3차원 거울 대칭

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1. 개요
2. 정의
3. 끈 이론으로의 해석
4. 역사
참조

1. 개요

3차원 거울 대칭은 2+1차원 N=4 초대칭 게이지 이론에서 SU(2)_L R대칭군과 SU(2)_R R대칭군, 쿨롱 가지 진공 모듈러스와 힉스 가지 진공 모듈러스, 라그랑지언의 질량항과 페예-일리오풀로스 D항 사이의 대응 관계를 의미한다. 이 대칭은 낮은 에너지 극한에서 3차원 초등각 장론으로 서로 동형이며, IIB종 끈 이론의 S-이중성으로 설명된다. 1996년 케네스 인트릴리가토어와 나탄 자이베르그에 의해 제안되었으며, 이후 아미하이 하나니와 에드워드 위튼에 의해 IIB종 끈 이론의 S-이중성에서 비롯된다는 사실이 밝혀졌다.

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3차원 거울 대칭
일반 정보
3차원 거울 대칭 다이어그램
분야	수학물리학
관련 개념	끈 이론 양자장론
상세 정보
설명	3차원 N=4 초 대칭 양자장론의 쌍대성
역사	1996년, 케네스 인트릴레이터, 나탄 세이베르그
주요 연구자	아미하이 하나니 에드워드 위튼 오퍼 아하로니 미첼 스트래슬러
응용	끈 이론에서의 D-막 연구 양자장론 계산의 단순화

2. 정의

2+1차원 $\mathcal N=4$ (8개의 초전하) 초대칭 게이지 이론에서는 R대칭, 초다중항 (벡터 초다중항, 하이퍼 초다중항), 쿨롱 가지, 힉스 가지와 같은 개념이 존재한다.

어떤 이론을 힉스 가지나 쿨롱 가지를 통해 변화시킬 때, 같은 모듈라이 공간의 서로 다른 두 지점 근처에서 서로 다른 섭동 이론적 표현이 나타날 수 있다. 이때 이들 사이에 특정한 대응 관계가 성립하면, 이를 '''3차원 거울 대칭'''이라고 부른다.

2. 1. R대칭

2+1차원

\mathcal N=4

(8개의 초전하) 초대칭 게이지 이론에서,

\mathcal N=4

초대칭 대수의 R대칭은 다음과 같다.

:

\operatorname{Spin}(4) = \operatorname{SU}(2)_{\text{L}} \times \operatorname{SU}(2)_{\text{R}}

여기서 SU(2)_R은 6차원

\mathcal N=(1,0)

의 R대칭이며, SU(2)_L은 6차원을 3차원으로 차원 축소하였을 때 얻어지는 SO(3) 로런츠 대칭이다.

2. 2. 초다중항

3차원

\mathcal N=4

초대칭의 초다중항에는 다음 두 종류가 있다. 이는 4차원

\mathcal N=2

또는 6차원

\mathcal N=(1,0)

의 차원 축소이다.

벡터 초다중항(vector supermultiplet^영어): 양-밀스 장 (스핀 1), 스칼라장 3개, 게이지노 (2개의 마요라나 스피너)로 구성된다.
6차원 벡터 초다중항에서 유래하며, 스칼라장은 6차원 벡터의 축소화된 성분들이다. 따라서 세 복소수 스칼라장은 SU(2)_L의 표현 '''3'''으로서 변환한다.
아벨 게이지 군의 벡터 초다중항은 2+1차원에서 쌍대화를 통해 하이퍼 초다중항과 동치이다. 그러나 이는 비아벨 게이지 군의 경우 성립하지 않는다.
벡터 초다중항의 스칼라장이 진공 기댓값을 가지면, 일반적으로 게이지 군은 카르탕 부분군으로 깨지며, (쿨롱 법칙을 따르는) 아벨 게이지 군이 된다. 그 모듈라이 공간은 '''쿨롱 가지'''(Coulomb branch^영어)라고 한다.
하이퍼 초다중항(hypermultiplet^영어): 스칼라장 4개, 페르미온 (2개의 마요라나 스피너)으로 구성된다.
6차원 하이퍼 초다중항에서 유래한다. 따라서 두 복소수 스칼라장은 SU(2)_L에 변환하지 않으며, SU(2)_R에서 정의(定義) 표현 '''2'''로서 변환한다.
스칼라장이 진공 기댓값을 가지면, 일반적으로 게이지 군은 힉스 메커니즘을 따라 전부 깨진다. 그 모듈라이 공간은 '''힉스 가지'''(Higgs branch^영어)라고 한다.

2. 3. 3차원 거울 대칭의 대응 관계

대상	쌍대 대상
SU(2)_L R대칭군	SU(2)_R R대칭군
쿨롱 가지 진공 모듈러스	힉스 가지 진공 모듈러스
라그랑지언의 질량항	페예-일리오풀로스 D항

이는 낮은 에너지 극한에서 적용된다. 즉, 이들은 3차원 초등각 장론으로서 서로 동형이다.

3. 끈 이론으로의 해석

3차원 거울 대칭은 ⅡB종 끈 이론의 S-이중성으로 설명할 수 있다.^[7] 이 경우, 2+1차원 $\mathcal N=4$ 초대칭 게이지 이론의 각 성질들은 ⅡB 초끈 이론과 다음과 같이 대응된다.

2+1차원 $\mathcal N=4$ 게이지 이론	ⅡB 초끈 이론
SO(1,2) 로런츠 군	012방향 로런츠 군
SU(2)_L R대칭	345방향 로런츠 군
SU(2)_R R대칭	789방향 로런츠 군
벡터 초다중항	NS5–NS5 사이의 D3-막
하이퍼 초다중항	D5–D5 사이의 D3-막
전기 게이지 군 U(N)	두 NS5-막 사이의, 겹친 N개의 D3-막
자기 게이지 군 U(N)	두 D5-막 사이의, 겹친 N개의 D3-막
질량 간극을 갖는 U(1) 게이지장	NS5-막과 D5-막 사이의 하나의 D3-막
전기 결합 상수 $1/g_{\text{e}}^2$	두 NS5-막 사이의 거리 (×비례 상수)
자기 결합 상수 $1/g_{\text{m}}^2$	두 D5-막 사이의 거리 (×비례 상수)
거울 대칭	S-이중성 + 345방향을 789방향으로 바꾸는 시공간 회전
쿨롱 가지 모듈라이 공간	NS5-막 위의 자기 홀극(붙은 D3-막)들의 모듈라이 공간
힉스 가지 모듈라이 공간	D5-막 위의 자기 홀극들(붙은 D3-막)의 모듈라이 공간
모듈라이 공간 속의 상전이	분리된 D3-막이 서로 이어지거나, NS5-막/D5-막이 교차하면서 새 D3-막을 생성 (하나니-위튼 전이)

3. 1. 막 배치

ⅡB종 끈 이론에서, NS5-막, D5-막, D3-막을 다음과 같이 배치할 수 있다.^[7]

	012	345	6	789
NS5	—	—	•	•
D5	—	•	•	—
D3	—	•	[—]	•

이 경우, 10차원 로런츠 대칭은 $\operatorname{SO}(1,2)\times \operatorname{SO}(3)\times\operatorname{SO}(3)$ 으로 깨진다. NS5-막은 789-공간 속의 점에, D5-막은 345-공간 속의 점에 위치한다. D3-막은 $x^6$ 방향에서 유한한 폭을 가지며, 양끝은 NS5-막 또는 D5-막에 붙는다.

D3-막을 $x^6$ 방향으로 적분하면 2+1차원 유효 이론을 얻을 수 있으며, 이는 2+1차원 $\mathcal N=4$ (8개 초전하) 초대칭 게이지 이론이다. D3-막의 배열에 따라 다음과 같은 초다중항이 나타난다.

끝 1	끝 2	무질량 초다중항	비고
NS5 (노이만)	NS5 (노이만)	벡터
D5 (디리클레)	D5 (디리클레)	하이퍼
NS5 (노이만)	D5 (디리클레)	(없음)	각 NS5–D5 쌍 사이에는 최대 1개의 D3-막이 존재 (s-rule^영어)

2+1차원 $\mathcal N=4$ 초대칭 게이지 이론의 성질들은 ⅡB 초끈 이론에서 다음과 같이 대응된다.

2+1차원 $\mathcal N=4$ 게이지 이론	ⅡB 초끈 이론
SO(1,2) 로런츠 군	012방항 로런츠 군
SU(2)_L R대칭	345방향 로런츠 군
SU(2)_R R대칭	789방향 로런츠 군
벡터 초다중항	NS5–NS5 사이의 D3-막
하이퍼 초다중항	D5–D5 사이의 D3-막
전기 게이지 군 U(N)	두 NS5-막 사이의, 겹친 N개의 D3-막
자기 게이지 군 U(N)	두 D5-막 사이의, 겹친 N개의 D3-막
질량 간극을 갖는 U(1) 게이지장	NS5-막과 D5-막 사이의 하나의 D3-막
전기 결합 상수 $1/g_{\text{e}}^2$	두 NS5-막 사이의 거리 (×비례 상수)
자기 결합 상수 $1/g_{\text{m}}^2$	두 D5-막 사이의 거리 (×비례 상수)
거울 대칭	S-이중성 + 345방향을 789방향으로 바꾸는 시공간 회전
쿨롱 가지 모듈라이 공간	NS5-막 위의 자기 홀극(붙은 D3-막)들의 모듈라이 공간
힉스 가지 모듈라이 공간	D5-막 위의 자기 홀극들(붙은 D3-막)의 모듈라이 공간
모듈라이 공간 속의 상전이	분리된 D3-막이 서로 이어지거나, NS5-막/D5-막이 교차하면서 새 D3-막을 생성 (하나니-위튼 전이)

3. 2. 유효 이론

D3-막은

x^6

방향으로 유한한 폭을 가지므로, 이를

x^6

방향으로 적분하여 2+1차원 유효 이론을 정의할 수 있다. 이 유효이론은 2+1차원

\mathcal N=4

(8개 초전하) 초대칭 게이지 이론을 이룬다.^[7]

이 경우, D3-막의 배열에 따라 다음과 같은 초다중항이 존재한다.^[7]

끝 1	끝 2	무질량 초다중항	비고
NS5 (노이만)	NS5 (노이만)	벡터
D5 (디리클레)	D5 (디리클레)	하이퍼
NS5 (노이만)	D5 (디리클레)	(없음)	각 NS5–D5 쌍 사이에는 최대 1개의 D3-막이 존재할 수 있다 (s-규칙 s-rule\|s-규칙^영어)

2+1차원 $\mathcal N=4$ 초대칭 게이지 이론의 각 성질들은 ⅡB 초끈 이론과 다음과 같이 대응한다.^[7]

2+1차원 $\mathcal N=4$ 게이지 이론	ⅡB 초끈 이론
SO(1,2) 로런츠 군	012방항 로런츠 군
SU(2)_L R대칭	345방향 로런츠 군
SU(2)_R R대칭	789방향 로런츠 군
벡터 초다중항	NS5–NS5 사이의 D3-막
하이퍼 초다중항	D5–D5 사이의 D3-막
전기 게이지 군 U(N)	두 NS5-막 사이의, 겹친 N개의 D3-막
자기 게이지 군 U(N)	두 D5-막 사이의, 겹친 N개의 D3-막
질량 간극을 갖는 U(1) 게이지장	NS5-막과 D5-막 사이의 하나의 D3-막
전기 결합 상수 $1/g_{\text{e}}^2$	두 NS5-막 사이의 거리 (×비례 상수)
자기 결합 상수 $1/g_{\text{m}}^2$	두 D5-막 사이의 거리 (×비례 상수)
거울 대칭	S-이중성 + 345방향을 789방향으로 바꾸는 시공간 회전
쿨롱 가지 모듈라이 공간	NS5-막 위의 자기 홀극(붙은 D3-막)들의 모듈라이 공간
힉스 가지 모듈라이 공간	D5-막 위의 자기 홀극들(붙은 D3-막)의 모듈라이 공간
모듈라이 공간 속의 상전이	분리된 D3-막이 서로 이어지거나, NS5-막/D5-막이 교차하면서 새 D3-막을 생성 (하나니-위튼 전이)

3. 3. 초다중항과 막 배치

이 구성은 ⅡB종 끈 이론의 S-이중성으로 설명할 수 있다.^[7] D3-막 배열에 따라 다음과 같은 초다중항이 존재한다.

끝 1	끝 2	무질량 초다중항	비고
NS5 (노이만)	NS5 (노이만)	벡터
D5 (디리클레)	D5 (디리클레)	하이퍼
NS5 (노이만)	D5 (디리클레)	(없음)	각 NS5–D5 쌍 사이에는 최대 1개의 D3-막이 존재할 수 있다 (s-규칙 s-rule\|s-규칙^영어)

3. 4. 대응 관계

이 구성은 ⅡB종 끈 이론의 S-이중성으로 설명할 수 있다.^[7] 2+1차원

\mathcal N=4

초대칭 게이지 이론의 각 성질들은 ⅡB 초끈 이론과 다음과 같이 대응한다.

2+1차원 $\mathcal N=4$ 게이지 이론	ⅡB 초끈 이론
SO(1,2) 로런츠 군	012방향 로런츠 군
SU(2)_L R대칭	345방향 로런츠 군
SU(2)_R R대칭	789방향 로런츠 군
벡터 초다중항	NS5–NS5 사이의 D3-막
하이퍼 초다중항	D5–D5 사이의 D3-막
전기 게이지 군 U(N)	두 NS5-막 사이의, 겹친 N개의 D3-막
자기 게이지 군 U(N)	두 D5-막 사이의, 겹친 N개의 D3-막
질량 간극을 갖는 U(1) 게이지장	NS5-막과 D5-막 사이의 하나의 D3-막
전기 결합 상수 $1/g_{\text{e}}^2$	두 NS5-막 사이의 거리 (×비례 상수)
자기 결합 상수 $1/g_{\text{m}}^2$	두 D5-막 사이의 거리 (×비례 상수)
거울 대칭	S-이중성 + 345방향을 789방향으로 바꾸는 시공간 회전
쿨롱 가지 모듈라이 공간	NS5-막 위의 자기 홀극(붙은 D3-막)들의 모듈라이 공간
힉스 가지 모듈라이 공간	D5-막 위의 자기 홀극들(붙은 D3-막)의 모듈라이 공간
모듈라이 공간 속의 상전이	분리된 D3-막이 서로 이어지거나, NS5-막/D5-막이 교차하면서 새 D3-막을 생성 (하나니-위튼 전이)

4. 역사

케네스 인트릴리가토어(Kenneth Intriligator)와 나탄 자이베르그는 1996년에 3차원 $\mathcal N=4$ (8개 초전하) 초대칭 게이지 이론에서의 거울 대칭을 제안하였다.^[6]

이후 아미하이 하나니(עַמִיחַי חַנַנִי|아미하이 하나니^he)와 에드워드 위튼은 곧 이것이 IIB종 끈 이론의 S-이중성에서 비롯된다는 사실을 보였다.^[7] 이 과정에서 하나니와 위튼은 하나니-위튼 전이를 발견하였으며, 이는 3차원 초대칭 게이지 이론 거울 대칭에 중요한 역할을 한다.

참조

_[1] 논문 Mirror symmetry in three-dimensional gauge theories 1996-10
_[2] 논문 Type IIB superstrings, BPS monopoles, and three-dimensional gauge dynamics
_[3] 논문 Aspects of N = 2 supersymmetric gauge theories in three dimensions
_[4] arXiv Gauge Dynamics and Compactification to Three Dimensions
_[5] 논문 Instanton effects in three-dimensional supersymmetric gauge theories with matter 1998-04-03
_[6] 저널 Mirror symmetry in three dimensional gauge theories 1996
_[7] 저널 Type IIB superstrings, BPS monopoles, and three-dimensional gauge dynamics 1997-05-12

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