기 (수학)

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 기저
5. 부분 공간 둥지
- 5.1. 부분 공간 둥지 정의
6. 집합론적 유사체
7. 역사
참조

1. 개요

기(Flag)는 체 K 위의 벡터 공간 V에 대해 정의되는 개념으로, V의 부분 벡터 공간들의 특별한 여과를 의미한다. 유한 차원 벡터 공간 V=Kⁿ에서 차원이 n인 기를 완비기라고 하며, 차원들이 (d₀=0, d₁, d₂, ..., dₖ=n)인 기들의 모듈라이 공간을 기 대수다양체라고 한다. 기의 안정자군은 일반 선형군의 포물형 부분군이며, 완비기의 안정자군은 보렐 부분군이다. 또한, 기저와 둥지, 집합론적 유사체 등의 개념과 연관되며, 1955년 아르망 보렐에 의해 처음 사용되었다.

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기 (수학)

2. 정의

체 $K$ 위의 벡터 공간 $V$ 가 주어졌을 때, $V$ 속의 기는 $V$ 의 부분 벡터 공간들에 대한 특별한 여과이다.

$V=K^n$ 가 유한 차원 벡터 공간일 때, 길이가 $n$ 인 기를 '''완비기'''(complete flag^영어)라고 한다. $V=K^n$ 속의, 차원들이 $(d_0=0 < d_1 < d_2 < \dots < d_k=n)$ 인 기들의 모듈라이 공간 $\operatorname{Flag}(d_1,\dotsc,d_{k-1},d_k;K)$ 을 '''기 대수다양체'''(flag variety^영어)라고 하며, 이는 $K$ -사영 대수다양체를 이룬다.

유한 차원 벡터 공간 ''V''에 대한 정렬된 기저는 각 0 ≤ ''i'' ≤ ''k''에 대해 처음 ''d''_''i''개의 기저 벡터가 ''V''_''i''에 대한 기저를 형성하는 경우, ''V''₀ ⊂ ''V''₁ ⊂ ... ⊂ ''V''_''k'' 플래그에 '''적응'''되었다고 한다. 선형대수학의 표준적인 논증을 통해 모든 플래그는 적응된 기저를 가짐을 보일 수 있다.

어떤 정렬된 기저든 처음 ''i''개의 기저 벡터의 생성을 ''V''_''i''로 설정하여 완전한 플래그를 생성한다. 예를 들어, '''R'''^''n''의 표준 기저 (''e''₁, ..., ''e''_''n'')로부터 유도되는 표준 플래그는 다음과 같은 부분 공간의 시퀀스이다.

: $0 < \left\langle e_1\right\rangle < \left\langle e_1,e_2\right\rangle < \cdots < \left\langle e_1,\ldots,e_n \right\rangle = K^n.$

여기서 ''e''_''i''는 ''i''번째 항목에 1을 가지고 나머지는 0인 벡터를 나타낸다.

적응된 기저는 거의 유일하지 않다. 내적 공간에 대한 완전한 플래그는 본질적으로 유일한 정규 직교 기저를 가지는데, 이는 각 벡터에 단위(단위 길이의 스칼라, 예를 들어 1, −1, ''i'')를 곱하는 것을 제외하고는 유일하다. 이러한 기저는 그람-슈미트 과정을 사용하여 구성할 수 있다. 단위까지의 유일성은 $v_i$ 가 일차원 공간 $V_{i-1}^\perp \cap V_i$ 에 속한다는 것을 귀납적으로 관찰함으로써 따른다.

더 추상적으로, 이것은 최대 토러스의 작용까지 유일하다. 플래그는 보렐 군에 해당하고, 내적은 최대 콤팩트 부분군에 해당한다.^[2]

2. 1. 부분 공간의 열

체

K

위의 벡터 공간

V

가 주어졌을 때,

V

속의 기는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

:

\{0\}=V_0\subsetneq V_1\subsetneq V_2\subsetneq\cdots\subsetneq V_k=V

여기서 각

V_i

는

V

의 부분

K

-벡터 공간이다. 즉,

V

의 부분 벡터 공간들에 대한 특별한 여과이다.

2. 2. 완비기

만약

V=K^n

이 유한 차원 벡터 공간일 때, 길이가

n

인 기를 '''완비기'''(complete flag^영어)라고 한다.

2. 3. 기 대수다양체

체

K

위의 벡터 공간

V=K^n

속의, 차원들이

(d_0=0 < d_1 < d_2 < \dots < d_k=n)

인 기들의 모듈라이 공간

:

\operatorname{Flag}(d_1,\dotsc,d_{k-1},d_k;K)

을 '''기 대수다양체'''(旗代數多樣體, flag variety^영어)라고 한다. 이는

K

-사영 대수다양체를 이룬다.

3. 성질

K-벡터 공간 V의 k개 성분의 기(旗) (Vᵢ)₀≤ᵢ≤ₖ들의 공간 Flag(k;V) 위에는 일반 선형군 GL(V)가 작용하며, 이 작용에 대한 안정자군을 살펴볼 수 있다. 안정자군은 일반 선형군의 부분군으로 나타낼 수 있는데, 유한 차원 벡터 공간에서 기의 안정자군은 포물형 부분군이며, 완비기의 안정자군은 보렐 부분군이다. 표준 깃발의 안정자 부분군은 군의 가역 상삼각 행렬이다.

깃발의 안정자 부분군은 깃발에 적합한 기저에 단순 추이적으로 작용하므로, 안정자가 자명하지 않는 한 이러한 기저는 유일하지 않다. 이는 매우 예외적인 상황으로, 0차원 벡터 공간 또는 F₂ 위의 1차원 벡터 공간의 경우에만 발생한다 (정확히 단 하나의 기저만 존재하는 경우로, 어떤 깃발과도 무관하다).^[1]

3. 1. 일반 선형군의 작용

K-벡터 공간 V의 k개 성분의 기 (Vᵢ)₀≤ᵢ≤ₖ들의 공간 Flag(k;V) 위에는 일반 선형군 GL(V)가 다음과 같이 작용한다.

:g·(Vᵢ)₀≤ᵢ≤ₖ=(gVᵢ)₀≤ᵢ≤ₖ

이 작용에 대한 안정자군을 기 (Vᵢ)₀≤ᵢ≤ₖ의 '''안정자군'''이라고 한다.

3. 2. 안정자군

K-벡터 공간 V의 k개 성분의 기 (Vᵢ)₀≤ᵢ≤ₖ들의 공간 Flag(k;V) 위에는 일반 선형군 GL(V)가 다음과 같이 작용한다.

:g·(Vᵢ)₀≤ᵢ≤ₖ=(gVᵢ)₀≤ᵢ≤ₖ

이 작용에 대한 안정자군을 기 (Vᵢ)₀≤ᵢ≤ₖ의 '''안정자군'''이라고 한다.

유한 차원 벡터 공간 V=Kⁿ 속의 기의 안정자군은 일반 선형군 GL(V)의 포물형 부분군이며, 완비기의 안정자군은 GL(V)의 보렐 부분군이다. 표준 깃발의 안정자 부분군은 군의 가역 상삼각 행렬이다.

더 일반적으로, 깃발의 안정자는 (모든 i에 대해 T(Vᵢ) < Vᵢ를 만족하는 V의 선형 연산자 T) 행렬 용어로 블록 상삼각 행렬의 대수이며, 블록 크기는 dᵢ-dᵢ₋₁이다(적절한 기저에 관하여). 완전 깃발의 안정자 부분군은 깃발에 적합한 기저에 대해 가역 상삼각 행렬의 집합이다. 이러한 기저에 대한 하삼각 행렬의 부분군은 해당 기저에 따라 달라지므로 깃발만으로는 특징지을 수 없다.

완전 깃발의 안정자 부분군은 보렐 부분군 (일반 선형군의)이며, 부분 깃발의 안정자는 포물선 부분군이다.

깃발의 안정자 부분군은 깃발에 적합한 기저에 단순 추이적으로 작용하므로, 안정자가 자명하지 않는 한 이러한 기저는 유일하지 않다. 이는 매우 예외적인 상황으로, 0차원 벡터 공간 또는 F₂ 위의 1차원 벡터 공간의 경우에만 발생한다 (정확히 단 하나의 기저만 존재하는 경우로, 어떤 깃발과도 무관하다).

3. 3. 표준기

기저

(v_1,\dotsc,v_n)

을 갖는 유한 차원

K

-벡터 공간

V=K^n

에서, '''표준기'''는 다음과 같이 정의된다.

:

V_i=\operatorname{Span}_K\{v_1,\dotsc,v_i\}

이때 표준기의 안정자군은 다음과 같은 가역 상삼각 행렬들로 구성된다.

:

M=\begin{pmatrix}m_{11}&m_{12}&\dotsm&m_{n,n-1}&m_{n,n}\\0&m_{22}&\dotsm&m_{2,n-1}&m_{2,n}\\\vdots&&\ddots&\vdots&\vdots\\0&&&m_{n-1,n-1}&m_{n-1,n}\\0&0&\dotsm&0&m_{nn}\end{pmatrix}\qquad(m_{ii}\ne0\forall i=1,\dotsc,n)

표준기의 안정자 부분군은 군의 가역 상삼각 행렬이다.

일반적으로 기의 안정자는 (모든

i

에 대해

T(V_i) < V_i

를 만족하는

V

의 선형 연산자

T

) 행렬을 사용하여 블록 상삼각 행렬의 대수로 나타낼 수 있으며, 블록 크기는

d_i-d_{i-1}

이다(적절한 기저에 관하여). 완전기의 안정자 부분군은 기에 적합한 기저에 대해 가역 상삼각 행렬의 집합이다.

완전기의 안정자 부분군은 보렐 부분군(일반 선형군의)이며, 부분기의 안정자는 포물선 부분군이다. 기의 안정자 부분군은 기에 적합한 기저에 단순 추이적으로 작용하므로, 안정자가 자명하지 않는 한 이러한 기저는 유일하지 않다.

4. 기저

유한 차원 벡터 공간에서, 모든 기저는 적응된 기저를 가진다.

4. 1. 적응된 기저

유한 차원 벡터 공간 ''V''에 대한 정렬된 기저는 각 0 ≤ ''i'' ≤ ''k''에 대해 처음 ''d''_''i''개의 기저 벡터가 ''V''_''i''에 대한 기저를 형성하는 경우, ''V''₀ ⊂ ''V''₁ ⊂ ... ⊂ ''V''_''k'' 플래그에 '''적응'''되었다고 한다. 선형대수학의 표준적인 논증을 통해 모든 플래그는 적응된 기저를 가짐을 보일 수 있다.

어떤 정렬된 기저든 처음 ''i''개의 기저 벡터의 생성을 ''V''_''i''로 설정하여 완전한 플래그를 생성한다. 예를 들어, '''R'''^''n''의 표준 플래그는 ''e''_''i''가 ''i''번째 항목에 1을 가지고 나머지는 0인 벡터를 나타내는 표준 기저 (''e''₁, ..., ''e''_''n'')로부터 유도된다. 구체적으로, 표준 플래그는 다음과 같은 부분 공간의 시퀀스이다.

:0 < ⟨|^영어''e''₁⟩|^영어 < ⟨|^영어''e''₁, ''e''₂⟩|^영어 < ... < ⟨|^영어''e''₁, ..., ''e''_''n''⟩|^영어 = ''K''^''n''.

적응된 기저는 거의 유일하지 않다(반례는 자명하다).

내적 공간에 대한 완전한 플래그는 본질적으로 유일한 정규 직교 기저를 갖는다. 각 벡터에 단위(단위 길이의 스칼라, 예를 들어 1, −1, ''i'')를 곱하는 것을 제외하고는 유일하다. 이러한 기저는 그람-슈미트 과정을 사용하여 구성할 수 있다. 단위까지의 유일성은 가 일차원 공간 에 속한다는 것을 귀납적으로 관찰함으로써 따른다.

더 추상적으로, 이것은 최대 토러스의 작용까지 유일하다. 플래그는 보렐 군에 해당하고, 내적은 최대 콤팩트 부분군에 해당한다.^[2]

4. 2. 표준 기저와 표준 플래그

'''R'''^''n''의 standard flag|표준 플래그^영어는 ''e''_''i''가 ''i''번째 항목에 1을 가지고 나머지는 0인 벡터를 나타내는 표준 기저 (''e''₁, ..., ''e''_''n'')로부터 유도된다. 구체적으로, 표준 플래그는 다음과 같은 부분 공간의 시퀀스이다.

:

0 < \left\langle e_1\right\rangle < \left\langle e_1,e_2\right\rangle < \cdots < \left\langle e_1,\ldots,e_n \right\rangle = K^n.

4. 3. 정규 직교 기저

내적 공간에 대한 완전한 플래그는 본질적으로 유일한 정규 직교 기저를 갖는다. 각 벡터에 단위(단위 길이의 스칼라, 예를 들어 1, -1, ''i'')를 곱하는 것을 제외하고는 유일하다. 이러한 기저는 그람-슈미트 과정을 사용하여 구성할 수 있다. 단위까지의 유일성은

v_i

가 일차원 공간

V_{i-1}^\perp \cap V_i

에 속한다는 것을 귀납적으로 관찰함으로써 따른다.^[2]

5. 부분 공간 둥지

무한 차원 공간에서 기의 개념은 부분 공간 둥지로 일반화된다.^[1] 둥지 대수를 참고한다.

5. 1. 부분 공간 둥지 정의

함수해석학에서 사용되는 깃발 아이디어는 '''부분 공간 둥지'''로 일반화되는데, 이는 ''V''의 부분 공간들의 모임으로, 포함 관계에 대한 전순서 집합이며, 임의의 교집합과 닫힌 선형 덮개에 대해 닫혀 있다.^[1] 둥지 대수를 참조한다.

6. 집합론적 유사체

원소가 하나인 체의 관점에서 볼 때, 집합은 원소가 하나인 체 위의 벡터 공간으로 간주될 수 있다. 이는 콕서터 군과 대수적 군 사이의 다양한 유추를 형식화한다.

이 대응에 따라, 집합에 대한 순서는 극대 깃발에 해당한다. 순서는 집합의 극대 여과와 동일하다. 예를 들어, 여과 (깃발) $\{0\} \subset \{0,1\} \subset \{0,1,2\}$ 는 순서 $(0,1,2)$ 에 해당한다.^[1]

7. 역사

"기"(drapeau|드라포^프랑스어)라는 용어는 이미 1955년에 아르망 보렐이 사용하였다.^[3] "기"라는 단어의 어원은 다음과 같다. $V=\mathbb R^3$ 속의 완비기는 원점(0차원 공간) · 직선(1차원 공간) · 평면(2차원 공간) · 3차원 공간으로 구성된다.

$\mathbb R^3$ 속의 완비기는 깃발이 달린 깃대로 형상화된다. 이 경우, 깃봉(그림의 황색 장식) · 깃대 · 깃발은 기의 성분에 해당한다.

3차원 공간 속에, 깃대에 달려 있는, 빳빳한 깃발을 생각하자. 그렇다면, 이로부터 다음과 같은 기를 정의할 수 있다.

원점은 깃봉(깃대의 끝의 장식)이다.
직선은 깃대를 연장하여 얻는 직선이다.
평면은 깃발을 연장하여 얻는 평면이다.
3차원 공간은 공간 전체이다.

이에 따라,

\mathbb R^3

속의 완비기는 깃발이 달린 깃대로 형상화될 수 있다.

참조

_[1] 서적 Linear Algebra and Geometry Gordon and Breach Science Publishers 1997
_[2] 서적 Representation Theory: A First Course Springer 1991
_[3] 저널 Groupes algébriques http://www.numdam.or[...] 1955-12

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