거울상
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1. 개요
거울상은 기하학, 광학, 화학 등 다양한 분야에서 사용되는 개념으로, 물체의 반사된 이미지 또는 대칭성을 의미한다. 기하학에서는 2차원 및 3차원 도형의 거울상을 다루며, 특히 3차원 물체의 경우 좌우 반전의 인식과 키랄성의 변화를 설명한다. 화학에서는 분자의 거울상인 에난티오머와 키랄성을 다루며, 에난티오머는 광학 활성을 보이고 생체 내에서 서로 다른 역할을 수행한다. 또한, 거울 쓰기는 텍스트를 거울상으로 표시하여 거울을 통해 읽을 수 있도록 하는 방식이며, 거울 시스템은 거울의 배치에 따라 다양한 시각적 효과를 나타낸다.
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2. 기하학과 광학에서의 거울상
기하학과 광학에서 거울상은 반사의 원리에 의해 형성되는 이미지를 의미한다. 이는 물체가 거울과 같은 반사면에 비춰질 때 나타나는 현상으로, 2차원 평면과 3차원 공간 모두에서 관찰될 수 있다.
2차원 평면에서의 거울상은 주로 기하학적 관점에서 다루어진다. 평면 거울에 비친 2차원 도형은 원본과 동일한 크기의 가상 이미지를 형성하지만, 대칭이 아닌 이상 원본과 다른 방향성을 갖게 된다.
3차원 물체의 거울상은 기하 광학의 중요한 연구 주제이다. 3차원 거울상은 물체의 겉모습뿐만 아니라 내부 구조까지 포함하며, 거울면에 수직인 방향으로 공간적 반전이 일어난다. 이러한 3차원 거울상 관계는 화학에서 키랄성과 에난티오머 개념을 통해 중요하게 다루어진다. 거울상은 이처럼 다양한 과학 분야에서 중요한 개념으로 연구되고 있다.
2. 1. 2차원 거울상
기하학에서 물체 또는 2차원 도형의 거울상은 평면 거울에 반사되어 형성되는 가상 이미지를 말한다. 이 이미지는 원래 물체와 크기는 같지만, 물체나 도형이 반사 대칭을 갖지 않는 한 원래 모습과는 다르다.2차원 거울상은 거울이나 다른 반사되는 표면에 비친 모습, 또는 인쇄물을 뒤집어 보았을 때 나타나는 모습에서 확인할 수 있다. 예를 들어, 글씨가 적힌 카드처럼 실질적으로 2차원인 물체를 생각해 보자. 이 카드를 뒤집어 거울을 향하게 하면, 카드는 180도 회전한 상태가 되고 거울 속에서는 좌우가 바뀐 모습으로 보인다. 하지만 이러한 좌우 반전은 거울 자체가 만들어내는 것이 아니라, 카드의 방향이 바뀌었기 때문에 관찰자가 그렇게 인식하는 것이다.
또 다른 예로, 우리가 거울을 등지고 서서 거울 앞에 있는 어떤 물체를 본다고 가정해 보자. 그 다음, 몸을 180도 돌려 거울을 마주 보면 물체의 거울상과 실제 물체를 비교할 수 있다. 이때도 우리는 좌우가 반전된 것처럼 느끼는데, 이는 우리가 몸의 방향을 바꾸었기 때문이다. 따라서 이 예시들에서 거울이 직접적으로 좌우 반전을 일으키는 것은 아니다.
2. 2. 3차원 거울상
반사의 개념은 3차원 물체에도 적용될 수 있다. 이는 물체의 내부 구조를 포함하며, 물체가 투명하지 않더라도 마찬가지이다. 이 용어는 시각적인 측면뿐만 아니라 구조적인 측면과도 관련이 있다. 3차원 물체는 거울 표면에 수직인 방향으로 반전된다. 물리학에서는 거울상을 기하 광학이라는 분야에서 연구한다.
화학에서는 서로의 거울상이면서 겹쳐지지 않는 두 분자(이성질체)를 에난티오머라고 부르며, 이는 키랄성의 한 예이다. 일반적으로 물체와 그 거울상은 에난티오모프라고 불린다.
수학적으로, 어떤 물체의 한 점이 좌표 (''x'', ''y'', ''z'')를 가질 때, ''y, z'' 평면에 있는 거울에 반사된 이 점의 이미지는 좌표 (−''x'', ''y'', ''z'')를 갖는다. 즉, 반사는 거울 표면에 수직인 좌표축(법선) 방향으로의 반전이다. 평면 거울은 물체를 거울 표면에 수직인 방향으로만 반전시키지만, 이로 인해 거울에 보이는 전체 3차원 이미지가 안팎으로 뒤집힌 것처럼 보이게 되어, 결과적으로 좌우가 반전된 것처럼 인식하게 된다. 따라서 이러한 현상을 "가로 반전"이라고 부르는 것은 다소 오해의 소지가 있다. 좌우 반전의 인식은 거울에 비친 3차원 물체가 실제 물체의 안팎이 뒤집힌 버전이라는 사실, 마치 왼손 장갑을 뒤집어 오른손 장갑으로 만든 것과 같은 원리로 설명될 수 있다. 그러나 이 설명에 대해서는 심리학자들 사이에서 여전히 논의가 진행 중이다.
거울에서의 반사는 정확히 키랄성의 변화, 구체적으로는 오른손 좌표계에서 왼손 좌표계로(또는 그 반대로)의 변화를 일으킨다. 거울을 볼 때 상하 및 좌우 축은 거울의 축과 일치하는 것처럼 보이지만, 세 번째 축인 앞뒤(깊이) 축은 반전된다.
만약 사람이 거울에 옆으로 서면, 그 사람의 좌우 축이 거울 평면에 수직이 되므로 좌우 손은 거울에 의해 직접적으로 반전될 것이다. 하지만 중요한 것은 항상 물체와 그 안팎이 뒤집힌 이미지, 즉 두 개의 에난티오모프만 존재한다는 점이다. 따라서 물체가 거울에 어떻게 놓이든 결과적인 이미지는 근본적으로 동일하다.
관찰자가 움직이거나 양안 시를 사용하여 이미지를 보면 거울상은 더욱 뚜렷하게 3차원으로 나타난다. 이는 관찰자의 시점이 바뀌거나 각 눈으로 보는 상이 달라지면서 물체의 상대적 위치가 변화하기 때문이다.[1]
거울을 서로 다른 위치에서 보면 (관찰 지점은 거울 앞의 한쪽 공간으로 제한됨), 공간의 3차원 거울상을 보는 것과 같다. 다른 거울이 없다면 거울 앞 공간의 거울상만 관련되지만, 다른 거울이 있다면 다른 공간의 거울상도 관련된다.
거울은 단순히 물체의 이미지를 만들어내는 것뿐만 아니라, 거울 앞뒤 공간의 빛 분포를 변화시킨다. 예를 들어 벽에 걸린 거울은 거울상 안에 추가적인 광원이 나타나는 것처럼 보이게 하여 방을 더 밝게 만들 수 있다. 이는 거울이 빛 에너지를 단순히 재분배하기 때문에 발생하는 현상이며, 일부 빛이 더 이상 거울 뒤에 도달하지 않게 되므로 에너지 보존 법칙을 위반하지는 않는다. 빛의 분포 측면에서 볼 때, 가상의 거울상은 거울 대신 실제 대칭적으로 배열된 공간(예: 창문 너머의 공간)과 동일한 외관과 효과를 가진다. 그림자는 거울에서 앞쪽 공간으로, 또는 그 반대로 뻗어 나갈 수 있다.
3. 수학에서의 거울상
수학에서 거울상은 두 개의 점 또는 도형 사이의 관계를 나타내거나, 하나의 점 또는 도형을 그 관계에 있는 상대로 옮기는 대칭 조작(거울반사 조작)을 의미한다. 이 조작에 의해 옮겨진 상대 도형 자체를 가리킬 때는 '거울상' 또는 '거울상체'라는 용어가 자주 사용된다.
수학적 거울상은 기준이 되는 대상과 방식에 따라 크게 좁은 의미의 거울반사와 넓은 의미의 대칭으로 나누어 볼 수 있다. 좁은 의미의 거울반사는 특정 (n-1)차원의 초평면을 기준으로 한 대칭 이동을 말하며, 넓은 의미에서는 대칭 기준이 곡면이거나 점대칭, 축대칭과 같이 기준 차원이 낮은 경우까지 포괄하는 더 일반적인 대칭 개념과 연결된다.
어떤 도형의 모든 점을 특정 평면에 대해 거울반사했을 때 얻어지는 점들의 집합이 원래 도형과 완전히 일치하는 경우, 이 도형은 '''거울상 대칭''' 또는 '''면대칭'''이라고 하며, 이때 사용된 거울반사면을 그 도형의 '''대칭면'''이라고 한다.
3. 1. 거울반사
거울반사(鏡映) 또는 거울상(鏡像)은 두 개의 점 또는 도형 사이의 관계를 나타내거나, 원래의 점이나 도형을 그 관계에 있는 상대로 옮기는 조작('''거울반사 조작''')을 의미한다. 관계에 있는 상대 도형 자체를 가리키기도 하지만, 이 경우 '''거울상''' 또는 '''거울상체'''라는 용어가 더 자주 사용된다.
'''좁은 의미'''에서 거울반사는 n차원 유클리드 공간에 하나의 (n-1)차원 공간(초평면)을 정했을 때, 어떤 점을 이 초평면에 대해 대칭인 점으로 사상하는 조작을 말한다. 여기서 대칭인 점이란, 해당 초평면에 내린 수선 위에 있으면서, 수선과 초평면의 교점으로부터 거리가 같은 두 점을 의미한다. 또한, 이 조작으로 서로 옮겨지는 두 점, 즉 초평면에 대해 대칭인 점 사이의 관계를 거울상 또는 거울반사라고 부른다. 영어로는 이 조작과 관계 모두 "reflection"이라고 하지만, 거울상 관계에 있는 도형 자체는 "mirror image"라고 한다.
'''더 좁은 의미'''로는 n=3, 즉 3차원 공간에서의 경우만을 가리킨다. 물체의 한 점이 좌표 (''x'', ''y'', ''z'')를 가질 때, (''y'', ''z'' 평면에 있는 거울에 의해 반사된) 이 점의 이미지는 좌표 (−''x'', ''y'', ''z'')를 갖는다. 즉, 거울반사는 거울 표면에 수직인 좌표축(법선) 방향의 좌표 부호만 반전시킨다. 평면 거울은 물체를 거울 표면에 수직인 방향으로만 반전시키지만, 이것이 거울에 보이는 전체 3차원 이미지를 안팎으로 뒤집기 때문에 좌우가 반전된 것처럼 '''인식'''된다. 따라서 이러한 반전을 "좌우 반전" 또는 "가로 반전"이라고 부르기도 하지만, 이는 실제로는 거울에 수직인 앞뒤 방향의 반전으로 인해 발생하는 착시다. 거울에서의 반사는 키랄성의 변화, 즉 오른손 좌표계를 왼손 좌표계로 (또는 그 반대로) 바꾸는 결과를 낳는다.
n차원 공간에서의 좁은 의미의 거울상끼리는 서로 합동이지만, 특별한 대칭성을 갖지 않는 한 n차원 공간 내에서의 회전이나 평행이동만으로는 서로 겹쳐 놓을 수 없다. 그러나 (n+1)차원 공간 내에서의 회전이나 평행이동을 이용하면 겹쳐 놓는 것이 가능하다. 예를 들어, 2차원 평면 도형의 거울상은 평면 내에서는 회전과 평행이동만으로 겹칠 수 없지만, 3차원 공간에서 뒤집으면 겹칠 수 있다. 4차원 공간을 이용해 사람의 좌우를 바꾸거나, 체내 분자를 거울상 이성질체로 변환하거나, 물질을 반물질로 바꾸는 설정은 SF 작품에서 종종 등장한다.
어떤 도형의 모든 점을 특정 평면에 대해 거울반사했을 때 얻어지는 점들의 집합이 원래 도형과 완전히 일치하는 경우, 이 도형은 '''거울상 대칭''' 또는 '''면대칭'''이라고 하며, 이때 사용된 거울반사면을 그 도형의 '''대칭면'''이라고 한다. 거울상 대칭인 도형은 그 대칭면에 의한 거울상체가 회전과 평행이동만으로 원래 도형과 겹쳐질 수 있다.
'''넓은 의미'''에서 거울반사는 대칭 기준이 되는 면이 (n-1)차원 초평면이 아니라 n차원 공간을 둘로 나누는 곡면이어도 적용될 수 있다. 이때 거울반사는 분할된 한쪽 공간의 점을 다른 쪽으로 옮기는 일대일 사상이면 된다. 더 나아가 대칭 기준이 r차원 공간(r
- 원에 관한 '''반전''': 중심이 O이고 반지름이 r인 원이 있을 때, O를 지나는 직선 위의 두 점 P, P'에 대해 OP × OP' = r2 이 성립하면, P와 P'는 이 원에 관해 대칭 또는 거울상 관계에 있다고 한다. 원에 관해 거울상인 점으로 옮기는 사상을 원에 관한 반전이라고 한다.[2] 마찬가지로 구면이나 초구면에 관한 대칭 및 반전도 정의할 수 있다.
물리학에서 거울상은 기하 광학의 주제 중 하나이며, 더 근본적으로는 기하학과 수학에서 콕서터 군 이론과 반사군의 주요 대상이다. 화학에서는 서로 거울상이지만 겹쳐지지 않는 두 분자(이성질체)를 에난티오머라고 부르며, 이는 키랄성의 한 예이다. 일반적으로 물체와 그 거울상은 에난티오모프라고 불린다.[1]
3. 2. 넓은 의미의 거울상 (대칭)
넓은 의미에서 거울상은 대칭면이 되는 n-1차원의 초평면이 반드시 평평할 필요는 없으며, n차원 공간을 둘로 나누는 곡면이어도 된다. 이때 거울반사는 나누어진 한쪽 공간의 점을 다른 쪽 공간의 점으로 옮기는 일대일 사상이면 된다.더 나아가, 대칭면이 r차원 공간(여기서 r은 n-1보다 작다)이고, 이 r차원 공간을 포함하는 (r+1)차원 공간을 둘로 나누는 곡면일 수도 있다. 이 경우 거울반사는, 나누어진 (r+1)차원 공간의 한쪽에 있는 점을 다른 쪽으로 옮기는 일대일 사상이 된다.
대칭면이 곡면(또는 곡선)인 거울상의 대표적인 예로는 원이나 구면에 관한 반전이 있다. 또한, 대칭면의 차원 r이 n-1보다 작은 경우의 예로는 점대칭이나 축대칭(회전대칭) 등이 있다. 이렇게 넓은 의미에서 사용되는 거울반사나 거울상은 단순히 대칭이라고 부르기도 한다.
- '''원에 관한 반전''': 중심이 O이고 반지름이 r인 원이 있다고 가정하자. 점 O를 지나는 직선 위에 두 점 P와 P'가 있고, 선분 OP와 선분 OP'의 길이의 곱이 반지름 r의 제곱(OP × OP' = r2)을 만족할 때, 두 점 P와 P'는 이 원에 대해 서로 대칭 또는 거울상 관계에 있다고 말한다. 한 점을 그 점의 거울상인 점으로 옮기는 사상을 원에 관한 반전이라고 한다.[2] 이와 유사하게 구면이나 초구면에 관한 대칭 및 반전도 정의할 수 있다.
4. 화학에서의 거울상
화학 분야에서 거울상은 분자 구조의 대칭성과 관련된 중요한 개념이다. 단순히 기하학적인 거울상과는 달리, 화학에서는 분자 내 단일 결합의 회전 가능성을 고려한다. 특히 액체상이나 기체상에서는 이러한 회전이 비교적 자유롭게 일어나므로, 단일 결합 회전을 통해 자신의 거울상과 겹쳐질 수 있는 분자도 같은 분자로 취급하는 경우가 많다.
어떤 분자가 그것의 거울상과 단순한 회전이나 이동, 또는 분자 내 단일 결합 회전을 통해서도 서로 완전히 겹쳐지지 않을 때, 이 한 쌍의 분자를 에난티오머(거울상 이성질체)라고 부른다. 에난티오머 관계가 가능한 분자를 키랄 분자라고 하며, 이러한 고유한 입체 구조적 성질을 키랄성이라고 한다. 반대로, 분자가 이러한 조작들을 통해 자신의 거울상과 완전히 겹쳐질 수 있다면 비키랄 분자라고 한다. 에난티오머와 키랄성의 구체적인 특징과 예시는 하위 문단에서 더 자세히 설명한다.
4. 1. 거울상 이성질체 (에난티오머)
어떤 분자나 이온의 거울상이 있을 때, 이 거울상끼리 단순히 돌리거나(회전), 위치를 옮기거나(병진), 단일 결합 주위를 회전시키는 것만으로는 서로 완전히 겹쳐지지 않는 경우가 있다. 이렇게 서로 거울상이면서 겹쳐지지 않는 한 쌍의 분자를 에난티오머라고 부른다.에난티오머 관계에 있는 분자가 존재할 때, 그 분자를 키랄 분자라고 한다. 반대로, 분자의 거울상이 회전, 병진, 단일 결합 회전 등을 통해 원래 분자와 완전히 겹쳐질 수 있다면, 그 분자는 비키랄 분자이다. 액체상이나 기체상에서는 원자 간의 단일 결합 주위 회전이 비교적 자유롭게 일어나므로, 이러한 회전을 통해 거울상과 일치될 수 있는 분자도 같은 분자로 취급한다.
4. 2. 키랄성
화학에서 분자나 이온의 거울상은 단순히 평면 대칭 관계만을 의미하지 않는다. 액체상이나 기체상에서는 단일 결합 주위의 회전이 자유롭게 일어나는데, 이러한 회전을 통해 구조가 바뀌는 분자들도 같은 분자로 취급한다. 따라서 단일 결합 회전을 통해 자신의 거울상과 겹쳐질 수 있는 분자도 거울상 관계에 있다고 본다.어떤 분자가 그 거울상과 단순한 회전이나 이동, 또는 분자 내 단일 결합 회전을 통해서도 서로 완전히 겹쳐지지 않을 때, 이 분자는 키랄(chiral영어)이라고 하며, 이러한 성질을 키랄성(chirality영어)이라고 한다. 이렇게 서로 겹쳐지지 않는 한 쌍의 거울상 분자를 에난티오머(enantiomer, 거울상 이성질체)라고 부른다. 반대로, 분자가 회전, 이동, 단일 결합 회전 등을 통해 자신의 거울상과 완전히 겹쳐질 수 있다면, 이 분자는 비키랄(achiral영어)이라고 한다.
5. 거울 쓰기
거울 쓰기는 텍스트를 거울을 통해 읽을 수 있도록 의도적으로 거울상으로 표시하는 방식이다. 예를 들어, 구급차나 소방차와 같은 응급 차량은 차량의 백미러에서 읽을 수 있도록 거울상을 사용한다. 일부 영화관에서는 후면 자막 시스템에서 거울 쓰기를 사용하여 청각 장애가 있는 사람들이 영화를 볼 수 있도록 돕는다.
6. 거울 시스템
두 거울이 α 각도로 놓여 있을 때, 두 거울이 만나는 구역 안에서 거울을 통해 보면 세상이 2α 각도로 회전된 것처럼 보인다. 이는 마치 첫 번째 거울과, 첫 번째 거울에 비친 두 번째 거울의 상으로 이루어진 틀을 통해 세상을 보는 것과 같다. 만약 거울의 가장자리가 수직이라면, 시야의 왼쪽 가장자리는 첫 번째 거울의 오른쪽 가장자리가 되고, 직접 볼 때는 오른쪽에 있지만 거울상에서는 왼쪽에 있는 두 번째 거울의 가장자리를 통과하는 평면이 된다.
두 개의 거울을 평행하게 놓으면, 두 거울을 동시에 통해 볼 때 세상의 모습이 관찰자로부터 거울 사이 거리의 두 배만큼 수직 방향으로 이동한 것처럼 보인다. 이때 거울을 항상 비스듬히 보게 되므로, 이동은 관찰자로부터 멀어지는 방향과 수직 방향 모두로 일어난다. 이러한 이동된 시야는 관찰자가 반대 방향으로 이동한 것으로 설명할 수도 있다. 예를 들어, 수직 잠망경의 경우, 세상은 관찰자로부터 멀어지고 아래로 이동하는데, 이는 잠망경의 길이만큼 이동한 것이다. 하지만 이를 관찰자가 위로 그리고 뒤로 이동한 것으로 생각하는 것이 더 이해하기 쉽다.
또한, 두 개의 표면 반사 거울을 90° 각도로 배치하면 이미지가 좌우 반전되지 않는 비 반전 거울을 만들 수 있다.
참조
[1]
웹사이트
Are dogs unable to see 2-D images (mirrors, photos, TV)?
http://www.straightd[...]
The Straight Dope
1985-09-27
[2]
서적
岩波数学辞典-第3版
岩波書店
1985-12
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