계산 복잡도
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1. 개요
계산 복잡도는 알고리즘의 효율성을 평가하는 척도이다. 시간, 공간, 통신, 산술 연산 횟수 등을 자원으로 고려하며, 특히 시간 복잡도가 중요하게 다루어진다. 복잡도는 입력 크기의 함수로 표현되며, 최악, 평균, 최선 복잡도와 같은 여러 종류가 있다. 점근적 복잡도는 빅 오 표기법을 사용하여 나타내며, 알고리즘 설계 시 예상 성능을 파악하는 데 중요한 역할을 한다. 문제 복잡도는 문제를 해결하는 모든 알고리즘의 하한을 의미하며, 알고리즘 설계에서 효율적인 알고리즘을 선택하고 개선하는 데 활용된다.
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선형 시간은 알고리즘의 실행 시간이 입력 크기에 비례하여 증가하는 것을 의미하며, O(n)의 시간 복잡도를 가지는 알고리즘 분석의 중요한 척도로 활용된다.
| 계산 복잡도 | |
|---|---|
| 계산 복잡도 | |
| 학문 분야 | 이론 전산학 |
| 하위 분야 | 알고리즘 |
| 관련 항목 | 복잡도 종류 P-NP 문제 알고리즘 분석 |
| 세부 정보 | |
| 목적 | 알고리즘이 문제 해결에 필요한 컴퓨팅 자원 측정 |
| 주요 자원 | 시간 복잡도 공간 복잡도 |
| 핵심 질문 | 문제를 풀기에 어떤 알고리즘이 효과적인가? 얼마나 많은 자원이 필요한가? 현실적으로 풀 수 있는 문제인가? |
| 연구 내용 | 알고리즘 효율성 문제 분류 (계산 가능성, 복잡도) 복잡도 종류 간의 관계 연구 |
| 알고리즘 분석 방법 | |
| 점근 표기법 | 빅 오 표기법 (O) 빅 세타 표기법 (Θ) 빅 오메가 표기법 (Ω) |
| 분석 방법 | 최악의 경우 (Worst-case) 평균적인 경우 (Average-case) 최선의 경우 (Best-case) |
| 주요 복잡도 종류 | |
| 시간 복잡도 | 로그 시간 (Logarithmic Time) 선형 시간 (Linear Time) 로그 선형 시간 (Log-linear Time) 다항 시간 (Polynomial Time) 지수 시간 (Exponential Time) |
| 공간 복잡도 | 입력 크기에 따른 메모리 사용량 분석 |
| 문제 분류 | 계산 가능성 결정 문제 최적화 문제 P 문제 NP 문제 NP-완전 문제 NP-난해 문제 |
| 응용 분야 | |
| 응용 분야 | 알고리즘 설계 및 개선 컴퓨터 프로그래밍 데이터베이스 암호학 인공지능 |
2. 자원
알고리즘의 복잡도를 평가할 때 고려되는 주요 자원에는 시간, 공간, 통신 복잡도 등이 있다.
- 시간: 가장 일반적으로 고려되는 자원으로, "복잡도"라는 용어가 특별한 설명 없이 사용될 때는 보통 시간 복잡도를 의미한다. 시간 복잡도는 알고리즘이 실행되는 동안 수행되는 기본 연산의 수를 세어 측정한다.
- 비트 복잡도: 알고리즘 실행에 필요한 비트 연산의 수를 나타내며, 현실적인 계산 모델에서는 시간 복잡도와 거의 동일하다.
- 공간: 알고리즘 실행에 필요한 컴퓨터 메모리의 크기 또한 중요한 자원이다.
- 통신 복잡도: 분산 알고리즘에서 실행 당사자 간에 필요한 통신량을 의미한다.
- 산술적 복잡도: 산술 연산의 수를 나타내는 자원이다. 계산되는 숫자의 크기가 제한되지 않은 경우, 비트 복잡도는 산술 복잡도보다 훨씬 클 수 있다. 예를 들어, 가우스 소거법을 사용한 `n × n` 정수 행렬의 행렬식 계산에서 산술 복잡도는 O(n3)이지만, 비트 복잡도는 n에 대해 지수적이다.
- 항목 비교 횟수: 정렬 및 검색에서 주로 고려되는 자원이다.
2. 1. 시간
가장 일반적으로 고려되는 자원은 시간이다. "복잡도"라는 용어가 특별한 설명 없이 사용될 때, 이는 일반적으로 시간 복잡도를 의미한다.일반적인 시간 단위(초, 분 등)는 복잡도 이론에서 사용되지 않는데, 이는 특정 컴퓨터의 선택과 기술의 발전에 지나치게 의존하기 때문이다. 예를 들어, 오늘날의 컴퓨터는 1960년대 컴퓨터보다 알고리즘을 훨씬 빠르게 실행할 수 있지만, 이것은 알고리즘의 고유한 특징이 아니라 컴퓨터 하드웨어의 기술 발전의 결과이다. 복잡도 이론은 알고리즘의 고유한 시간 요구 사항, 즉 알고리즘이 ''어떤'' 컴퓨터에도 부과하는 기본적인 시간 제약을 정량화하려고 한다. 이는 계산 중에 실행되는 ''기본 연산''의 수를 세어서 달성된다. 이러한 연산은 주어진 기계에서 일정한 시간(즉, 입력 크기에 영향을 받지 않음)이 걸리는 것으로 가정되며, 종종 ''단계''라고 한다.[1]
2. 1. 1. 시간 복잡도
가장 일반적으로 고려되는 자원은 시간이다. "복잡도"라는 용어가 특별한 설명 없이 사용될 때, 이는 일반적으로 시간 복잡도를 의미한다.일반적인 시간 단위(초, 분 등)는 복잡도 이론에서 사용되지 않는데, 이는 특정 컴퓨터의 선택과 기술의 발전에 지나치게 의존하기 때문이다. 예를 들어, 오늘날의 컴퓨터는 1960년대 컴퓨터보다 알고리즘을 훨씬 빠르게 실행할 수 있지만, 이것은 알고리즘의 고유한 특징이 아니라 컴퓨터 하드웨어의 기술 발전의 결과이다. 복잡도 이론은 알고리즘의 고유한 시간 요구 사항, 즉 알고리즘이 ''어떤'' 컴퓨터에도 부과하는 기본적인 시간 제약을 정량화하려고 한다. 이는 계산 중에 실행되는 ''기본 연산''의 수를 세어서 달성된다. 이러한 연산은 주어진 기계에서 일정한 시간(즉, 입력 크기에 영향을 받지 않음)이 걸리는 것으로 가정되며, 종종 ''단계''라고 한다.
2. 1. 2. 비트 복잡도
공식적으로 비트 복잡도는 알고리즘을 실행하는 데 필요한 비트 연산 횟수를 나타낸다. 대부분의 계산 모형에서 비트 복잡도는 시간 복잡도와 상수배로 같다. 컴퓨터에서는 필요한 기계어 연산 횟수도 비트 복잡도에 비례한다. 따라서 현실적인 계산 모형에서 시간 복잡도와 비트 복잡도는 동일하다.2. 2. 공간
알고리즘 실행에 필요한 컴퓨터 메모리 크기는 또 다른 중요한 자원이다.2. 3. 통신
분산 알고리즘에서 데이터 통신량을 나타내는 통신 복잡도는 네트워크 환경에서 알고리즘 성능을 평가하는 중요한 요소이다.[1] 여러 상대방과 서로 상호 작용하며 실행하는 분산 알고리즘의 경우 가장 관심 있는 자원은 통신 복잡도이며, 이는 실행에 필요한 통신의 양이다.[1]2. 4. 기타
산술 연산 횟수는 알고리즘 복잡도 분석에 고려되는 또 다른 자원이다. 이 경우 산술 복잡도라고도 한다. 계산 중에 발생하는 숫자의 이진 표현 크기에 대한 상한을 알고 있다면 시간 복잡도는 일반적으로 산술 복잡도에 상수 인자를 곱한 값이 된다.많은 알고리즘에서 계산 중에 사용되는 정수의 크기는 제한이 없으며, 산술 연산에 일정한 시간이 걸린다고 가정하는 것은 현실적이지 않다. 따라서 이러한 맥락에서 일반적으로 비트 복잡도라고 하는 시간 복잡도는 산술 복잡도보다 훨씬 더 클 수 있다. 예를 들어, ''n''×''n'' 정수 행렬의 행렬식 계산의 산술 복잡도는 일반적인 알고리즘(가우스 소거법)의 경우 이다. 동일한 알고리즘의 비트 복잡도는 계산 과정에서 계수의 크기가 기하급수적으로 증가할 수 있기 때문에 지수적이다. 반면 이러한 알고리즘이 다중 모듈러 산술과 결합되면, 비트 복잡도는 로 감소될 수 있다.
정렬과 검색에서 일반적으로 고려되는 자원은 항목 비교의 횟수이다. 이는 일반적으로 데이터가 적절하게 구성되어 있다면 시간 복잡도를 측정하는 좋은 방법이다.
3. 입력 크기의 함수로서의 복잡도
알고리즘의 복잡도는 일반적으로 입력 크기에 따라 증가하므로, 입력 크기 ''n'' (비트 단위)의 함수로 표현된다. 그러나 같은 크기의 입력이라도 알고리즘의 복잡도는 다를 수 있다. 따라서 최악 복잡도, 평균 복잡도 등 여러 복잡도 함수가 사용된다. 일반적으로 "복잡도"라고 하면 최악 시간 복잡도를 의미한다.
3. 1. 최악, 평균, 최선 복잡도
알고리즘의 단계 수를 모든 가능한 입력에 대해 세는 것은 불가능하다. 일반적으로 복잡도는 입력 크기에 따라 증가하므로, 복잡도는 입력 크기 ''n'' (비트 단위)의 함수로 표현된다. 따라서 복잡도는 ''n''의 함수가 된다. 그러나 같은 크기의 입력이라도 알고리즘의 복잡도는 크게 달라질 수 있다. 따라서 일반적으로 몇 가지 복잡도 함수가 사용된다.최악 복잡도는 크기 ''n''의 모든 입력에 대한 복잡도의 최댓값이며, 평균 복잡도는 크기 ''n''의 모든 입력에 대한 복잡도의 평균이다. 일반적으로 "복잡도"라고만 사용할 경우에는 최악 시간 복잡도를 의미한다.
3. 2. 점근적 복잡도
입력 크기가 무한대로 갈 때의 복잡도 변화 양상을 나타내는 점근적 복잡도는 알고리즘 성능을 비교하는 데 유용하게 사용된다. 일반적으로 이 무한대로 갈 때의 점근적 동작에 초점을 맞추며, 빅 오 표기법을 사용하여 표현한다.예를 들어, 정수 곱셈의 일반적인 알고리즘은 복잡도가 이다. 이는 상수 가 있어 최대 자리의 두 정수를 곱하는 데 보다 작은 시간이 걸린다는 것을 의미한다. 이 경계는 최악의 복잡도와 평균 복잡도가 으로 정확한데, 이는 상수 이 있어 복잡도가 보다 크다는 뜻이다. 복잡도에는 기수를 적지 않는데, 기수가 바뀌더라도 와 상수만 변경되기 때문이다.
4. 계산 모형
복잡도 평가는 단위 시간에 수행되는 기본 연산을 정의하는 계산 모형의 선택에 따라 달라진다. 계산 모형이 명시적으로 지정되지 않은 경우 일반적으로 다중테이프 튜림 기계를 의미한다.
일반적인 시간 단위(초, 분 등)는 복잡도 이론에서 사용되지 않는데, 이는 특정 컴퓨터의 선택과 기술의 발전에 지나치게 의존하기 때문이다. 예를 들어, 오늘날의 컴퓨터는 1960년대 컴퓨터보다 알고리즘을 훨씬 빠르게 실행할 수 있지만, 이것은 알고리즘의 고유한 특징이 아니라 컴퓨터 하드웨어의 기술 발전의 결과이다. 복잡도 이론은 알고리즘의 고유한 시간 요구 사항, 즉 알고리즘이 ''어떤'' 컴퓨터에도 부과하는 기본적인 시간 제약을 정량화하려고 한다. 이는 계산 중에 실행되는 ''기본 연산''의 수를 세어서 달성된다. 이러한 연산은 주어진 기계에서 일정한 시간(즉, 입력 크기에 영향을 받지 않음)이 걸리는 것으로 가정되며, 종종 ''단계''라고 한다.
복잡도 평가는 단위 시간에 수행되는 기본 연산을 정의하는 계산 모델의 선택에 의존한다. 계산 모델이 명시적으로 지정되지 않은 경우, 여러 개의 더 현실적인 계산 모델(예: 랜덤 액세스 머신)이 대부분의 문제에 대해 점근적으로 동등하기 때문에 일반적으로 암시적으로 다중 테이프 튜링 머신으로 간주된다. 시간의 정수 곱셈과 같이 매우 특정하고 어려운 문제의 경우에만 증명을 위해 계산 모델의 명시적 정의가 필요하다.
양자 컴퓨터는 양자 역학을 기반으로 하는 계산 모델을 사용하는 컴퓨터이다. 처치-튜링 명제는 양자 컴퓨터에도 적용된다. 즉, 양자 컴퓨터로 풀 수 있는 모든 문제는 튜링 기계로도 풀 수 있다. 그러나 이론적으로는 고전적인 컴퓨터보다 양자 컴퓨터를 사용하여 훨씬 낮은 시간 복잡도로 해결할 수 있는 문제들이 있을 수 있다. 현재로서는 효율적인 양자 컴퓨터를 만드는 방법을 아무도 모르기 때문에 이것은 순전히 이론적인 것이다.
양자 복잡도 이론은 양자 컴퓨터를 사용하여 해결되는 문제의 복잡도 종류를 연구하기 위해 개발되었다. 이것은 양자 내성 암호에 사용되는데, 이는 양자 컴퓨터의 공격에 견딜 수 있는 암호화 프로토콜을 설계하는 것을 포함한다.
4. 1. 결정적 모형
결정적 계산 모형은 기계의 연속적인 상태와 수행될 연산이 이전 상태에 의해 완전히 결정되는 계산 형태이다. 역사적으로 최초의 결정적 모형은 재귀 함수, 람다 대수, 튜링 기계였다. 랜덤 접근 기계(RAM 기계) 모형도 실제 컴퓨터에 더 가까운 것으로 널리 사용되고 있다.계산 모형이 지정되지 않은 경우 일반적으로 다중 테이프 튜링 기계로 가정한다. 대부분의 알고리즘의 경우 시간 복잡도는 다중 테이프 튜링 기계에서 RAM 기계와 동일하지만, 이러한 동등성을 얻기 위해 데이터가 메모리에 저장되는 방식에 약간의 주의가 필요할 수 있다.
4. 2. 비결정적 계산 모형
비결정적 튜링 기계와 같은 비결정적 계산 모형에서는 계산 과정에서 여러 선택을 할 수 있다. 복잡도 이론에서는 가능한 모든 선택을 동시에 고려하며, 비결정적 시간 복잡도는 항상 최선의 선택을 할 때 필요한 시간으로 정의한다. 즉, 필요에 따라 여러 개의 동일한 프로세서에서 동시에 계산을 수행한다고 가정하고, 비결정적 계산 시간은 계산을 완료한 첫 번째 프로세서가 사용한 시간으로 간주한다.이러한 계산 모형은 아직 현실적이지 않지만, "다항 시간"과 "비결정적 다항 시간"을 최소 상한으로 하는 복잡도 클래스의 동일성에 대한 의문을 제기하는 P=NP 문제와 관련하여 이론적으로 중요하다. 결정적 컴퓨터에서 NP 알고리즘을 시뮬레이션하려면 일반적으로 "지수 시간"이 걸린다. 비결정적 컴퓨터에서 다항 시간 내에 풀 수 있는 문제는 NP 복잡도 클래스에 속한다. 대략적으로 말해, NP에 속하면서 다른 어떤 NP 문제보다 쉽지 않은 문제를 NP-완전 문제라고 한다. 배낭 문제, 외판원 문제, 부울 만족성 문제 등 많은 조합론 문제가 NP-완전 문제에 해당한다. 이 문제들에 대해 알려진 최선의 알고리즘은 지수적 복잡도를 갖는다. 만약 이 문제들 중 하나라도 결정적 기계에서 다항 시간 내에 풀 수 있다면, 모든 NP 문제도 다항 시간 내에 풀 수 있게 되어 P=NP가 성립한다. 2017년 현재, 일반적으로 P≠NP라고 추측하는데, 이는 NP 문제의 최악의 경우가 본질적으로 풀기 어렵다는 것을 의미한다. 즉, 입력의 길이가 길어질수록 합리적인 시간(수십 년) 안에 해결하기 어렵다는 것이다.
4. 3. 병렬 및 분산 컴퓨팅
병렬 및 분산 컴퓨팅은 여러 프로세서에서 동시에 작동하여 계산을 분할하는 것을 의미한다. 서로 다른 모델의 차이점은 주로 프로세서 간 정보 전송 방식에 있다. 일반적으로 병렬 컴퓨팅에서는 프로세서 간 데이터 전송이 매우 빠르지만, 분산 컴퓨팅에서는 네트워크를 통해 데이터 전송이 이루어지므로 훨씬 느리다.개의 프로세서에서 계산하는 데 필요한 시간은 단일 프로세서가 필요로 하는 시간을 으로 나눈 몫 이상이다. 일부 하위 작업은 병렬화할 수 없고 일부 프로세서는 다른 프로세서의 결과를 기다려야 할 수 있기 때문에, 사실 이러한 이론적으로 최적의 경계는 결코 도달할 수 없다.
따라서 주요 복잡성 문제는 계산 시간과 프로세서 수의 곱이 단일 프로세서에서 동일한 계산에 필요한 시간에 최대한 가깝도록 알고리즘을 설계하는 것이다.
4. 4. 양자 컴퓨팅
양자 컴퓨터는 양자역학에 기반한 계산 모형을 가진 컴퓨터이다. 처치-튜링 논제는 양자 컴퓨터에도 적용된다. 즉, 양자 컴퓨터로 풀 수 있는 모든 문제는 튜링 기계로도 해결할 수 있다. 그러나 일부 문제는 이론적으로 고전적인 컴퓨터가 아닌 양자 컴퓨터를 사용하면 훨씬 더 낮은 시간 복잡도로 해결할 수 있다. 현재로서는 효율적인 양자 컴퓨터를 구축하는 방법을 모르기 때문에 이는 순전히 이론에 불과하다.양자 복잡도 이론은 양자 컴퓨터를 사용해 풀 수 있는 문제의 복잡도 종류를 연구하기 위해 개발되었다. 양자 복잡도 이론은 양자 컴퓨터를 이용한 공격에 저항하는 암호화 프로토콜을 설계하는 양자 후 암호에 사용된다.
5. 문제 복잡도 (하한값)
문제의 복잡도는 알려지지 않은 알고리즘을 포함하여, 그 문제를 해결할 수 있는 모든 알고리즘의 복잡도의 하한값이다. 따라서 문제의 복잡도는 그 문제를 해결하는 어떤 알고리즘의 복잡도보다 크지 않다.
대문자 O 표기법으로 표현되는 모든 알고리즘의 복잡도는 해당 문제의 복잡도에 대한 상한이 된다.
반면에, 문제 복잡도의 하한을 구하는 것은 일반적으로 어렵고, 그러한 하한을 구하는 방법도 거의 없다.
대부분의 문제를 해결하려면 모든 입력 데이터를 읽어야 하는데, 이는 일반적으로 데이터 크기에 비례하는 시간이 필요하다. 따라서 이러한 문제의 복잡도는 적어도 선형 시간이며, 빅 오메가 표기법으로 가 된다.
일반적으로 계산대수학 및 계산대수기하학에서 일부 문제의 해는 매우 클 수 있다. 이러한 경우 출력을 작성해야 하므로 복잡도는 출력의 최대 크기에 의해 하한이 정해진다. 예를 들어, d차 n원 다항식은 해의 수가 유한하다면 (베조 정리에 따라) 최대 개의 복소해를 가질 수 있다. 이러한 해를 출력해야 하므로, 이 문제의 복잡도는 가 된다. 이 문제의 경우, 복잡도 인 알고리즘이 알려져 있으므로, 점근적으로 준최적이라고 간주할 수 있다.
정렬 알고리즘에서 필요로 하는 비교 횟수는 비선형 하한인 이 알려져 있다. 따라서 가장 좋은 정렬 알고리즘의 복잡도가 이므로, 최적이다. 이 하한은 n개 값으로 만들 수 있는 순열의 가지수가 n!이라는 사실에서 비롯된다. 매 비교마다 n!개가 두 부분으로 나뉘므로, 모든 순열을 구분하는데 필요한 최소 비교 횟수 N은 이어야 하므로, 스털링 근사에 따라 이 된다.
복잡도의 하한을 얻는 표준적인 방법은 문제를 다른 문제로 축소하는 것이다. 보다 정확하게, n 크기의 문제 A를 크기 f(n)의 문제 B의 하위 문제로 인코딩할 수 있고, A의 복잡도가 라고 가정해 보자. 일반성을 잃지 않고, f 함수가 n에 따라 증가하며, 역함수 h를 갖는다고 가정할 수 있다. 그러면 문제 B의 복잡도는 이 된다. 이 방법은 P ≠ NP(미해결 추측)인 경우 모든 NP 완전 문제의 복잡도는 모든 양의 정수 k에 대해 임을 증명하는 데 사용되는 방법이다.
6. 알고리즘 설계에 사용
알고리즘의 복잡도를 평가하는 것은 알고리즘 설계에서 중요한 부분인데, 이는 예상되는 성능에 대한 유용한 정보를 제공하기 때문이다.
현대 컴퓨터의 성능이 기하급수적으로 증가한다는 무어의 법칙으로 인해 알고리즘의 복잡도 평가가 덜 중요해질 것이라는 오해가 있다. 그러나 이러한 성능 향상으로 인해 대용량 입력 데이터(빅 데이터)로 작업할 수 있기 때문에 이는 잘못된 생각이다. 예를 들어, 책의 참고문헌과 같이 수백 개의 항목이 나열된 목록을 사전 순으로 정렬할 때, 어떤 알고리즘이든 1초 이내에 잘 작동할 것이다. 반면에 백만 개의 항목(예: 대도시의 전화번호)이 있는 목록의 경우, 회의 비교가 필요한 알고리즘은 1조 번의 비교를 수행해야 하며, 초당 천만 번의 비교를 한다면 약 3시간이 소요된다. 반면 퀵 정렬이나 병합 정렬은 회의 비교로 충분하다. 이 1,000,000인 경우, 약 30,000,000 회의 비교를 수행해야 하며, 초당 천만 회의 비교를 수행하면 3초밖에 걸리지 않는다.
따라서 복잡도 평가를 통해 구현 전에 많은 비효율적인 알고리즘을 제거할 수 있다. 또한 모든 변형을 테스트하지 않고 복잡한 알고리즘을 튜닝하는 데에도 사용할 수 있다. 복잡한 알고리즘에서 가장 비용이 많이 드는 단계를 결정함으로써 복잡도 연구를 통해 구현의 효율성을 향상시키는 노력을 이러한 단계에 집중할 수 있다.
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