마요라나 스피너

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 클리퍼드 대수와 스피너의 분류
3. 성질
4. 예
5. 역사
6. 응용
참조

1. 개요

마요라나 스피너는 실수 클리퍼드 대수와 관련된 개념으로, 특정 조건에서 실수 또는 허수 감마 행렬을 갖는 스피너를 의미한다. 클리퍼드 대수의 분류에 따라 마요라나 스피너, 유사 마요라나 스피너, 심플렉틱-마요라나 스피너로 구분되며, 디랙 스피너의 실수 조건과 관련된다. 마요라나 스피너는 스스로의 반입자를 이루는 특징을 가지며, 물리학에서 중성미자를 포함한 입자 연구에 응용된다. 이 용어는 에토레 마요라나의 이름을 따서 명명되었다.

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마요라나 스피너
개요
유형	디랙 스피너의 일종
발견자	에토레 마요라나
상세 정보
정의	전하 켤레 연산자에 의해 자기 자신으로 변환되는 스피너
응용 분야	중성미자, 초대칭 이론

2. 정의

$(s,t)$ 차원 부호수의 내적을 갖는 실수 벡터 공간 위의 클리퍼드 대수와 그 부분 대수를 이용하여 마요라나 스피너를 정의한다. 실수 클리퍼드 대수의 분류에 따라 스피너와 감마 행렬의 성질(마요라나, 심플렉틱-마요라나, 바일 스피너 등)이 결정된다.

2. 1. 클리퍼드 대수와 스피너의 분류

(s,t)

차원의 부호수의 내적을 갖는 실수 벡터 공간

\mathbb R^{s,t}

위의 클리퍼드 대수

\operatorname{Cl}(s,t)

를 생각할 수 있다. 즉,

:

\{\gamma^i,\gamma^j\}=2\eta^{ij}

에서,

\eta

는

s

개의 +부호와

t

개의 −부호를 갖는다. 또한, 그 속에서 짝수 개의

\gamma

만을 포함하는 항들로 구성된 부분 대수

\operatorname{Cl}^+(s,t)\subseteq\operatorname{Cl}(s,t)

가 존재한다.

실수 클리퍼드 대수

\operatorname{Cl}(s,t)

는 다음과 같이 분류되며, 이는 스피너와 감마 행렬의 성질을 결정한다.

$(s-t)\bmod8$	$\operatorname{Cl}(s,t)$	$\operatorname{Cl}^+(s;t)$	스피너의 성질	감마 행렬의 성질
±4	$\operatorname{Mat}(N/2;\mathbb H)$	$\operatorname{Mat}(N/4;\mathbb H)\oplus\operatorname{Mat}(N/4;\mathbb H)$	바일 스피너 (심플렉틱-마요라나-바일 스피너)	복소수 $N\times N$
+3	$\operatorname{Mat}(N;\mathbb C)$	$\operatorname{Mat}(N/2;\mathbb H)$	디랙 스피너 (심플렉틱-마요라나 스피너)	복소수 $N\times N$
+2	$\operatorname{Mat}(N;\mathbb R)$	$\operatorname{Mat}(N/2;\mathbb C)$	마요라나 스피너, 바일 스피너	실수 $N\times N$
+1	$\operatorname{Mat}(N;\mathbb R)\oplus\operatorname{Mat}(N;\mathbb R)$	$\operatorname{Mat}(N;\mathbb R)$	마요라나 스피너	실수 $N\times N$
±0	$\operatorname{Mat}(N;\mathbb R)$	$\operatorname{Mat}(N/2;\mathbb R)\oplus\operatorname{Mat}(N/2;\mathbb R)$	마요라나-바일 스피너	실수 $N\times N$
−1	$\operatorname{Mat}(N;\mathbb C)$	$\operatorname{Mat}(N;\mathbb R)$	마요라나 스피너	허수 $N\times N$
−2	$\operatorname{Mat}(N/2;\mathbb H)$	$\operatorname{Mat}(N/2;\mathbb C)$	마요라나 스피너, 바일 스피너	허수 $N\times N$
−3	$\operatorname{Mat}(N/2;\mathbb H)\oplus\operatorname{Mat}(N/2;\mathbb H)$	$\operatorname{Mat}(N/2;\mathbb H)$	디랙 스피너 (심플렉틱-마요라나 스피너)	복소수 $N\times N$

여기서

: $N(s,t)=2^{\lfloor (s+t)/2\rfloor}$

는 디랙 스피너의 복소수 차원이며, $\mathbb R$ , $\mathbb C$ , $\mathbb H$ 는 각각 실수체, 복소수체, 사원수 대수를 뜻한다.

위 표에서,

$\operatorname{Cl}(s,t)$ 의 계수 $\in\{\mathbb R,\mathbb C,\mathbb H\}$ 는 감마 행렬의 성질을 결정한다.
* 계수가 $\mathbb R$ 인 경우 (즉, $s-t\in\{0,6,7\}$ ), 모든 감마 행렬이 실수 행렬이 되는, 핀 군 $\operatorname{Pin}(s,t)$ 의 실수 표현이 존재한다. 이를 '''마요라나 피너'''(Majorana pinor^영어)라고 한다.
* 만약 계수가 $\mathbb R$ 가 아니지만, 부호수를 뒤집었을 때 계수가 $\mathbb R$ 라면 (즉, $\operatorname{Cl}(t,s)$ 가 마요라나 피너를 가질 경우), 모든 감마 행렬이 허수가 되는 표현이 존재한다. 이는 간혹 '''유사 마요라나 피너'''(pseudo-Majorana pinor^영어)라고 불리나, 이 용어는 일부 문헌에서 다른 뜻으로 쓰인다.
* 계수가 $\mathbb H$ 일 경우, 만약 $2k$ 개의 디랙 스피너가 존재하며, 이 $2k$ 차원의 공간에 심플렉틱 구조를 부여할 때, 이에 대한 실수 조건을 가할 수 있다. 이는 $k$ 차원 사원수 벡터 공간 위의 표현을 이룬다. 이를 '''심플렉틱-마요라나 피너'''(symplectic-Majorana pinor^영어)라고 한다.
$\operatorname{Cl}^+(s,t)$ 의 계수는 스피너의 성질을 결정한다.

3. 성질

마요라나 스피너는 그 양자가 스스로의 반입자를 이룬다는 실수 조건을 갖는다.^[1] 질량이 0인 경우, 마요라나 스피너는 바일 스피너로 나타낼 수 있다.^[1] 즉, 바일 스피너장은 질량이 없는 마요라나 스피너장으로 볼 수 있다.^[1]

3. 1. 디랙 스피너의 실수 조건

n

차원 시공간의 '''디랙 피너'''(Dirac pinor^영어)는 복소수 클리퍼드 대수

:

\operatorname{Cl}(n;\mathbb C) = \begin{cases}\operatorname{Mat}(N;\mathbb C)&2\nmid n\\\operatorname{Mat}(N/2;\mathbb C)\oplus\operatorname{Mat}(N/2;\mathbb C)&2\mid n\end{cases}

:

N=2^{\lfloor n/2\rfloor}

의

N

차원 정의 표현이다. 만약

n

이 짝수인 경우, 이는 두 개의

N/2

차원 '''바일 피너'''(Weyl pinor^영어)로 분해된다.

복소수 클리퍼드 대수

\operatorname{Cl}(n;\mathbb C)

는 에르미트 형식

:

\langle -|-\rangle

을 가지며, 이는

;

\langle \gamma^\mu\psi|\chi\rangle = \pm\langle\psi|\gamma^\mu\chi\rangle

를 만족시킨다. (여기서

\pm

는

n

의 값에만 의존한다.)

이제, 어떤 부호

\tau\in\{\pm1\}

를 골랐을 때, 디랙 피너의 공간에 대하여, 다음과 같은 복소수 쌍선형 형식

\mathsf C

가 존재하는지 여부를 따질 수 있다.

:

\mathsf C(\gamma^\mu \psi,\chi) = \pm \mathsf C(\psi,\gamma^\mu\chi)

:

\mathsf C(\psi,\chi) = \pm\mathsf C(\chi,\psi)

(복부호 동순이 아님)

이 경우, 만약

\mathsf C

가 대칭일 경우 이는 디랙 피너 공간의 실수 구조를 정의하며, 만약

\mathsf C

가 반대칭일 경우 이는 디랙 피너 공간의 사원수 구조를 정의한다.

만약 디랙 피너 공간

V

가 실수 구조를 갖는다면,

:

\mathsf C(\psi,-) = \langle\psi|-\rangle \in V^*

를 만족시키는 디랙 피너를 '''마요라나 스피너'''라고 한다.

만약 디랙 피너 공간

V

가 사원수 구조를 갖는다면,

:

\mathsf C(\psi,-) = \langle\psi|-\rangle \in V^*

를 만족시키는 디랙 피너는 0 밖에 없다. 그러나 임의의 심플렉틱 벡터 공간

(W,\Omega)

에 대하여,

V\otimes W

위에서,

:

\mathsf C(\psi,-) = \langle \Omega\psi,-\rangle

를 만족시키는 디랙 피너를 '''심플렉틱-마요라나 스피너'''라고 한다.

3. 2. 감마 행렬의 실수성

마요라나 스피너장의 경우, 감마 행렬이 순수하게 실수가 되게 잡을 수 있다. 유사 마요라나 스피너장의 경우, 감마 행렬이 순수하게 허수가 되게 잡을 수 있다.

3. 3. 물리학적 성질

마요라나 스피너는 실수성 조건에 따라, 그 양자가 스스로의 반입자를 이룬다.^[1]

질량항이 0이라면, 마요라나 스피너는 바일 스피너로 표기될 수 있다.^[1] 즉, 바일 스피너장은 질량이 0인 마요라나 스피너장으로 여겨질 수 있다.^[1]

4. 예

마요라나 스피너는 차원 및 부호수에 따라 다양한 형태로 존재한다.

1차원: 부호수 (1,0)에서 마요라나 스피너가 존재한다.
2차원: 부호수 (1,1)과 (0,2)에서 실수 2차원 마요라나 스피너가 존재한다.
3차원: 부호수 (2,1)에서 실수 마요라나 스피너, (1,2)에서는 유사 마요라나 스피너가 존재한다. (0,3)에서는 심플렉틱-마요라나 스피너를 정의할 수 있다.
4차원: 부호수 (1,3) (민코프스키 공간)에서 마요라나 스피너, (2,2)에서는 마요라나-바일 스피너가 존재한다.
5차원: 부호수 (3,2)에서 실수 4차원 마요라나 스피너가 존재한다.
6차원: 부호수 (0,6), (3,3), (4,2)에서 8차원 마요라나 스피너가 존재하며, (1,5)에서는 심플렉틱-마요라나 스피너를 정의할 수 있다.

이러한 마요라나 스피너의 존재 여부 및 성질은 클리퍼드 대수 및 리 군의 동형 사상과 관련이 있다.

4. 1. 1차원

1차원에서는 다음과 같다.

:

\operatorname{Cl}(1,0) = \operatorname{Mat}(1;\mathbb C) = \mathbb C

:

\operatorname{Cl}(0,1) = \operatorname{Mat}(1;\mathbb R)\oplus\operatorname{Mat}(1;\mathbb R)

즉, 부호수가

(s,t)=(1,0)

일 때는 마요라나 스피너가 존재하며, 이 경우 감마 행렬은 다음과 같다.

:

\gamma^0 = \begin{pmatrix}1\end{pmatrix}

4. 2. 2차원

2차원에서 회전군은 다음과 같다.

:

\operatorname{SO}(2;\mathbb R) \cong\operatorname U(1)

:

\operatorname{SO}(1,1;\mathbb R) \cong\operatorname R

이 경우 클리퍼드 대수는 다음과 같다.

:

\operatorname{Cl}(1,1) = \operatorname{Cl}(0,2) = \operatorname{Mat}(2;\mathbb R)

:

\operatorname{Cl}(2,0) = \operatorname{Mat}(1;\mathbb H)

부호수

(t,s) = (1,1)

일 때, 감마 행렬은 다음과 같다.

:

\gamma^0 = \mathrm i\sigma^2=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}

:

\gamma^1 = \sigma^3=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}

이 경우,

:

\{\gamma^0,\gamma^0\} = -1

:

\{\gamma^1,\gamma^1\} = 1

:

\{\gamma^0,\gamma^1\} = 0

이 되어 실수 감마 행렬을 이루며, 이는 실수 2차원 마요라나 스피너 위에 작용한다.

마찬가지로, 부호수

(s,t) = (0,2)

일 때, 감마 행렬은 다음과 같다.

:

\gamma^1 = \sigma^1

:

\gamma^2 = \sigma^3

이 경우,

:

\{\gamma^1,\gamma^1\} = \{\gamma^2,\gamma^2\} = 1

:

\{\gamma^1,\gamma^2\} = 0

이 되며, 이는 실수 2차원 마요라나 스피너 위에 작용한다.

4. 3. 3차원

3차원에서, 클리퍼드 대수는 부호수에 따라 다음과 같이 분류된다.^[1]

부호수	클리퍼드 대수
(0,3)	$\mathbb H\oplus\mathbb H$
(1,2)	$\operatorname{Mat}(2;\mathbb C)$
(2,1)	$\operatorname{Mat}(2;\mathbb R)\oplus\operatorname{Mat}(2;\mathbb R)$
(3,0)	$\operatorname{Mat}(2;\mathbb C)$

부호수 $(s,t)=(2,1)$ 일 때, 감마 행렬은 다음과 같다.^[1]

: $\gamma^0 = \mathrm i\sigma^2 = \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$

: $\gamma^1 = \sigma^1 = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$

: $\gamma^2 = \sigma^3=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$

이는 완전히 실수인 감마 행렬이며, (2,1)차원에 존재하는 마요라나 스피너 위에 작용한다. 이 표현은 동형 사상 $\operatorname{Spin}(2,1) \cong \operatorname{SL}(2;\mathbb R)$ 에서 비롯한다.^[1]

$(s,t)=(1,2)$ 일 때, 위 행렬들에 모두 $\mathrm i$ 를 곱하면, (2,1)차원의 유사 마요라나 스피너 위에 작용하는 완전 허수 감마 행렬이 된다.^[1]

$(t,s)=(0,3)$ 또는 $(3,0)$ 일 때는 순수 실수 감마 행렬이 존재할 수 없다. 이 경우, 파울리 행렬 $\sigma^1,\sigma^2,\sigma^3$ 은 부호수 (0,3)의 경우의 복소수 2차원 디랙 스피너 위에 작용한다.^[1]

부호수 $(s,t)=(0,3)$ 에서 짝수 개의 스피너가 존재할 경우, 심플렉틱-마요라나 스피너를 정의할 수 있다. 이는 리 군의 동형 사상 $\operatorname{Spin}(3) \cong \operatorname{USp}(1;\mathbb R) = \operatorname U(1;\mathbb H)$ 에서 유래한다. 부호수 $(s,t)=(0,3)$ 의 경우, 사원수 감마 행렬은 다음과 같다.^[1]

: $\gamma^{-2} = \begin{pmatrix}\mathrm i\end{pmatrix}$

: $\gamma^{-1} = \begin{pmatrix}\mathrm j\end{pmatrix}$

: $\gamma^0 = \begin{pmatrix}\mathrm k\end{pmatrix}$

이때, 다음이 성립한다.^[1]

: $\{\gamma^{-2},\gamma^{-2}\} = \{\gamma^{-1},\gamma^{-1}\} = \{\gamma^0,\gamma^0\} = -2$

: $\{\gamma^{-2},\gamma^{-1}\} = \{\gamma^{-1},\gamma^0\} = \{\gamma^0,\gamma^{-2}\} = 0$

4. 4. 4차원

4차원 클리퍼드 대수는 부호수에 따라 다음과 같이 분류된다.^[1]

$\operatorname{Cl}(4,0) \cong \operatorname{Cl}(0,4) \cong \operatorname{Mat}(2;\mathbb H)$
$\operatorname{Cl}(1,3) \cong \operatorname{Cl}(2,2) \cong \operatorname{Mat}(4;\mathbb R)$
$\operatorname{Cl}(3,1) \cong \operatorname{Mat}(2;\mathbb H)$

이에 따라 다음과 같은 성질을 갖는다.

부호수 (0,4) (유클리드 공간)에서는 마요라나 스피너가 존재하지 않는다.
부호수 (1,3) (민코프스키 공간)에서는 마요라나 스피너가 존재한다.
부호수 (2,2)에서는 마요라나-바일 스피너가 존재한다.

부호수 (1,3)인 경우(대부분 +부호 계량의 4차원 민코프스키 공간) 감마 행렬은 다음과 같이 실수 행렬로 표현할 수 있다.^[1]

:

\gamma^0 = \begin{pmatrix}0&1_{2\times2}\\

1_{2\times2}&0\end{pmatrix}=\mathrm i\sigma^2 \otimes 1_{2\times2}

:

\gamma^1 = \begin{pmatrix}1_{2\times2}&0\\0&-1_{2\times2}\end{pmatrix} = \sigma^3 \otimes 1_{2\times2}

:

\gamma^2 = \begin{pmatrix}0&\sigma^1\\\sigma^1&0\end{pmatrix} = \sigma^1\otimes \sigma^1

:

\gamma^3 = \begin{pmatrix}0&\sigma^3\\\sigma^3&0\end{pmatrix} = \sigma^1\otimes\sigma^3

이는 실수 리 대수의 동형

\mathfrak o(3,1) \cong \operatorname{sl}(2;\mathbb C)

에서 유래한다. 여기서

\otimes

는 두 2×2 행렬의 크로네커 곱이다.

부호수가

(s,t)=(2,2)

일 때는, 실수 리 대수 동형

\mathfrak o(2,2) \cong\mathfrak{sl}(2,\mathbb R)\oplus\mathfrak{sl}(2,\mathbb R)

이 존재한다.^[1] 즉, 이 경우 실수 2차원의 왼쪽과 오른쪽 마요라나-바일 스피너가 존재한다. 감마 행렬은 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\gamma^{-1} = \sigma^1 \otimes \mathrm i\sigma^2

:

\gamma^0 = \mathrm i\sigma^2 \otimes 1_{2\times2}

:

\gamma^1 = \sigma^3 \otimes 1_{2\times2}

:

\gamma^2 = \sigma^1 \otimes \sigma^1

이 경우, 감마 행렬의 반교환 관계는 다음과 같다.

:

\{\gamma^{-1},\gamma^{-1}\} = \{\gamma^0,\gamma^0\} = -2

:

\{\gamma^1,\gamma^1}\} = \{\gamma^2,\gamma^2\} = 2

:

\{\gamma^i,\gamma^j\} = 0 \qquad(i\ne j)

부호수

(s,t)=(4,0)

일 때는,

\operatorname{Spin}(4)\cong\operatorname U(1;\mathbb H)\times\operatorname U(1;\mathbb H)

에 의하여 심플렉틱-마요라나 바일 스피너가 존재한다.^[1]

4. 5. 5차원

5차원 클리퍼드 대수는 부호수에 따라 다음과 같이 분류된다.^[1]

부호수 (s, t)	클리퍼드 대수 표현
(3, 2)	$\operatorname{Cl}(3,2) \cong\operatorname{Mat}(4;\mathbb R)\oplus\operatorname{Mat}(4;\mathbb R)$
(0, 5), (2, 3), (1, 4)	$\operatorname{Cl}(0,5)\cong\operatorname{Cl}(2,3) \cong\operatorname{Cl}(1,4)\cong\operatorname{Mat}(4;\mathbb C)$
(1, 4)	$\operatorname{Cl}(1,4)\cong\operatorname{Cl}(2;\mathbb C)\oplus\operatorname{Cl}(2;\mathbb C)$

부호수가 (3, 2)인 경우, 실수 4차원 마요라나 스피너가 존재한다. 이는 5차원 회전군의 특수한 동형사상^[1]

: $\operatorname{Spin}(3,2) \cong \operatorname{Sp}(4;\mathbb R)$

때문이다. 다른 부호수의 경우, 다음 동형사상에 의해 복소수 4차원 디랙 스피너를 갖는다.^[1]

: $\operatorname{Spin}(4,1)\cong\operatorname{USp}(2,2)$

: $\operatorname{Spin}(5)\cong\operatorname{USp}(4)$

4. 6. 6차원

6차원에서 실수 클리퍼드 대수는 다음과 같다.^[1]

:

\operatorname{Cl}(0,6) = \operatorname{Cl}(3,3) = \operatorname{Cl}(4,2) = \operatorname{Mat}(8;\mathbb R)

:

\operatorname{Cl}(1,5) = \operatorname{Cl}(2,4) = \operatorname{Cl}(6,0) = \operatorname{Mat}(4;\mathbb H)

:

\operatorname{Cl}(5,1) = \operatorname{Mat}(8;\mathbb C)

즉, 부호수

(s,t) = (0,6),(3,3),(4,2)

일 때는 8차원 마요라나 스피너가 존재한다. 이는 실수 리 대수의 동형^[1]

:

\mathfrak o(6;\mathbb R) \cong\mathfrak{su}(4;\mathbb C)

:

\mathfrak o(3,3;\mathbb R) \cong\mathfrak{sl}(4;\mathbb R)

:

\mathfrak o(2,4) \cong \operatorname{su}(2,2)

에서 기인한다. 특히, 부호수 (3,3)에서, 마요라나 스피너는 각각 실수 4차원의 왼쪽과 오른쪽 마요라나-바일 스피너로 분해되며, 이는

\operatorname{SL}(4;\mathbb R)

의 정의 표현이다.^[1]

부호수 (1,5)의 경우, 실수 리 대수의 동형^[1]

:

\mathfrak{sl}(1,5) \cong\mathfrak{su}^*(4) = \mathfrak{sl}(2;\mathbb H)

로 인하여 심플렉틱-마요라나 스피너를 정의할 수 있다.^[1]

5. 역사

에토레 마요라나의 이름을 따서 명명되었다.

6. 응용

물리학의 표준 모형에서, 중성미자를 제외한 모든 입자는 바일 스피너이다 (즉, 마요라나 질량항을 갖지 않는다). 다만, 중성미자는 마요라나 스피너를 이룰 가능성이 있다.

참조

_[1] 서적 Supergravity
_[2] 논문 Tools for supersymmetry 1999

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