2차원 𝒩=4 초등각 장론

1. 개요

2차원 𝒩=4 초등각 장론은 여러 생성원과 그들 간의 연산자 곱 전개(OPE)를 통해 정의되는 이론이다. 이 이론은 에너지-운동량 텐서, SU(2) 전류, 초전류를 포함하며, NS 대수와 R 대수 두 가지 중요한 대수를 가진다. 𝒩=4 초등각 장론의 유니터리 표현은 초1차장의 등각 무게와 SU(2) 아이소스핀에 따라 분류되며, 유질량 표현과 무질량 표현으로 나뉜다. 분배 함수를 통해 이론의 상태 수를 계산할 수 있으며, 초켈러 다양체 위의 2차원 시그마 모형이 𝒩=4 초등각 장론의 예시로 제시된다. 𝒩=4 초등각 장론은 위상 뒤틂을 통해 위상 끈 이론을 정의하는 데 응용될 수 있다.

2. 정의

2차원 \(\mathcal N=4\) 초등각 대수의 생성원은 다음과 같다.

위 표에서 \(G^a\)를 제외한 다른 생성원들은 모두 에르미트 장이며, \(G^a\)의 에르미트 수반은 \(\bar G^{\bar a}\)이다.

중심 원소 \(k=0,1,2,3,\dots\)는 SU(2) 아핀 리 대수의 준위와 같다. 비라소로 중심 전하 \(c\)는 다음과 같다.
:\(c=6k=0,6,12,18,\dots\)

이들의 연산자 곱 전개는 다음과 같다. 여기서 \(\cdots\)는 \(z\to0\)에서 비특이항을 나타낸다.
:\(T(z)T(0)=3kz^{-4}+2z^{-2}T(0)+z^{-1}\partial T(0)+\cdots\)
:\(T(z)G(0)=\frac32z^{-2}G(0)+z^{-1}\partial G(0)+\cdots\)
:\(T(z)J(0)=z^{-2}J(0)+z^{-1}\partial J(0)+\cdots\)
:\(J^i(z)J^j(0)=\frac12kz^{-2}\delta^{ij}+iz^{-1}\epsilon^{ijk}J^k+\cdots\)
:\(J^i(z)G^a(0)=-\frac12\sigma_{ab}^iz^{-1}G^b(0)+\cdots\)
:\(G^a(z)\bar G^{\bar b}(0)=
4k\delta^{ab}z^{-3}
-4\sigma_{a\bar b}^iz^{-2}J^i(0)
+z^{-1}\left(2\delta^{ab}T(z)-2\sigma_{a\bar b}^i\partial J^i(0)\right)+\cdots\)

이들은 다음과 같은 모드 전개를 갖는다.
:\(T(z)=\sum_nz^{n-2}L_{-n}\)
:\(G(z)=\sum_{r\in\mathbb Z+\eta}z^{r-3/2}G_{-r}\)
:\(J^i(z)=\sum_nz^{n-1}J_{-n}^i\)
여기서 NS 경계 조건의 경우 \(\eta=0\)이며 R 경계 조건의 경우 \(\eta=1/2\)이다.

모드 전개의 리 괄호는 다음과 같다.
:\([L_m,L_n]=(m-n)L_{m+n}+\frac12k(m^3-m)\delta_{m+n,0}\)
:\([L_m,G_r^a]=(m/2-r)G_{m+r}^a\)
:\([L_m,J_n^i]=-nJ_{m+n}^i\)
:\([J^i_m,J^j_n]=i\epsilon^{ijk}J^k_{m+n}+\frac12mk\delta^{ij}\delta_{m+n,0}\)
:\([J_m^i,G_r^a]=-\frac12\sigma_{ab}^iG^b_{m+r}\)
:\(\{G_r^a,G_s^b\}=0\)
:\(\{G_r^a,\bar G_s^{\bar b}\}
=2\delta^{a\bar b}L_{r+s}-2(r-s)\sigma_{a\bar b}^iJ^i_{r+s}+\frac12k(4r^2-1)\delta_{r+s,0}\)

NS 대수와 R 대수에서, 특정 모드들은 부분 리 초대수를 이룬다. (하위 섹션 "대역적 대수" 참고)

2.1. 대역적 대수

NS 대수에서, \(L_{\pm1}\), \(L_0\), \(G_{\pm1/2}^a\), \(\bar G_{\pm1/2}^{\bar a}\), \(J^i_0\)는 대역적으로 정의되는 초등각 변환들의 부분 리 초대수를 이룬다.
:\[L_1,L_{-1}]=2L_0\]
:\[L_{\pm1},L_0]=\pm L_0\]
:\[G_{\pm12}^a,L_0]=\pm\frac12G_{\pm12}^a\]
:\[L_1,G_{1/2}^a]=[L_{-1},G_{-1/2}^a]=0\]
:\[L_{\pm1},G_{\mp1/2}^a]=\pm G_{\pm1/2}^a\]
:\[J_0^i,L_0]=[J_0^i,L_{\pm1}]=0\]
:\[J_0^i,J_0^j]=i\epsilon^{ijk}J_0^k\]
:\{G_{\pm 1/2}^a,G_{\pm 1/2}^b\}=\{G_{\pm 1/2}^a,G_{\mp 1/2}^b\}=0\]
:\{G_{\pm 1/2}^a,\bar G_{\pm 1/2}^b\}=2\delta^{a\bar b}L_{\pm1}\]
:\{G_{\pm 1/2}^a,\bar G_{\mp 1/2}^b\}=2\delta^{a\bar b}L_0\mp\sigma^i_{a\bar b}J^i_0\]
:\[J_0^i,G_{\pm1/2}^a]=-\frac12\sigma_{ab}^iG_{\pm1/2}^b\]

마찬가지로, R 대수에서, \(L_0\), \(G_0^a\), \(\bar G_0^{\bar a}\), \(J^i_0\), \(k\)는 부분 리 초대수를 이룬다.
:\[L_0,L_0]=[G_0^a,L_0]=[\bar G_0^{\bar a},L_0]=0\]
:\[J_0^i,L_0]=[J_0^i,L_{\pm1}]=0\]
:\[J_0^i,J_0^j]=i\epsilon^{ijk}J_0^k\]
:\{G_0^a,G_0^b\}=0\]
:\{G_0^a,\bar G_0^b\}=2\delta^{a\bar b}L_0-\frac12k\]
:\[J_0^i,G_0^a]=-\frac12\sigma_{ab}^iG_0^b\]

3. 표현

2차원 $\backslash mathcal\; N=4$ 초등각 대수의 유니터리 표현은 초1차장의 등각 무게 $h$와 SU(2) 아이소스핀 $l=0,\; \backslash frac\{1\}\{2\},\; 1,\; \backslash dots$에 따라 분류된다. 이는 유질량 표현(massive representation^영어)과 무질량 표현(massless representation^영어)으로 나뉜다.

유니터리 이론에서 힐베르트 공간의 모든 상태는 BPS 부등식을 만족시킨다.

:$h\backslash ge\; k/4\backslash qquad(\backslash text\{NS\})$
:$h\backslash ge|l|\backslash qquad(\backslash text\{R\})$

무질량 표현은 이 BPS 부등식을 포화시킨다. 유질량 표현은 위튼 지표가 0이지만, 무질량 표현은 위튼 지표가 0이 아니다. 유질량 표현에서 BPS 부등식을 포화시키는 극한을 취하면 이는 무질량 표현으로 분해된다.

3.1. 분배 함수

$\backslash mathcal\; N=4$ 초등각 장론에서는 $\backslash mathcal\; N=2$인 경우와 달리 $(-1)^F\backslash ne\; (-1)^\{J\_0\}$이다. 따라서 분배 함수에는 아이소스핀(SU(2) R대칭의 카르탕 부분군 U(1)에 대한 전하) $q$에 대한 퓨가시티 $z$와 페르미온 수 $F$에 대한 퓨가시티 $y$를 독립적으로 삽입할 수 있다.

:$Z(q,z,y)=\backslash sum\_\{(h,q,F)\}q^\{h-k/4\}z^qy^F$

이 합은 NS 경계 조건 또는 R 경계 조건에서 취할 수 있다.

4. 예

초켈러 다양체 위의 2차원 시그마 모형은 $\backslash mathcal\; N=(4,4)$ 초등각 장론을 이룬다. 이 경우, $4k$ 실수 차원의 초켈러 다양체는 SU(2) 아핀 리 대수 준위가 $k$인 초등각 장론을 이룬다. K3 곡면 위의 시그마 모형이 대표적인 예이며, 이 경우 $k=1$이다.

5. 응용

N=4^영어 초등각 장론에 위상 뒤틂을 가하여 N=4^영어 위상 끈 이론을 정의할 수 있다.