기하급수적 성장

3. 물리학

• 애벌런치 항복은 유전체 물질 내에서 발생하는 현상이다. 자유 전자가 외부 전기장에 의해 충분히 가속되면, 유전 매질의 원자나 분자와 충돌하여 추가 전자를 방출한다. 이렇게 생성된 2차 전자 역시 가속되어 더 많은 자유 전자를 만들어낸다. 결과적으로 전자와 이온의 수가 기하급수적으로 증가하여 물질의 완전한 유전체 항복으로 빠르게 이어질 수 있다.
• 핵연쇄 반응은 원자로 및 핵무기의 기본 원리이다. 우라늄 원자핵이 핵분열을 겪을 때마다 여러 개의 중성자가 생성된다. 이 중성자들은 각각 인접한 우라늄 원자에 흡수되어 또 다른 분열을 일으킬 수 있다. 만약 중성자가 외부로 빠져나갈 확률보다 원자핵에 흡수될 확률이 더 높다면(이는 우라늄의 모양과 질량에 따라 달라지는 함수이다), 생성되는 중성자의 수와 유도된 우라늄 분열의 속도는 통제되지 않은 반응 속에서 기하급수적으로 증가한다. "기하급수적인 증가율 때문에 연쇄 반응의 어느 시점에서든 에너지의 99%가 마지막 4.6세대 동안 방출된다. 처음 53세대는 실제 폭발로 이어지는 잠복기로 볼 수 있으며, 실제 폭발 자체는 3~4세대 만에 일어난다고 보는 것이 합리적인 근사치이다."^[4]
• 전기적 또는 전자 음향 증폭기의 선형 범위 내에서 정귀환이 발생하면, 증폭된 신호가 기하급수적으로 성장할 수 있다. 다만, 공명 효과로 인해 신호의 여러 주파수 성분 중 특정 성분이 더 우세하게 증폭될 수 있다.

4. 경제

경제 성장은 백분율로 표시되며, 이는 기하급수적 성장을 의미한다.

고정 이자율의 복리는 자본의 기하급수적 성장을 가져온다. 이는 72의 법칙과 관련이 깊다.

피라미드 사기 또는 폰지 사기 역시 이러한 유형의 성장을 보여주며, 소수의 초기 투자자에게 높은 이익을 안겨주는 반면, 다수의 투자자에게 손실을 초래한다.

5. 컴퓨터 과학

• 컴퓨터의 처리 능력은 대표적인 기하급수적 성장의 예시로, 무어의 법칙에 따라 발전해왔다. 미래학자 레이 커즈와일은 이러한 성장이 계속되어 예측 불가능한 미래, 즉 기술적 특이점에 도달할 것이라고 주장하기도 했다. (다만 기하급수적 성장 자체에 필연적으로 특이점이 내재된 것은 아니다.)
• 계산 복잡도 이론에서는 지수 복잡도를 가진 컴퓨터 알고리즘을 다룬다. 이러한 알고리즘은 해결해야 할 문제의 크기가 일정하게 증가하더라도 필요한 자원(예: 계산 시간, 컴퓨터 메모리)이 기하급수적으로 늘어나는 특징이 있다. 예를 들어, 시간 복잡도가 2^''x''인 알고리즘이 있다고 가정해보자. 문제 크기 ''x'' = 10인 문제를 해결하는 데 10초가 걸렸다면, 크기가 ''x'' = 11로 늘어나면 20초, ''x'' = 12로 늘어나면 40초가 걸리게 된다.
• 이러한 특성 때문에 지수 복잡도 알고리즘은 문제 크기가 매우 작은 경우(대략 30개에서 100개 사이의 항목)에만 실질적으로 사용 가능하며, 그 이상 커지면 현실적인 시간 내에 답을 구하기 어렵게 된다. 대부분의 컴퓨터 알고리즘은 수만 개 또는 수백만 개까지의 훨씬 더 큰 문제를 합리적인 시간 내에 해결할 수 있어야 하므로, 지수 복잡도 알고리즘은 대부분 비효율적이다.
• 무어의 법칙에 따라 컴퓨터 처리 속도가 빨라지더라도 상황이 크게 개선되지는 않는다. 프로세서 속도가 두 배 빨라져도 같은 시간 안에 풀 수 있는 문제의 크기는 단지 상수(constant)만큼만 증가하기 때문이다. 예를 들어, 느린 프로세서가 크기 ''x''의 문제를 시간 ''t'' 내에 해결할 수 있다면, 두 배 빠른 프로세서는 같은 시간 ''t'' 내에 크기 ''x'' + 상수 만큼의 문제만 해결할 수 있다. 따라서 지수적으로 복잡한 알고리즘은 대부분 실용적이지 않으며, 보다 효율적인 알고리즘을 찾는 것이 오늘날 컴퓨터 과학의 중요한 과제 중 하나이다.

6. 인터넷 현상

인터넷 밈이나 바이럴 비디오와 같은 인터넷 콘텐츠는 기하급수적인 방식으로 확산될 수 있으며, 이는 바이러스의 확산에 비유하여 종종 "바이럴된다"고 불린다.^[5] 소셜 네트워크와 같은 미디어를 통해 한 사람이 동일한 콘텐츠를 많은 사람들에게 동시에 전달할 수 있으며, 이들은 다시 더 많은 사람들에게 이를 확산시켜 급속한 확산을 일으킨다.^[6] 예를 들어, 싸이의 강남스타일 뮤직 비디오는 2012년 7월 15일에 유튜브에 업로드되어 첫날 수십만 명의 시청자를 기록했고, 20일째에는 수백만 명, 두 달도 안 되어 누적 수억 뷰를 기록하며 기하급수적인 증가세를 보였다.^[5][7]

7. 기본 공식

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• 성장 상수 $k$: 단위 시간당 $e$배로 성장하는 주파수. 금융에서는 로그 수익률, 연속 복리, 또는 이자율이라고도 한다.
• e-폴딩 시간 $\backslash tau$: 양이 e배 증가하는 데 걸리는 시간.
• 두 배 증가 시간 $T$: 양이 두 배가 되는 데 걸리는 시간.
• 백분율 증가 $r$: 기간 $p$ 동안의 백분율 증가율 (무차원 숫자).

8. 로그 선형 성장

만약 변수 ''x''가 $x(t)\; =\; x\_0\; (1+r)^t$에 따라 지수적으로 증가한다면, ''x''의 로그(어떤 밑이라도)는 시간에 따라 선형적으로 증가한다. 이는 지수 성장 방정식의 양변에 로그를 취함으로써 알 수 있다.

$\backslash log\; x(t)\; =\; \backslash log\; x\_0\; +\; t\; \backslash cdot\; \backslash log\; (1+r)$

이러한 특성 때문에 지수적으로 성장하는 변수를 로그-선형 모델로 분석할 수 있다. 예를 들어, 변수 ''x''에 대한 시계열 데이터로부터 성장률을 경험적으로 추정하고자 한다면, ''log x''를 시간 ''t''에 대해 선형 회귀 분석을 수행할 수 있다.

9. 미분 방정식

지수 함수 $x(t)\; =\; x\_0\; e^\{kt\}$는 다음의 선형 미분 방정식을 만족한다.

$$\backslash frac\{dx\}\{dt\}\; =\; kx$$

이 방정식은 시간 t에서의 x의 순간적인 변화율이 그 시점의 값 $x(t)$에 비례하며, 초깃값 $x(0)\; =\; x\_0$를 갖는다는 것을 의미한다.

이 미분 방정식은 직접 적분을 통해 풀 수 있다.

$$\backslash begin\{align\}$$

\frac{dx}{dt} & = kx \\[5pt]

\frac{dx} x & = k\, dt \\[5pt]

\int_{x_0}^{x(t)} \frac{dx}{x} & = k \int_0^t \, dt \\[5pt]

\ln \frac{x(t)}{x_0} & = kt.

\end{align}

위 과정을 통해 다음과 같은 해를 얻는다.

$$x(t)\; =\; x\_0\; e^\{kt\}.$$

만약 위의 미분 방정식에서 상수 이면, 해당 양은 시간에 따라 지수 감소를 나타낸다.

이러한 기하급수적 성장 모델의 비선형적 변화에 대해서는 로지스틱 함수 문서에서 더 자세히 다룬다.

10. 다른 성장률

장기적으로 볼 때, 모든 종류의 기하급수적 성장은 어떤 종류의 선형 성장(맬서스 재앙의 근본적인 원인이 됨)보다 빠를 뿐만 아니라, 모든 다항식 성장보다도 더 커진다. 즉, 모든 α에 대해 다음 식이 성립한다.

$$\backslash lim\_\{t\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash frac\{t^\backslash alpha\}\{a\; e^t\}\; =\; 0.$$

기하급수적 성장보다는 느리지만 선형 성장보다는 빠른 (장기적으로) 성장률의 계층이 존재한다.

성장률은 기하급수적 성장보다 더 빠를 수도 있다. 가장 극단적인 경우로, 유한한 시간 안에 성장률이 무한대로 증가하는 것을 쌍곡선 성장이라고 한다. 기하급수적 성장과 쌍곡선 성장 사이에는 테트레이션에서 시작하는 하이퍼연산이나 아커만 함수의 대각선 값인 $A(n,n)$과 같은 더 빠른 성장 양상들도 존재한다.

11. 한계

실제로 초기의 기하급수적 성장은 영원히 지속되지 않는 경우가 많다. 일정 기간이 지나면 자원 제약과 같은 외부적 또는 환경적 요인에 의해 성장이 둔화된다.^[8] 예를 들어, 인구 증가는 이용 가능한 자원의 한계에 부딪혀 상한선에 도달할 수 있다. 이러한 성장 모델을 1845년 벨기에 수학자 피에르 프랑수아 뷜헐스트가 처음 제안했으며, 이를 로지스틱 성장이라고 부른다.^[9]

물리적 현상에 대한 기하급수적 성장 모델은 제한된 영역 내에서만 적용될 수 있으며, 무한한 성장은 현실적으로 불가능하다. 성장이 초기에는 기하급수적 양상을 보일 수 있지만, 결국에는 이전에 고려되지 않았던 음성 피드백 요소가 중요해지는 단계에 접어들게 된다. 이는 결과적으로 로지스틱 성장 모델로 이어지거나, 연속성 또는 즉각적인 피드백과 같은 기하급수적 성장 모델의 다른 기본 가정이 더 이상 유효하지 않게 되는 상황을 맞이한다.

12. 지수적 성장 편향

연구에 따르면 인간은 기하급수적 성장을 이해하는 데 어려움을 겪는 경향이 있다. 지수적 성장 편향은 복합적인 성장 과정을 과소평가하는 경향을 말하며, 이러한 편향은 재정적인 판단에도 영향을 미칠 수 있다.

밀과 체스판 문제는 기하급수적 성장을 설명하는 유명한 이야기이다. 전설에 따르면, 재상 시사 벤 다히르가 인도 왕 샤림에게 아름다운 수제 체스판을 선물했다. 왕이 선물에 대한 답례로 무엇을 원하느냐고 묻자, 시종은 첫 번째 칸에 쌀 한 톨, 두 번째 칸에 두 톨, 세 번째 칸에 네 톨과 같이 각 칸마다 이전 칸의 두 배만큼 쌀을 달라고 요청했다. 왕은 처음에는 이 요청을 대수롭지 않게 여기고 기꺼이 동의했다. 그러나 n번째 칸에 2^n-1개의 쌀알을 놓아야 한다는 요구사항은 금세 엄청난 양으로 불어났다. 21번째 칸에서는 백만 개가 넘는 쌀알이 필요했고, 41번째 칸에서는 백만 곱하기 백만 개(즉, 조) 이상의 쌀알이 필요했다. 결국 마지막 64번째 칸까지 채울 쌀은 전 세계의 생산량을 합쳐도 부족했다.^[11]

"체스판의 뒷면"이라는 용어는 기하급수적으로 증가하는 어떤 요소의 영향력이 특정 시점을 지나면서 조직의 사업 전략 전반에 걸쳐 상당한 경제적 영향을 미치기 시작하는 단계를 의미하기도 한다.

프랑스 어린이들에게 제시되는 수수께끼 역시 기하급수적 성장의 한 단면을 보여준다. 이 수수께끼는 연못에서 자라는 수련 식물을 예로 든다. 이 식물은 매일 크기가 두 배로 커지며, 그대로 두면 30일 만에 연못 전체를 뒤덮어 다른 모든 생물을 살 수 없게 만든다. 사람들은 이 식물의 성장이 처음에는 미미해 보이기 때문에, 연못의 절반을 덮을 때까지는 크게 걱정하지 않기로 결정한다. 그렇다면 식물이 연못의 절반을 덮는 날은 며칠째일까? 정답은 29일째이며, 이는 연못을 구할 수 있는 시간이 단 하루밖에 남지 않았음을 의미한다. 이는 기하급수적 성장이 특정 임계점에 도달하면 겉보기에는 갑작스럽게 그 양이 폭발적으로 증가하는 것처럼 보이는 현상을 잘 설명해준다.

참조

_[1] 뉴스 "Opinion | Stop Saying 'Exponential.' Sincerely, a Math Nerd." https://www.nytimes.[...] 2019-03-04
_[2] 웹사이트 10 Scientific Words You're Probably Using Wrong https://science.hows[...] 2014-07-11
_[3] 간행물 Constant Growth Rate Can Be Supported by Decreasing Energy Flux and Increasing Aerobic Glycolysis
_[4] 웹사이트 Introduction to Nuclear Weapon Physics and Design http://nuclearweapon[...] Nuclear Weapons Archive 2009-05-26
_[5] arXiv To Go Viral 2014
_[6] 서적 Going Viral https://books.google[...] Polity 2013
_[7] 웹사이트 Gangnam Style vs Call Me Maybe: A Popularity Comparison http://youtube-trend[...] 2012
_[8] 서적 Functions and Change: A Modeling Approach to College Algebra https://books.google[...] Houghton Mifflin Harcourt
_[9] 서적 Population Ecology: An Introduction to Computer Simulations https://books.google[...] John Wiley & Sons
_[10] 간행물 Exponential Growth Bias and Household Finance
_[11] 서적 Capitalism: as if the world matters Earthscan
_[12] 서적 The Limits to Growth: The 30-Year Update Chelsea Green Publishing
_[13] 뉴스 "Opinion | Stop Saying 'Exponential.' Sincerely, a Math Nerd." https://www.nytimes.[...] 2019-03-04
_[14] 웹인용 10 Scientific Words You're Probably Using Wrong https://science.hows[...] 2014-07-11