이음 (위상수학)

1. 개요

이음은 두 위상 공간의 곱공간을 몫공간으로 정의하며, 기둥을 양 끝에서 서로 반대 방향으로 찌그러뜨린 형태를 갖는다. 이음은 뿔, 축소 이음, 현수 등과 관련되며, 기하학적 집합, 추상적 단순 복합체 등 다양한 맥락에서 정의된다. 이음 연산은 가환적이며, 국소 콤팩트 하우스도르프 공간에서는 결합 법칙이 성립한다. 이음은 호모토피 동치, 호모토피 연결성, 삭제된 조인 등 다양한 성질을 가지며, 사상 간의 이음도 정의된다. 초구, 단순체, 원뿔, 현수 등 다양한 예시를 통해 이음의 개념을 이해할 수 있다.

2. 정의

두 위상 공간 $X$, $Y$의 이음은 다음과 같은 곱공간의 몫공간이다.

:$X\; \backslash star\; Y\; =\; \backslash frac\{X\; \backslash times\; Y\; \backslash times\; [0,1]\}\{\backslash sim\}$

여기서 동치 관계 $\backslash sim$는 다음과 같다.

:$(x,y,t)\; \backslash sim\; (x\text{'},y\text{'},t\text{'})\; \backslash iff\; (t\; =\; t\text{'})\; \backslash land$
\left(
x=x' \lor t = 1
\right) \land
\left(
y=y' \lor t= 0
\right)

즉,

:$(x,y,0)\; \backslash sim\; (x\text{'},y,0)$
:$(x,y,1)\; \backslash sim\; (x,y\text{'},1)$

이다. 다시 말해, 기둥 $X\; \backslash times\; Y\; \backslash times\; [0,1]$을 양끝에서 서로 반대 방향으로 찌그려뜨린 것이다.

한원소 공간 $Y=\backslash \{\backslash bullet\backslash \}$과의 이음
:$X\; \backslash star\; \backslash \{\backslash bullet\backslash \}\; \backslash cong\; \backslash frac\{X\; \backslash times\; [0,1]\; \}\{\; X\; \backslash times\; \backslash \{1\backslash \}\; \}$
을 $X$의 뿔(cone^영어)이라고 한다.

두 점을 가진 공간 $(X,\backslash bullet\_X)$, $(Y,\backslash bullet\_Y)$의 축소 이음(reduced join^영어)은 다음과 같다.
:$X\; *\; Y\; =\; \backslash frac\{X\; \backslash star\; Y\}\{X\; \backslash star\backslash \{\backslash bullet\_Y\backslash \}\; \backslash cup\; \backslash \{\backslash bullet\_X\backslash \}\; \backslash star\; Y\}$
이는 사실 분쇄곱 $X\; \backslash wedge\; Y$의 축소 현수와 위상 동형이다. 이음과 축소 이음은 서로 호모토피 동치이다.
위상 공간 $X$의 원뿔은 $CX$로 표기하며, $X$와 한 점의 조인이다.

위상 공간 $X$의 현수는 $SX$로 표기하며, $X$와 $S^0$(0차원 구, 또는 두 점을 가진 이산 공간)의 조인이다.

2.1. 위상 공간의 이음

두 위상 공간 $X$, $Y$의 이음은 다음과 같은 곱공간의 몫공간이다.

:$X\; \backslash star\; Y\; =\; \backslash frac\{X\; \backslash times\; Y\; \backslash times\; [0,1]\}\{\backslash sim\}$

여기서 동치 관계 $\backslash sim$는 다음과 같다.

:$(x,y,t)\; \backslash sim\; (x\text{'},y\text{'},t\text{'})\; \backslash iff\; (t\; =\; t\text{'})\; \backslash land$
\left(
x=x' \lor t = 1
\right) \land
\left(
y=y' \lor t= 0
\right)

즉,

:$(x,y,0)\; \backslash sim\; (x\text{'},y,0)$
:$(x,y,1)\; \backslash sim\; (x,y\text{'},1)$

이다. 다시 말해, 기둥 $X\; \backslash times\; Y\; \backslash times\; [0,1]$을 양끝에서 서로 반대 방향으로 찌그려뜨린 것이다. $A$와 $B$가 비어 있지 않은 위상 공간이라면, 이음은 다음과 같은 몫공간으로 정의할 수 있다.

:$A\backslash star\; B\backslash \; :=\backslash \; (A\backslash times\; B\; \backslash times\; [0,1]\; )/\; \backslash sim,$

여기서 동치 관계 $\backslash sim$는 다음과 같다.

:$(a,\; b\_1,\; 0)\; \backslash sim\; (a,\; b\_2,\; 0)\; \backslash quad\backslash mbox\{for\; all\; \}\; a\; \backslash in\; A\; \backslash mbox\{\; and\; \}\; b\_1,b\_2\; \backslash in\; B,$
:$(a\_1,\; b,\; 1)\; \backslash sim\; (a\_2,\; b,\; 1)\; \backslash quad\backslash mbox\{for\; all\; \}\; a\_1,a\_2\; \backslash in\; A\; \backslash mbox\{\; and\; \}\; b\; \backslash in\; B.$

끝점에서 이로 인해 $A\backslash times\; B\backslash times\; \backslash \{0\backslash \}$는 $A$로, $A\backslash times\; B\backslash times\; \backslash \{1\backslash \}$는 $B$로 축소된다.

만약 $A$와 $B$가 유클리드 공간 $\backslash mathbb\{R\}^n$의 유계 부분 집합이고, 적절한 조건을 만족하면, 위상적 정의는 기하학적 정의로 축소된다.

2.2. 기하학적 집합의 이음

$A$와 $B$가 유클리드 공간 $\backslash mathbb\{R\}^n$의 부분 집합이라면, $A$의 한 점과 $B$의 한 점 사이의 모든 선분들의 집합으로 이음을 정의할 수 있다. 즉, 다음과 같다.

:$A\backslash star\; B\backslash \; :=\backslash \; \backslash \{\; t\backslash cdot\; a\; +\; (1-t)\backslash cdot\; b\; ~|~\; a\backslash in\; A,\; b\backslash in\; B,\; t\backslash in\; [0,1]\backslash \}$

일부 저자는 정의를 '결합 가능한' 부분 집합으로 제한하기도 한다. $A$의 한 점과 $B$의 한 점을 연결하는 서로 다른 두 선분은 최대 공통 끝점에서만 만나도록(즉, 내부에서 교차하지 않도록) 하는 것이다. $A$가 $\backslash mathbb\{R\}^n$에 있고 $B$가 $\backslash mathbb\{R\}^m$에 있다면, $A\backslash times\backslash \{\; 0^m\; \backslash \}\backslash times\backslash \{0\backslash \}$와 $\backslash \{0^n\; \backslash \}\backslash times\; B\backslash times\backslash \{1\backslash \}$은 $\backslash mathbb\{R\}^\{n+m+1\}$에서 결합 가능하게 만들수 있다.

2.3. 추상적 단순 복합체의 이음

두 추상적 단순 복합체 $A$와 $B$의 이음(영어: join) $A\; \backslash star\; B$는 다음과 같이 정의된다.

* 꼭짓점 집합 $V(A\backslash star\; B)$는 $V(A)$와 $V(\; B)$의 상호 배타적 합집합이다.
* $A\backslash star\; B$의 단순체는 $A$의 단순체와 $B$의 단순체의 모든 상호 배타적 합집합이다. 즉, $A\backslash star\; B\; :=\; \backslash \{\; a\backslash sqcup\; b:\; a\backslash in\; A,\; b\backslash in\; B\; \backslash \}$이다. 만약 $V(A)$와 $V(\; B)$가 서로 소라면, 이음은 단순히 $\backslash \{\; a\backslash cup\; b:\; a\backslash in\; A,\; b\backslash in\; B\; \backslash \}$이다.

3. 성질

3.1. 가환성

이음 연산은 위상동형까지 가환적이다. 즉, $A\backslash star\; B\backslash cong\; B\backslash star\; A$이다.

3.2. 결합성

일반적인 위상 공간에서는 이음의 결합 법칙이 성립하지 않는다. 그러나 국소 콤팩트 하우스도르프 공간 $A,\; B,\; C$에 대해서는 $(A\backslash star\; B)\backslash star\; C\; \backslash cong\; A\backslash star(B\backslash star\; C)$가 성립한다. 따라서, 공간의 자기 결합을 k번 하는 것을 정의할 수 있으며, $A^\{*k\}\; :=\; A\; *\; \backslash cdots\; *\; A$ (k번)로 나타낸다.

$A\backslash star\; B$와 동일한 기본 집합을 사용하지만 다른 위상을 사용하는 다른 결합 연산 $A\backslash ;\; \backslash hat\{\backslash star\}\backslash ;B$를 정의하는 것이 가능하다. 이 연산은 모든 위상 공간에 대해 결합적이다. 국소 콤팩트 하우스도르프 공간 $A$와 $B$에 대해, 결합 $A\backslash star\; B$와 $A\; \backslash ;\backslash hat\{\backslash star\}\backslash ;B$는 일치한다.

3.3. 호모토피 동치

만약 A와 A'가 호모토피 동치이면, A * B와 A' * B 또한 호모토피 동치이다.

3.4. 축소 이음

기저점을 가진 CW 복합체 $(A,\; a\_0)$와 $(B,\; b\_0)$가 주어졌을 때, "축소 이음"
:$\backslash frac\{A\backslash star\; B\}\{A\; \backslash star\; \backslash \{b\_0\backslash \}\; \backslash cup\; \backslash \{a\_0\backslash \}\; \backslash star\; B\}$
는 분쇄곱의 축소 현수

$\backslash Sigma(A\backslash wedge\; B)$

3.5. 호모토피 연결성

두 개의 삼각화 가능 공간 $A,\; B$가 주어졌을 때, 이들의 조인트의 호모토피 연결성 ($\backslash eta\_\{\backslash pi\}$)은 각 부분의 연결성의 합보다 크거나 같다.

* $\backslash eta\_\{\backslash pi\}(A*B)\; \backslash geq\; \backslash eta\_\{\backslash pi\}(A)+\backslash eta\_\{\backslash pi\}(B)$.

예를 들어, $A\; =\; B\; =\; S^0$을 두 개의 분리된 점의 집합이라고 하자. 점들 사이에 1차원 구멍이 있으므로 $\backslash eta\_\{\backslash pi\}(A)=\backslash eta\_\{\backslash pi\}(B)=1$이다. 조인트 $A\; *\; B$는 정사각형인데, 이는 2차원 구멍을 가진 원과 위상동형이므로 $\backslash eta\_\{\backslash pi\}(A\; *\; B)=2$이다. 일반적으로, n개의 $S^0$의 조인트는 $S^\{n-1\}$와 위상동형이며, $\backslash eta\_\{\backslash pi\}(S^\{n-1\})=n$이다.

3.6. 삭제된 조인

추상 복합체 A의 삭제된 결합은 A의 서로소 면들의 모든 분리합집합을 포함하는 추상 복합체이다.
: $A^\{*2\}\_\{\backslash Delta\}\; :=\; \backslash \{\; a\_1\backslash sqcup\; a\_2:\; a\_1,a\_2\backslash in\; A,\; a\_1\backslash cap\; a\_2\; =\; \backslash emptyset\; \backslash \}$
삭제된 조인 연산은 조인과 교환 가능하다. 즉, 모든 두 개의 추상 복합체 A와 B에 대해 다음과 같다.
: $(A*B)^\{*2\}\_\{\backslash Delta\}\; =\; (A^\{*2\}\_\{\backslash Delta\})\; *\; (B^\{*2\}\_\{\backslash Delta\})$
증명. 좌변 복합체의 각 단체는 $(a\_1\; \backslash sqcup\; b\_1)\; \backslash sqcup\; (a\_2\backslash sqcup\; b\_2)$의 형태를 가지며, 여기서 $a\_1,a\_2\backslash in\; A,\; b\_1,b\_2\backslash in\; B$이고 $(a\_1\; \backslash sqcup\; b\_1),\; (a\_2\; \backslash sqcup\; b\_2)$는 서로소이다. 서로소 합집합의 속성에 따라, 후자의 조건은 $a\_1,a\_2$가 서로소이고 $b\_1,b\_2$가 서로소인 것과 같다. 우변 복합체의 각 단체는 $(a\_1\; \backslash sqcup\; a\_2)\; \backslash sqcup\; (b\_1\backslash sqcup\; b\_2)$의 형태를 가지며, 여기서 $a\_1,a\_2\backslash in\; A,\; b\_1,b\_2\backslash in\; B$이고 $a\_1,a\_2$는 서로소이며 $b\_1,b\_2$는 서로소이다. 따라서 양변의 단체 집합은 정확히 같다.

특히, n차원 단체 $\backslash Delta^n$을 자신과 삭제된 조인은 n차원 교차 다포체이며, 이는 n차원 구 $S^n$와 위상 동형이다.

단순 복합체 A의 n-겹 k-겹 삭제 조인은 다음과 같이 정의된다.

:$A^\{*n\}\_\{\backslash Delta(k)\}\; :=\; \backslash \{\; a\_1\backslash sqcup\; a\_2\; \backslash sqcup\backslash cdots\; \backslash sqcup\; a\_n:\; a\_1,\backslash cdots,a\_n\; \backslash text\{는\; A의\; k-겹\; 서로소\; 면\; \}\; \backslash \}$

여기서 "k-겹 서로소"는 임의의 k개의 부분집합이 교집합이 공집합임을 의미한다.

m개의 점을 가진 이산 공간의 n-겹 2-겹 삭제 조인을 (m,n)-체스판 복합체라고 한다.

4. 사상

두 사상 $f\backslash colon\; A\_1\backslash to\; A\_2$와 $g\backslash colon\; B\_1\backslash to\; B\_2$가 주어졌을 때, 이들의 이음 $f\backslash star\; g\backslash colon\; A\_1\backslash star\; B\_1\; \backslash to\; A\_2\backslash star\; B\_2$는 이음 $A\_1\backslash star\; B\_1$의 각 점을 $a\backslash in\; A\_1,\; b\backslash in\; B\_1$에 대해 $t\backslash cdot\; a\; +(1-t)\backslash cdot\; b$로 나타내는 것을 기반으로 정의된다.
:$f\backslash star\; g\; ~(t\backslash cdot\; a\; +(1-t)\backslash cdot\; b)\; ~~=~~\; t\backslash cdot\; f(a)\; +\; (1-t)\backslash cdot\; g(b)$

5. 예시

초구의 이음은 다음과 같이 초구이다.
:$\backslash mathbb\; S^m\; \backslash star\; \backslash mathbb\; S^n\; \backslash cong\; \backslash mathbb\; S^\{m+n+1\}$
크기 2의 이산 공간 $\backslash mathbb\; S^0$과의 이음은 현수와 위상 동형이다.
* $A\; =\; \backslash \{\; \backslash emptyset,\; \backslash \{a\backslash \}\; \backslash \}$ 및 $B\; =\; \backslash \{\backslash emptyset,\; \backslash \{b\backslash \}\; \backslash \}$라고 가정한다. 즉, 점이 하나인 두 집합이다. 그러면 $A\; \backslash star\; B\; =\; \backslash \{\; \backslash emptyset,\; \backslash \{a\backslash \},\; \backslash \{b\backslash \},\; \backslash \{a,b\backslash \}\; \backslash \}$이며, 이는 선분을 나타낸다. A와 B의 정점 집합은 서로소임을 유의해야 한다. 그렇지 않으면 서로소로 만들어야 한다. 예를 들어, $A^\{\backslash star\; 2\}\; =\; A\; \backslash star\; A\; =\; \backslash \{\; \backslash emptyset,\; \backslash \{a\_1\backslash \},\; \backslash \{a\_2\backslash \},\; \backslash \{a\_1,a\_2\backslash \}\; \backslash \}$ 여기서 a₁과 a₂는 V(A)의 단일 요소의 두 복사본이다. 위상적으로 그 결과는 $A\; \backslash star\; B$와 같다. 즉, 선분이다.
* $A\; =\; \backslash \{\; \backslash emptyset,\; \backslash \{a\backslash \}\; \backslash \}$ 및 $B\; =\; \backslash \{\backslash emptyset,\; \backslash \{b\backslash \},\; \backslash \{c\backslash \},\; \backslash \{b,c\backslash \}\; \backslash \}$라고 가정한다. 그러면 $A\; \backslash star\; B\; =\; P(\backslash \{a,b,c\backslash \})$이며, 이는 삼각형을 나타낸다.
* $A\; =\; \backslash \{\; \backslash emptyset,\; \backslash \{a\backslash \},\; \backslash \{b\backslash \}\; \backslash \}$ 및 $B\; =\; \backslash \{\backslash emptyset,\; \backslash \{c\backslash \},\; \backslash \{d\backslash \}\; \backslash \}$라고 가정한다. 즉, 두 개의 이산 점이 있는 두 집합이다. 그러면 $A\backslash star\; B$는 면이 $\backslash \{a,c\backslash \},\; \backslash \{b,c\backslash \},\; \backslash \{a,d\backslash \},\; \backslash \{b,d\backslash \}$인 복합체이며, 이는 "사각형"을 나타낸다.
조합적 정의는 다음과 같은 의미에서 위상적 정의와 같다. 모든 두 개의 추상적 단순 복합체 $A$와 $B$에 대해 $||A\backslash star\; B||$는 $||A||\backslash star\; ||B||$와 동형이다. 여기서 $||X||$는 복합체 $X$의 모든 기하학적 실현을 나타낸다.
* 만약 $A\; =\; \backslash \{\; \backslash emptyset,\; \backslash \{a\backslash \}\; \backslash \}$ (단일 점)이라고 가정하자. 그러면 $A^\{*2\}\_\{\backslash Delta\}\; :=\; \backslash \{\; \backslash emptyset,\; \backslash \{a\_1\backslash \},\; \backslash \{a\_2\backslash \}\; \backslash \}$가 되며, 이는 두 개의 서로소인 점을 가진 이산 공간이다 ( $A^\{\backslash star\; 2\}\; =\backslash \{\; \backslash emptyset,\; \backslash \{a\_1\backslash \},\; \backslash \{a\_2\backslash \},\; \backslash \{a\_1,a\_2\backslash \}\; \backslash \}$ = 구간임을 기억하라).
* 만약 $A\; =\; \backslash \{\; \backslash emptyset,\; \backslash \{a\backslash \}\; ,\backslash \{b\backslash \}\backslash \}$ (두 점)이라고 가정하자. 그러면 $A^\{*2\}\_\{\backslash Delta\}$는 $\backslash \{a\_1,\; b\_2\backslash \},\; \backslash \{a\_2,\; b\_1\backslash \}$를 면으로 가지는 복합체이다(두 개의 서로소인 모서리).
* 만약 $A\; =\; \backslash \{\; \backslash emptyset,\; \backslash \{a\backslash \}\; ,\backslash \{b\backslash \},\; \backslash \{a,b\backslash \}\backslash \}$ (모서리)라고 가정하자. 그러면 $A^\{*2\}\_\{\backslash Delta\}$는 $\backslash \{a\_1,b\_1\backslash \},\; \backslash \{a\_1,\; b\_2\backslash \},\; \backslash \{a\_2,\; b\_1\backslash \},\; \backslash \{a\_2,b\_2\backslash \}$를 면으로 가지는 복합체이다(정사각형). $A^\{\backslash star\; 2\}$가 정사면체를 나타낸다는 것을 기억하라.
* 만약 A가 (n-1)차원 단체(n개의 꼭짓점을 가짐)를 나타낸다고 하자. 그러면 조인 $A^\{\backslash star\; 2\}$는 (2n-1)차원 단체(2n개의 꼭짓점을 가짐)이다. 즉, x₁+...+x_2n=1을 만족하는, 음이 아닌 좌표를 가진 모든 점(x₁,...,x_2n)의 집합이다. 삭제된 조인 $A^\{*2\}\_\{\backslash Delta\}$는 이 단체의 부분집합으로 간주될 수 있다. 즉, 해당 단체 내에서 오직 0이 아닌 좌표만이 x₁,..,x_n의 일부 k 좌표와 x_n+1,...,x_2n의 보완적인 n-k 좌표인 모든 점(x₁,...,x_2n)의 집합이다.

5.1. 초구의 이음

초구의 이음은 다음과 같이 초구이다.
:$\backslash mathbb\; S^m\; \backslash star\; \backslash mathbb\; S^n\; \backslash cong\; \backslash mathbb\; S^\{m+n+1\}$
크기 2의 이산 공간 $\backslash mathbb\; S^0$과의 이음은 현수와 위상 동형이다.

5.2. 단순체의 이음

두 단순체의 결합은 단순체이다. n차원과 m차원 단순체의 결합은 (m+n+1)차원 단순체이다. 몇 가지 특수한 경우는 다음과 같다.
* 두 개의 분리된 점의 결합은 선분이다(m=n=0).
* 점과 선분의 결합은 삼각형이다 (m=0, n=1).
* 두 선분의 결합은 고체 사면체 또는 사면체형 입체와 동형이다 (m=n=1).
* 점과 (n-1)차원 단순체의 결합은 n차원 단순체이다.
* 점과 다각형 (또는 임의의 폴리토프)의 결합은 피라미드이다. 예를 들어 점과 정사각형의 결합은 정사각뿔이다. 점과 정육면체의 결합은 육각뿔이다.
* 점과 원의 결합은 원뿔이고, 점과 구의 결합은 초원뿔이다.

초구의 이음은 다음과 같이 초구이다.
:$\backslash mathbb\; S^m\; \backslash star\; \backslash mathbb\; S^n\; \backslash cong\; \backslash mathbb\; S^\{m+n+1\}$
크기 2의 이산 공간 $\backslash mathbb\; S^0$과의 이음은 현수와 위상 동형이다.

5.3. 원뿔과 현수

초구의 이음은 다음과 같이 초구이다.
:$\backslash mathbb\; S^m\; \backslash star\; \backslash mathbb\; S^n\; \backslash cong\; \backslash mathbb\; S^\{m+n+1\}$
크기 2의 이산 공간 $\backslash mathbb\; S^0$과의 이음은 현수와 위상 동형이다. 위상 공간 $X$의 원뿔은 $CX$로 표기하며, $X$와 한 점의 조인이다. 위상 공간 $X$의 현수는 $SX$로 표기하며, $X$와 $S^0$(0차원 구, 또는 두 점을 가진 이산 공간)의 조인이다.

6. 한국의 위상수학 연구