하나니-위튼 전이

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1. 개요
2. 전개
3. 일반화
- 3.1. (p,q) 5-막
- 3.2. 쌍대 형식
4. 역사
참조

1. 개요

하나니-위튼 전이는 10차원 시공간의 IIB형 초끈 이론에서 처음 발견된 현상으로, NS5-막과 D5-막이 교차할 때 D3-막이 생성되거나 소멸되는 것을 의미한다. 이는 3차원 양-밀스 이론의 하위 부문과 관련 있으며, 5-막의 연환수를 통해 설명된다. 이 과정에서 D5-막 위에 자기 홀극이 생기며, 이는 D3-막으로 해석된다. 초대칭 구성에서 D5-막과 NS5-막 사이의 D3-막 수는 0 또는 1로 제한되며, (p,q) 5-막의 경우 생성/파괴되는 D3-막의 수는 pq'-p'q와 같다. 하나니-위튼 전이는 M-이론에서도 M5-막의 교차를 통해 M2-막이 생성되는 현상으로 나타나며, T-이중성 및 S-이중성을 통해 일반화될 수 있다. 이 현상은 아미하이 하나니와 에드워드 위튼에 의해 1996년 3차원 초대칭 게이지 이론의 거울 대칭 연구 중 발견되었다.

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하나니-위튼 전이
하나니-위튼 전이
유형	이론적 과정
분야	끈 이론
관련 개념	유형 IIB 초끈 BPS 모노폴 3차원 게이지 이론

2. 전개

하나니-위튼 전이는 IIB형 초끈 이론에서 처음 발견된 현상으로, 주로 10차원 시공간에서 논의된다. 이 이론에는 D5-막과 NS5-막이라는 두 종류의 5차원 객체(막)가 존재하는데, 이들이 특정 내부 공간의 3차원 부분(순환)을 감싸고 있는 상황을 생각할 수 있다.

이 두 종류의 막, 즉 D5-막과 NS5-막이 서로 교차하며 지나갈 때 특별한 현상이 발생한다. 물리학적으로 이 교차는 두 막 사이의 '연환수'라는 값이 정수만큼 변하는 것을 의미한다. 연환수는 두 고리가 공간적으로 얼마나 얽혀 있는지를 나타내는 값과 유사하다.

끈 이론에서는 특정 물리 법칙들이 만족되어야 하는데, D5-막과 NS5-막이 교차하여 연환수가 변하면 일부 조건이 깨질 수 있다. 하나니-위튼 전이는 이러한 문제를 해결하는 메커니즘이다. 즉, 두 막이 교차하는 과정에서, D5-막 위에는 자기 홀극에 해당하는 물리적 효과가 나타난다. 이 효과는 실제로는 두 막(D5-막과 NS5-막) 사이를 연결하는 새로운 막, 즉 D3-막이 생성되거나, 만약 원래 D3-막이 있었다면 그것이 소멸되는 방식으로 구현된다.

결론적으로, D5-막과 NS5-막이 교차할 때 그 사이를 잇는 D3-막이 생겨나거나 사라지는 현상을 하나니-위튼 전이라고 부른다. 이 현상은 막들이 감싸고 있는 내부 공간이 유한한 크기를 가지는 콤팩트 공간이 아니더라도, 외부에서 관찰되는 특정 물리량(예: 자하)이 일정하게 유지되어야 한다는 물리적 요구 조건 때문에 발생하는 것으로 이해할 수 있다.

2. 1. 원래 효과

하나니-위튼 전이의 원래 효과는 평평한 10차원 민코프스키 공간에서 IIB형 초끈 이론을 연구하던 중 발견되었다. 연구자들은 NS5-브레인, D5-브레인, 그리고 D3-브레인이 특정 방식으로 배열된 구성, 즉 오늘날 하나니-위튼 브레인 만화라고 불리는 형태를 고려했다. 이 구성에서 열린 끈 이론의 특정 부분은 3차원 양-밀스 게이지 이론으로 설명될 수 있음이 밝혀졌다.

그러나 끈 이론의 가능한 해들의 공간인 모듈 공간이 알려진 양-밀스 모듈 공간과 일치하기 위해서는 한 가지 조건이 필요했다. 그것은 바로 NS5-브레인과 D5-브레인이 서로 교차할 때마다, 그 두 브레인 사이에 뻗어 있는 D3-브레인이 생성되거나 파괴되어야 한다는 점이다.

이 효과를 뒷받침하기 위해 여러 근거가 제시되었는데, 그중 하나는 월드볼륨 베스-주미노 항으로부터 유도하는 방식이다. 이 증명은 각 브레인에서 나오는 플럭스를 고려할 때, 만약 D3-브레인이 존재하지 않으면 다른 브레인의 작용을 제대로 정의할 수 없다는 사실을 이용한다.

더 나아가, S-규칙이라는 것도 발견되었다. 이 규칙은 초대칭을 만족하는 구성에서 D5-브레인과 NS5-브레인 사이에 걸쳐 있을 수 있는 D3-브레인의 개수는 0개 또는 1개뿐이라고 말한다. 따라서 하나니-위튼 효과는 D5-브레인과 NS5-브레인이 교차한 후에, 만약 그 사이에 D3-브레인이 하나 있었다면 그것은 파괴되고, 만약 없었다면 하나가 새로 생성된다는 것을 의미한다. 결과적으로, D5-브레인과 NS5-브레인 사이에는 하나 이상의 D3-브레인이 존재할 수 없다.

2. 2. S-규칙

S-규칙은 초대칭 구성에서 D5-브레인과 NS5-브레인 사이에 걸쳐 있는 D3-브레인의 수가 0 또는 1만 가능하다는 규칙이다. 하나니-위튼 효과는 이 S-규칙과 관련하여, D5-브레인과 NS5-브레인이 서로 교차할 때 어떤 일이 일어나는지를 설명한다. 만약 두 브레인 사이에 D3-브레인이 하나 존재했다면, 교차 후에 그 D3-브레인은 파괴된다. 반대로, 두 브레인 사이에 D3-브레인이 없었다면, 교차 후에 D3-브레인 하나가 새롭게 생성된다. 결과적으로, D5-브레인과 NS5-브레인 사이에는 D3-브레인이 하나보다 많이 존재할 수 없다.

2. 3. 수식적 설명

\mathbb R^{1,2}\times M_7

꼴의 시공간 위의 IIB 초끈 이론을 생각하자. 여기서

M_7

은 7차원 콤팩트 매끄러운 다양체이다. 이 시공간에서 D5-막들이

M_7

의 3차원 순환(cycle)

Y_\text{D}

를 감고, NS5-막들이

M_7

의 3차원 순환

Y_\text{NS}

를 감는다고 하자. 또한, 이 순환들의 호몰로지류가 자명하다고 하자. NS5-막은 캘브-라몽 장

B_2

의 장세기

:

H_\text{NS}/2\pi\in\Omega^3(M_7)

를 가지고, D5-막은 라몽-라몽 장

C_2

의 장세기

:

H_\text{D}/2\pi\in\Omega^3(M_7)

를 정의한다. 선속 양자화에 따라, 이들의 드람 코호몰로지류는 정수 코호몰로지에 속하며 (

[H_\text{NS}/2\pi],[H_\text{D}/2\pi]\in H^3(M_7;\mathbb Z)

), 막 세계부피의 푸앵카레 쌍대에 의해 주어진다.

:

Y_\text{NS}=\partial([M_7]\frown H_\text{NS}/2\pi)

:

Y_\text{D}=\partial([M_7]\frown H_\text{D}/2\pi)

그렇다면 이들 순환 사이에는 연환수

L(Y_\text{NS},Y_\text{D})

를 정의할 수 있다.

:

L(Y_\text{NS},Y_\text{D})=Y_\text{D}\frown H_\text{NS}/2\pi=-Y_\text{NS}\frown H_\text{D}/2\pi\in\mathbb Z

D5-막 위에서는 아벨 게이지 장세기

F

가 존재한다. 이에 따라,

:

\Lambda=B_2- F

는 게이지 불변이다. 즉, 이는 대역적(global)으로 정의되는 닫힌 형식이다. (반면,

B_2

와

F

는 각각 대역적으로 정의되지 못할 수 있다.) 이에 따라서

:

H_\text{NS}=d\Lambda+dF

이다. 즉, 두 5-막의 연환수는

:

L(Y_\text{NS},Y_\text{D})=Y_\text{D}\frown H_\text{NS}/2\pi=Y_\text{D}\frown dF/2\pi

이다. (부분적분에 의해

Y_\text{D}\frown d\Lambda=0

이다.) 두 5-막이 서로를 지나치게 되면, 그 연환수가 ±1로 바뀌게 된다. 이에 따라 5-막의 교차 과정에서 D5-막 위에

F

에 대한 자기 홀극이 생기게 된다. 즉, 원래

F=0

이라면, 교차 뒤에는 어떤 한 점

p\in M_7

에서 자기 홀극에 대한 맥스웰 방정식

:

dF=2\pi\delta^{(3)}(p)

이 만족되게 된다. D5-막 위의 자기 홀극은 2-막이며, 이는 D5-막에 붙어 있는 D3-막으로 해석할 수 있다. D3-막은

M_7

에서 1차원 사슬 (즉, 곡선)이다. D-막의 양끝은 다른 막이어야 하고, 한쪽 끝은 이미 D5-막에 붙어 있으므로 반대쪽 끝은 NS5-막에 붙어 있어야 한다. (만약 둘 다 D5-막에 붙어 있다면, 총 자기 홀극 자하가 0이 돼 연환수가 바뀌지 않는다.) 따라서 D5-막과 NS5-막이 교차하는 과정에서, 그 사이를 잇는 D3-막이 생성되거나 소멸됨을 알 수 있다.

만약

M_7

이 콤팩트하지 않더라도, 외부에서 관찰한

H_3

자하가 일정해야 하므로 마찬가지로 하나니-위튼 전이가 발생한다.

2. 4. M이론에서의 하나니-위튼 전이

M이론에서도 비슷한 현상이 존재한다. 이 경우, 두 개의 M5-막이 교차하는 과정에서 M2-막이 생성된다. 이는

\mathbb R^{1,1}\times M_9

꼴의 시공간을 고려하여 유도할 수 있다. 두 M5-막은

M_9

에서 각각 4차원 순환을 정의하며, 이들 사이의 연환수를 보존하기 위해서는 M5-막 위의 자기 홀극 끈, 즉 M2-막이 생성되거나 소멸되어야 한다. M-이론 하나니-위튼 전이를 축소화하면 IIB 끈 이론 하나니-위튼 전이를 얻을 수 있으므로, 이는 근본적으로 같은 물리 현상으로 볼 수 있다.

3. 일반화

기존의 하나니-위튼 전이는 NS5-막과 D5-막 사이의 상호작용을 다루지만, 이는 더 일반적인 경우로 확장될 수 있다. 예를 들어, 이들 막은 결합하여 `(p,q) 5-막`이라는 상태를 형성할 수 있으며, 이러한 일반화된 막들이 교차할 때의 규칙과 초대칭 보존 조건(일반화된 S-규칙) 등이 연구되었다. 이 조건이 깨지면 자발적 초대칭 깨짐이 발생한다. 또한, 끈 이론의 이중성(T-이중성, S-이중성 등)을 통해 다른 종류의 막이나 끈이 관련된 교차 현상으로도 논의가 확장된다.

3. 1. (p,q) 5-막

일반적으로 NS5-막과 D5-막은 결합하여 `(p,q) 5-막`으로 알려진 상태를 형성할 수 있다. 이 내용은 [https://arxiv.org/abs/hep-th/9908075 3차원 게이지 이론에서 브레인과 초대칭 깨짐] 연구에서 교차하는 (p,q) 5-막과 (p',q') 5-막의 경우로 확장되었다. 연구에 따르면, 두 막이 교차할 때 생성되거나 소멸하는 D3-막의 수는 `pq' - p'q`와 같다.

이는 일반화된 S-규칙으로 이어지는데, 이 규칙은 초대칭 구성에서 두 개의 5-막이 교차할 때 생성되는 D3-막의 수는 음수가 될 수 없다는 것을 의미한다. 만약 계산된 D3-막의 수가 음수가 된다면, 해당 게이지 이론은 자발적 초대칭 깨짐 현상을 보이는 것으로 해석된다.

3. 2. 쌍대 형식

T-이중성을 통해 어떤 II형 초끈 이론에서든 NS5-막과 Dp-막이 교차할 때 필연적으로 D(p-2)-막이 생성되거나 파괴된다는 결과를 얻는다. 이 설명을 M-이론으로 확장하면 두 개의 M5-막이 교차할 때 M2-막이 생성되거나 파괴된다는 것을 알 수 있다. S-이중성을 사용하면 NS5-막 없이 전이를 얻을 수도 있다. 예를 들어, D5-막과 D3-막이 교차할 때 기본 끈이 생성되거나 파괴된다.

4. 역사

아미하이 하나니(עמיחי חנני^heb)와 에드워드 위튼이 1996년 3차원 $\mathcal N=4$ 초대칭 게이지 이론의 거울 대칭을 연구하는 도중 발견하였다.^[2]

참조

_[1] 논문 Type IIB superstrings, BPS monopoles, and three-dimensional gauge dynamics
_[2] 논문 Type IIB superstrings, BPS monopoles, and three-dimensional gauge dynamics 1997-05-12

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