보흐너 적분

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 라돈-니코딤 성질
- 4.1. 라돈-니코딤 성질을 갖는 공간
- 4.2. 라돈-니코딤 성질을 갖지 않는 공간
5. 예
6. 역사
참조

1. 개요

보흐너 적분은 바나흐 공간 값 함수에 대한 적분으로, 일반적인 르베그 적분의 확장이다. 단순 함수의 보흐너 적분은 지시 함수의 선형 결합으로 정의되며, 보흐너 적분 가능 함수는 단순 함수열의 극한으로 정의된다. 보흐너 적분은 르베그 적분과 유사한 성질을 가지며, 지배 수렴 정리와 같은 정리가 성립한다. 보흐너 적분은 라돈-니코딤 성질과 관련이 있으며, 힐베르트 공간과 같은 반사 공간은 라돈-니코딤 성질을 갖는다. 보흐너 적분은 잘로몬 보흐너에 의해 도입되었다.

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보흐너 적분
일반 정보
이름	보흐너 적분
영어 이름	Bochner integral
분야	실해석학
유형	적분
발명가	살로몬 보흐너
발명 연도	1933년
정의
설명	단순 함수열의 극한으로 정의
특징
특징	측도 공간에서 정의된 바나흐 공간 값 함수의 적분 실수 값 함수의 적분 개념을 확장
응용
응용 분야	확률론, 편미분 방정식

2. 정의

$\mathbb K$ 가 $\mathbb R$ (실수) 또는 $\mathbb C$ (복소수)이고, $\mathbb K$ -바나흐 공간 $(V,\|\|_V)$ 와 측도 공간 $(X,\mathcal S,\mu)$ 가 주어졌다고 하자. 보흐너 적분은 단순 함수를 통해 정의되며, 르베그 적분과 유사한 방식으로 확장된다.

먼저, 단순 함수는 다음과 같은 유한 합으로 정의된다.

: $s(x) = \sum_{i=1}^n \chi_{E_i}(x) b_i$

여기서 각 기호는 다음을 의미한다.

$E_i$ 는 $\sigma$ -대수 $\Sigma$ 의 서로소인 원소
$b_i$ 는 $B$ 의 서로 다른 원소
$\chi_{E_i}$ 는 $E_i$ 의 지시 함수

만약

b_i \neq 0

일 때마다

\mu(E_i)

가 유한하면, 이 단순 함수는 적분 가능하며, 적분은 다음과 같이 정의된다.

:

\int_X \left[\sum_{i=1}^n \chi_{E_i}(x) b_i\right] d\mu = \sum_{i=1}^n \mu(E_i) b_i

이는 일반적인 르베그 적분과 동일하다.

2. 1. 단순 함수

측도 공간

(X,\mathcal S,\mu)

에서 바나흐 공간

(V,\|\|_V)

로 가는 '''단순 함수'''

f\colon X\to V

는 유한 개의 지시 함수들의 선형 결합으로 표현되며, 다음과 같은 꼴이다.

:

f=\sum_{i=1}^kv_i\chi_{S_i}

여기서 각 변수는 다음을 의미한다.

$v_1,\dotsc,v_k\in V$
$S_1,\dotsc,S_k\in\mathcal S$
$k\in\mathbb N$
$\chi$ 는 지시 함수

2. 2. 보흐너 적분 가능 함수

보흐너 적분 가능 함수는 단순 함수열의 극한으로 표현될 수 있는 함수이다.

f\colon X\to V

에 대하여, 다음 등식이 성립하는 단순 함수열

(f_i)_{i\in\mathbb N}

이 존재하면,

f

를 '''보흐너 적분 가능 함수'''라고 한다.

:

\lim_{i\to\infty}\int_X\|f-f_i\|_V\,\mathrm d\mu=0

여기서 좌변의 적분은 실수 값의 르베그 적분이다.

측정 가능한 함수

f : X \to B

는 적분 가능한 단순 함수의 수열

s_n

이 존재하여 위와 같은 식을 만족하면 보흐너 적분 가능하다.

2. 3. 보흐너 적분

다음과 같은 데이터가 주어졌다고 가정한다.

$\mathbb K\in\{\mathbb R,\mathbb C\}$
$\mathbb K$ - 바나흐 공간 $(V,\|\|_V)$
측도 공간 $(X,\mathcal S,\mu)$

이때,

X\to V

'''단순 함수'''는 다음과 같은 형태의 함수

f\colon X\to V

이다.

:

f=\sum_{i=1}^kv_i\chi_{S_i}

:

v_1,\dotsc,v_k\in V

:

S_1,\dotsc,S_k\in\mathcal S

:

k\in\mathbb N

(여기서

\chi

는 지시 함수이다.)

단순 함수의 '''보흐너 적분'''은 다음과 같이 정의된다.

:

\int_X \left(\sum_{i=1}^kv_i\chi_{S_i}\right)\,\mathrm d\mu=\sum_{i=1}^kv_i\mu(S_i)\in V

임의의 함수

f\colon X\to V

에 대해, 만약 다음 좌변이 존재하고 다음 등식을 만족하는 단순 함수열

(f_i)_{i\in\mathbb N}

이 있다면,

f

를 '''보흐너 적분 가능 함수'''라고 정의한다.

:

\lim_{i\to\infty}\int_X\|f-f_i\|_V\,\mathrm d\mu=0

여기서 좌변의 적분은 실수 값의 르베그 적분이다.

이 경우, 보흐너 적분 가능 함수

f

의 '''보흐너 적분'''은 다음과 같다.

:

\int_Xf\,\mathrm d\mu=\lim_{i\to\infty}\int_X f_i\,\mathrm d\mu

여기서 우변의 극한은 노름 거리 위상에 대한 것이다.

측정 가능한 함수

f : X \to B

가 보흐너 적분 가능하려면, 적분 가능한 단순 함수의 수열

s_n

이 존재하여 위 식을 만족해야 한다. 이때 보흐너 적분은 위와 같이 정의할 수 있다.

수열

\left\{\int_Xs_n\,d\mu \right\}_{n=1}^{\infty}

가 바나흐 공간

B

에서 코시 수열임이 증명 가능하며, 따라서 우변의 극한은 존재한다. 또한, 극한은 단순 함수

\{s_n\}_{n=1}^{\infty}

의 근사 수열에 의존하지 않는다. 이러한 언급은 적분이 잘 정의되어 있음을 보여준다. 함수가 보흐너 적분 가능하려면 함수가 보흐너 공간

L^1

에 속해야 한다.

2. 4. 보흐너 공간

X\to V

보흐너 적분 가능 함수들의

\mathbb K

-벡터 공간을

\mathcal L^1(X;V)

라고 하자. 그 위에 반노름

:

\|f\|=\int_X\|f\|_V\,\mathrm d\mu

을 줄 수 있다. 이 반노름이 0인 원소들의 부분 벡터 공간에 대한 몫

:

\operatorname L^1(X;V)=\frac{\mathcal L^1(X;V)}{\{f\in \mathcal L^1(X;V)\colon \mu(\{x\in X\colon f(x)\ne0\})=0\}}

을 1-'''보흐너 공간'''(Bochner space^영어)이라고 한다. 어떤 함수가 보흐너 적분 가능하려면 그 함수는 보흐너 공간

L^1

에 속해야 한다.

3. 성질

보흐너 적분은 르베그 적분의 여러 성질들을 만족한다.

보흐너 가적분 판정 조건에 따르면, (''X'', Σ, μ)가 유한 측도 공간일 때, 보흐너 가측 함수 ƒ: ''X'' → ''B''가 보흐너 가적분이기 위한 필요충분 조건은 다음과 같다.

: $\int_X \|f\|_B\, d\mu < \infty$

여기서 함수 ƒ: ''X'' → ''B''가 보흐너 가측이라는 것은 μ에 관해서 거의 모든 곳에서 단순 함수열의 극한이 되는 것을 의미한다.

ƒ가 보흐너 가적분이면 임의의 ''E'' ∈ Σ에 대해 다음 부등식이 성립한다.

: $\left\|\int_Ef\,d\mu\right\|_B \le \int_E \|f\|_B\,d\mu$

이때 집합 함수

: $E\mapsto \int_E f\, d\mu$

는 μ에 관해 절대 연속인 ''X'' 위의 가산 가법적 ''B''-값 벡터 측도를 정의한다.

3. 1. 기본 성질

보흐너 적분은 르베그 적분과 유사한 여러 성질을 가진다. 특히, 보흐너 적분 가능성에 대한 보흐너의 기준이 유용하다. 이 기준에 따르면,

(X, \Sigma, \mu)

가 측도 공간일 때, 보흐너 가측 함수

f \colon X \to B

가 보흐너 적분 가능할 필요충분조건은 다음과 같다.

:

\int_X \|f\|_B\, \mathrm{d} \mu < \infty.

함수

f \colon X \to B

가

\mu

-거의 어디에서나

B

의 분리 가능한 부분 공간

B_0

의 값을 갖는 함수

g

와 같고,

B

의 모든 열린 집합

U

의 역상

g^{-1}(U)

가

\Sigma

에 속하면, 이 함수를 '''보흐너 가측'''이라고 한다. 이는

f

가 가산 값을 갖는 단순 함수의 수열의

\mu

-거의 어디에서나의 극한이라는 것과 동등하다.

보흐너 적분은 지배 수렴 정리도 만족한다. 구체적으로,

f_n \colon X \to B

가 완비 측도 공간 위의 가측 함수열이고 거의 모든 곳에서

f

로 수렴하며, 거의 모든

x \in X

에서

\|f_n(x)\|_B \le g(x)

를 만족하는

g \in

르베그 공간

|L^1(\mu))

가 존재한다면,

n \to \infty

일 때 다음이 성립한다.

:

\int_X \|f-f_n\|_B\,d\mu \to 0

또한, 임의의

E \in \Sigma

에 대해 다음이 성립한다.

:

\int_E f_n\,d\mu \to \int_E f\,d\mu

f

가 보흐너 가적분이면, 임의의

E \in \Sigma

에 대해 다음 부등식이 성립한다.

:

\left\|\int_Ef\,d\mu\right\|_B \le \int_E \|f\|_B\,d\mu

특히, 집합 함수

:

E\mapsto \int_E f\, d\mu

는

\mu

에 관해 절대 연속인

X

위의 가산 가법적

B

-값 벡터 측도를 정의한다.

3. 2. 선형 연산자

만약

T \colon B \to B'

가 바나흐 공간

B

와

B'

사이의 연속 선형 연산자이고,

f \colon X \to B

가 보흐너 적분 가능하면,

T f \colon X \to B'

도 보흐너 적분 가능하며 모든 가측 부분 집합

E \in \Sigma

에 대해 다음이 성립한다.

\int_E T f \, \mathrm{d} \mu = T \int_E f \, \mathrm{d} \mu

이는 적분과

T

의 적용을 서로 바꿀 수 있음을 의미한다.

이 결과의 더 강한 형태는 '''힐의 정리'''라고 불리며, 닫힌 연산자에도 성립한다.^[1] 만약

T \colon B \to B'

가 바나흐 공간

B

와

B'

사이의 닫힌 선형 연산자이고,

f \colon X \to B

와

T f \colon X \to B'

가 모두 보흐너 적분 가능하면, 모든 가측 부분 집합

E \in \Sigma

에 대해 다음이 성립한다.

\int_E T f \, \mathrm{d} \mu = T \int_E f \, \mathrm{d} \mu

3. 3. 지배 수렴 정리

지배 수렴 정리의 한 버전은 보흐너 적분에도 적용된다. 구체적으로,

f_n \colon X \to B

가 완비 측도 공간에서 거의 모든 곳에서 극한 함수

f

로 수렴하는 가측 함수의 수열이고, 거의 모든

x \in X

에 대해

\|f_n(x)\|_B \leq g(x)

이며,

g \in L^1(\mu)

일 때,

\int_E \|f-f_n\|_B \, \mathrm{d} \mu \to 0

(

n \to \infty

일때) 이고,

\int_E f_n\, \mathrm{d} \mu \to \int_E f \, \mathrm{d} \mu

(모든

E \in \Sigma

에 대해) 가 성립한다.

4. 라돈-니코딤 성질

보흐너 적분에서는 일반적인 경우 라돈-니코딤 정리가 성립하지 않는다. 대신, "좋은" 바나흐 공간을 정의하는 '''라돈-니코딤 성질'''이 사용된다.^[2]

$\mu$ 가 $(X, \Sigma)$ 위의 측도일 때, 전변동이 유계이고 $\mu$ 에 대해 절대 연속인 $B$ 값을 갖는 모든 가산 가법 벡터 측도 $\gamma$ 에 대해, 모든 가측 집합 $E \in \Sigma$ 에서 $\mu$ -적분 가능한 함수 $g : X \to B$ 가 존재하여 다음이 성립하면 $\mu$ 에 대해 라돈-니코딤 성질을 가진다고 한다.

: $\gamma(E) = \int_E g\, d\mu$ ^[2]

바나흐 공간 $B$ 가 모든 유한 측도에 대해 라돈-니코딤 성질을 가지면 라돈-니코딤 성질을 갖는다고 한다.^[2] 바나흐 공간이 라돈-니코딤 성질을 가질 때, 보흐너 적분에 대한 라돈-니코딤 정리가 성립한다.

라돈-니코딤 성질의 동치 표현은 다음과 같다.^[3]^[4]

$B$ 에서 유계인 이산 시간 마팅게일은 거의 확실하게 수렴한다.
$B$ 로의 유계 변동 함수는 거의 모든 곳에서 미분 가능하다.
모든 유계 $D\subseteq B$ 에 대해, $f\in B^*$ 와 $\delta\in\mathbb{R}^+$ 가 존재하여 $\{x:f(x)+\delta>\sup{f(D)}\}\subseteq D$ 는 임의로 작은 지름을 갖는다.

4. 1. 라돈-니코딤 성질을 갖는 공간

\ell_1

공간은 라돈-니코딤 성질을 갖지만,

c_0

과

\Omega

가

\R^n

의 열린 유계 부분 집합인 경우

L^{\infty}(\Omega),

L^1(\Omega),

공간, 그리고

K

가 무한 컴팩트 공간인 경우

C(K)

는 그렇지 않다.^[5] 라돈-니코딤 성질을 갖는 공간으로는 분리 가능한 쌍대 공간(이는 던포드-패티스 정리이다)과 반사 공간이 있으며, 여기에는 특히 힐베르트 공간이 포함된다.^[2]

4. 2. 라돈-니코딤 성질을 갖지 않는 공간

\ell_1

공간은 라돈-니코딤 성질을 가지지만,

c_0

공간,

\Omega

가

\R^n

의 열린 유계 부분 집합인 경우

L^{\infty}(\Omega)

,

L^1(\Omega)

공간, 그리고

K

가 무한 컴팩트 공간인 경우

C(K)

는 라돈-니코딤 성질을 갖지 않는 것으로 알려져 있다.^[5] 라돈-니코딤 성질을 가진 공간으로는 분리 가능한 쌍대 공간(이는 던포드-패티스 정리이다)과 반사 공간이 있으며, 여기에는 특히 힐베르트 공간이 포함된다.^[2]

5. 예

만약 $V=\mathbb K$ (실수 또는 복소수)일 경우, $V$ 값의 보흐너 적분은 르베그 적분과 같다.

6. 역사

잘로몬 보흐너가 도입하였다.^[7]

참조

_[1] 서적 Vector Measures American Mathematical Society
_[2] 논문 The Radon–Nikodym Theorem for Reflexive Banach Spaces http://www.emis.de/j[...]
_[3] 간행물
_[4] 간행물 "Early workers in this field were concerned with the Banach space property that each {{mvar|X}}-valued function of bounded variation on {{closed-closed|0,1}} be differentiable almost surely. It turns out that this property (known as the Gelfand-Fréchet property) is also equivalent to the RNP [Radon-Nikodym Property]."
_[5] 간행물
_[6] 논문 The Radon-Nikodym Theorem for Reflexive Banach Spaces http://www.emis.de/j[...]
_[7] 논문 Integration von Funktionen, deren Werte die Elemente eines Vektorraumes sind http://matwbn.icm.ed[...]

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