경계 (위상수학)

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 동치인 정의들
3. 성질
4. 예시
- 4.1. 열린 공의 경계와 주변 구
5. 경계의 경계
참조

1. 개요

경계는 위상 공간의 부분 공간에 대해 정의되는 개념으로, 부분 공간의 '가장자리'를 나타내는 점들의 집합이다. 경계는 폐포에서 내부를 뺀 집합, 폐포와 여집합의 폐포의 교집합 등 여러 가지로 정의될 수 있으며, 이러한 정의들은 서로 동치이다. 경계점은 경계에 속하는 점을 의미한다. 경계는 폐포 연산으로 표현 가능하며, 집합 연산과의 관계를 갖는다. 집합의 폐포는 집합과 경계의 합집합과 같고, 닫힌 집합은 경계를 포함하며, 열린 집합은 경계와 서로소이다. 또한, 집합과 그 여집합은 동일한 경계를 갖는다. 한국 수학 교육과정에서는 '경계' 개념을 직접적으로 다루지는 않지만, 위상수학적 개념이 간접적으로 소개되고 활용된다.

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경계 (위상수학)
정의
정의	위상 공간에서 집합의 모든 내점(內點)이 아닌 점들의 집합
추가 정보
다른 이름	프런티어(frontier)
관련 개념	내부 폐포 외부 경계점 극한점 고립점

2. 정의

위상 공간 $X$ 의 부분공간 $Y\subset X$ 의 '''경계''' $\partial Y\subset X$ 는 $x$ 의 모든 근방 $N\ni x$ 에 대하여, $N\cap Y\ne\varnothing$ 이며 $N\setminus Y\ne\varnothing$ 인 점 $x\in X$ 들의 집합이다.

$S \subseteq X$ 의 경계는 $\partial_X S$, $\operatorname{Bd}_X S$, 또는 $X$ 를 알 수 있는 경우 단순히 $\partial S$로 표시된다.

2. 1. 동치인 정의들

위상 공간

X

의 부분 집합

S

의 경계는 여러 가지로 정의될 수 있으며, 이 정의들은 모두 동치이다. 집합의 경계는 $\partial_X S$, $\operatorname{Bd}_X S$ 또는 단순히 $\partial S$로 표시된다.

#

X

에서

S

의 폐포에서

S

의 내부를 뺀 집합이다. 즉, $\partial S := \overline{S} \setminus \operatorname{int}_X S$이다. 여기서 $\overline{S}$는

X

에서

S

의 폐포를, $\operatorname{int}_X S$는

X

에서

S

의 위상수학적 내부를 나타낸다.^[9]

#

S

의 폐포와

S

의 여집합의 폐포의 교집합이다. 즉, $\partial S := \overline{S} \cap \overline{(X \setminus S)}$이다.^[9]

#

p

의 모든 근방이

S

의 적어도 하나의 점과

S

가 아닌 적어도 하나의 점을 포함하는 점

p \in X

의 집합이다. 즉, $\partial S := \{ p \in X :$ 모든 근방

O

에 대해, $O \cap S \neq \varnothing$ 이고 $O \cap (X \setminus S) \neq \varnothing \}$이다.^[9]

#

X

의 점으로

S

의 내부에도 외부에도 속하지 않는 점이다. 여기서 외부란 여집합의 내부를 말한다.^[9]

집합의 경계점은 해당 집합의 경계의 임의의 요소이다.

3. 성질

경계는 폐포 연산으로 나타낼 수 있다.

: $\partial Y=\operatorname{cl}Y\setminus\operatorname{int}Y=\operatorname{cl}Y\cap\operatorname{cl}(X\setminus Y)$

여기서 $\operatorname{cl}$ 은 폐포, $\operatorname{int}$ 는 내부를 의미한다.

경계와 집합 연산 (합집합과 교집합) 사이에는 다음과 같은 관계가 있다.

$\partial(A \cup B) \subseteq \partial A \cup \partial B$
$\partial(A \cap B) \subseteq \partial A \cup \partial B$

집합

S

의 폐포는 집합과 그 경계의 합집합과 같다.

:

\overline{S} = S \cup \partial_X S

여기서

\overline{S} = \operatorname{cl}_X S

는

X

에서

S

의 폐포를 나타낸다.

집합은 그 경계를 포함하는 경우에만 닫혀 있고, 그 경계와 서로소인 경우에만 열려 있다. 집합의 경계는 닫혀 있다.^[3] 이는

\partial_X S

를

X

의 두 닫힌 부분 집합의 교집합으로 표현하는 공식

\partial_X S ~:=~ \overline{S} \cap \overline{(X \setminus S)},

에서 유추할 수 있다.

("삼분법") 임의의 부분 집합

S \subseteq X

에 대해,

X

의 각 점은

\operatorname{int}_X S, \partial_X S

, 및

\operatorname{int}_X (X \setminus S)

의 세 집합 중 정확히 하나에 속한다. 다르게 말하면,

:

X ~=~ \left(\operatorname{int}_X S\right) \;\cup\; \left(\partial_X S\right) \;\cup\; \left(\operatorname{int}_X (X \setminus S)\right)

이고 이 세 집합은 쌍별로 서로소이다. 결과적으로, 이 집합들이 비어 있지 않다면^[4], 이들은

X

의 분할을 형성한다.

점

p \in X

는 집합의 경계 점인데, 그 이유는 모든

p

의 근방이 집합 내의 적어도 하나의 점과 집합 밖에 적어도 하나의 점을 포함하는 경우에 한해서이기 때문이다.

집합의 내부의 경계와 집합의 폐포의 경계는 모두 집합의 경계에 포함된다.

개념적인 벤 다이어그램으로, $\R^n$ 의 부분 집합 $S$ 의 서로 다른 점들 사이의 관계를 보여준다.

집합과 그 여집합은 같은 경계를 갖는다.

:

\partial_X S = \partial_X (X \setminus S).

닫힌 집합의 경계의 내부는 비어 있다.^[5] 결과적으로, 집합의 폐포의 경계의 내부는 비어 있다.

열린 집합의 경계의 내부 또한 비어 있다.^[6] 결과적으로, 집합의 내부의 경계의 내부는 비어 있다.

어떤 집합이 어떤 열린 집합의 경계인 것은 그 집합이 닫혀 있고 어디에도 조밀하지 않은 집합일 때와 그 때 뿐이다.

어떤 집합의 경계가 비어 있는 것은 그 집합이 닫힌 집합이자 열린 집합(즉, 클로즈-오픈 집합)일 때와 그 때 뿐이다.

4. 예시

실수선 $\mathbb{R}$ 에 일반적인 위상을 부여하면, 다음과 같은 예시를 얻는다.

$\partial (0,5) = \partial [0,5) = \partial (0,5] = \partial [0,5] = \{0, 5\}$
$\partial \varnothing= \varnothing$
$\partial \mathbb{Q} = \mathbb{R}$
$\partial (\mathbb{Q} \cap [0, 1]) = [0, 1]$

마지막 두 예는 내부가 비어있는 조밀 집합의 경계가 그 폐포와 같다는 것을 보여준다.

유리수 집합에 부분 공간 위상(

\mathbb{R}

의 부분 공간 위상)을 부여하면,

a

가 무리수일 때

(-\infty, a)

의 경계는 공집합이다.

집합의 경계는 위상수학적 개념이며, 위상을 변경하면 경계도 바뀔 수 있다. 예를 들어,

\mathbb{R}^2

에 일반적인 위상을 주면, 닫힌 원판

\Omega = \left\{(x, y) : x^2 + y^2 \leq 1 \right\}

의 경계는 그 원판을 둘러싼 원:

\partial \Omega = \left\{(x, y) : x^2 + y^2 = 1 \right\}

이다. 이 원판을

\mathbb{R}^3

의 집합

\Omega = \left\{(x, y, 0) : x^2 + y^2 \leq 1 \right\}

으로 보면, 경계는 원판 자신이 된다(

\partial \Omega = \Omega

). 원판을 자체 위상 공간(

\mathbb{R}^2

의 부분 공간 위상)으로 보면, 경계는 공집합이다.

4. 1. 열린 공의 경계와 주변 구

radius^영어 ''r'' > 0인 열린 공의 위상 경계가 반드시 해당 radius^영어 ''r''의 구와 같지 않은 예시를 설명한다.

\R^2

에 대한 일반적인 유클리드 거리를

d((a, b), (x, y)) := \sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2}

로 표시하고, 이는

\R^2

에 일반적인 유클리드 위상을 유도한다.

X \subseteq \R^2

을

y

축

Y := \{ 0 \} \times \R

와 단위 원

S^1 := \left\{ p \in \R^2 : d(p, \mathbf{0}) = 1 \right\} = \left\{ (x, y) \in \R^2 : x^2 + y^2 = 1 \right\}

의 합으로 나타낸다. 여기서

\mathbf{0} := (0, 0) \in \R^2

을 원점으로 한다. 즉,

X := Y \cup S^1

는

\R^2

의 위상 부분 공간이며, 위상은 (제한된) 거리

d

에 의해 유도된다.

(X, d)

에서 반지름

r > 0

인 열린 공을 다음과 같이 나타낸다.

B_r := \left\{ p \in X : d(p, \mathbf{0}) < r \right\}

따라서

r = 1

일 때

B_1 = \{ 0 \} \times (-1, 1)

은

y = -1

과

y = 1

사이의

y

축의 열린 부분 구간이다.

(X, d)

에서 단위 구("단위"는 반지름이

r = 1

임을 의미)는

\left\{ p \in X : d(p, \mathbf{0}) = 1 \right\} = S^1

이다.

그러나, 열린 단위 공

B_1

의

X

에서의 위상 경계

\partial_X B_1

는 다음과 같다.

\partial_X B_1 = \{ (0, 1), (0, -1) \}

특히, 열린 단위 공의 위상 경계

\partial_X B_1 = \{ (0, 1), (0, -1) \}

는

(X, d)

에서 단위 구

\left\{ p \in X : d(p, \mathbf{0}) = 1 \right\} = S^1

의 진부분집합이다.

모든 거리 공간

(M, \rho)

에서, 점

c \in M

을 중심으로 하는 반지름

r > 0

인 열린 공의

M

에서의 위상 경계는 항상 해당 점

c

를 중심으로 하는 반지름

r

인 구의 부분 집합이다. 즉,

\partial_M \left(\left\{ m \in M : \rho(m, c) < r \right\}\right) ~\subseteq~ \left\{ m \in M : \rho(m, c)= r \right\}

는 항상 성립한다.

또한,

(X, d)

에서의 단위 구는

X \setminus Y = S^1 \setminus \{ (0, \pm 1) \}

을 포함하며, 이는

X

의 열린 부분 집합이다.^[7]

5. 경계의 경계

임의의 집합 $S$ 에 대해 $\partial S \supseteq \partial\partial S$이며, 여기서 $\supseteq$는 상위 집합(등호가 성립할 경우 포함)을 나타낸다. 이는 $S$ 의 경계가 내부 점을 갖지 않을 경우에 해당하며, 예를 들어 $S$ 가 닫혀 있거나 열려 있는 경우가 이에 해당한다. 집합의 경계는 닫혀 있으므로, 임의의 집합 $S$ 에 대해 $\partial \partial S = \partial \partial \partial S$이다. 따라서 경계 연산자는 약화된 종류의 멱등성을 만족시킨다.

다양체나 단순체 및 그들의 단순 복합체의 경계를 논의할 때, 경계의 경계는 항상 비어 있다는 주장을 자주 접하게 된다. 실제로, 특이 호몰로지의 구성은 이 사실에 결정적으로 의존한다. 이러한 겉보기에 모순되는 점에 대한 설명은, 위상 경계(본 문서의 주제)가 다양체 또는 단순 복합체의 경계와 약간 다른 개념이라는 것이다. 예를 들어, 다양체로 간주되는 열린 원판의 경계는 비어 있으며, 자신을 부분 집합으로 간주하는 위상 경계도 비어 있는 반면, 실수 평면의 부분 집합으로 간주되는 위상 경계는 원판을 둘러싼 원이다. 반대로, 다양체로 간주되는 닫힌 원판의 경계는 경계 원이며, 실수 평면의 부분 집합으로 간주되는 위상 경계도 그러하며, 자신을 부분 집합으로 간주하는 위상 경계는 비어 있다. 특히, 위상 경계는 주변 공간에 의존하는 반면, 다양체의 경계는 불변이다.

어떤 집합 ''S''에 대해서도 ∂''S'' ⊇ ∂∂''S''가 성립한다. 여기서 등호는 ''S''의 경계가 내부점을 갖지 않을 때, 즉 그 경우에만 성립한다. 이것은 ''S''가 열려있거나 닫혀있을 때도 옳다. 임의의 집합의 경계가 닫혀있다는 사실로부터, ∂∂''S'' = ∂∂∂''S''는 어떤 집합 ''S''에 대해서도 성립한다. 따라서, 경계를 취하는 연산은 약한 의미에서 멱등이다. 특히, 집합의 경계의 경계는 보통 공집합이 아니다.^[1]

다양체나 단순체 및 단순 복합체의 경계에 관한 논의에서는, 종종 경계의 경계는 항상 공집합이라는 주장을 볼 수 있을 것이다. 사실, 특이 호몰로지의 구성은 이 사실에 결정적으로 기반하고 있다. 이 명백한 불일치에 대한 설명으로는, 이 항목의 주제가 되는 위상적인 경계와, 다양체나 단순 복합체의 경계는 약간 다른 개념이라는 것이다. 예를 들어 닫힌 원판을 그 자체 위상 공간으로 간주했을 때의 위상적인 경계는 공집합이지만, 원판 자체를 다양체로 간주했을 때의 경계는 원판 자체의 원주이다.^[2]

참조

_[1] 서적 Grundzüge der Mengenlehre https://archive.org/[...] Veit
_[2] 서적 Grundzüge der Mengenlehre https://archive.org/[...] Veit
_[3] 서적 Introduction to Topology Dover 1990
_[4] 문서 The condition that these sets be non-empty is needed because sets in a [[Partition of a set|partition]] are by definition required to be non-empty.
_[5] 문서 Let $S$ be a closed subset of $X$ so that $\overline{S} = S$ and thus also $\partial_X S := \overline{S} \setminus \operatorname{int}_X S = S \setminus \operatorname{int}_X S.$ If $U$ is an open subset of $X$ such that $U \subseteq \partial_X S$ then $U \subseteq S$ (because $\partial_X S \subseteq S$ ) so that $U \subseteq \operatorname{int}_X S$ (because [[Interior (topology)|by definition]], $\operatorname{int}_X S$ is the largest open subset of $X$ contained in $S$ ). But $U \subseteq \partial_X S = S \setminus \operatorname{int}_X S$ implies that $U \cap \operatorname{int}_X S = \varnothing.$ Thus $U$ is simultaneously a subset of $\operatorname{int}_X S$ and disjoint from $\operatorname{int}_X S,$ which is only possible if $U = \varnothing.$ [[Q.E.D.]]
_[6] 문서 Let $S$ be an open subset of $X$ so that $\partial_X S := \overline{S} \setminus \operatorname{int}_X S = \overline{S} \setminus S.$ Let $U := \operatorname{int}_X \left(\partial_X S\right)$ so that $U = \operatorname{int}_X \left(\partial_X S\right) \subseteq \partial_X S = \overline{S} \setminus S,$ which implies that $U \cap S = \varnothing.$ If $U \neq \varnothing$ then pick $u \in U,$ so that $u \in U \subseteq \partial_X S \subseteq \overline{S}.$ Because $U$ is an open neighborhood of $u$ in $X$ and $u \in \overline{S},$ the definition of the [[Closure (topology)|topological closure]] $\overline{S}$ implies that $U \cap S \neq \varnothing,$ which is a contradiction. $\blacksquare$ Alternatively, if $S$ is open in $X$ then $X \setminus S$ is closed in $X,$ so that by using the general formula $\partial_X S = \partial_X (X \setminus S)$ and the fact that the interior of the boundary of a closed set (such as $X \setminus S$ ) is empty, it follows that $\operatorname{int}_X \partial_X S = \operatorname{int}_X \partial_X (X \setminus S) = \varnothing.$ $\blacksquare$
_[7] 문서 The $y$ -axis $Y = \{ 0 \} \times \R$ is closed in $\R^2$ because it is a product of two closed subsets of $\R.$ Consequently, $\R^2 \setminus Y$ is an open subset of $\R^2.$ Because $X$ has the subspace topology induced by $\R^2,$ the intersection $X \cap \left(\R^2 \setminus Y\right) = X \setminus Y$ is an open subset of $X.$ $\blacksquare$
_[8] 문서 原文ではここで「距離の概念からくる[[非有界集合]] (unbounded set) と区別して」という補足を付けているが、日本語では混乱はあるまい。
_[9] 문서 最初のふたつはそれぞれ '''b'''oun'''d'''ary, '''fr'''ontier の省略形からきている（が、省略の仕方は変えてもいいし省略しなくてもいい）。これ以外の記法としては、松坂では '''f'''rontier の頭文字を右肩に載せる ''S''^''f'' を用いている。内部 ('''int'''erior) = 開核 ('''o'''pen-kernel) や触集合 ('''ad'''herence) = 閉包 ('''cl'''osure) あるいは補集合 ('''comp'''lement) などについても同様の記法を使う。閉集合については上付きバーで表すこともあるが、日本の教育数学方言では補集合にバーを使う傾向があり紛らわしい。
_[10] 문서 原文では Willard, ''General Topology'' が挙げられている

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