YBC 7289
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1. 개요
YBC 7289는 정사각형과 대각선, 그리고 육십진법 숫자가 새겨진 고대 바빌로니아 점토판이다. 이 점토판은 한 변의 길이가 30인 정사각형의 대각선 길이를 근사하는 숫자 42;25,35와, 2의 제곱근의 근삿값인 1;24,51,10을 포함하고 있다. YBC 7289는 기원전 18세기에서 17세기 사이에 제작되었으며, 고대 세계에서 얻을 수 있는 가장 정확한 계산 중 하나로 평가받는다. 이 점토판은 현재 예일 대학교의 예일 바빌로니아 컬렉션에 소장되어 있다.
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| YBC 7289 | |
|---|---|
| Babylonian clay tablet | |
 | |
| 식별 | |
| 이름 | YBC 7289 |
| 소장처 | 예일대학교 바빌로니아 컬렉션 |
| 소장 번호 | YBC 7289 |
| 특징 | |
| 시대 | 기원전 1800년 ~ 기원전 1600년 |
| 내용 | 수학 |
| 문화 | 바빌로니아 |
2. 내용
1 + 24/60 + 51/602 + 10/603 = 1.41421296... 이 점토판은 또한 정사각형의 한 변이 30이고 그 결과 대각선이 42 25 35 또는 42.4263888... 인 예를 보여준다.||right||250px]]
YBC 7289는 점토판에 두 개의 대각선이 그려진 정사각형이 새겨져 있어 수학적으로 중요한 의미를 지닌다. 1945년 오토 노이게바우어와 아브라함 삭스는 이 점토판이 "고대 세계 어느 곳에서나 얻을 수 있는 가장 뛰어난 계산 정확도", 즉 6자리 소수점의 정확도를 보여준다고 평가했다.[2][4]
점토판에는 두 개의 대각선이 그려진 정사각형이 있으며, 정사각형의 한 면에는 육십진수인 30이 표시되어 있다.[3] 정사각형의 각 대각선에는 두 개의 육십진수가 적혀 있다. 첫 번째 육십진수인 1;24,51,10은 305470/216000 ≈ 1.414213을 나타내며, 이는 2의 제곱근의 근삿값으로 2백만분의 1 미만의 차이를 보인다. 두 번째 육십진수인 42;25,35는 30547/720 ≈ 42.426을 나타내며, 이는 주어진 2의 제곱근에 30을 곱한 결과로, 한 변의 길이가 30인 정사각형의 대각선 길이에 근사한다.[2][4]
바빌로니아 육십진법 표기법은 어떤 숫자가 어떤 자릿값을 갖는지 명확히 나타내지 않았기 때문에, 다른 해석으로는 정사각형 한 변의 숫자가 30/60 = 1/2이라는 것이다. 이 해석에 따르면 대각선의 숫자는 30547/43200 ≈ 0.70711이며, 이는 의 수치 근삿값으로, 변의 길이가 1/2인 정사각형의 대각선 길이에 해당하며, 역시 2백만 분의 1 미만의 오차를 보인다. 데이비드 파울러와 엘레노어 롭슨은 "따라서 우리는 기하학적 해석이 있는 상호 쌍의 숫자를 가지고 있습니다…"라고 언급하며, 바빌로니아 수학에서 상호 쌍의 중요성이 이러한 해석을 뒷받침하지만, 회의적인 이유도 있다고 지적한다.[2]
점토판 뒷면은 부분적으로 지워졌지만, 롭슨은 두 변과 대각선의 비율이 3:4:5인 직사각형의 대각선에 관한 유사한 문제를 포함하고 있다고 추정한다.[5] YBC 7289가 둥근 모양이고 상단에 큰 문자가 적혀 있다는 점은 서기가 손으로 들고 작업했음을 시사한다.[1][2]
이 서기는 다른 바빌로니아 점토판 BM96957 및 VAT6598에도 기록되어 있어,[2] 다른 점토판에서 2의 제곱근의 60진법 값을 베껴 쓴 것으로 추정되지만, 동료 서기와 함께 직접 계산했을 가능성도 제기된다.
2의 제곱근에 대한 동일한 60진법 근삿값 1;24,51,10은 후대 그리스 수학자 프톨레마이오스의 저서 『알마게스트』에도 기록되었다.[6][7]
3. 해석
YBC 7289는 대각선으로 묘사되지만, 표준 바빌로니아 관례에 따르면 정사각형의 변은 수직 및 수평으로, 숫자가 적힌 변은 상단에 위치했을 것이다.[3] 점토판의 작고 둥근 모양과 큰 글씨는 손바닥에 들고 거친 작업을 하는 학생이 사용했던 "손 태블릿" 유형임을 시사한다.[1][2] 학생은 다른 태블릿에서 2의 제곱근의 60진수 값을 복사했을 것이지만, 계산 절차는 다른 바빌로니아 태블릿 BM 96957 + VAT 6598에서 찾을 수 있다.[2]
다른 바빌로니아 태블릿에는 육각형 및 칠각형의 면적 계산과 같이 과 같은 더 복잡한 대수의 근사를 포함하는 계산도 있다.[2] 동일한 수 은 피라미드의 치수에 대한 특정 고대 이집트 계산의 해석에도 사용될 수 있다. 그러나 YBC 7289의 숫자가 훨씬 더 큰 수치 정밀도를 가지기 때문에, 단순한 추정치가 아니라, 숫자를 계산하는 일반적인 절차의 결과라는 것을 더 명확하게 보여준다.
프톨레마이오스는 그의 저서 ''알마게스트''에서 의 동일한 60진수 근사값 1;24,51,10을 사용했다.[6][7] 프톨레마이오스는 이 근사값이 어디에서 왔는지 설명하지 않았으며, 그의 시대에 널리 알려졌을 것으로 추정된다.
3. 1. √2 계산 방법
점토판에는 두 개의 대각선이 그려진 정사각형이 있으며, 한 면에는 육십진수인 30이 표시되어 있다. 정사각형의 각 대각선에는 두 개의 육십진수 두 개가 적혀 있다. 이 두 개 중 하나인 1;24,51,10은 숫자 305470/216000 ≈ 1.414213을 나타낸다. 이는 2백만분의 1 미만의 차이가 있는 제곱근 2의 근삿값이다.[3] 나머지 한 개에는 42;25,35가 적혀져 있고 이는 숫자 30547/720 ≈ 42.426을 나타낸다. 이 수는 주어진 제곱근 2에 30을 곱한 결과이며 한 변의 길이가 30인 정사각형의 대각선 길이와 근사한다.[3]
바빌로니아 육십진법 표기법은 어떤 숫자가 어떤 자릿값을 갖는지 나타내지 않았기 때문에, 다른 해석은 정사각형의 한 변에 있는 숫자가 30/60 = 1/2라는 것이다. 이 다른 해석에 따르면, 대각선에 있는 숫자는 30547/43200 ≈ 0.70711이며, 이는 의 수치 근사 값으로, 변의 길이가 1/2인 정사각형의 대각선 길이이며, 또한 2백만 분의 1 미만의 오차를 가진다. 데이비드 파울러와 엘레노어 롭슨은 "따라서 우리는 기하학적 해석이 있는 상호 쌍의 숫자를 가지고 있습니다…"라고 적었다. 그들은 바빌로니아 수학에서 상호 쌍의 중요성이 이러한 해석을 매력적으로 만들지만, 회의적인 이유가 있다고 지적한다.[2]
이 값을 계산하기 위해 현대에는 "페르마 수열"("프톨레마이오스 수열" 또는 "톨레미 수열"이라고 불러야 한다는 의견도 있다)이라고 불리는 점화식을 통해 (1, 3), (3, 7), (7, 17), (17, 41)이라는 수열을 얻어, (17, 41)에서 {696, 697, 985}를 유도하고 985분의 (696 + 697)을 구하여 반올림한 것으로 생각된다.
2의 제곱근에 대한 동일한 60진법 근사치인 1;24:51:10은 후대의 그리스 수학자 프톨레마이오스의 저서 『알마게스트』에도 기록되었다.[6][7]
3. 2. 상호쌍
YBC 7289 점토판에는 정사각형과 두 대각선이 그려져 있고, 한 변에는 60진법으로 30이, 대각선에는 두 개의 숫자가 적혀 있다. 첫 번째 숫자 1;24,51,10은 2의 제곱근의 근삿값이고, 두 번째 숫자 42;25,35는 이 값에 30을 곱한, 즉 변의 길이가 30인 정사각형의 대각선 길이에 해당한다. 데이비드 파울러와 엘레노어 롭슨은 이를 "기하학적 해석이 있는 상호쌍"이라고 설명하며,[2] 바빌로니아 수학에서 상호쌍이 중요하긴 하지만, 몇 가지 주의할 점도 있다고 지적한다.
3. 3. 뒷면
뒷면은 부분적으로 지워졌지만, 엘레노어 롭슨은 변의 길이 비율이 3:4:5인 직사각형의 대각선에 관한 유사한 문제를 포함하고 있다고 추정한다.[5]
4. 수학사적 의의
YBC 7289는 제곱근 2의 근삿값을 매우 정확하게 계산한 점토판으로, 1945년 오토 E. 노이게바우어와 아브라함 삭스가 그 수학적 중요성을 처음으로 인식했다.[2][4] 이 점토판은 "고대 세계 어느 곳에서나 얻을 수 있는 가장 뛰어난 계산 정확도"를 보여주며, 소수점 6자리(60진법)의 정확도를 갖는다.[2]
바빌로니아 사람들은 육각형이나 칠각형의 면적 계산과 같이 등 더 복잡한 대수의 근삿값을 구하는 데 능숙했다.[2] YBC 7289의 숫자는 훨씬 더 정밀하여, 단순한 추정이 아니라 체계적인 계산 절차를 거쳐 얻어진 결과임을 보여준다.[2]
4. 1. 프톨레마이오스와의 연관성
프톨레마이오스는 그의 저서 ''알마게스트''에서 의 60진법 근사값으로 1;24,51,10을 사용했다.[6][7] 프톨레마이오스는 이 근사값이 어디에서 왔는지 설명하지 않았지만, 그의 시대에는 널리 알려졌을 것으로 추정된다.5. 기원 및 소장
YBC 7289가 메소포타미아의 어디에서 유래되었는지는 알려져 있지 않지만, 그 모양과 필체로 보아 기원전 18세기부터 기원전 17세기 사이에 메소포타미아 남부에서 제작되었을 가능성이 높다.[1][2]
참조
[1]
논문
The best known old Babylonian tablet?
2012-07
[2]
논문
Square root approximations in old Babylonian mathematics: YBC 7289 in context
1998
[3]
서적
Mathematical Cuneiform Texts
American Oriental Society and the American Schools of Oriental Research, New Haven, Conn.
1945
[4]
서적
How mathematics happened: the first 50,000 years
Prometheus Books, Amherst, NY
2007
[5]
서적
Mesopotamian Mathematics
Princeton University Press
[6]
서적
A Survey of the Almagest
Springer
[7]
뉴스
A 3,800-year journey from classroom to classroom
None
Yale News
2016-04-11
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