가브리엘의 뿔

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1. 개요
2. 수학적 정의
- 2.1. 부피와 표면적
- 2.2. 토리첼리의 증명
3. 역설
- 3.1. 겉넓이와 부피의 불일치
- 3.2. 페인트칠의 역설 (Painter's Paradox)
4. 반례: 역은 성립하지 않음
- 4.1. 정리
- 4.2. 증명
참조

1. 개요

가브리엘의 뿔은 함수 y = 1/x (x ≥ 1)의 그래프를 x축을 중심으로 회전시켜 생성되는 도형으로, 무한한 표면적을 가지면서 유한한 부피를 갖는다는 역설적인 특징을 보인다. 미적분을 통해 부피와 표면적을 계산할 수 있으며, 토리첼리의 증명을 통해 카발리에리의 원리를 이용한 부피 계산도 가능하다. 이 도형은 겉넓이와 부피의 불일치, 페인트칠 역설 등 다양한 역설을 제시하며, 이러한 역설은 무한의 본질에 대한 논쟁을 촉발했다. 또한, 유한한 겉넓이를 가지면서 무한한 부피를 갖는 회전체는 존재하지 않는다는 반례가 제시된다.

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가브리엘의 뿔

2. 수학적 정의

가브리엘의 뿔은 함수 y = 1/x (x ≥ 1)의 그래프를 x축을 중심으로 3차원 회전시켜서 만든다. 이 발견은 미적분학이 발명되기 전 카발리에리의 원리를 써서 이루어졌지만, 오늘날에는 미적분을 사용하여 부피와 표면적을 계산할 수 있다.

2. 1. 부피와 표면적

미적분을 사용하여 가브리엘의 나팔의 부피와 표면적을 계산할 수 있다. x = 1과 x = a (a > 1) 사이에서 나팔의 부피 V와 표면적 A는 다음과 같이 주어진다.

:

V = \pi\int_1^a \left(\frac{1}{x}\right)^2 \,\mathrm{d}x = \pi\left(1 - \frac{1}{a}\right),

:

A = 2\pi\int_1^a \frac{1}{x} \sqrt{1 + \left(-\frac{1}{x^2}\right)^2} \,\mathrm{d}x > 2\pi\int_1^a \frac{\mathrm{d}x}{x} = 2\pi \cdot  \left[\ln x \right]_{1}^{a} = 2\pi\ln a.

a가 커짐에 따라 부피는 π에 수렴하지만, π를 넘지는 않는다. a가 무한대로 갈 때 부피의 극한은 π이다.

:

\lim_{a\to\infty} V = \lim_{a\to\infty} \pi\left(1 - \frac{1}{a}\right) = \pi \cdot \lim_{a\to\infty}\left(1 - \frac{1}{a}\right) = \pi.

표면적 공식은 a의 자연로그에 2π를 곱한 값보다 크다는 하한을 제공한다. a가 무한대로 갈 때 a의 자연로그는 상한이 없으므로, 나팔의 표면적은 무한하다.

:

\lim_{a\to\infty} A \ge \lim_{a\to\infty} 2\pi\ln a = \infty.

2. 2. 토리첼리의 증명

토리첼리는 미적분을 사용하지 않고 카발리에리의 원리를 이용하여 가브리엘의 뿔의 부피가 유한함을 증명했다. 그는 급한 쌍곡선 입체를 x축에 수직인 평면으로 잘라내고, 그 평면의 반대쪽에 같은 밑면을 가진 원기둥을 추가하여 부피를 계산했다.^[1]

토리첼리는 y축을 따라 이 복합 입체(추가된 원기둥 포함) 내부에 있는 일련의 동심 원기둥의 겉넓이를 합산하여 이 입체의 부피를 계산하고, 이것이 다른 입체(유한한 부피가 알려짐) 내부의 넓이를 합산하는 것과 같다는 것을 보였다.^[2]

현대 용어로 이 입체는 (엄격히 양수인 b)에 대해 다음 함수의 회전면을 구성하여 생성되었다.^[2]

:

\quad{}y = \begin{cases}\dfrac{1}{c}, & \text{여기서 }0 \le x \le b, \\\dfrac{1}{x}, & \text{여기서 }b \le x.\end{cases}

그리고 토리첼리의 정리는 이 입체의 부피가 높이가

1/b

이고 반지름이

\sqrt{2}

인 직원기둥의 부피와 같다는 것이다.^[2]^[1]

토리첼리는 이 입체의 부피가 반지름이

1/b \ge r \ge 0

이고 높이가

h = 1/r

인 일련의 동심 원기둥의 겉넓이에서 유도될 수 있음을 보였다.^[2] 이 원기둥들(측면만)의 겉넓이 공식에 대입하면 모든 원기둥의 겉넓이가

2\pi r h = 2\pi r \times 1/r = 2\pi

로 일정하게 된다.^[2] 이는 반지름이

\sqrt{2}

인 원의 넓이와도 같으며, 원기둥들의 중첩된 겉넓이(입체의 부피를 채움)는 따라서 0부터

1/b

까지 쌓인 반지름이

\sqrt{2}

인 원들의 넓이와 같다. 따라서 앞서 언급한 직원기둥의 부피는

V = \pi r^2 h = \pi(\sqrt{2})^2 \times 1/b = 2\pi/b

이다.^[2]

추가된 원기둥의 부피는

V_c = \pi r^2 \times h = \pi(1/b)^2 \times b = \pi/b

이며, 따라서 잘린 급한 쌍곡선 입체 자체의 부피는

V_s = V - V_c = 2\pi/b - \pi/b = \pi/b

이다. 현대 미적분 유도에서와 같이

b = 1

이면

V_s = \pi

이다.

Opera geometrica^la에서 이것은 (잘린) 급한 쌍곡선 입체의 부피에 대한 두 가지 증명 중 하나이다. 이 증명에서 카발리에리의 불가분량법을 사용하는 것은 당시 논란이 되었고 그 결과는 충격적이었다(토리첼리는 나중에 Gilles de Roberval이 이를 반증하려고 시도했다고 기록했다).

3. 역설

가브리엘의 뿔이 발견되었을 때, xy 평면의 무한히 큰 부분을 x축을 중심으로 회전시켜 유한한 부피를 가진 물체를 생성한다는 사실은 역설로 여겨졌다. xy 평면에 있는 부분은 면적이 무한하지만, 이와 평행한 다른 모든 단면은 유한한 면적을 갖는다. 따라서 단면의 "가중치 합"으로 계산되는 부피는 유한하다.

이러한 명백한 역설은 토마스 홉스, 존 월리스, 갈릴레오 갈릴레이를 포함한 당시 주요 사상가들이 참여한 무한의 본질에 대한 논쟁의 일부를 형성했다.^[1]

아이작 배로는 1666년 강의에서 토리첼리의 정리가 아리스토텔레스의 "유한과 무한 사이에는 비례가 없다"는 격언을 제한했다고 주장했다. 아리스토텔레스는 무한한 신체의 물리적 존재 불가능성에 대한 주장을 펼쳤지만, 배로는 아리스토텔레스의 격언이 길이, 면적, 부피와 같이 동일한 종류의 것을 비교할 때만 더 제한적인 방식으로 유지된다고 설명했다. 즉, 면적과 부피처럼 두 가지 다른 종류의 것을 비교할 때는 성립하지 않으며, 따라서 무한한 면적이 유한한 부피와 연결될 수 있다는 것이다.

이냐스-가스통 파르디는 쌍곡선 고체를 사용하여 유한한 인간이 무한을 이해할 수 있다고 주장하고, 이를 신과 비물질적인 영혼의 존재에 대한 증거로 제시했다. 반대로, 앙투안 아르노는 인간의 사고는 이해할 수 있는 것에 제한되어 있으며, 따라서 신성하고 종교적인 진실을 반박할 수 없다고 주장했다.

토마스 홉스와 존 월리스의 논쟁은 수학의 영역 내에 있었다. 월리스는 무한과 무한소의 개념을 받아들이고 토리첼리의 연구를 확장했지만, 홉스는 수학에서 "무한"은 "불확정"만을 의미할 수 있다고 주장했다. 이들은 왕립 학회와 《철학적 거래》에 강한 어조의 편지를 주고받으며 논쟁을 벌였다.

3. 1. 겉넓이와 부피의 불일치

가브리엘의 뿔이 발견되었을 때, xy 평면의 무한히 큰 부분을 x축 중심으로 회전시켜 유한한 부피를 가진 물체를 만든다는 사실은 역설로 여겨졌다.^[1] xy 평면에 있는 부분은 면적이 무한하지만, 이와 평행한 다른 모든 단면은 유한한 면적을 가지므로, 단면의 "가중치 합"으로 계산되는 부피는 유한하다.

다른 접근 방식은 고체를 반지름이 감소하는 원판들의 집합으로 취급하는 것이다. 각 원판은 반지름 r|r^영어 = 1/''x'' 과 면적 π''r''² 또는 π/''x''²을 갖는다. 반지름의 합은 무한대로 가는 조화급수를 생성하지만, 면적의 합, 즉 Σ 1/''x''²는 수렴한다. 일반적으로, 임의의 실수 ε|ε^영어 > 0에 대해 급수 Σ 1/''x''^{1+ε|ε^영어}는 수렴한다. 이 결과에 대한 자세한 내용은 리만 제타 함수의 특수값을 참조하면 된다.

이러한 명백한 역설은 토마스 홉스, 존 월리스, 갈릴레오 갈릴레이를 포함한 당시 주요 사상가들이 참여한 무한의 본질에 대한 논쟁의 일부를 형성했다.^[1]

2차원에서 가브리엘의 뿔과 유사한 도형은 면적은 2이지만 둘레는 무한하다

평면에서 길이와 면적에 적용되는 유사한 현상이 있다. 곡선 1/''x''²과 −1/''x''² 사이의 1부터 무한대까지의 면적은 유한하지만, 두 곡선의 길이는 분명히 무한하다.

3. 2. 페인트칠의 역설 (Painter's Paradox)

가브리엘의 뿔은 부피는 유한하지만 겉넓이는 무한한 입체이다. 따라서 유한한 양의 페인트로 뿔의 내부는 채울 수 있지만, 겉면을 모두 칠하는 것은 불가능하다는 역설이 제기된다.^[2] 그러나 이는 '페인트'에 대한 정의가 불완전하거나, 채우기와 칠하기에 모순되는 정의를 사용함으로써 발생하는 외견상의 역설일 뿐이다.^[2]

이 역설은 '수학적 페인트'와 '물리적 페인트' 두 가지 관점에서 해결할 수 있다.^[2]

수학적 페인트: 무한히 얇게 펴 바를 수 있거나, 두께가 0인 페인트를 가정한다. 이 경우 무한한 겉넓이에 0의 두께를 곱하면 미정형이 되므로, 무한한 양의 페인트가 필요하다는 결론은 성립하지 않는다.^[2]

물리적 페인트: 실제 페인트처럼 0이 아닌 두께를 가진 페인트를 가정한다. 이 경우 뿔의 바깥쪽을 칠하려면 무한한 양의 페인트가 필요하다. 하지만 토리첼리의 정리는 뿔 바깥쪽에 유한한 두께의 층을 칠하는 것에 대해 언급하지 않으며, 실제로 바깥쪽 층은 무한한 부피를 가진다. 따라서 페인트의 무한한 부피와 칠해야 할 무한한 겉넓이 사이에는 모순이 없다.^[2] 또한, 뿔의 내부를 물리적 페인트로 채우는 것은 불가능하며, 페인트는 뿔의 부피를 근사적으로만 채울 수 있다. 이는 분자들이 3차원 공간을 완전히 채우지 않고 틈을 남기며, 뿔의 "목" 부분이 너무 좁아져 페인트 분자가 통과할 수 없기 때문이다.^[2]

물리적 페인트는 유한한 속도로 이동하며, 뿔을 채우는 데 무한한 시간이 걸린다. 이는 0의 두께를 가진 "수학적" 페인트에도 적용될 수 있다.^[2]

페인트의 부피가

\pi

일 때, 칠해야 할 겉넓이가 무한대로 커짐에 따라 페인트의 두께(

\pi/A

)는 0으로 수렴한다. 즉, 한 차원에서 겉넓이가 무한히 증가하는 것은 다른 차원(페인트 두께)이 무한히 감소함으로써 상쇄된다. 충분히 빠른 속도로 얇아지는 무한 속도의 페인트와 같은 "수학적" 페인트에 대한 다른 가정들도 역설을 제거한다.^[2]

결론적으로, 가브리엘의 뿔은 유한한 부피를 가지므로 유한한 양의 페인트로 채울 수 있지만, 뿔의 내면을 유한한 양의 페인트로 완전히 칠하는 것은 불가능하다는 역설은 페인트의 성질에 대한 가정에 따라 해결될 수 있는 외견상의 역설이다.^[2] 뿔의 외면을 일정 두께로 칠하려면 무한한 양의 페인트가 필요하지만, 내면은 원점에서 멀어질수록 가늘어지므로 일정 두께로 칠할 수 없다.^[2]

4. 반례: 역은 성립하지 않음

가브리엘의 나팔과 반대로, 유한한 표면적을 가지면서 무한한 부피를 갖는 회전체는 존재하지 않는다. 이는 17세기 수학자들 사이에서 활발히 논의된 주제였다.^[1]

크리스티안 하위헌스와 르네-프랑수아 드 슐뤼스는 토리첼리의 정리를 다른 무한히 긴 회전체로 확장하는 것에 대해 논의했다. 이들은 처음에 유한한 표면적을 가지면서 무한한 부피를 갖는 회전체를 찾는 것이 가능하다고 생각했다.^[1]

하지만, 이후 연구를 통해 유한한 표면적을 갖는 모든 회전면은 반드시 유한한 부피를 가져야 한다는 것이 밝혀졌다.^[1] 얀 A. 반 마넨 교수는 드 슐뤼스가 1658년 하위헌스에게 그러한 형태를 발견했다고 잘못 진술했다는 초기 보고는 오해에서 비롯된 것이라고 설명했다. 드 슐뤼스가 실제로 보고한 것은 디오클레스의 시소이드와 그 점근선을 y축을 중심으로 회전시켜 형성된 "술잔" 모양의 고체가 유한한 부피를 가지면서 무한한 부피의 공간을 포함한다는 것이었다.^[1]

하위헌스는 시소이드와 그 점근선 사이의 회전된 2차원 모양(면적)이 유한함을 보였고, 드 슐뤼스는 파푸스의 중심 정리를 적용하여 그 회전체가 유한한 부피를 가짐을 증명했다.^[1]

4. 1. 정리

연속적으로 미분 가능한 함수 f : [1, ∞) → [0, ∞)|f : [1, ∞) → [0, ∞)^영어가 있다고 하자. x축을 중심으로 곡선 y = f(x)|y = f(x)^영어를 회전시켜 얻은 회전체를 S|S^영어로 나타낸다. S|S^영어의 겉넓이가 유한하다면, 부피 또한 유한하다. 가브리엘의 나팔과는 반대되는 현상, 즉 유한한 겉넓이와 무한한 부피를 동시에 가지는 회전면은 존재하지 않는다.

; 정리

: f : [1,∞) → [0,∞)|f : [1,∞) → [0,∞)^영어는 연속적으로 미분 가능하다고 하고, y = f(x)|y = f(x)^영어를 x-축 주위로 회전시킨 회전체를 S|S^영어라고 하자. '''S|S^영어의 겉넓이가 유한하다면 부피 또한 유한하다'''.

4. 2. 증명

측면 면적이 유한하므로, 상극한은 다음과 같다.

\begin{align}\lim_{t\to\infty} \sup_{x\ge t} f(x)^2 - f(1)^2&= \limsup_{t\to\infty} \int_1^t \left(f(x)^2\right)' \,\mathrm{d}x \\&\le \int_1^\infty \left|\left(f(x)^2\right)'\right| \,\mathrm{d}x =\int_1^\infty 2f(x) \left|f'(x)\right| \,\mathrm{d}x \\&\le \int_1^\infty 2f(x) \sqrt{1 + f'(x)^2} \,\mathrm{d}x =\frac{A}{\pi} \\&< \infty.\end{align}

따라서, 최상계가 유한한 값이 존재한다. 따라서,

M = \sup\{f(x) \mid x \ge 1\}

은 연속 함수이므로 유한해야 하며, 이는 구간 에서 유계임을 의미한다.

마지막으로, 부피는 다음과 같다.

\begin{align}V &= \int_1^\infty f(x) \cdot \pi f(x) \,\mathrm{d}x \\&\le \int_1^\infty \frac{M}{2} \cdot 2\pi f(x) \,\mathrm{d}x \\&\le \frac{M}{2} \cdot \int_1^\infty 2\pi f(x) \sqrt{1 + f'(x)^2} \,\mathrm{d}x = \frac{M}{2} \cdot A.\end{align}

따라서, "면적 이 유한하면 부피 도 유한해야 한다"는 결론을 얻는다.

'''가브리엘의 뿔'''과는 반대되는 현상, 즉 유한한 겉넓이와 무한한 부피를 동시에 가지는 회전면은 존재하지 않는다.

; 정리

: 연속적으로 미분 가능하다고 하고, 를 -축 주위로 회전시킨 회전체를 라고 하자. '''의 겉넓이가 유한하다면 부피 또한 유한하다'''.

참조

_[1] 서적 Nonplussed!: mathematical proof of implausible ideas Princeton University Press
_[2] 서적 Infinity: The Quest to Think the Unthinkable Robinson (Constable & Robinson Ltd)

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