플림톤 322

3. 내용

플림톤 322는 바빌로니아의 60진법으로 쓰여진 숫자표를 담고 있으며, 4개의 열과 15개의 행으로 구성되어 있다.^[6] 4번째 열은 행 번호를 1부터 15까지 나타내고, 2번째와 3번째 열은 현재 남아있어 완전히 해독 가능하다. 첫 번째 열은 가장자리가 깨져나가 원래 숫자를 추정하는 두 가지 방법이 있는데, 각 숫자의 시작 부분에 1을 추가하는지 여부에 따라 달라진다.^[6]

이 숫자들은 바빌로니아 60진법 표기법의 특성상 각 숫자가 60의 몇 제곱을 나타내는지 명확하게 표시되지 않아 해석에 어려움이 있다.

3. 1. 표의 구성

이들 4열의 왼쪽에 아직 결손된 열이 더 있다고 생각할 수도 있다. 이들 수의 60진법에서 10진법으로의 환산은 더욱 애매하다. 그것은 바빌로니아의 60진법 표기는 각 수가 60의 몇 제곱을 나타내는 자리의 것인지를 나타내는 데 특화되어 있지 않았기 때문이다.

3. 2. 표의 숫자

15행의 수정에는 두 가지 가능한 대안이 있다. 세 번째 열의 53을 두 배의 값인 1 46으로 바꾸거나, 두 번째 열의 56을 절반의 값인 28로 바꿀 수 있다.

이 열 왼쪽에 있는 태블릿의 부서진 부분에는 추가 열이 있을 가능성이 있다. 바빌로니아 60진법 표기법은 각 숫자에 곱해지는 60의 거듭제곱을 지정하지 않아, 이 숫자들의 해석이 모호하다. 두 번째 및 세 번째 열의 숫자는 일반적으로 정수로 간주된다. 첫 번째 열의 숫자는 분수로만 이해할 수 있으며, 그 값은 모두 1과 2 사이에 있다(초기 1이 있는 경우. 없는 경우 0과 1 사이에 있다).^[6]

이러한 분수는 정확하며, 절단이나 반올림된 근사치가 아니다. 다음 표는 이러한 가정을 바탕으로 한 태블릿의 10진법 번역이다. 첫 번째 열의 대부분의 정확한 60진법 분수는 종료 10진법 전개가 없으며 소수점 일곱 자리로 반올림되었다.

^*이전과 마찬가지로 15행에 대한 대체 가능한 수정 사항에는 두 번째 열에 28, 세 번째 열에 53이 있다. 11행의 두 번째 및 세 번째 열의 항목에는 15행을 제외한 다른 모든 행과 달리 공통 인수가 포함되어 있다. 45와 는 바빌로니아 수학에서 익숙한 (3,4,5) 직각 삼각형의 표준 (0.75, 1, 1.25) 스케일링과 일치하는 3/4와 5/4로 이해할 수 있다.

각 행에서 두 번째 열의 숫자는 직각 삼각형의 짧은 변 $s$로 해석할 수 있으며, 세 번째 열의 숫자는 삼각형의 빗변 $d$로 해석할 수 있다. 모든 경우에 긴 변 $l$도 정수이므로, $s$와 $d$는 피타고라스 수의 두 요소이다. 첫 번째 열의 숫자는 분수 $s^2/l^2$ ( "1"이 포함되지 않은 경우) 또는 $\backslash tfrac\{d^2\}\{l^2\}\backslash ,=\backslash ,\; 1+\backslash tfrac\{s^2\}\{l^2\}$( "1"이 포함된 경우)이다. 모든 경우에 긴 변 $l$은 정규수 즉, 60의 거듭제곱의 정수 약수이거나, 동등하게는 2, 3 및 5의 거듭제곱의 곱이다. 이러한 이유로 첫 번째 열의 숫자는 정확하며, 정수를 정규수로 나누면 종료 60진수 숫자가 생성되기 때문이다. 예를 들어, 표의 1행은 짧은 변이 119이고 빗변이 169인 삼각형을 설명하는 것으로 해석할 수 있으며, 이는 긴 변 $\backslash sqrt\{169^2-119^2\}=120$임을 의미하며, 이는 정규수(2³·3·5)이다. 1열의 숫자는 (169/120)² 또는 (119/120)²이다.

3. 3. 오류

• 2행 1열: 1과 10이 없는 경우 50과 6 사이에 공백을 남기지 않았다.
• 9행 2열: 8 대신 9를 썼다.

• 8행 1열: 두 육십진수 45, 14를 그 합인 59로 대체했다.

• 13행 2열: 숫자 7, 12, 1은 올바른 값 2, 41의 제곱이다. 이는 제곱근을 누락했거나 작업 태블릿에서 잘못된 숫자를 복사한 결과로 설명될 수 있다.^[7]
• 15행: 2열에서 28 대신 56을 썼다. 이는 상호 쌍을 사용하여 테이블을 계산할 때 필요한 후미 부분 알고리즘을 잘못 적용한 결과, 즉 2열과 3열의 숫자에서 공통된 정규 인수를 제거하는 반복 절차를 한 열에서 잘못된 횟수로 적용한 결과로 설명될 수 있다.^[8]
• 2행 3열: 올바른 숫자와 명백한 관련이 없으며, 여러 오류를 가정해야 설명 가능하다. 브라윈스(Bruins)는 3, 12, 01이 3, 13을 잘못 복사한 것일 수 있다고 보았으며, 이 경우 잘못된 숫자 3, 13에 대한 설명은 15행의 오류에 대한 설명과 유사하다.^[9]

4. 해석

플림톤 322의 각 행에 있는 숫자들은 직각삼각형의 변의 길이로 해석할 수 있다. 두 번째 열은 가장 짧은 변(s), 세 번째 열은 빗변(d)의 길이를 나타낸다. 첫 번째 열은 두 번째로 긴 변의 길이를 l이라고 했을 때, $\backslash scriptstyle\; \backslash frac\{s^2\}\{l^2\}$ 또는 $\backslash scriptstyle\; \backslash frac\{d^2\}\{l^2\}$의 값을 나타낸다. 이 숫자들의 생성 방법에 대해서는 여러 가지 해석이 존재한다.

오토 노이게바우어는 1951년에 이 표의 수가 피타고라스 수를 이룬다는 수론적 해석을 제시했다. 하지만 롭슨은 노이게바우어의 이론이 표에 있는 숫자들이 선택된 방식과 순서, 그리고 첫 번째 열의 수의 목적을 설명하지 못한다고 비판했다.

1995년 조이스는 삼각함수와 연관 지어 설명했지만, 롭슨은 이 이론이 당시 바빌로니아 수학 기록에 없는 내용에 기반하고 있다고 비판했다.

2002년 롭슨은 다른 점토판 "YBC 6967"을 기반으로, 플림톤 322가 "정칙 역수의 쌍의 표"이며, 연습용 과제였을 것이라는 해석을 제시했다.^[32][33] 롭슨은 이 점토판의 저자가 라르사의 신전이나 궁전에서 일하던 전문 서기관이었을 것이라고 추정한다.^[35][36]

플림톤 322는 브라마굽타 공식에 따라 직사각형 목록으로 해석될 수 있다. 브라마굽타 공식에 따르면 플림톤 322에 기록되어야 하는 행은 15개이다.

플림톤 322를 산가쿠나 황금비와 연관 짓는 추측도 있지만, 학설로서의 조건을 충족하지는 못한다.

4. 1. 피타고라스 수 목록

5. 제작 방법

플림톤 322의 숫자 생성 방법에 대해서는 학자들 사이에 여러 의견이 있다. 주요한 두 가지 제안은 노이게바우어와 삭스가 제안한 '생성 쌍 방법'과, Bruins^[11]가 제안하고 Voils,^[12] Schmidt,^[13] Friberg^[13]가 발전시킨 '상호 쌍 방법'이다.

두 방법의 핵심적인 내용은 하위 섹션에서 자세히 다루고 있으며, 여기서는 두 방법의 간략한 비교와 주요 논쟁점을 제시한다.
두 방법의 비교:

• 수학적 결과: 두 방법 모두 동일한 피타고라스 삼중수를 생성한다. 다만, ''p''와 ''q''가 모두 홀수인 경우 생성 쌍 방법에서는 2라는 인수가 곱해진다는 차이가 있다. 하지만 이 차이는 플림톤 322의 15행에서만 나타나는데, 이 행에 오류가 있어 두 방법을 구별하는 기준으로 사용하기 어렵다.^[19]
• 계산 방법: 역수 쌍 제안에서 수량 ''x''는 생성 쌍 제안의 비율 ''p''/''q''에 해당한다. 두 제안은 계산 방법에 차이가 있지만, 수학적 결과는 거의 동일하다.

• ''x''의 계산: 역수 쌍 제안에서 ''x'' 값이 어떻게 계산되었는지에 대한 의견이 분분하다. ''p''와 ''q''에서 직접 계산되었는지, ''p''/''q''와 ''q''/''p'' 조합만 사용되었는지, 아니면 역수표와 같은 다른 출처에서 얻어졌는지 등이 논쟁거리이다.^[19][20]
• 네 자리 역수표: ''x'' 또는 1/''x'' 값 중 일부는 네 자리 60진법 숫자인데, 네 자리 역수표가 알려져 있지 않아 어려움이 있다. 롭슨은 고대 바빌로니아 시대의 자료와 계산 방법으로 모든 ''x'' 값을 설명할 수 있다고 주장한다.
• 삼각형 치수: 노이게바우어와 삭스는 플림톤 322의 삼각형 치수가 거의 이등변 직각삼각형에서 예각이 30°와 60°에 가까운 직각삼각형까지 다양하며, 각도가 약 1°씩 균일하게 감소한다고 지적했다. 이들은 ''p'', ''q'' 쌍이 이러한 각도 변화를 염두에 두고 의도적으로 선택되었다고 보았다.
• de Solla Price의 제안: de Solla Price|드 솔라 프라이스^영어는 생성 쌍 방법의 틀 안에서 ''q'' 값이 항상 한 자리 육십진수(1 ≤ ''q'' < 60)라는 점에 주목했다. 그는 ''p''/''q'' 비율이 1행의 2.4(12/5)에서 15행의 약 31.9°에 해당하는 9/5까지 감소하며, 이 사이에 15개의 규칙적인 비율이 존재하여 플림톤 322의 행과 일대일 대응된다고 보았다. 그는 또한 숫자 간격이 균등한 것은 의도된 것이 아니라, 숫자 범위 내 규칙적인 비율의 밀도에서 비롯되었을 수 있다고 지적했다.
• 표의 확장: de Solla Price는 ''q''가 한 자리 육십진수라는 조건을 유지하면서 23쌍을 더 추가하여 총 38쌍을 만들 수 있다고 보았다. 그는 필사자가 표를 확장하려 했을 가능성을 제기했다.^[21] 롭슨은 표가 "완전"하지 않다는 데 동의하지만, de Solla Price의 제안을 직접 다루지는 않았다.

5. 1. 생성 쌍

5. 2. 역수 쌍

MS 3971 § 3a의 매개변수는 불확실하다. MS 3052의 문제 매개변수는 플림톤 322의 행 11의 (3,4,5) 직각 삼각형 재조정에 해당한다. MS 3971의 매개변수는 플림톤 322의 행과 일치하지 않지만, de Solla Price의 플림톤 322 테이블 확장 제안의 행에는 해당한다.

YBC 6967의 문제에서 상호 쌍은 면적 1인 직사각형의 변의 길이지만, MS 3052 및 MS 3971의 문제에서는 x|x^bb와 1/x|x^bb의 기하학적 의미가 명시되지 않았다. 유한 육십진법 너비와 대각선을 가진 직사각형을 생성하기 위한 절차를 적용하는 것이 목표로 보인다.^[18]

역수 쌍 제안에서 수량 x|x^bb는 생성 쌍 제안의 비율 p|p^bb / q|q^bb에 해당한다. 두 제안은 계산 방법에서 차이가 있지만, 수학적으로는 큰 차이가 없다. 단, p|p^bb와 q|q^bb가 모두 홀수인 경우 2라는 인수가 곱해진다.^[19] x|x^bb가 기본 p|p^bb와 q|q^bb에서 계산되었는지, 아니면 p|p^bb / q|q^bb와 q|q^bb / p|p^bb의 조합만 사용되었는지, 혹은 x|x^bb가 역수표와 같은 다른 출처에서 직접 얻어졌는지에 대해서는 의견이 갈린다.^[20]

x|x^bb 또는 1/x|x^bb 값 중 일부는 네 자리 60진법 숫자이며, 네 자리 역수표는 알려져 있지 않다. 그러나 알려진 고대 바빌로니아 시대의 자료와 계산 방법으로 사용된 모든 x|x^bb 값을 설명할 수 있다.

de Solla Price는 생성 쌍 프레임워크 내에서 표의 모든 행이 1 ≤ q|q^bb<60을 만족하는 q|q^bb에 의해 생성된다고 관찰했다. 비율 p|p^bb/q|q^bb는 표의 1행에서 12/5=2.4로 가장 크며, $\backslash sqrt\{2\}+1\backslash approx2.414$보다 항상 작다. 비율은 15행에서 가장 작으며, p|p^bb/q|q^bb=9/5이고 각도는 약 31.9°이다. q|q^bb가 한 자리 육십진수인 9/5와 12/5 사이에는 정확히 15개의 규칙적인 비율이 있으며, 이들은 태블릿의 행과 일대일 대응 관계에 있다.

de Solla Price는 비율의 자연스러운 하한이 1일 것이라고 주장했다. q|q^bb가 한 자리 육십진수라는 요구 사항을 유지하면서, 태블릿에 표시된 것 외에 23쌍이 더 있어 총 38쌍이 된다는 것을 발견했다. 그는 태블릿의 열 사이의 수직 점수가 뒷면까지 이어져 있어, 필사자가 표를 확장하려 했을 수 있음을 시사한다. 그는 사용 가능한 공간이 23개의 추가 행을 정확하게 수용할 것이라고 주장한다. 상호 쌍 제안의 지지자들도 이 방식을 옹호했다.^[21]

6. 목적 및 저자

오토 노이게바우어는 수론적 해석을 주장했지만, 표의 항목들이 특정 범위 내에서 1열의 값이 상당히 규칙적으로 감소하도록 하기 위해 의도적으로 선택된 결과라고 믿었다.^[23]

버크(Buck)와 롭슨(Robson)은 모두 삼각법적 설명을 언급했지만, 롭슨은 언어학적 근거를 들어 삼각법 이론이 "개념적으로 시대착오적"이라고 주장했다. 즉, 당시 바빌로니아 수학 기록에 존재하지 않는 너무 많은 다른 아이디어에 의존한다는 것이다.^[24]

2003년, 미국수학회(MAA)는 롭슨의 연구에 대해 레스터 R. 포드 상을 수여하며, "플림톤 322의 저자는 전문 수학자나 아마추어 수학자였을 가능성이 낮다. 그는 교사였을 가능성이 더 높으며 플림톤 322는 일련의 연습 문제였을 것이다."라고 밝혔다.^[25]

롭슨은 현대적 용어로 대수학적이라고 특징지을 수 있는 접근 방식을 취했지만, 이를 구체적인 기하학적 용어로 설명하고 바빌로니아인들도 이 접근 방식을 기하학적으로 해석했을 것이라고 주장한다. 따라서 이 점토판은 일련의 풀이된 연습 문제를 제공하는 것으로 해석할 수 있다. 이는 당시 서기 학교의 전형적인 수학적 방법을 사용하며, 해당 시대의 행정가들이 사용했던 문서 형식으로 작성되었다.^[26] 롭슨은 저자가 라르사의 서기, 즉 관료였을 것이라고 주장한다.^[27] 플림톤 322와 BM 80209와 같은 유사한 점토판의 반복적인 수학적 설정은 교사가 서로 동일한 형식으로, 그러나 다른 데이터를 사용하여 문제를 설정하는 데 유용했을 것이다.

참조

_[1] 간행물 Jewels in Her Crown: Treasures of Columbia University Libraries Special Collections http://www.columbia.[...] Columbia University
_[2] 문서 Harvtxt|Robson|2002
_[3] 문서 When comparing dates given by different sources, note that many of Wikipedia's articles on the ancient world use the short chronology, while much of the history of mathematics literature uses the middle chronology. An exception is {{harvtxt|Britton|Proust|Shnider|2011}}, which uses the long chronology.
_[4] 문서 Harvtxt|Robson|2002
_[5] 문서 Harvtxt|Robson|2002
_[6] 문서 Harvtxt|Robson|2001
_[7] 문서 Harvtxt|Friberg|1981
_[8] 문서 Harvtxt|Friberg|1981
_[9] 문서 See also {{harvtxt|Friberg|1981}}, pp. 298–299; {{harvtxt|Robson|2001}}, p. 193; {{harvtxt|Britton|Proust|Shnider|2011}}, p, 537–538.
_[10] 문서 Harvtxt|Friberg|2007
_[11] 문서 Harvtxt|Bruins|1949
_[12] 문서 unpublished, but described in {{harvtxt|Buck|1980}}
_[13] 문서 Harvtxt|Friberg|1981
_[14] 문서 Harvtxt|Friberg|2007
_[15] 문서 Harvtxt|Robson|2001
_[16] 문서 Harvtxt|Friberg|2007
_[17] 문서 Harvtxt|Friberg|2007
_[18] 문서 Harvtxt|Britton|Proust|Shnider|2011
_[19] 문서 Harvtxt|Friberg|1981
_[20] 문서 Harvtxt|Bruins|1957
_[21] 문서 Harvtxt|Friberg|1981
_[22] 문서 Harvtxt|Robson|2001
_[23] 간행물 Plimpton 322 http://aleph0.clarku[...]
_[24] 문서 Harvtxt|Robson|2002
_[25] 간행물 MathFest 2003 Prizes and Awards http://www.maa.org/f[...] Mathematical Association of America
_[26] 문서 Harvtxt|Robson|2002
_[27] 문서 Harvtxt|Robson|2002
_[28] 문서 Robson, Eleanor. "Words and Pictures: New Light on Plimpton 322," in ''American Mathematical Monthly'', February 2002, 109, pp. 105–119.
_[29] 문서 Robson (2002), p.109.
_[30] 문서 Robson (2002), p.111.
_[31] 문서 Robson (2002), in ''American Mathematical Monthly'', p.110.
_[32] 문서 Robson (2002), in ''American Mathematical Monthly'', p.116.
_[33] 웹사이트 The Mathematical Association of America https://maa.org/math[...] 2009-02-24
_[34] 서적 Mathematical Cuneiform Texts American Oriental Society and the American Schools of Oriental Research
_[35] 문서 Robson (2002), in ''American Mathematical Monthly'', pp.117-118.
_[36] 간행물 American Mathematical Monthly 2002