바빌로니아 수학

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1. 개요
2. 바빌로니아 수학의 기원
3. 바빌로니아 숫자
4. 고바빌로니아 수학 (기원전 2000~1600년)
5. 바빌로니아 수학의 영향
참조

1. 개요

바빌로니아 수학은 고대 근동 지역에서 쐐기 문자로 기록된 수학적 관행을 의미하며, 기원전 5천 년에서 3천 년 사이에 시작되었다. 수메르 시대부터 60진법을 사용했으며, 이는 현재 시간과 각도의 단위에 영향을 미쳤다. 바빌로니아인들은 육십진법을 기반으로 한 자리값 표기법을 사용했으며, 산술, 대수학, 기하학 분야에서 발전된 지식을 보유했다. 특히, 이차 방정식 풀이, 피타고라스 정리 활용, 원주율 근사 등의 성과를 이루었으며, 지수적 성장과 이자 계산에도 능숙했다. 바빌로니아 수학은 그리스 수학에 영향을 미쳤다는 설이 있으며, 헬레니즘 시대를 거쳐 아라비아 수학의 발전에도 기여했다.

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바빌로니아 수학
지도
개요
분야	수학
문화권	고대 메소포타미아
시대	기원전 1800년경 - 기원전 539년경
특징
기수법	육십진법
기호	쐐기 문자
응용	대수학, 기하학
주요 내용
수 체계	육십진법 위치 기수법
대수학	이차방정식, 삼차방정식 풀이
기하학	피타고라스 정리 (피타고라스 삼조)
수론	역수표, 제곱수표, 세제곱수표
기타	원주율 근사값 (3)
역사
기원	수메르 문명
발전	바빌로니아 문명
쇠퇴	페르시아 제국의 지배

2. 바빌로니아 수학의 기원

바빌로니아 수학은 고대 근동에서 쐐기 문자로 쓰인 숫자와 보다 진보된 수학적 관행을 의미한다. 역사적으로 연구는 기원전 2천년대 초의 고바빌로니아 시대에 집중되어 왔다. 바빌로니아 수학의 최초 출현 시기에 대해서는 논란이 있으나, 역사가들은 대체로 기원전 5천년에서 3천년 사이로 추정하고 있다.^[32] 바빌로니아 수학은 주로 아카드어와 수메르어로 된 쐐기 문자로 점토판에 기록되었다.

"바빌로니아 수학"이라는 용어는 그 기원이 기원전 5천 년 불라 및 토큰과 같은 회계 장치의 사용으로 거슬러 올라가기 때문에, 적절하지 않은 용어일 수 있다.^[7]

수메르인에 의해 도시 국가가 건설된 후, 아카드 시대를 거쳐 기원전 1900년부터 1600년경의 아무르인에 의한 바빌론 제1왕조가 수도 바빌론을 중심으로 번영했다. 그 후, 히타이트와 아시리아 시대를 거쳐, 신바빌로니아가 다시 바빌론을 수도로 삼았다.

기원전 2600년부터 기원전 2000년의 수메르 시대부터 60진법이 사용된 기록이 있으며, 바빌로니아로 계승되었다고 여겨진다. 슈르파크에서 출토된 기원전 26세기의 수메르 시대 점토판에는 바빌로니아와 같은 60진법의 자리수 표기가 보인다.

3. 바빌로니아 숫자

바빌로니아는 육십진법(60을 기수로 하는) 기수법을 사용했으며, 현재 1분이 60초, 1시간이 60분, 원이 360도인 것은 여기서 유래했다.^[33] 바빌로니아인들이 수학에서 큰 발전을 이룰 수 있었던 이유는 두 가지가 있다. 첫째, 숫자 60은 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 (고도 합성수)의 약수를 가지는 고도 합성수이므로 분수 계산이 용이하다. 둘째, 이집트인과 로마인과 달리 바빌로니아인은 왼쪽 열에 쓰여진 숫자가 더 큰 값을 나타내는 위치 기수법을 사용했다.(십진법에서 734 = 7×100 + 3×10 + 4×1과 유사).^[34]

육십진법에 의한 자리 기수법은 바빌로니아 수학 발전에 기여했다. 빈 자릿수를 유지하기 위한 기호는 셀레우코스 제국 시대 이전부터 보이지만, '영'을 나타내지는 않았다.^[9]

4. 고바빌로니아 수학 (기원전 2000~1600년)

고바빌로니아 시대(기원전 2000~1600년)는 바빌로니아 수학이 크게 발전한 시기로, 이 시기에 만들어진 많은 수학 점토판이 발견되었다.

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4. 1. 산술

바빌로니아인들은 산술 계산을 돕기 위해 미리 계산된 표를 사용했다. 예를 들어, 1854년 유프라테스 강 센케라에서 발견된 두 개의 석판은 기원전 2000년경에 만들어졌는데, 59까지의 숫자 제곱과 32까지의 숫자 세제곱수가 적혀 있었다. 바빌로니아인들은 제곱표와 함께 다음 공식을 사용하여 곱셈을 단순화했다.^[35]

:

ab = \frac{(a + b)^2 - a^2 - b^2}{2}

:

ab = \frac{(a + b)^2 - (a - b)^2}{4}

바빌로니아인들은 장제법(나눗셈 알고리즘)을 알지 못했지만,^[35] 다음 식을 사용했다.

:

\frac{a}{b} = a \times \frac{1}{b}

즉, 역수 표를 이용하여 나눗셈을 곱셈으로 변환하여 계산했다. 소인수가 2, 3 또는 5뿐인 수(5- 매끄러운 수 또는 정칙수)는 60진법 표기법에서 유한한 역수를 가지며, 이러한 역수들의 목록이 있는 표가 발견되었다.

1/7, 1/11, 1/13 등과 같이 60진법에서 유한한 표현이 불가능한 역수는 근사값을 사용했다. 예를 들어 1/13을 계산하기 위해 다음과 같은 근사치를 사용했다.

:

\frac{1}{13} = \frac{7}{91} = 7 \times \frac {1}{91} \approx 7 \times \frac{1}{90}=7 \times \frac{40}{3600} = \frac{280}{3600} = \frac{4}{60} + \frac{40}{3600}.

4. 2. 대수학

바빌로니아인들은 방정식을 푸는 대수적인 방법을 개발하였다. 이차 방정식을 풀 때는 근의 공식을 사용했다.

:

x^2 + bx = c

여기서 ''b''와 ''c''는 반드시 정수일 필요는 없지만, ''c''는 항상 양수였다. 이 형태의 방정식의 해가 다음과 같다는 것을 알고 있었다.^[13]

:

x = - \frac{b}{2} + \sqrt{ \left ( \frac{b}{2} \right )^2 + c}

그리고 나눗셈과 평균을 사용하여 효율적으로 제곱근을 구했다.^[14] 이러한 유형의 문제에는 주어진 면적과 길이가 너비를 초과하는 양을 가지고 직사각형의 치수를 찾는 것이 포함되었다.

''n''³ + ''n''² 표는 특정 삼차 방정식을 푸는 데 사용되었다. 예를 들어, 다음 방정식을 고려해 보자.

:

ax^3 + bx^2 = c.

방정식에 ''a''²를 곱하고 ''b''³으로 나누면 다음과 같다.

:

\left ( \frac{ax}{b} \right )^3 + \left ( \frac {ax}{b} \right )^2 = \frac {ca^2}{b^3}.

''y'' = ''ax''/''b''를 대입하면 다음을 얻는다.

:

y^3 + y^2 = \frac {ca^2}{b^3}

이제 오른쪽 변에 가장 가까운 값을 찾기 위해 ''n''³ + ''n''² 표를 찾아 이 방정식을 풀 수 있었다. 바빌로니아인들은 대수적 표기법 없이 이를 달성하여 놀라운 깊이의 이해를 보여주었다. 그러나 일반적인 삼차 방정식을 푸는 방법은 없었다.

바빌로니아인들은 언어를 사용하는 수사적인 대수학을 통해, 일차 방정식, 이차 방정식, 연립 방정식까지 풀었다. 미지수를 나타내기 위해 기하학적인 용어를 활용했으며, 현대의 "''x''"에 해당하는 단어를 "변", 미지수의 제곱을 "정사각형", 두 개의 미지수를 사용할 때는 "길이"와 "폭"으로 곱을 "면적"이라고 불렀다. 3변수에서는 "길이", "폭", "높이"가 되어 곱은 "체적"이라고 불렀다.

4. 3. 기하학

바빌로니아인들은 부피와 면적을 측정하는 일반적인 규칙을 알고 있었다. 원의 둘레는 지름의 3배, 면적은 둘레 제곱의 1/12로 측정했는데, 이는 원주율(π)을 3으로 추정한 것이다. 수사 근처에서 발견된 점토판(기원전 19~17세기로 추정)에는 π의 더 정확한 근사값(25/8 = 3.125)이 제시되어 있다.^[43] 원기둥의 부피는 밑면과 높이의 곱으로 계산했지만, 원뿔이나 정사각뿔 절두체의 부피는 잘못 계산했다. 피타고라스 정리를 알고 있었으며, 이를 활용한 기록이 점토판에 남아있다.^[18] 수사에서 발견된 점토판에는, 피타고라스의 정리를 사용한 가장 오래된 예가 보인다. 이라크의 테르 하말에서 발견된 기원전 2000년 경의 점토판에서는, 후에 유클리드가 언급한 닮은 삼각형에 대해 이해하고 있었음을 알 수 있다. 또한, 원 넓이를 내접하는 정12각형과 외접하는 정12각형으로 근사했다.^[26] 대영 박물관에 보관된 점토판(기원전 350~50년경)은 바빌로니아인들이 곡선 아래 면적을 추정하기 위해 사다리꼴을 사용하는 방법을 사용했음을 보여준다. 이 방법을 통해 목성이 특정 시간 동안 이동한 거리를 계산했다.^[49]

4. 4. 플림톤 322

플림톤 322 점토판에는

a^2+b^2=c^2

을 만족하는 피타고라스 삼조 정수

(a,b,c)

가 기록되어 있다.^[42] 이 수들은 무작정 대입하여 구하기에는 너무 크고 많다.

이 점토판에 대해서는 많은 글이 쓰여졌는데, 초기 삼각법 표 역할을 했을 것이라는 추측도 있다. 그러나 당시 서예가들에게 익숙하거나 접근 가능한 방법을 기준으로 점토판을 보아야 한다.^[42]

[...] "점토판은 어떻게 계산되었는가?"라는 질문은 "점토판은 어떤 문제를 설정했는가?"라는 질문과 동일한 답을 가질 필요는 없다. 첫 번째 질문은 반세기 전에 처음 제안된 것처럼 상호 쌍으로 가장 만족스럽게 답할 수 있으며, 두 번째 질문은 일종의 직각 삼각형 문제로 답할 수 있다.^[42]

4. 5. 증가

바빌로니아인들은 지수적 성장, 제약된 성장 (시그모이드 함수의 일종), 배가 시간을 모델링했는데, 특히 배가 시간은 대출 이자를 계산하는 데 사용되었다.^[40]^[41]

기원전 2000년경의 점토판에는 "매월 1/60의 이자율(복리 없음)이 주어졌을 때 이자와 원금을 합친 값이 원금의 2배가 되는 시간을 계산하라"라는 문제가 있었다. 이 문제에서 연간 이자율은 12/60 = 20%가 되므로, 원금이 두 배가 되는 시간은 연간 100% 성장 / 20% 성장 = 5년이 된다.^[15]^[16]

5. 바빌로니아 수학의 영향

바빌로니아 수학은 유클리드 등의 그리스 수학에 영향을 미쳤다는 설이 있다. 영향을 인정하는 측은 바빌로니아의 2차 방정식과 유클리드 원론 제2권이 유사하다는 점을 근거로 든다. 영향을 인정하지 않는 측에서는 유클리드 원론 제2권의 내용은 기하학이며, 바빌로니아 수학과 같은 대수와는 관계가 없다고 주장한다.

셀레우코스 왕조 이후, 바빌로니아는 그리스의 영향을 받은 헬레니즘 문화와 교류가 활발해졌고, 더 나아가 후세의 메소포타미아에서는 이슬람 제국에 의한 아라비아 수학이 발전했다. 또한, 60진법은 천문학에서 사용되었기 때문에, 후세의 시간과 각도의 단위에 영향을 미쳤다.^[1]^[2]

참조

_[1] 논문 Studies in Assyro-Babylonian mathematics and metrology
_[2] 논문 Studies in Assyro-Babylonian mathematics and metrology
_[3] 논문 La classification des nombres dans les mathématiques babyloniennes
_[4] 서적 Mining the Archives: Festschrift for Christopher Walker on the occasion of his 60th birthday ISLET
_[5] 서적 The Cambridge Ancient History: Volume 3, Part 2: The Assyrian and Babylonian Empires and other States of the Near East, from the Eighth to the Sixth Centuries B.C. Cambridge University Press 1991
_[6] 서적 An Aramaic Wisdom Text From Qumran: A New Interpretation Of The Levi Document BRILL
_[7] 서적 Ancient Mesopotamia: New Perspectives ABC-CLIO
_[8] 뉴스 Why is a minute divided into 60 seconds, an hour into 60 minutes, yet there are only 24 hours in a day? http://www.scientifi[...] Scientific American 2007-03-05
_[9] 서적 The Historical Roots of Elementary Mathematics Courier Corporation
_[10] 웹사이트 Babylonian mathematics https://mathshistory[...]
_[11] 서적 Mathematical Cuneiform Texts https://books.google[...] American Oriental Society and the American Schools of Oriental Research
_[12] 문서 Fowler and Robson, p. 368.
_[13] 논문 The Babylonian quadratic equation
_[14] 논문 Reviews: Mathematics: From the Birth of Numbers. By Jan Gullberg 1999-01
_[15] 웹사이트 Why the "Miracle of Compound Interest" leads to Financial Crises http://michael-hudso[...]
_[16] 웹사이트 Have we caught your interest? http://plus.maths.or[...]
_[17] 문서 E. Robson, "Neither Sherlock Holmes nor Babylon: a reassessment of Plimpton 322", ''Historia Math.'' '''28''' (3), p. 202
_[18] 문서 David Gilman Romano, ''Athletics and Mathematics in Archaic Corinth: The Origins of the Greek Stadion'', American Philosophical Society, 1993
_[19] 문서 Eves, Chapter 2.
_[20] 서적 Trigonometric Delights https://archive.org/[...] Princeton University Press
_[21] 서적 The evolution of applied harmonic analysis: models of the real world https://books.google[...] Birkhäuser
_[22] 서적 Indiscrete thoughts https://books.google[...] Birkhäuser
_[23] 논문 Analyzing shell structure from Babylonian and modern times
_[24] 웹사이트 Babylonians Were Using Geometry Centuries Earlier Than Thought http://www.smithsoni[...] 2016-02-01
_[25] 문서 see the examples in BM 85194, BM 85196, BM 85210, as given in O. Neugebauer, ''Mathematische Keilschrift-Texte,'' Volume 1, 1935, chapter 3, and F. Thureau-Dangin, ''Textes Mathematiques Babyloniens,'' 1938, chapter 1
_[26] 문서 上垣渉, 「はじめて読む数学の歴史」, p.31
_[27] 논문 Studies in Assyro-Babylonian mathematics and metrology
_[28] 논문 Studies in Assyro-Babylonian mathematics and metrology
_[29] 논문 La classification des nombres dans les mathématiques babyloniennes
_[30] 서적 Mining the Archives: Festschrift for Christopher Walker on the occasion of his 60th birthday
_[31] 서적 The Cambridge Ancient History: Volume 3, Part 2: The Assyrian and Babylonian Empires and other States of the Near East, from the Eighth to the Sixth Centuries B.C.
_[32] 서적 An Aramaic Wisdom Text From Qumran: A New Interpretation Of The Levi Document
_[33] 뉴스 Why is a minute divided into 60 seconds, an hour into 60 minutes, yet there are only 24 hours in a day? http://www.scientifi[...] Scientific American 2007-03-05
_[34] 서적 The Historical Roots of Elementary Mathematics
_[35] 웹인용 Babylonian mathematics https://mathshistory[...]
_[36] 서적 Mathematical Cuneiform Texts https://books.google[...] American Oriental Society and the American Schools of Oriental Research
_[37] 웹사이트 Photograph, illustration, and description of the ''root(2)'' tablet from the Yale Babylonian Collection http://it.stlawu.edu[...]
_[38] 저널 The Babylonian quadratic equation https://archive.org/[...]
_[39] 저널 Reviews: Mathematics: From the Birth of Numbers. By Jan Gullberg 1999-01
_[40] 웹사이트 Why the "Miracle of Compound Interest" leads to Financial Crises https://web.archive.[...] 2012-05-10
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_[42] 문서 E. Robson, "Neither Sherlock Holmes nor Babylon: a reassessment of Plimpton 322", ''Historia Math.'' '''28''' (3), p. 202
_[43] 서적 A History of Pi St. Martin's Press
_[44] 문서 Eves, Chapter 2.
_[45] 서적 Trigonometric Delights https://archive.org/[...] Princeton University Press
_[46] 서적 The evolution of applied harmonic analysis: models of the real world https://books.google[...] Birkhäuser
_[47] 서적 Indiscrete thoughts https://books.google[...] Birkhäuser
_[48] 저널 Analyzing shell structure from Babylonian and modern times
_[49] 웹인용 Babylonians Were Using Geometry Centuries Earlier Than Thought http://www.smithsoni[...] 2016-02-01

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