J-준동형

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1. 개요

J-준동형은 특수 직교군 SO(n)의 호모토피 군에서 초구의 호모토피 군으로 가는 군 준동형이다. 하인츠 호프가 처음 정의했으며, 조지 윌리엄 화이트헤드 2세에 의해 일반화되었다. 안정 J-준동형은 n이 무한대로 갈 때의 극한으로 정의되며, 아담스 추측과 관련이 깊다. J-준동형의 상은 안정 호모토피 군과 핵의 직접 합으로 분해되며, 아담스 e-불변량을 통해 설명할 수 있다. J-준동형은 아티야의 J(X) 그룹 정의에 사용되며, 호모토피 구의 H-코볼디즘 클래스 그룹에도 나타난다.

J-준동형

J-준동형사상

정의	위상수학에서 J-준동형사상은 특수직교군의 호모토피 군에서 구의 호모토피 군으로 가는 준동형사상이다. 이 준동형사상은 조지 W. 화이트헤드가 정의했다.

역사

발견	J-준동형사상은 하인츠 호프가 1935년에 발견했다.

성질

비자명성	J-준동형사상은 항상 자명하지는 않다. 구체적으로, J-준동형사상의 이미지는 다음과 같다.
이미지	n이 1, 3, 7인 경우, πn(SO(n+1)) → πn(Sn)은 전사 함수이다. n이 짝수인 경우, πn(SO(n+1)) → πn(Sn)은 단사 함수이다. n이 1, 3, 7이 아닌 홀수인 경우, πn(SO(n+1)) → πn(Sn)은 단사 함수도 전사 함수도 아니다.

참고 문헌

참고 문헌	John W. Milnor, Differential topology forty-six years later (미분위상수학 46년 후)

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 안정 J-준동형
3. 역사
4. J-준동형의 상
5. 응용

2. 정의

J-준동형은 다음과 같은 군 준동형이다.

: $J_{k,n} \colon \operatorname\pi_k(\operatorname{SO}(n)) \to \pi_{k+n}(\mathbb S^n)\qquad (k,n \ge 2)$

여기서
* $\pi_k(-)$ 는 다양체의 $k$ 차 호모토피 군이다.
* $\operatorname{SO}(n;\mathbb R)$ 은 실수체 계수 $n\times n$ 행렬로 구성된 특수 직교군이다. 이는 리 군이므로, 특히 매끄러운 다양체를 이룬다.
* $\mathbb S^n$ 은 $n$ 차원 초구이다. 이 역시 물론 매끄러운 다양체이다.

구체적으로, 이는 다음과 같다. 우선, 정의에 따라서, $\operatorname{SO}(n)$ 은 $\mathbb S^{n-1}$ 위에 표준적으로 매끄럽게 작용한다.

: $\operatorname{SO}(n) \to \mathcal C^\infty(\mathbb S^{n-1},\mathbb S^{n-1})$

따라서, $\operatorname{SO}(n)$ 의 $k$ 차 호모토피 군은 다음과 같은 꼴의 연속 함수의 호모토피류로 구성된다.

: $\operatorname S^k \times \mathbb S^{n-1} \to \mathbb S^{n-1}$

이는 다음과 같은 호모토피류를 정의한다.

: $\mathbb S^{k+n} \cong \mathbb S^k \star\mathbb S^{n-1} \to \operatorname S(\mathbb S^{n-1}) \cong \mathbb S^n$

이는 물론 $\pi_{k+n}(\mathbb S^n)$ 의 원소이다. 여기서 $X \star Y$ 는 두 위상 공간의 이음이며, $\operatorname S(-)$ 은 위상 공간의 현수이다.

화이트헤드의 원래 준동형 사상은 기하학적으로 정의되며, 다음의 준동형 사상을 제공한다.

: $J \colon \pi_r (\mathrm{SO}(q)) \to \pi_{r+q}(S^q)$

이는 정수 q 및 $r \ge 2$ 에 대한 아벨 군의 준동형 사상이다. (호프는 $q = r+1$ 인 특수한 경우에 대해 이를 정의했다.)

J-준동형 사상은 다음과 같이 정의될 수 있다.
특수 직교군 SO(q)의 원소는 $S^{q-1}\rightarrow S^{q-1}$ 와 같은 사상으로 간주될 수 있다.
호모토피 군 $\pi_r(\operatorname{SO}(q))$ 은 SO(q)로 가는 r-구에서 사상의 호모토피 클래스로 구성된다.
따라서 $\pi_r(\operatorname{SO}(q))$ 의 원소는 $S^r\times S^{q-1}\rightarrow S^{q-1}$ 와 같은 사상으로 표현될 수 있다.
이에 호프 구성을 적용하면 $S^{r+q}= S^r*S^{q-1}\rightarrow S( S^{q-1}) =S^q$ 와 같은 사상이 생성된다.
화이트헤드는 이를 J-준동형 사상 아래에서 $\pi_r(\operatorname{SO}(q))$ 의 원소의 이미지로 정의했다.

2.1. 안정 J-준동형

안정 J-준동형(stable J-homomomorphism^영어)은 $n\to\infty$ 극한을 취하면 얻을 수 있다. 안정 J-준동형은 다음과 같다.

: $J_{k,\infty} \colon \operatorname\pi_k(\operatorname{SO}(\infty))\to \operatorname\pi_k^{\mathbb S}$

여기서 $\operatorname{SO}$ 는 무한 특수 직교군이고, 우변은 구의 안정 호모토피 군의 r번째 안정 줄기이다.

3. 역사

하인츠 호프가 $\pi_k(\operatorname{SO}(k+1)) \to \pi_{2k+1}(\mathbb S^{k+1})$ 인 경우를 1935년에 구성하였다. 이후 조지 윌리엄 화이트헤드 2세(1918~2004)가 이를 $\pi_k(\operatorname{SO}(n)) \to \pi_{k+n}(\mathbb S^n)$ 인 경우로 일반화하였다.

4. J-준동형의 상

J-준동형의 상은 아담스가 제기하고 퀼런이 증명한 아담스 추측과 관련이 깊다. 군 $\pi_r(\operatorname{SO})$ 은 보트 주기성에 의해 결정되는 순환군이다. r이 양수일 때, r이 0 또는 1 모듈로 8이면 군의 위수가 2이고, r이 3 또는 7 모듈로 8이면 무한대이며, 그렇지 않으면 1이다. 특히 안정 J-준동형의 상은 순환군이다. 안정 호모토피 군 $\pi_r^S$ 는 (순환) J-준동형의 상과 핵의 직접 합이다. 여기서 아담스 e-불변량은 안정 호모토피 군에서 $\Q/\Z$ 로의 준동형 사상이다. r이 0 또는 1 mod 8이고 양수이면, 상의 위수는 2이다 (따라서 이 경우 J-준동형은 단사이다). r이 3 또는 7 mod 8이면, 상은 $B_{2n}/4n$ 의 분모와 같은 위수를 갖는 순환군이다. 여기서 $B_{2n}$ 은 베르누이 수이다. 나머지 경우, 즉 r이 2, 4, 5 또는 6 mod 8이면 $\pi_r(\operatorname{SO})$ 이 자명하므로 상은 자명하다.

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r	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
$\pi_r(\operatorname{SO})$	1	2	1	$\Z$	1	1	1	$\Z$	2	2	1	$\Z$	1	1	1	$\Z$	2	2
$\|\operatorname{im}(J)\|$	1	2	1	24	1	1	1	240	2	2	1	504	1	1	1	480	2	2
$\pi_r^S$	$\Z$	2	2	24	1	1	2	240	2²	2³	6	504	1	3	2²	480×2	2²	2⁴
$B_{2n}$				¹⁄₆				−¹⁄₃₀				¹⁄₄₂				−¹⁄₃₀

5. 응용

1961년 마이클 아티야는 공간 X의 그룹 J(X)를 소개했는데, 여기서 X가 구면일 때, 적절한 차원에서 J-준동형의 이미지이다.

J-준동형 $J \colon \pi_n(\mathrm{SO}) \to \pi_n^S$ 의 쌍대핵은 배향된 호모토피 구의 H-코볼디즘 클래스의 그룹 Θ_n에 나타난다.