콕서터 군

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
- 2.1. 콕서터 계
- 2.2. 콕서터 행렬, 슐레플리 행렬, 콕서터 도표
3. 성질
4. 분류
5. 역사
6. 거울 반사군과의 관계
참조

1. 개요

콕서터 군은 거울 반사군의 추상화로, 생성원과 관계를 통해 정의되는 추상적인 군이다. 콕서터 군은 콕서터 행렬, 콕서터 계, 콕서터 도형을 통해 표현될 수 있으며, 유한 콕서터 군, 아핀 콕서터 군, 쌍곡 콕서터 군으로 분류된다. 유한 콕서터 군은 정다면체와 관련이 있으며, 바일 군은 리 군과 리 대수와 밀접하게 관련된다. 아핀 콕서터 군은 유클리드 공간의 테셀레이션과 관련이 있으며, 쌍곡선 콕서터 군은 쌍곡 공간의 반사군을 설명한다. 콕서터 군은 해럴드 스콧 맥도널드 콕서터에 의해 도입되었으며, 거울 반사군의 추상화로서 연구되었다.

더 읽어볼만한 페이지

이산 군 - 공간군
공간군은 결정의 대칭성을 나타내는 230가지 수학적 군으로, 브라베 격자와 결정학적 점군의 조합으로 구성되며, 병진 대칭, 점군 대칭 작용, 나사축, 미끄럼면 등의 대칭 작용을 포함하고, 결정 구조 이해와 물리적 성질 예측에 중요한 역할을 한다.
이산 군 - 결정학적 점군
결정학적 점군은 결정 구조의 대칭성을 나타내는 유한 점군으로, 결정학적 제한 정리에 의해 특정 회전 대칭만 허용되며, 3차원 공간에서 32개가 존재하고, 쇤플리스 표기법과 헤르만-모갱 표기법으로 표현되며, 공간군과 관련이 깊고, 준결정과 달리 5회 회전 대칭은 허용되지 않는다는 특징이 있다.
다포체 - 라세미산
다포체 - 단체 (수학)
단체는 n+1개의 꼭짓점을 가지며, 꼭짓점 집합이 유일한 면에 속하는 n차원 폴리토프이며, 위상수학에서는 중심 좌표나 단위 분할로 정의되는 표준적인 형태를 가지는 도형이다.

콕서터 군
개요
정의	반사(reflection)로 생성되는 군
역사	1934년 콕서터에 의해 처음 소개됨
정의
콕서터 행렬	콕서터 군을 정의하는 행렬
콕서터 다이어그램	콕서터 군을 시각적으로 표현하는 그래프
폰 노이만 대수와의 관계	콕서터 군은 폰 노이만 대수의 연구에도 활용됨
유형
유한 콕서터 군	유한한 원소를 갖는 콕서터 군 (예: 대칭군)
아핀 콕서터 군	아핀 공간에서 정의되는 콕서터 군
초구면 콕서터 군	쌍곡 공간에서 정의되는 콕서터 군
관련 개념
브릭 군(Braid group)	콕서터 군과 밀접하게 관련된 군
슐츠 도형(Schläfli graph)	콕서터 군의 구조를 나타내는 그래프
카츠-무디 대수	콕서터 군의 일반화된 개념

2. 정의

'''콕서터 군'''(영어: Coxeter group)은 생성원과 관계로 정의되는 추상적인 군으로, 거울 반사군의 추상화로 볼 수 있다.

콕서터 군은 다음과 같이 표현을 갖는 군으로 정의된다.

: $\left\langle r_1,r_2,\ldots,r_n \mid (r_ir_j)^{m_{ij}}=1\right\rangle$

여기서 $m_{ii}=1$ 이고 $i \ne j$ 일 때 $m_{ij} = m_{ji} \ge 2$ 는 정수이거나 $\infty$ 이다. $m_{i j}=\infty$ 는 $(r_ir_j)^m = 1$ 형태의 관계식이 없음을 의미한다.

콕서터 군은 반사군의 추상화이다. 콕서터 군은 제시를 통해 주어진다는 점에서 "추상적"인 군인 반면, 반사군은 유클리드 공간 내 선형 초평면에 대한 유한 개의 기하학적 반사의 합성으로 각 원소를 표현할 수 있다는 점에서 "구체적"이다. 콕서터 군의 각 생성원은 차수가 2인데, 이는 반사를 두 번 수행하면 항등원이 된다는 기하학적 사실을 추상화한 것이다. $(r_ir_j)^k$ 형태의 각 관계는 두 개의 초평면이 $\pi/k$ 의 각도로 만날 때, 이 초평면에 대한 두 반사의 합성이 $2\pi/k$ 만큼 회전하는 것으로, 차수가 ''k''라는 기하학적 사실에 해당한다.

모든 반사군은 콕서터 군으로 표현될 수 있다.^[1] 그 역도 부분적으로 참이다. 즉, 모든 유한 콕서터 군은 어떤 유클리드 공간의 유한 반사군으로서의 충실한 선형 표현을 허용한다.^[2] 그러나 모든 무한 콕서터 군이 반사군으로 표현되는 것은 아니다.

유한 콕서터 군은 분류되었다.^[2]

2. 1. 콕서터 계

콕서터 군은 생성원과 관계를 통해 정의되며, 이 순서쌍을 콕서터 계라고 한다. 콕서터 군은 다음과 같이 표시될 수 있다.

:

G=\langle r_1,r_2,\dots,r_n|(r_ir_j)^{m_{ij}}=1\rangle

여기서 행렬

m_{ij}

는 다음과 같은 성질들을 만족시킨다.

$m_{ii}=1$
$2\le m_{ij}\le\infty$ ( $i\ne j$ ). 여기서 $m_{ij}=\infty$ 인 경우는 $(r_ir_j)^{m_{ij}}=1$ 의 꼴의 관계를 아예 적용하지 않아야 한다는 뜻이다.

이 행렬

m

을 콕서터 군의 '''콕서터 행렬'''(Coxeter matrix^영어)이라고 하고,

n

을 콕서터 군의 '''계수'''(rank^영어)라고 한다. 순서쌍

(G,\{r_1,r_2,\dots,r_n\})

을 '''콕서터 계'''(Coxeter system^영어)라고 한다.

W

가 생성자

S=\{r_1, \dots , r_n\}

를 갖는 콕서터 군이고, 쌍

(W,S)

를 '''콕서터 시스템'''이라고 한다.

위 정의로부터 몇 가지 결론을 즉시 도출할 수 있다.

관계 $m_{ii} = 1$ 은 모든 $i$ 에 대해 $(r_ir_i)^1 = (r_i)^2 = 1$ 을 의미한다. 따라서 생성자는 인벌루션이다.
만약 $m_{ij} = 2$ 이면, 생성자 $r_i$ 와 $r_j$ 는 교환 가능하다. 이는 $r_i = r_i^{-1}$ 이고, 따라서 $1 =(r_ir_j)^2=r_ir_jr_ir_j=r_ir_jr_i^{-1}r_j^{-1}$ 이기 때문이다. 즉, $r_i$ 와 $r_j$ 의 교환자는 1과 같고, 이는 $r_i$ 와 $r_j$ 가 교환 가능함을 의미한다.

생성계 ''S''를 가진 군 ''W''가 '''콕서터 군'''이거나, 또는 쌍 (''W'', ''S'')가 '''콕서터 계'''인 것은 다음 세 가지 조건을 모두 만족할 때를 말한다.

1. ''S''는 대합으로 이루어진다: ''s'' ∈ ''S''이면, 반드시 ''s''² = 1이 성립한다.

2. '''브레이드 관계식''': ''s'', ''t'' ∈ ''S''이고 ''s'' ≠ ''t''라면, 2 이상의 정수(또는 ∞) ''m''_''s'',''t''가 존재하여 (''st'')^{''m''_''s'',''t''} = 1이 성립한다.

3. 그 외에는 생성원 사이에 관계가 없다.

단, ''m''_''s'',''t'' = ∞는 ''s''와 ''t'' 사이에 관계가 없음을 나타낸다. 이는 다음과 같이 쓸 수도 있다.

1. ''s'' ∈ ''S''이면 ''s''^-1 = ''s''가 성립한다.

2. ''s'', ''t'' ∈ ''S''이고 ''s''와 ''t''가 다를 때, ''s''와 ''t'' 사이에는 관계가 없거나, 관계가 있는 경우에는 다음이 성립한다; ''s''와 ''t''를 번갈아 ''m''_''s'',''t''개 배열하는 방법이 2가지가 있는데, 이 두 가지 모두 같은 원소를 정하는 2 이상의 정수 ''m''_''s'',''t''가 존재한다.

''stststst''… = ''tstststs''… (양변 모두 인수의 수는 ''m''_''s'',''t''개)

3. 생성원은 그 외에는 관계식을 갖지 않는다.

또한, ''S'' = {''x''₁, ''x''₂, ..., ''x''_''n''}라고 하면 다음과 같이 나타낼 수 있다:

:

W = \langlex_1,x_2,\ldots,x_n \mid x_i^2,\, (x_j x_k)^{m_{j,k}}\rangle

단, ''i'', ''j'', ''k'' = 1, 2, ..., ''n''이고 ''m''_''i'',''j'' (''i'' ≠ ''j'')는 2 이상의 정수 또는 ∞이다.

(''W'', ''S'')가 콕서터 계일 때, 생성계 ''S''에 속하는 원소의 개수 |''S''|를 콕서터 군 ''W''의 '''계수'''(rank)라고 하며, rank ''W''로 표기한다. 또한 생성원의 부분집합 ''J'' ⊆ ''S''로 생성되는 콕서터 군 ''W''의 부분군 ''W_J''도 콕서터 군이 된다. 이러한 부분군 ''W_J''를 '''포물형 부분군'''이라고 한다.

''G''가 ''S''를 생성계로 하는 콕서터 군일 때, (''st'')^{''m''_''s'',''t''} = 1이 되는 ''m''_''s'',''t''(''s'', ''t'' ∈ ''S'')를 성분으로 하는 |''S''|차 대칭 행렬

:

M = (m_{s,t})_{s,t \in S}

를 '''콕서터 행렬'''(또는 행렬 요소 ''m''_''s'',''t''를 2변수 함수로 보고, '''콕서터 데이터''')라고 한다. 단, ''s'' ∈ ''S''에 대해 ''m''_''s'',''s'' = 1이다.

2. 2. 콕서터 행렬, 슐레플리 행렬, 콕서터 도표

콕서터 군은 콕서터 행렬, 슐레플리 행렬, 콕서터 도표를 통해 표현할 수 있다.

'''콕서터 행렬'''(Coxeter matrix^영어)은 콕서터 군을 나타내는 행렬로, 다음과 같은 성질을 갖는다.

$m_{ii}=1$
$i \ne j$ 일 때, $2\le m_{ij}\le\infty$ . ( $m_{ij}=\infty$ 는 관계식 $(r_ir_j)^{m_{ij}}=1$ 을 적용하지 않음을 의미)

'''콕서터 도표'''(Coxeter diagram^영어)는 콕서터 군을 그래프로 나타내는 방법이다. 각 변에 유리수

p

가 붙어 있으며, 다음 규칙을 따른다.

각 꼭짓점은 거울 반사의 반사면을 나타낸다.
두 꼭짓점 사이의 변에 붙은 수 $p$ 는 두 거울 반사 사이의 각도가 $\pi/p$ 임을 의미한다.
$p=2$ (두 변 사이 각도 $\pi/2=90^\circ$ )인 경우 변을 생략한다.
$p=3$ (두 변 사이 각도 $\pi/3=60^\circ$ )인 경우 변을 그리되, $p$ 는 생략한다.
$p\ne2,3$ 인 경우 변과 $p$ 값을 생략하지 않는다.

'''슐레플리 행렬'''(Schläfli matrix^영어)

C

는 콕서터 행렬

M

에 대응되며, 성분은 다음과 같다.

:

C_{i,j}=-2\cos(\pi/M_{i,j})

콕서터 행렬은 두 반사면 사이 각도의 라디안 값

\pi/p

의 분모

p

를, 슐레플리 행렬은 각도 코사인의 −2배를 나타낸다.

슐레플리 행렬

C

의 고윳값에 따라 콕서터 군은 다음과 같이 분류된다.

'''유한 콕서터 군'''(finite Coxeter group^영어): $C$ 의 고윳값이 모두 양의 실수이다.
'''아핀 콕서터 군'''(affine Coxeter group^영어): $C$ 의 고윳값이 모두 음수가 아니며, 0을 고윳값으로 갖는다.
'''쌍곡선 콕서터 군'''(hyperbolic Coxeter group^영어): $C$ 가 하나 이상의 음의 고윳값을 갖는다.

콕서터 행렬은 콕서터 다이어그램으로 나타낼 수 있다.

그래프 꼭짓점은 생성자 첨자로 표시한다.
$m_{ij}\geq 3$ 일 때만 꼭짓점 $i$ 와 $j$ 를 인접시킨다.
$m_{ij}$ 값이 4 이상이면 모서리에 해당 값을 표시한다.

콕서터 행렬 · 슐레플리 행렬 · 콕서터 도표의 예
콕서터 군	A₁×A₁	A₂	Ĩ₁	A₃	BC₃	D₄	Ã₃
콕서터 도표	$\bullet\quad\bullet$	$\bullet-\bullet$	$\bullet\stackrel\infty-\bullet$	$\bullet-\bullet-\bullet$	$\bullet\stackrel4-\bullet-\bullet$	$\bullet-\bullet<{\bullet\atop\bullet}$	$\bullet<{\bullet\atop\bullet}>\bullet$
콕서터 행렬	$\left($	$\left($	$\left($	$\left($	$\left($	$\left($	$\left($
슐레플리 행렬	$\left($	$\left($	$\left($	$\left($	$\left($	$\left($	$\left($
슐레플리 행렬의 고윳값	2, 2	1, 3	0, 4	2, 2±√2	2, 2±√3	2, 2, 2±√3	0, 2, 2, 4

3. 성질

콕서터 군은 여러 가지 유용한 성질을 가지며, 그 크기, 호몰로지, 불변량, 콕서터 원소, 길이 함수 등이 연구되었다.콕서터 군

W

는 유한 개의 위수 2의 원소로 생성되므로, 그 아벨화는 기본 아벨 2-군이며, 이는 순환군

Z_2

의 여러 복사본의 직합과 동형이다. 이는

W

의 첫 번째 호몰로지 군과 관련하여 다시 표현될 수 있다.

슈어 승수

M(W)

는

W

의 두 번째 호몰로지 군과 동일하며, 유한 반사 군과 아핀 반사 군에 대해서는 이하라와 요코누마, 하울렛의 연구에서 계산되었다.^[13]^[14]^[15] 모든 경우에 슈어 승수는 또한 기본 아벨 2-군이다. 유한 또는 아핀 바일 군의 각 무한족

\{W_n\}

에 대해,

n

이 무한대로 갈 때

M(W_n)

의 계수는 안정된다.

유한 콕서터 군

G

는

n

차원 실수 벡터 공간

V

위에 자연스러운 표현을 갖는다. 이 경우,

G

의 작용에 대하여 불변인 다항식들의 대수

\mathbb C[V]^G

을 생각할 수 있다. 이는 항상 자유 가환 단위 결합 대수(다항식 대수)를 이룬다.

반사

r_1,\dotsc,r_n

으로 생성되는 콕서터 군

G

의 콕서터 원소는 다음과 같은 꼴의 원소이다.

:

r_{\sigma(1)}r_{\sigma(2)}\dotsm r_{\sigma(n)}\in G\qquad(\sigma\in\operatorname{Sym}(n))

이는 순열

\sigma\in\operatorname{Sym}(n)

에 의존하며, 일반적으로 유일하지 않으나, 모든 콕서터 원소는 하나의 켤레류에 속한다. 특히, 모든 콕서터 원소는 같은 차수를 갖는다. 콕서터 원소의 차수를 콕서터 군

G

의 콕서터 수(Coxeter number|콕서터 넘버^영어)라고 한다.

콕서터 군

G

에는 원소를 나타내기 위해 필요한 반사의 수를 나타내는 콕서터 길이 함수

\ell \colon G\to\mathbb N

가 존재한다.

3. 1. 크기

유한 콕서터 군의 크기

g

는 그 콕서터 수

h

와 다음과 같이 관계있다.^[12]

[p]: 2h/g_p = 1
[p,q]: 8/g_p,q = 2/p + 2/q -1
[p,q,r]: 64h/g_p,q,r = 12 - p - 2q - r + 4/p + 4/r
[p,q,r,s]: 16/g_p,q,r,s = 8/g_p,q,r + 8/g_q,r,s + 2/(ps) - 1/p - 1/q - 1/r - 1/s +1

다음은 유한 기약 콕서터 군의 성질을 나타낸 표이다. 가약 군의 차수는 그 기약 부분군의 차수의 곱으로 계산할 수 있다.

랭크 n	군 기호	대체 기호	괄호 표기법	콕서터 그래프	반사 m = nh^[7]	콕서터 수 h	차수	군 구조^[8]	관련 다포체
1	A₁	A₁	[ ]		1	2	2	$S_2$	{ }
2	A₂	A₂	[3]		3	3	6	$S_3\cong D_6\cong \operatorname{GO}^-_2(2)\cong \operatorname{GO}^+_2(4)$	{3}
3	A₃	A₃	[3,3]		6	4	24	$S_4$	{3,3}
4	A₄	A₄	[3,3,3]		10	5	120	$S_5$	{3,3,3}
5	A₅	A₅	[3,3,3,3]		15	6	720	$S_6$	{3,3,3,3}
n	A_n	A_n	[3ⁿ⁻¹]	...	n(n + 1)/2	n + 1	(n + 1)!	$S_{n+1}$	n-단순체
2	B₂	C₂	[4]		4	4	8	$C_{2}\wr S_{2} \cong D_8\cong \operatorname{GO}^-_2(3)\cong \operatorname{GO}^+_2(5)$	{4}
3	B₃	C₃	[4,3]		9	6	48	$C_{2}\wr S_{3}\cong S_4\times 2$	{4,3} / {3,4}
4	B₄	C₄	[4,3,3]		16	8	384	$C_{2}\wr S_{4}$	{4,3,3} / {3,3,4}
5	B₅	C₅	[4,3,3,3]		25	10	3840	$C_{2}\wr S_{5}$	{4,3,3,3} / {3,3,3,4}
n	B_n	C_n	[4,3ⁿ⁻²]	...	n²	2n	2ⁿ n!	$C_{2}\wr S_{n}$	n-정육면체 / n-정교체
4	D₄	B₄	[3^1,1,1]		12	6	192	$C_{2}^3 S_{4}\cong 2^{1+4}\colon S_3$	h{4,3,3} / {3,3^1,1}
5	D₅	B₅	[3^2,1,1]		20	8	1920	$C_{2}^4 S_{5}$	h{4,3,3,3} / {3,3,3^1,1}
n	D_n	B_n	[3^n−3,1,1]	...	n(n − 1)	2(n − 1)	2ⁿ⁻¹ n!	$C_{2}^{n-1} S_{n}$	n-반정육면체 / n-정교체
6	E₆	E₆	[3^2,2,1]		36	12	51840 (72x6!)
7	E₇	E₇	[3^3,2,1]		63	18	2903040 (72x8!)	$\operatorname{GO}_7(2)\times 2 \cong \operatorname{Sp}_6(2)\times 2$	3₂₁, 2₃₁, 1₃₂
8	E₈	E₈	[3^4,2,1]		120	30	696729600 (192x10!)	$2\cdot\operatorname{GO}_8^{+}(2)$	4₂₁, 2₄₁, 1₄₂
4	F₄	F₄	[3,4,3]		24	12	1152	$\operatorname{GO}^+_4(3)\cong 2^{1+4}\colon(S_3 \times S_3)$	{3,4,3}
2	G₂	– (D)	[6]		6	6	12	$D_{12}\cong \operatorname{GO}^-_2(5)\cong \operatorname{GO}^+_2(7)$	{6}
2	I₂(5)	G₂	[5]		5	5	10	$D_{10}\cong \operatorname{GO}^-_2(4)$	{5}
3	H₃	G₃	[3,5]		15	10	120	$2\times A_5$	{3,5} / {5,3}
4	H₄	G₄	[3,3,5]		60	30	14400	$2\cdot(A_5\times A_5)\colon 2$	{5,3,3} / {3,3,5}
2	I₂(n)	D	[n]		n	n	2n		{p}

3. 2. 호몰로지

콕서터 군은 유한 개의, 차수 2의 원소들로 생성되었으므로, 그 아벨화(=1차 군 호몰로지)는 2차 순환군

\mathbb Z/2

들의 유한 개의 직합이다. 콕서터 군의 슈어 승수(=2차 군 호몰로지) 역시 알려져 있다.^[13]^[14]^[15]

콕서터 군

W

는 유한 개의 차수 2인 원소에 의해 생성되므로, 그 아벨화는 기본 아벨 2-군이며, 이는 즉 순환군

Z_2

의 여러 복사본의 직합과 동형이다. 이는

W

의 첫 번째 호몰로지 군과 관련하여 다시 표현될 수 있다.

슈어 승수

M(W)

는

W

의 두 번째 호몰로지 군과 동일하며, 유한 반사 군과 아핀 반사 군에 대해서는 이하라와 요코누마, 하울렛의 연구에서 계산되었다. 모든 경우에 슈어 승수는 또한 기본 아벨 2-군이다. 유한 또는 아핀 바일 군의 각 무한족

\{W_n\}

에 대해,

n

이 무한대로 갈 때

M(W_n)

의 계수는 안정된다.

3. 3. 불변량

유한 콕서터 군

G

는

n

차원 실수 벡터 공간

V

위에 자연스러운 표현을 갖는다. 이 경우,

G

의 작용에 대하여 불변인 다항식들의 대수

\mathbb C[V]^G

을 생각할 수 있다.

이는 항상 자유 가환 단위 결합 대수(다항식 대수)를 이룬다. 불변량 대수

\mathbb C[V]^G

의 생성원들의 수는 군의 계수

n

이며, 불변량 대수의 생성원(기본 불변량 fundamental invariant^영어)들의 차수는 아래와 같은 성질을 보인다.

생성원들의 차수 가운데 최댓값은 항상 콕서터 수 $h$ 이며, 최솟값은 2이다.
차수 $d$ 의 생성원이 존재한다면, 차수 $h+2-d$ 의 생성원 역시 존재한다.

3. 4. 콕서터 원소

반사

r_1,\dotsc,r_n

으로 생성되는 콕서터 군

G

의 '''콕서터 원소'''는 다음과 같은 꼴의 원소이다.

:

r_{\sigma(1)}r_{\sigma(2)}\dotsm r_{\sigma(n)}\in G\qquad(\sigma\in\operatorname{Sym}(n))

이는 순열

\sigma\in\operatorname{Sym}(n)

에 의존하며, 일반적으로 유일하지 않으나, 모든 콕서터 원소는 하나의 켤레류에 속한다. 특히, 모든 콕서터 원소는 같은 차수를 갖는다. 콕서터 원소의 차수를 콕서터 군

G

의 '''콕서터 수'''(Coxeter number|콕서터 넘버^영어)라고 한다.

3. 5. 길이 함수

콕서터 군

G

에는 원소를 나타내기 위해 필요한 반사의 수를 나타내는 '''콕서터 길이 함수'''

\ell \colon G\to\mathbb N

가 존재한다. 이 길이 함수를 사용하여

G

위에 여러 부분 순서를 정의할 수 있다.

반사 생성자를 선택하면 콕서터 군에 대한 길이 함수 ''ℓ''이 만들어지는데, 이는 그룹 원소를 표현하는 데 필요한 생성자 사용의 최소 횟수이다. 이는 케일리 그래프에서 단어 거리에서의 길이와 같다. ''ℓ''(''v'')개의 생성자를 사용한 ''v''의 표현은 ''축약된 단어''이다. 예를 들어, ''S''₃의 순열 (13)은 (12)(23)(12)와 (23)(12)(23)의 두 축약된 단어를 갖는다.

축약된 단어를 사용하여 콕서터 군에 대한 세 가지 부분 순서, 즉 (오른쪽) '''약한 순서''', '''절대 순서''', '''브루하 순서'''를 정의할 수 있다. 브루하 순서에서 원소 ''v''가 원소 ''u''를 초과하는 것은 ''v''에 대한 일부(또는 임의의) 축약된 단어가 일부 문자를 삭제한 ''u''에 대한 축약된 단어를 부분 문자열로 포함하는 경우이다. 약한 순서에서 ''v'' ≥ ''u''는 ''v''에 대한 일부 축약된 단어가 ''u''에 대한 축약된 단어를 초기 세그먼트로 포함하는 경우이다. 단어 길이는 이를 등급 격자로 만든다. 절대 순서는 약한 순서와 유사하게 정의되지만 콕서터 생성자의 모든 공액으로 구성된 생성 집합을 사용한다.

예를 들어, ''S''₃의 순열 (1 2 3)은 하나의 축약된 단어 (12)(23)만 가지므로, 브루하 순서에서는 (12)와 (23)을 덮지만 약한 순서에서는 (12)만 덮는다.

4. 분류

콕서터 군은 콕서터-딘킨 다이어그램의 성분에 해당하는 기약 군들의 직적으로 나타낼 수 있다. 콕서터 군은 크게 유한 콕서터 군, 아핀 콕서터 군, 쌍곡선 콕서터 군으로 분류된다.^[1]^[2]^[9]

4. 1. 유한 콕서터 군

유한 콕서터 군은 완전히 분류되었으며, 여러 무한족과 예외적인 군들로 구성된다. 이들은 정다면체, 준정다면체 등과 관련이 있다. 특히, 바일 군은 결정 조건을 만족시키는 유한 콕서터 군으로, 리 군 및 리 대수와 밀접하게 관련된다.

유한 콕서터 군은 다음과 같이 분류된다.^[2]

기호	다른 기호	콕서터 표기법	크기	관련 폴리토프
A_n	A_n	[3^n-1]	(n + 1)!	n-단체
BC_n	C_n	[4,3^n-2]	2ⁿ n!	n-초입방체 / n-교차 다포체
D_n	B_n	[3^n-3,1,1]	2ⁿ⁻¹ n!	n-반초입방체
E₆	E₆	[3^2,2,1]	72×6!	2₂₁, 1₂₂
E₇	E₇	[3^3,2,1]	72×8!	3₂₁, 2₃₁, 1₃₂
E₈	E₈	[3^4,2,1]	192×10!	4₂₁, 2₄₁, 1₄₂
F₄	F₄	[3,4,3]	1152	정24포체
H₃	G₃	[3,5]	120	정이십면체 / 정십이면체
H₄	G₄	[3,3,5]	14400	정120포체 / 정600포체
I₂(p)	D₂^p	[p]	2p	정p각형

위 표에서 일부 항목은 중복된다.

$A_2=I_2(3)$
$BC_2=I_2(4)$
$D_3=A_3$
$E_5=D_5$
$E_4=A_4$
$H_2=I_2(5)$

'''바일 군'''은 유한 콕서터 군 중에서 '''결정 조건'''(crystallographic condition^영어)을 만족시키는 군이다. 결정 조건은 콕서터 도표의 모든 변에 숫자가 2, 3, 4, 또는 6 (각각 90°, 60°, 45°, 30°)이어야 한다는 것이다. 유한 콕서터 군 중 바일 군인 것들은 다음 목록에 있는 군들의 직접곱이다.

$A_n$
$BC_n$ (리 군 $B_n$ 및 $C_n$ 의 바일 군)
$D_n$
$E_6$ , $E_7$ , $E_8$
$F_4$
$I_2(6)$ ( $G_2$ 의 바일 군)

모든 정다포체의 대칭군은 유한 콕서터 군이다. 쌍대 다포체는 동일한 대칭군을 갖는다.

정 ''n''-단체의 대칭군은 대칭군 ''S''_''n''+1 (''A_n''형 콕서터 군)이다.
''n''-초입방체와 ''n''-교차 다포체의 대칭군은 ''BC_n'' (초팔면체군)이다.
2차원: 정다각형의 대칭군인 이각형군은 ''I''₂(''p'') 계열을 형성한다.
3차원: 정십이면체와 정이십면체의 대칭군은 ''H''₃ (전이십면체군)이다.
4차원: 정24포체는 대칭군 ''F''₄, 정120포체와 정600포체는 대칭군 ''H''₄를 갖는다.
''D''_''n'', ''E''₆, ''E''₇, ''E''₈형 콕서터 군은 특정 준정다포체의 대칭 변환군이다.

4. 2. 아핀 콕서터 군

아핀 콕서터 군은 유클리드 공간의 테셀레이션과 관련된 무한군이다. 이들은 유한 콕서터 군에 노드를 추가하여 얻을 수 있으며, 그 목록은 다음과 같다. 아핀 콕서터 군은 자체로는 유한하지 않지만, 각각은 해당 몫군이 유한하도록 하는 정규 아벨 부분군을 포함한다. 각 경우 몫군은 그 자체가 콕서터 군이며, 아핀 콕서터 군의 콕서터 그래프는 다른 정점 하나와 추가적인 변 하나 또는 두 개를 추가하여 몫군의 콕서터 그래프에서 얻어진다.^[9]

아핀 콕서터 군의 기호의 아랫첨자는 계수(콕서터 도표의 꼭짓점의 수)보다 1 작으며, 이들은 대응하는 유한 콕서터 군의 기호에 물결표(~)를 덧씌워 표기한다.

기호	비트 기호	콕서터 기호	관련 테셀레이션	콕서터 도표
${\tilde{A}}_n$	P_n+1	[3^[n]]	단체 쪽매맞춤(simplectic honeycomb)	$\bullet<{\bullet-\cdots-\bullet\atop\bullet-\cdots-\bullet}>\bullet$
${\tilde{B}}_n$	S_n+1	[4,3^n-3,3^1,1]	반하이퍼큐브(demihypercube) 쪽매맞춤	$\bullet\stackrel4-\bullet-\cdots-\bullet<{\bullet\atop\bullet}$
${\tilde{C}}_n$	R_n+1	[4,3ⁿ⁻²,4]	하이퍼큐브 쪽매맞춤	$\bullet\stackrel4-\bullet-\bullet-\cdots-\bullet-\bullet\stackrel4-\bullet$
${\tilde{D}}_n$	Q_n+1	[ 3^1,1,3ⁿ⁻⁴,3^1,1]	demihypercubic honeycomb	${\bullet\atop\bullet}>\bullet-\bullet-\cdots-\bullet<{\bullet\atop\bullet}$
${\tilde{E}}_6$	T₇	[3^2,2,2]	2₂₂	${\bullet-\bullet\atop\bullet-\bullet}>\bullet-\bullet-\bullet$
${\tilde{E}}_7$	T₈	[3^3,3,1]	3₃₁, 1₃₃	${\bullet-\bullet-\bullet\atop\bullet-\bullet-\bullet}>\bullet-\bullet$
${\tilde{E}}_8$	T₉	[3^5,2,1]	5₂₁, 2₅₁, 1₅₂	${\bullet-\bullet\atop\qquad\bullet}>\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet$
${\tilde{F}}_4$	U₅	[3,4,3,3]	16-cell 쪽매맞춤, 24-cell 쪽매맞춤	$\bullet-\bullet\stackrel4-\bullet-\bullet-\bullet$
${\tilde{G}}_2$	V₃	[6,3]	정육각형 쪽매맞춤, 정삼각형 쪽매맞춤	$\bullet\stackrel6-\bullet-\bullet$
${\tilde{I}}_1$	W₂	[∞]	직선의 단위 구간에 의한 쪽매맞춤	$\bullet\stackrel\infty-\bullet$

4. 3. 쌍곡선 콕서터 군

쌍곡선 콕서터 군(hyperbolic Coxeter group^영어)의 분류는 유한 콕서터 군이나 아핀 콕서터 군의 분류보다 더 복잡하다. 쌍곡 공간의 반사군을 설명하며, 특히 쌍곡 삼각형 군을 포함하여 무한히 많다. 쌍곡 공간에서의 거울 반사군 (특히 쌍곡 삼각군이 포함됨)을 기술하는 쌍곡 콕서터 군이 무한히 존재한다.^[1]

5. 역사

해럴드 스콧 맥도널드 콕서터가 1930년대에 콕서터 군을 도입하였다.^[16]^[17] 이후 자크 티츠와 니콜라 부르바키가 콕서터 군 이론 발전에 공헌하였다.

콕서터 군은 거울 반사군 연구 과정에서 그 추상화로서 생겨났다. 콕서터 군은 (생성원과 기본 관계에 의해 주어지는) '''추상군'''인 반면, 거울 반사군은 (선형 대수군의 부분군 또는 적절한 일반화로 주어지는) '''구체적인 군'''이다.

거울 반사군은 반사(위수 2의 합동 변환)로 생성되는 선형 대수군의 부분군이며, 콕서터 군은 대합(위수 2의 변환, 반사의 추상화)으로 생성된다. 이들 사이의 대응은 어떤 정해진 방식으로 주어진다. 기본 관계 (''r''_''i''''r''_''j'')^k는 π/''k''의 각도로 교차하는 초평면에 대응하며, ''r''_''i''''r''_''j''의 위수가 ''k''라는 것은 2π/''k'' 회전의 추상화가 된다.

거울 반사군에서 얻어지는 추상군은 콕서터 군이며, 반대로 거울 반사군을 콕서터 군의 선형 표현으로 간주할 수 있다. '''유한''' 콕서터 군은 이 대응이 완전하다. 즉, 임의의 유한 콕서터 군은 어떤 차원의 유클리드 공간에서의 유한 거울 반사군으로서의 충실한 표현을 갖는다. 한편, 무한 콕서터 군은 반드시 거울 반사군으로 표현되지 않을 수 있다.

1934년에 콕서터가 임의의 거울 반사군이 콕서터 군이라는 것을 제시하였고, 이 논문에서 콕서터 군의 개념이 도입되었다.^[16]^[17] 1935년에 콕서터는 유한 콕서터 군이 반드시 어떤 거울 반사군으로 표현될 수 있다는 것을 제시하였고, 이것으로 유한 콕서터 군의 분류가 종료되었다.^[16]^[17]

6. 거울 반사군과의 관계

콕서터 군은 거울 반사군을 추상화한 것이다. 콕서터 군은 표현을 통해 정의되는 추상적인 군인 반면, 거울 반사군은 유클리드 공간에서 반사들의 합성으로 표현되는 구체적인 군이다.^[1] 콕서터 군의 생성원은 인벌루션이며, 이는 반사를 두 번 반복하면 항등원이 된다는 사실을 추상화한 것이다. $(r_ir_j)^k$ 형태의 관계는 두 초평면이 $\pi/k$ 각도로 만날 때, 이 초평면에 대한 두 반사의 합성이 $2\pi/k$ 만큼 회전하여 위수가 ''k''가 된다는 사실을 나타낸다.

모든 거울 반사군은 콕서터 군으로 표현될 수 있다.^[1] 유한 콕서터 군은 유한 거울 반사군으로 표현될 수 있지만,^[2] 모든 무한 콕서터 군이 거울 반사군으로 표현될 수 있는 것은 아니다.

역사적으로 콕서터(Coxeter)는 1934년에 모든 거울 반사군이 콕서터 군임을 증명하고 콕서터 군의 개념을 도입했으며,^[1] 1935년에 유한 콕서터 군이 거울 반사군으로 표현될 수 있음을 보여 유한 콕서터 군을 분류했다.^[2]

참조

_[1] 논문 Discrete groups generated by reflections
_[2] 논문 The complete enumeration of finite groups of the form $r_{i}^{2}=(r_{i}r_{j})^{k_{ij}}=1$ 1935-01
_[3] 서적 Lie Groups and Lie Algebras Springer
_[4] 서적 Reflection Groups and Coxeter Groups https://sites.math.w[...] Cambridge University Press 2023-11-18
_[5] 서적 The Geometry and Topology of Coxeter Groups https://people.math.[...] Princeton University Press 2023-11-18
_[6] 논문 A finiteness property and an automatic structure for Coxeter groups
_[7] 서적 Regular Polytopes Courier Corporation 1973-01
_[8] 간행물 The finite simple groups Springer-Verlag
_[9] 문서 Section 13.6
_[10] 문서 Chapter 13, Exercises 12 and 13
_[11] 간행물 A finiteness property and an automatic structure for Coxeter groups Springer Berlin / Heidelberg
_[12] 서적 Regular polytopes Methuen and Company
_[13] 저널 On the second cohomology groups (Schur-multipliers) of finite reflection groups http://hdl.handle.ne[...] 1965-03-15
_[14] 저널 On the second cohomology groups (Schur-multipliers) of infinite discrete reflection groups http://hdl.handle.ne[...] 1965-03-15
_[15] 저널 On the Schur Multipliers of Coxeter Groups
_[16] 저널 Discrete groups generated by reflections http://mduchin.math.[...] 1934-07
_[17] 저널 The complete enumeration of finite groups of the form $R_i^2=(R_iR_j)^{k_{ij}}=1$

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com