는다.

$T_0(x) = 1$
$T_1(x) = x$
$T_n(x) = 2xT_{n-1}(x) - T_{n-2}(x)$

또한, 삼각함수를 이용하여 다음과 같이 정의할 수도 있다.

$T_n(\cos \theta) = \cos n\theta$

제2종 체비쇼프 다항식 $U_n(x)$는 제1종 체비쇼프 다항식과의 관계를 통해 다음과 같이 표현할 수 있다.

$T_{n+1}(x) = xT_n(x) - (1 - x^2)U_{n-1}(x)$
$U_{n+1}(x) = xU_n(x) + T_{n+1}(x)$

이 두 식을 이용하면 $T_n(x)$를 $U_n(x)$로, 또는 그 반대로 표현할 수 있다. 예를 들어, 다음 식이 성립한다.

$T_n(x) = \frac{1}{2}(U_n(x) - U_{n-2}(x))$

체비쇼프 다항식은 초기하 함수로도 표현 가능하다.^[24] 또한, 게겐바우어 다항식의 특수한 경우이기도 하다.

4. 성질

체비쇼프 다항식은 다음과 같은 성질을 갖는다.

대칭성: 짝수 차수의 체비쇼프 다항식은 우함수이고, 홀수 차수의 체비쇼프 다항식은 기함수이다. 즉,

:

T_n(-x) = (-1)^n T_n(x)

:이다. 따라서 짝수 차수 다항식은 x의 짝수 거듭제곱만 포함하고, 홀수 차수 다항식은 x의 홀수 거듭제곱만 포함한다.

근과 극값: n차 제1종 체비쇼프 다항식 $T_n(x)$ 는 구간 [-1, 1]에서 '체비쇼프 근'이라고 불리는 n개의 서로 다른 단순 근을 갖는다. 이 근들은 체비쇼프 노드라고도 불리며, 다항식 보간법에서 노드로 사용된다. $T_n(x)$ 의 근은 다음과 같다.

:

x_k = \cos\left(\frac{\pi(k+1/2)}{n}\right),\quad k=0,\ldots,n-1.

:마찬가지로, 제2종 체비쇼프 다항식

U_n(x)

의 근은 다음과 같다.

:

x_k = \cos\left(\frac{k}{n+1}\pi\right),\quad k=1,\ldots,n.

:구간 [-1, 1]에서

T_n(x)

의 극값은 다음과 같은 위치에 있다.

:

x_k = \cos\left(\frac{k}{n}\pi\right),\quad k=0,\ldots,n.

:제1종 체비쇼프 다항식의 특징은 구간 [-1, 1]에서 모든 극값이 -1 또는 1이라는 것이다. 이는 샤바트 다항식의 정의적 속성이다.

미분과 적분: 체비쇼프 다항식의 도함수와 적분은 다음과 같이 표현될 수 있다.

:

\begin{align}\frac{\mathrm{d}T_n}{\mathrm{d}x} &= n U_{n - 1} \\\int T_n\, \mathrm{d}x &= \frac{1}{2}\,\left(\frac{T_{n + 1}}{n + 1} - \frac{T_{n - 1}}{n - 1}\right) = \frac{n\,T_{n + 1}}{n^2 - 1} - \frac{x\,T_n}{n - 1}.\end{align}

곱: 제1종 체비쇼프 다항식은 다음과 같은 곱 공식을 만족한다.^[31]

:

T_m(x)\,T_n(x) = \tfrac{1}{2}\!\left(T_{m+n}(x) + T_

(x)\right)\!,\qquad \forall m,n \ge 0,

:이 공식은 코사인의 곱을 합으로 바꾸는 공식으로 증명할 수 있다.

합성: 제1종 체비쇼프 다항식은 합성 연산에 대해 교환적이다. 즉,^[14]

:

T_{mn}(x) = T_m(T_n(x)) = T_n(T_m(x))

:가 성립한다.

최소 ∞-노름: 주어진 $n \ge 1$ 에 대해, 최고차항 계수가 1인 $n$ 차 모닉 다항식 중에서

:

f(x) = \frac{1}{\,2^{n-1}\,}\,T_n(x)

:는 구간 [-1, 1]에서 절댓값의 최댓값(∞-노름)이

\frac{1}{2^{n-1}}

로 최소이다.

다른 다항식과의 관계:
게겐바우어 다항식 $C_n^{(\lambda)}(x)$ 의 특수한 경우이다.^[24]
야코비 다항식 $P_n^{(\alpha,\beta)}(x)$ 의 특수한 경우이다.
딕슨 다항식의 특별한 경우이다.

이 외에도 체비쇼프 다항식은 다양한 성질을 가지며, 수치해석, 근사 이론, 미분 방정식 등 다양한 분야에서 활용된다.

4. 1. 직교성

체비쇼프 다항식은 주어진 구간 및 가중치 함수에 대해 직교성을 갖는다.

제1종 체비쇼프 다항식

T_n(x)

는 구간 [-1, 1]에서 가중치 함수

\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}

에 대해 직교한다. 즉, 다음이 성립한다.

:

\int_{-1}^1 T_n(x)T_m(x)\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}} =\begin{cases}0             & \text{ if } n \ne m, \\\pi           & \text{ if } n=m=0, \\\frac{\pi}{2} & \text{ if } n=m \ne 0.\end{cases}

^[27]

이는

x = \cos \theta

로 두고,

T_n(\cos \theta) = \cos(n\theta)

를 사용하여 증명할 수 있다.

제2종 체비쇼프 다항식

U_n(x)

는 구간 [-1, 1]에서 가중치 함수

\sqrt{1-x^2}

에 대해 직교한다. 즉, 다음이 성립한다.

:

\int_{-1}^1 U_n(x)U_m(x)\sqrt{1-x^2} \mathrm{d}x =\begin{cases}0             & \text{ if } n \ne m, \\\frac{\pi}{2} & \text{ if } n = m.\end{cases}

^[28]

(측도

\sqrt{1-x^2}\mathrm{d}x

는 정규화 상수를 제외하면 위그너 반원 분포이다.)

이러한 직교성은 체비쇼프 다항식이 슈트름-리우빌 문제의 해이기 때문에 발생한다.

T_n(x)

은 이산 직교 조건도 만족한다.

N

이

i

와

j

보다 큰 정수이고,

x_k

가

T_N(x)

의

N

개의 체비쇼프 노드

:

x_k = \cos\left(\pi\frac{2k+1}{2N}\right) \quad \text{ for } k = 0, 1, \dots, N-1.

일 때, 다음이 성립한다.

:

\sum_{k=0}^{N-1}{T_i(x_k)T_j(x_k)} =\begin{cases}0           & \text{ if } i \ne j, \\N           & \text{ if } i = j = 0, \\\frac{N}{2} & \text{ if } i = j \ne 0.\end{cases}

^[29]

이 성질은 체비쇼프 보간법에서 유용하다.^[30]

U_N(x)

의

N

개의 영점

:

y_k = \cos\left(\pi\frac{k+1}{N+1}\right) \quad \text{ for } k=0, 1, \dots, N-1,

을 기반으로 하는 경우에도 유사한 이산 직교성이 성립한다.

4. 2. 대칭성

짝수 차수의 체비쇼프 다항식은 짝함수이며, 홀수 차수의 체비쇼프 다항식은 홀함수이다.

:

T_n(-x)=(-1)^n T_n(x)

즉, 짝수 차수의 체비쇼프 다항식은 우함수이므로 ''x''의 짝수 거듭제곱만 포함한다. 홀수 차수의 체비쇼프 다항식은 기함수이므로 ''x''의 홀수 거듭제곱만 포함한다.

4. 3. 근과 극값

n^영어차 체비쇼프 다항식 T_n^영어은 닫힌구간 -1,1에서 n^영어개의 서로 다른 근을 가지며, 이들은 다음과 같다.

:x_k^la=cos(2k-1)π/2n^영어 (k^영어∈{1,2,...,n^영어})

제1종 체비쇼프 다항식의 근은 다항식 보간법에서 노드로 사용되기 때문에 때때로 체비쇼프 노드라고 불리며, 삼각 함수 정의를 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:cos((2k^영어+1)π/2)=0

:x_k^영어 = cos(π(k^영어+1/2)/n^영어), k^영어=0,...,n^영어-1.

마찬가지로, 제2종 체비쇼프 다항식 U_n^영어의 근은 다음과 같다.

:x_k^영어 = cos(k^영어/(n^영어+1)π), k^영어=1,...,n^영어.

구간 -1 ≤ x^영어 ≤ 1에서 T_n^영어의 극값은 다음과 같은 위치에 있다.

:x_k^영어 = cos(k^영어/n^영어π), k^영어=0,...,n^영어.

제1종 체비쇼프 다항식의 고유한 특징은 구간 -1 ≤ x^영어 ≤ 1에서 모든 극값이 -1 또는 1의 값을 갖는다는 것이다. 따라서 이러한 다항식은 두 개의 유한한 임계값만 가지며, 이는 샤바트 다항식의 정의적 속성이다. 제1종 및 제2종 체비쇼프 다항식 모두 끝점에서 극값을 갖는다.^[11]^[12]^[25]

:T_n(1)^영어 = 1

:T_n(-1)^영어 = (-1)^{n^영어}

:U_n(1)^영어 = n^영어+1

:U_n(-1)^영어 = (-1)^{n^영어} (n^영어+1).

T_n(x)^영어의 구간 -1 ≤ x^영어 ≤ 1에서의 극값은 n^영어>0일 때 n^영어+1개의 x^영어 값에 위치한다. 그것들은 ± 1 또는 cos(2πk^영어/d^영어)이며, 여기서 d^영어 > 2, d^영어는 2n^영어의 약수, 0 < k^영어 < d^영어/2이고 (k^영어, d^영어) = 1(즉, k^영어와 d^영어는 서로소)이다.

구체적으로, n^영어이 짝수일 때:^[12]

T_n(x)^영어 = 1 (x^영어 = ±1이거나 d^영어 > 2이고 2n^영어/d^영어가 짝수). 그런 x^영어 값은 n^영어/2 + 1개이다.
T_n(x)^영어 = -1 (d^영어 > 2이고 2n^영어/d^영어가 홀수). 그런 x^영어 값은 n^영어/2개이다.

n^영어이 홀수일 때:^[12]

T_n(x)^영어 = 1 (x^영어 = 1이거나 d^영어 > 2이고 2n^영어/d^영어가 짝수). 그런 x^영어 값은 (n^영어+1)/2개이다.
T_n(x)^영어 = -1 (x^영어 = -1이거나 d^영어 > 2이고 2n^영어/d^영어가 홀수). 그런 x^영어 값은 (n^영어+1)/2개이다.

이 결과는 U_n(x)^영어 ± 1 = 0의 해, 그리고 제3종과 제4종 체비쇼프 다항식에 대한 V_n(x)^영어 ± 1 = 0 및 W_n(x)^영어 ± 1 = 0으로 일반화되었다.^[13]

제1종 체비쇼프 다항식 T_n(x)^영어는 구간 (-1, +1)에 n^영어개의 영점(체비쇼프 노드)을 갖는다.^[25]

:x_k^영어 = cos(2k^영어+1)/2n^영어π (k^영어 = 0, 1, ..., n^영어-1)

T_n(x)^영어 (n^영어 ≥ 1)는 구간 -1, +1에 n^영어+1개의 극값점을 가지며(그 중 두 점은 구간의 양 끝점), 그 좌표는 다음과 같다.^[25]

:x'_k^영어 = cosk^영어π/n^영어 (k^영어 = 0, 1, ..., n^영어)

또한 그 극점값은 T_n(x'_k)^영어 = (-1)^{k^영어}를 만족한다.^[25] 따라서 체비쇼프 다항식의 구간 -1, +1에서의 균등 노름은 1이다.

4. 4. 미분과 적분

Chebyshev polynomials^영어의 도함수는 간단하지 않을 수 있다. 다항식을 삼각 함수 형태로 미분하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

\begin{align}\frac{\mathrm{d}T_n}{\mathrm{d}x} &= n U_{n - 1} \\\frac{\mathrm{d}U_n}{\mathrm{d}x} &= \frac{(n + 1)T_{n + 1} - x U_n}{x^2 - 1} \\\frac{\mathrm{d}^2 T_n}{\mathrm{d}x^2} &= n\, \frac{n T_n - x U_{n - 1}}{x^2 - 1} = n\, \frac{(n + 1)T_n - U_n}{x^2 - 1}.\end{align}

마지막 두 공식은 $x = 1$과 $x = -1$에서 0으로 나누기(구체적으로 $\frac{0}{0}$ 부정형) 때문에 수치적으로 문제가 될 수 있다. 로피탈의 정리에 따르면 다음과 같다.

:

\begin{align}\left. \frac{\mathrm{d}^2 T_n}{\mathrm{d}x^2} \right|_{x = 1} \!\! &= \frac{n^4 - n^2}{3}, \\\left. \frac{\mathrm{d}^2 T_n}{\mathrm{d}x^2} \right|_{x = -1} \!\! &= (-1)^n \frac{n^4 - n^2}{3}.\end{align}

더 일반적으로, 다음이 성립한다.

:

\left.\frac{\mathrm{d}^p T_n}{\mathrm{d}x^p} \right|_{x = \pm 1} \!\! = (\pm 1)^{n+p}\prod_{k=0}^{p-1}\frac{n^2-k^2}{2k+1}~,

이는 고유값 문제의 수치적 해법에 매우 유용하다.

또한 다음이 성립한다.

:

\frac{\mathrm{d}^p}{\mathrm{d}x^p}\,T_n(x) = 2^p\,n\mathop\frac{\left(\frac{n+p+k}{2}-1\right)!}{\left(\frac{n-p+k}{2}\right)!}\,T_k(x),~\qquad p \ge 1,

여기서 합산 기호의 프라임은 $k = 0$에 의해 기여된 항이 나타나면 절반으로 줄여야 함을 의미한다.

적분에 관하여, $T_n$의 첫 번째 도함수는 다음을 의미한다.

:

\int U_n\, \mathrm{d}x = \frac{T_{n + 1}}{n + 1}

그리고 도함수를 포함하는 제1종 다항식에 대한 점화 관계는 $n \ge 2$에 대해 다음을 설정한다.

:

\int T_n\, \mathrm{d}x = \frac{1}{2}\,\left(\frac{T_{n + 1}}{n + 1} - \frac{T_{n - 1}}{n - 1}\right) = \frac{n\,T_{n + 1}}{n^2 - 1} - \frac{x\,T_n}{n - 1}.

마지막 공식은 $T_n$의 적분을 제1종 체비쇼프 다항식의 함수로 표현하기 위해 추가로 조작할 수 있다.

:

\begin{align}\int T_n\, \mathrm{d}x &= \frac{n}{n^2 - 1} T_{n + 1} - \frac{1}{n - 1} T_1 T_n \\&= \frac{n}{n^2 - 1}\,T_{n + 1} - \frac{1}{2(n - 1)}\,(T_{n + 1} + T_{n - 1}) \\&= \frac{1}{2(n + 1)}\,T_{n + 1} - \frac{1}{2(n - 1)}\,T_{n - 1}.\end{align}

또한 다음이 성립한다.

:

\int_{-1}^1 T_n(x)\, \mathrm{d}x =\begin{cases}\frac{(-1)^n + 1}{1 - n^2} & \text{ 만약 }~ n \ne 1 \\0                          & \text{ 만약 }~ n = 1.\end{cases}

4. 5. 체비쇼프 다항식의 곱

제1종 체비쇼프 다항식은 다음 관계를 만족한다.^[31]

:

이 관계는 코사인의 곱을 합으로 바꾸는 공식으로부터 쉽게 증명된다.

제2종 체비쇼프 다항식은 유사한 관계를 만족한다.

4. 6. 합성 및 나눗셈 성질

''T''_''n''^영어과 ''U''_''n''^영어의 삼각함수 정의는 다음과 같은 합성 또는 중첩 속성을 갖는다.^[14]

:T_mn(x)^영어 = T_m(T_n(x))^영어

:U_mn-1(x)^영어 = U_m-1(T_n(x))U_n-1(x)^영어

''T''_''mn''^영어의 경우, 합성 순서를 바꿀 수 있어 다항식 함수족 ''T''_''n''^영어은 합성에 대해 교환적반군을 이룬다.

''T''_''m''(''x'')^영어는 m이 홀수일 경우 x로 나누어지므로, m이 홀수일 경우 ''T''_''mn''(''x'')^영어는 ''T''_''n''(''x'')^영어로 나누어진다. 또한, ''U''_''mn''−1(''x'')^영어는 ''U''_''n''−1(''x'')^영어로 나누어지며, m이 짝수인 경우 ''T''_''n''(''x'')''U''_''n''−1(''x'')^영어로 나누어진다.

4. 7. 최소 ∞-노름

주어진

n \ge 1

에 대해, 최고차항 계수가 1인

n

차 모닉 다항식들 중에서,

:

f(x) = \frac{1}{\,2^{n-1}\,}\,T_n(x)

구간

[-1, 1]

에서 절댓값의 최댓값이 최소인 다항식이다.

이 최댓값은

\frac{1}{2^{n-1}}

이며,

|f(x)|

는 다음 지점에서 정확히

n+1

번 이 최댓값에 도달한다.

:

x = \cos \frac{k\pi}{n}\quad\text{for }0 \le k \le n.

등요동 정리에 따르면, 차수가

n

이하인 모든 다항식 중에서 다항식

f

는

[-1, 1]

에서

\infty

-노름을 최소화한다.

4. 8. 다른 다항식과의 관계

체비쇼프 다항식은 게겐바우어 다항식

C_n^{(\lambda)}(x)

의 특수한 경우이며, 이는 다시 야코비 다항식

P_n^{(\alpha,\beta)}(x)

의 특수한 경우이다.

:

T_n(x) = \frac{n}{2} \lim_{q \to 0}  \frac{1}{q}\,C_n^{(q)}(x) \qquad ~\text{ 만약 }~ n \ge 1,

:

=\frac{1}{\binom{n-\frac{1}{2}}{n}} P_n^{\left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right)}(x) = \frac{2^{2n}}{\binom{2n}{n}} P_n^{\left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right)}(x)~,

:

U_n(x)  = C_n^{(1)}(x)

:

=\frac{n+1}{\binom{n+\frac{1}{2}}{n}} P_n^{\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)}(x) = \frac{2^{2n+1}}{\binom{2n+2}{n+1}} P_n^{\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)}(x)~.

체비쇼프 다항식은 딕슨 다항식의 특별한 경우이기도 하다.

:

D_n(2x\alpha,\alpha^2)= 2\alpha^{n}T_n(x) \,

:

E_n(2x\alpha,\alpha^2)= \alpha^{n}U_n(x). \,

특히,

\alpha=\tfrac{1}{2}

일 때,

D_n(x,\tfrac{1}{4}) = 2^{1-n}T_n(x)

와

E_n(x,\tfrac{1}{4}) = 2^{-n}U_n(x)

의 관계를 가진다.

체비쇼프 다항식은 게겐바우어 다항식의 특수한 경우이다.^[24]

:

T_n ( x ) = \frac{ n }{ 2 } \lim_{\nu \to 0} \Gamma ( \nu ) C_n^{(\nu)} ( x )

특히,

T_n

은

n

차 다항식이며, 최고차항의 계수는

n \geq 1

일 때

2^{n - 1}

이다.^[25] 또한 우기성을 갖는다.

:

T_n ( - x ) = ( - 1 )^n T_n ( x )

^[26]

5. 명시적 표현

제1종 체비쇼프 다항식은 다음 점화 관계로부터 얻어진다.^[4]

: $\begin{align}T_0(x) & = 1 \\T_1(x) & = x \\T_{n+1}(x) & = 2 x\,T_n(x) - T_{n-1}(x).\end{align}$

이 점화 관계는 삼대각 행렬의 행렬식으로 나타낼 수 있다.

제2종 체비쇼프 다항식은 다음 점화 관계로 정의된다.

: $\begin{align}U_0(x) & = 1 \\U_1(x) & = 2 x \\U_{n+1}(x) & = 2 x\,U_n(x) - U_{n-1}(x).\end{align}$

제1종 체비쇼프 다항식은 다음을 만족하는 고유한 다항식으로 정의할 수 있다.

: $T_n(x) = \begin{cases}\cos(n \arccos x) & \text{ if }~ |x| \le 1 \\\cosh(n \operatorname{arcosh} x) & \text{ if }~ x \ge 1 \\(-1)^n \cosh(n \operatorname{arcosh}(-x) ) & \text{ if }~ x \le -1\end{cases}$

다른 표현으로,

: $T_n(\cos\theta) = \cos(n\theta)$

를 만족하는 고유한 다항식이다. (단, )

제2종 다항식은 다음을 만족한다.

: $U_{n-1}(\cos\theta) \sin\theta = \sin(n\theta),$

또는

: $U_n(\cos\theta) = \frac{\sin\big((n+1)\,\theta\big)}{\sin\theta},$

복소수의 지수화를 이용하면 다음과 같다. 절댓값이 1인 복소수 에 대해,

: $z^n = T_n(a) + ib U_{n-1}(a).$

체비쇼프 다항식은 삼각 다항식을 연구할 때 이 형태로 정의될 수 있다.^[4]

삼각 함수 정의에 의한 명시적 공식은 다음과 같다.

: $\begin{align}T_n(x) & = \begin{cases}\cos(n\arccos x) \qquad \quad & \text{ for }~ -1 \le x \le 1 \\\cosh(n \operatorname{arcosh}x) \qquad \quad & \text{ for }~ 1 \le x \\(-1)^n \cosh\big(n \operatorname{arcosh}(-x)\big) \qquad \quad & \text{ for }~ x \le -1\end{cases}\end{align}$

체비쇼프 다항식의 복소수 지수 정의를 사용하면 다음 표현식을 얻을 수 있다.

: $T_n(x) = \dfrac{1}{2} \bigg( \Big(x-\sqrt{x^2-1} \Big)^n + \Big(x+\sqrt{x^2-1} \Big)^n \bigg) \qquad \text{ for }~ x \in \mathbb {R}$

: $T_n(x) = \dfrac{1}{2} \bigg( \Big(x-\sqrt{x^2-1} \Big)^n + \Big(x-\sqrt{x^2-1} \Big)^{-n} \bigg) \qquad \text{ for }~ x \in \mathbb {R}$

두 표현식은 $(x + \sqrt{x^2 - 1})(x - \sqrt{x^2 - 1}) = 1$ 이므로 동일하다.

단항식 측면에서 체비쇼프 다항식의 명시적 형태는 다음과 같다.

: $T_n(x) = \sum\limits_{j=0}^{\lfloor n / 2 \rfloor} \binom{n}{2j} (x^2-1)^j x^{n-2j}.$

이는 초기하 함수로 쓸 수 있다.

: $\begin{align}T_n(x) & = \sum_{k=0}^{\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor} \binom{n}{2k} \left (x^2-1 \right )^k x^{n-2k} \\& = x^n \sum_{k=0}^{\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor} \binom{n}{2k} \left (1 - x^{-2} \right )^k \\& = \frac{n}{2} \sum_{k=0}^{\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor}(-1)^k \frac{(n-k-1)!}{k!(n-2k)!}~(2x)^{n-2k} \qquad\qquad \text{ for }~ n > 0 \\\\& = n \sum_{k=0}^{n}(-2)^{k} \frac{(n+k-1)!} {(n-k)!(2k)!}(1 - x)^k \qquad\qquad ~ \text{ for }~ n > 0 \\\\& = {}_2F_1\!\left(-n,n;\tfrac 1 2; \tfrac{1}{2}(1-x)\right) \\\end{align}$

마찬가지로, 은 초기하 함수로 표현할 수 있다.

: $\begin{align}U_n(x) & = \frac{\left (x+\sqrt{x^2-1} \right )^{n+1} - \left (x-\sqrt{x^2-1} \right )^{n+1}}{2\sqrt{x^2-1}} \\& = \sum_{k=0}^{\left \lfloor {n}/{2} \right \rfloor} \binom{n+1}{2k+1} \left (x^2-1 \right )^k x^{n-2k} \\& = x^n \sum_{k=0}^{\left \lfloor {n}/{2} \right \rfloor} \binom{n+1}{2k+1} \left (1 - x^{-2} \right )^k \\& = \sum_{k=0}^{\left \lfloor {n}/{2} \right \rfloor} \binom{2k-(n+1)}{k}~(2x)^{n-2k} & \text{ for }~ n > 0 \\& = \sum_{k=0}^{\left \lfloor {n}/{2} \right \rfloor} (-1)^k \binom{n-k}{k}~(2x)^{n-2k} & \text{ for }~ n > 0 \\& = \sum_{k=0}^{n}(-2)^{k} \frac{(n+k+1)!} {(n-k)!(2k+1)!}(1 - x)^k & \text{ for }~ n > 0 \\& = (n+1) \ {}_2F_1\left(-n,n+2; \tfrac{3}{2}; \tfrac{1}{2}(1-x) \right). \\\end{align}$

6. 두 종류의 체비쇼프 다항식 간의 관계

제1종 체비쇼프 다항식과 제2종 체비쇼프 다항식은 서로 밀접하게 관련되어 있다. 이들은 매개변수 P = 2x, Q = 1을 갖는 보완 루카스 수열 Ũ_n(2x,1)^영어 및 Ṽ_n(2x,1)^영어의 짝에 해당하며, 다음과 같은 관계를 갖는다.^[7]

:Ũ_n^영어(2x,1) = U_n-1(x)

:Ṽ_n^영어(2x,1) = 2T_n(x)

따라서 다음의 상호 재귀 관계식을 만족한다.^[7]

:T_n+1(x) = xT_n(x) - (1 - x²)U_n-1(x)

:U_n+1(x) = xU_n(x) + T_n+1(x)

두 번째 식은 체비쇼프 제2종 다항식의 재귀적 정의를 사용하여 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

:T_n(x) = 1/2 ( U_n(x) - U_n-2(x) )

이 공식을 반복적으로 사용하면 다음과 같은 합 공식을 얻을 수 있다.

:U_n(x) =

n이 홀수일 때: 2ΣT_j(x) (j는 홀수)
n이 짝수일 때: 2ΣT_j(x) + 1 (j는 짝수)

한편, U_n(x)와 U_n-2(x)를 T_n(x)의 미분 공식을 사용하여 대체하면 T_n(x)의 도함수에 대한 재귀 관계식을 얻을 수 있다.

:2T_n(x) = 1/(n+1) d/dx T_n+1(x) - 1/(n-1) d/dx T_n-1(x) (n=2,3,...)

이 관계는 미분 방정식을 푸는 체비쇼프 스펙트럼 방법에 사용된다.

그 외에도 다음과 같은 관계식들이 존재한다.

투란 부등식^[8]
T_n(x)² - T_n-1(x)T_n+1(x) = 1 - x² > 0 (-1 < x < 1)
U_n(x)² - U_n-1(x)U_n+1(x) = 1 > 0
적분 관계
∫_-1¹ (T_n(y))/(y-x) * (dy/√(1 - y²)) = πU_n-1(x)
∫_-1¹ (U_n-1(y))/(y-x) * √(1 - y²)dy = -πT_n(x) (적분은 주값으로 간주)
르장드르 다항식과의 관계
ΣP_k(x)T_n-k(x) = (n+1)P_n(x) (k=0~n)
ΣP_k(x)P_n-k(x) = U_n(x) (k=0~n)
곱셈 관계^[31]
2T_n(x)T_m(x) = T_n+m(x) + T_|n-m|(x)

7. 예시

낮은 차수의 체비쇼프 다항식
종류	식
제1종
제2종

8. 활용

체비쇼프 다항식은 수치 해석에서 중요한 도구로 사용된다.^[15] 예를 들어, 스펙트럼 방법에서 가장 많이 사용되는 기저 함수 중 하나이며, 연속 함수에 대해 더 빠른 수렴 속도를 보이기 때문에 삼각 함수 급수보다 선호된다.^[15]

체비쇼프 다항식은 공액 기울기법의 오차 한계를 나타내는 데에도 사용될 수 있다.^[32] 또한, 체비쇼프 보간법,^[30] 가우스 구적법의 일종인 가우스-체비쇼프 공식,^[33] 클렌쇼-커티스 적분법 등 다양한 수치해석 기법에 활용된다.

8. 1. 기저 집합으로서의 활용

적절한 소볼레프 공간에서, 체비쇼프 다항식 집합은 정규 직교 기저를 형성하여, 같은 공간의 함수를 -1 ≤ ''x'' ≤ 1 에서 다음 전개를 통해 표현할 수 있다.^[15]

:

체비쇼프 다항식은 계수 가 내적을 통해 쉽게 결정될 수 있는 직교 기저를 형성한다. 이 합은 '''체비쇼프 급수''' 또는 '''체비쇼프 전개'''라고 불린다.

체비쇼프 급수는 변수 변환을 통해 푸리에 코사인 급수와 관련이 있으므로, 푸리에 급수에 적용되는 모든 정리, 항등식 등은 체비쇼프 급수에도 해당한다.^[15] 이러한 속성에는 다음이 포함된다.

체비쇼프 다항식은 완비 직교 시스템을 형성한다.
함수가 구간별 매끄럽고 연속인 경우 체비쇼프 급수는 로 수렴한다. 와 그 도함수에 불연속점이 유한 개수만 있다면, 대부분의 경우 매끄러움 요구 사항은 완화될 수 있다.
불연속점에서 급수는 오른쪽과 왼쪽 극한의 평균으로 수렴한다.

푸리에 급수에서 상속된 정리와 항등식이 많아 체비쇼프 다항식은 수치 해석에서 중요한 도구가 된다. 예를 들어, 스펙트럼 방법에 사용되는 가장 인기 있는 범용 기저 함수이며,^[15] 일반적으로 연속 함수에 대해 더 빠른 수렴 속도를 가지기 때문에 삼각 함수 급수보다 선호된다.

log(1+''x'')^영어의 체비쇼프 전개를 고려해 보자. 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

내적 또는 이산 직교 조건을 통해 계수 를 찾을 수 있다. 내적의 경우:

:

다음 결과를 얻는다.

:

또는, 근사하려는 함수의 내적을 평가할 수 없을 때, 이산 직교 조건은 ''근사'' 계수에 대해 유용한 결과를 제공한다.

:

여기서 는 크로네커 델타 함수이고 는 의 가우스-체비쇼프 영점이다.

:

어떤 에 대해서도, 이 근사 계수는 해당 점 사이에서 제어된 오차를 가지고 에서 함수에 대한 정확한 근사를 제공한다. 정확한 계수는 로 얻어지며, 따라서 의 모든 점에서 함수를 정확하게 나타낸다. 수렴 속도는 함수와 그 매끄러움에 따라 달라진다.

이를 통해 이산 코사인 변환을 사용하여 근사 계수 를 매우 효율적으로 계산할 수 있다.

:

다른 예는 다음과 같다.

: \, \frac{\Gamma\left(\tfrac{1}{2} + \alpha\right)}{\Gamma(\alpha+1)} + 2^{1-2\alpha}\,\sum_{n=0} \left(-1\right)^n \, {2 \alpha \choose \alpha-n}\,T_{2n}(x) \\[1ex]

&= 2^{-2\alpha}\,\sum_{n=0} \left(-1\right)^n \, {2\alpha+1 \choose \alpha-n}\,U_{2n}(x).

\end{align}}}

제1종 체비쇼프 다항식은 구간 에서 가중치 }에 관한 직교 다항식이다. 즉, 다음 직교 관계를 만족한다.^[27]

:

(단, , ()이다.)

마찬가지로, 제2종 체비쇼프 다항식은 구간 에서 가중치 }에 관한 직교 다항식이며, 다음 직교 관계를 만족한다.^[28]

:

또한, 제1종 체비쇼프 다항식에 대해 이산적인 직교 관계가 알려져 있다. 를 ()의 개 영점이라고 할 때, 에 대해 다음 이산 직교 관계가 성립한다.^[29]

:

(단, , ()이다.) 이 성질은 체비쇼프 보간법에서 유용하다.^[30]

8. 2. 체비쇼프 보간법

제1종 체비쇼프 다항식

T_n(x)

는 구간

(-1, +1)

에서

n

개의 영점을 갖는다. 그 좌표는 다음과 같다.

:

x_k = \cos \frac{2k+1}{2n} \pi \quad (k = 0, 1, \dots, n-1)

^[25]

이 점들을 체비쇼프 노드라고 부른다. 체비쇼프 노드를 사용하여 다항식 보간법을 하는 것을 체비쇼프 보간법이라고 한다.

8. 3. 켤레 기울기법의 오차 한계

수치 선형대수에서의 공액 기울기법의 오차 한계는 체비쇼프 다항식을 사용하여 나타낼 수 있음이 제시되었다.^[32]

8. 4. 가우스-체비쇼프 공식

제1종 체비쇼프 다항식

T_n(x)

는 구간

(-1, +1)

에서

n

개의 영점을 갖는다. 그 좌표는 다음과 같다.

:

x_k = \cos \frac{2k+1}{2n} \pi \quad (k = 0, 1, \dots, n-1)

^[25]

이를 체비쇼프 노드(Chebyshev node)라고 부른다. 가우스-체비쇼프 공식은 체비쇼프 다항식의 영점을 사용하는 수치 적분 공식이며, 가우스 구적법의 일종이다^[33]。

8. 5. 클렌쇼-커티스 구적법

클렌쇼-커티스 적분법은 체비쇼프 다항식을 사용하는 수치 적분 방법의 일종이다.

8. 6. 부분합

체비쇼프 다항식의 부분합은 다음 식으로 표현된다.^[15]

:

f(x) = \sum_{n = 0}^\infty a_n T_n(x).

이 부분합은 다양한 함수의 근사와 미분 방정식의 해법 (스펙트럼 방법 참조)에 매우 유용하다. 계수 a_n|^영어을 결정하는 두 가지 일반적인 방법은 내적을 사용하는 갈레르킨 방법과 보간법과 관련된 콜로케이션을 사용하는 것이다.

보간법으로, N|^영어-1차 부분합의 N|^영어개 계수는 일반적으로 체비쇼프–가우스–로바토^[16] 점 (또는 로바토 그리드)에서 얻어진다. 이는 최소 오차를 유발하고 균일 그리드와 관련된 룬게 현상을 피하게 한다. 이 점들은 합에서 가장 높은 차수 다항식의 극값과 종점에 해당하며, 다음과 같이 주어진다.

:

x_k = -\cos\left(\frac{k \pi}{N - 1}\right); \qquad k = 0, 1, \dots, N - 1.

8. 7. 체비쇼프 형식의 다항식

차수의 임의의 다항식은 제1종 체비쇼프 다항식으로 나타낼 수 있다.^[1] 이러한 다항식은 다음과 같은 형태를 갖는다.

:

체비쇼프 형식의 다항식은 클렌쇼 알고리즘을 사용하여 계산할 수 있다.

9. 역사

체비쇼프 다항식은 파프누티 체비쇼프가 1854년에 도입하였다.^[39]

체비쇼프 다항식의 통상적인 기호 T_''n''는 체비쇼프의 이름의 프랑스어 표기 (Tchebycheff^프랑스어) 또는 독일어 표기 (Tschebyschow^de)에서 딴 것이다.

10. 체비쇼프 다항식과 관련된 다항식족

체비쇼프 다항식과 밀접하게 관련된 다항식으로 $C_n(x)$ 와 $S_n(x)$ 가 있으며, 다음과 같이 정의된다.^[17]

: $C_n(x) = 2T_n\left(\frac{x}{2}\right),\qquad S_n(x) = U_n\left(\frac{x}{2}\right)$

이 다항식들은 다음과 같은 관계를 만족한다.

: $C_n(x) = S_n(x) - S_{n-2}(x).$

A. F. 호라담은 $C_n(x)$ 를 '''비에타-루카스 다항식'''이라 부르고 $v_n(x)$ 로 표기했으며, $S_n(x)$ 를 '''비에타-피보나치 다항식'''이라 부르고 V^영어_n(x)로 표기했다.^[18] 이 두 다항식은 비에트의 ''수학 작품집'' 제9장, 정리 VI 및 VII에 나와 있다.^[19] 실수 인수를 갖는 비에타-루카스와 비에타-피보나치 다항식은, 후자의 경우 지수의 거듭제곱과 인덱스 이동을 제외하면 루카스 및 피보나치 다항식 L^영어_n과 F^영어_n의 허수 인수에 해당한다.

제1종 및 제2종의 '''이동 체비쇼프 다항식'''은 다음과 같이 체비쇼프 다항식과 관련되어 있다.^[17]

: $T_n^*(x) = T_n(2x-1),\qquad U_n^*(x) = U_n(2x-1).$

체비쇼프 다항식의 인수가 2''x'' − 1 ∈ [-1, 1]^영어을 만족하면, 이동 체비쇼프 다항식의 인수는 ''x'' ∈ [0, 1]^영어을 만족한다. 이와 유사하게, 일반적인 구간 [''a'', ''b'']^영어에 대해 이동 다항식을 정의할 수 있다.

1990년경부터 체비쇼프 다항식과 관련하여 "제3종"과 "제4종"이라는 용어가 사용되기 시작했지만, 이러한 다항식은 이전에는 '''에어포일 다항식'''이라는 이름으로 개발되었다. J. C. 메이슨과 G. H. 엘리엇에 따르면, "제3종"과 "제4종"이라는 용어는 발터 가우치가 "직교 다항식 분야의 동료들과 상의하여" 사용하게 되었다.^[20] '''제3종 체비쇼프 다항식'''은 다음과 같이 정의된다.

: $V_n(x)=\frac{\cos\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)\theta\right)}{\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)}=\sqrt\frac{2}{1+x}T_{2n+1}\left(\sqrt\frac{x+1}{2}\right)$

'''제4종 체비쇼프 다항식'''은 다음과 같이 정의된다.

: $W_n(x)=\frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)\theta\right)}{\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)}=U_{2n}\left(\sqrt\frac{x+1}{2}\right),$

여기서 $\theta=\arccos x$ 이다.^[20]^[21] 에어포일 문헌에서 $V_n(x)$ 와 $W_n(x)$ 는 $t_n(x)$ 와 $u_n(x)$ 로 표기된다. 다항식 집합 $T_n(x)$ , $U_n(x)$ , $V_n(x)$ , $W_n(x)$ 는 가중치에 대해 직교한다.

: $\left(1-x^2\right)^{-1/2},\quad\left(1-x^2\right)^{1/2},\quad(1-x)^{-1/2}(1+x)^{1/2},\quad(1+x)^{-1/2}(1-x)^{1/2}$

그리고 다음과 같이 자코비 다항식 $P_n^{(\alpha,\beta)}(x)$ 에 비례한다.^[21]

: $(\alpha,\beta)=\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right),\quad(\alpha,\beta)=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right),\quad(\alpha,\beta)=\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right),\quad(\alpha,\beta)=\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right).$

네 개의 집합 모두 $p_n(x)=2xp_{n-1}(x)-p_{n-2}(x)$ 의 점화 관계를 만족하며 $p_0(x) = 1$ 이고, 여기서 $p_n = T_n$ , $U_n$ , $V_n$ , 또는 $W_n$ 이지만, $p_1(x)$ 가 $x$ , $2x$ , $2x-1$ , 또는 2x+1^영어 중 무엇이냐에 따라 다르다.^[20]

일부 응용 분야에서는 체비쇼프 다항식을 사용하지만, 0에서 근이 없다는 점을 수용하지 못할 수 있다. 이러한 경우, 표준 체비쇼프 다항식은 사용할 수 없다. 등가 종단 수동 네트워크를 사용하는 짝수 차수 체비쇼프 필터 설계가 이러한 경우의 예이다.^[22] 그러나 짝수 차수 체비쇼프 다항식은 바람직한 체비쇼프 등리플 효과를 유지하면서 가장 낮은 근을 0으로 이동하도록 수정될 수 있다. 이러한 수정된 다항식은 0에서 두 개의 근을 포함하며, 짝수 차수 수정 체비쇼프 다항식이라고 할 수 있다. 짝수 차수 수정 체비쇼프 다항식은 표준 체비쇼프 다항식과 동일한 방식으로 체비쇼프 노드에서 생성될 수 있다.

: $P_N = \prod_{i=1}^N(x-C_i)$

여기서

$P_N$ 는 ''N''차 체비쇼프 다항식
$C_i$ 는 ''i''번째 체비쇼프 노드

짝수 차수 수정 체비쇼프 다항식의 경우, 짝수 차수 수정 체비쇼프 노드를 사용하여 짝수 차수 수정 체비쇼프 다항식을 구성한다.

:

Pe_N = \prod_{i=1}^N(x-Ce_i)

여기서

$P e_N$ 는 ''N''차 짝수 차수 수정 체비쇼프 다항식
$Ce_i$ 는 ''i''번째 짝수 차수 수정 체비쇼프 노드

예를 들어, 위의 예시에서 4차 체비쇼프 다항식은

X^4-X^2+.125

이며, 0을 근으로 갖지 않는다. 짝수 차수 수정 체비쇼프 노드에서 다항식을 생성하면

X^4-.828427X^2

의 4차 짝수 차수 수정 체비쇼프 다항식이 생성되며, 0에서 두 개의 근을 포함하므로 0에서 근이 필요한 응용 분야에서 사용할 수 있다.

참조

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