깎은 십이이십면체

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1. 개요
2. 명칭
3. 성질
4. 기하학적 변형
5. 깎은 십이이십면체 그래프
6. 관련 다면체 및 타일링
7. 같이 보기
참조

1. 개요

깎은 십이이십면체는 요하네스 케플러가 처음 명명한 다면체로, 정사각형 대신 직사각형을 가지며 아르키메데스 다면체와 위상적으로 동일하다. 깎은 십이이십면체는 겉넓이와 부피를 계산할 수 있으며, 데카르트 좌표를 통해 꼭짓점의 위치를 나타낼 수 있다. 또한, 깎은 십이이십면체는 다양한 방법으로 분해될 수 있으며, 직교 투영, 구면 타일링, 슐레겔 다이어그램으로 표현할 수 있다. 깎은 십이이십면체 그래프는 깎은 십이이십면체의 꼭짓점과 모서리를 나타내는 그래프이며, 관련 다면체 및 타일링과 연관되어 있다.

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깎은 십이이십면체
기본 정보
깎은 십이이십면체
4, 6, 10（정사각형 1장과 정육각형 1장, 정십각형 1장이 모임）
종류	반정다면체, 존 다면체
면의 수	62
면의 종류	정사각형: 30장 정육각형: 20장 정십각형: 12장
변의 수	180
꼭짓점의 수	120
꼭짓점 구성	4, 6, 10（정사각형 1장과 정육각형 1장, 정십각형 1장이 모임）
슐레플리 기호	tr{5, 3}
위소프 기호	2 3 5 \|
대칭군	I_h
쌍대다면체	육방십이십면체
성질	볼록다포체
전개도
이름
영어	Rhombitruncated icosidodecahedron, great rhombicosidodecahedron, truncated icosidodecahedron
일본어	斜方切頂二十・十二面体 (샤호세츠초 니주・주니멘타이)
관련 정보
골디 다면체	G8, G41

2. 명칭

원래 요하네스 케플러가 명명한 '깎은 십이이십면체'라는 이름은 오해의 소지가 있다. 깎기된 실제 십이이십면체는 정사각형 대신 직사각형 면을 가지며, 이 비균일 다면체는 아르키메데스 다면체와 위상적으로 동일하다.

대체 가능한 이름은 다음과 같다.

'깎은 십이이십면체' (요하네스 케플러)
'마름모깎은 십이이십면체' (매그너스 웨닝거^[1])
'큰 마름모십이이십면체' (로버트 윌리엄스^[2], 피터 크롬웰^[3])
'전깎기 십이면체' 또는 '이십면체' (노먼 존슨^[4])

'큰 마름모십이이십면체'라는 이름은 (작은) 마름모십이이십면체와의 관계를 나타낸다(분해 단원 참조).

비슷한 이름을 가진 비볼록 균일 다면체인 비볼록 큰 마름모십이이십면체도 있다.

3. 성질

깎은 십이이십면체의 한 모서리 길이를 ''a''라고 할 때, 겉넓이 ''A''와 부피 ''V''는 다음과 같다.

: $\begin{align} A &= 30 \left (1 + \sqrt{3} + \sqrt{5 + 2\sqrt{5}} \right)a^2 &&\approx 174.292\,0303a^2 \\ V &= \left( 95 + 50\sqrt{5} \right) a^3 &&\approx 206.803\,399a^3 \end{align}$

만약 모든 모서리 길이가 같은 13개의 아르키메데스 입체를 구성한다면, 깎은 십이이십면체가 가장 큰 부피를 가진다.

외접구의 반지름은 한 변의 길이를 2라고 할 때 $\sqrt{31+12\sqrt5}$ 이다.
존 다면체의 일종이기도 하다.
준정다면체 중에서 가장 많은 변의 개수(180개)와 꼭짓점의 개수(120개)를 가진다. 면의 개수가 가장 많은 준정다면체는 깎은 십이면체(92개)이다.

3. 1. 데카르트 좌표

원점을 중심으로 하고 모서리 길이가 2''φ'' − 2인 깎은 십이이십면체의 꼭짓점에 대한 데카르트 좌표는 다음의 모든 짝순열이다:^[5]

: (±1/''φ'', ±1/''φ'', ±(3 + ''φ'')),

: (±2/''φ'', ±''φ'', ±(1 + 2''φ'')),

: (±1/''φ'', ±''φ''², ±(−1 + 3''φ'')),

: (±(2''φ'' − 1), ±2, ±(2 + ''φ'')) 및

: (±''φ'', ±3, ±2''φ''),

여기서 ''φ'' = (1 + √5)/2는 황금비이다.

3. 2. 분해

깎은 십이이십면체는 볼록 껍질로, 30개의 정사각형 위에 높이 대 밑면 비율이 황금비 φ인 마름모십이이십면체와 육면체로 이루어져 있다. 나머지 공간은 불균일한 컵모양으로 분해될 수 있으며, 즉 12개의 오각 컵모양 (내부 오각형과 외부 십각형 사이)과 20개의 삼각 컵모양 (내부 삼각형과 외부 육각형 사이)으로 이루어진다.

다른 분해 방법은 마름모십이이십면체 코어를 갖는다. 내부 오각형과 외부 십각형 사이에는 12개의 오각 로툰다가 있다. 나머지 부분은 환면 다면체이다.

3. 3. 직교 투영

깎은 십이이십면체는 꼭짓점, 세 종류의 모서리(4-6, 4-10, 6-10), 세 종류의 면(정사각형, 육각형, 십각형)을 중심으로 하는 일곱 개의 특수한 직교 투영을 갖는다. 마지막 두 개는 A₂ 및 H₂ 콕서터 평면에 해당한다.

직교 투영
중심	꼭짓점	모서리 4-6	모서리 4-10	모서리 6-10	면 정사각형	면 육각형	면 십각형
입체					정사각형 면 중심 입체 투영	육각형 면 중심 입체 투영	십각형 면 중심 입체 투영
와이어프레임	꼭짓점 중심 와이어프레임 투영	4-6 모서리 중심 와이어프레임 투영	4-10 모서리 중심 와이어프레임 투영	6-10 모서리 중심 와이어프레임 투영	정사각형 면 중심 와이어프레임 투영	육각형 면 중심 와이어프레임 투영 (A2 평면)	십각형 면 중심 와이어프레임 투영 (H3 평면)
사영 대칭	[2]⁺	[2]	[2]	[2]	[2]	[6]	[10]
쌍대 이미지	쌍대다면체 꼭짓점 중심 투영	쌍대다면체 4-6 모서리 중심 투영	쌍대다면체 4-10 모서리 중심 투영	쌍대다면체 6-10 모서리 중심 투영	쌍대다면체 정사각형 면 중심 투영	쌍대다면체 육각형 면 중심 투영 (A2 평면)	쌍대다면체 십각형 면 중심 투영 (H3 평면)

3. 4. 구면 타일링과 슐레겔 다이어그램

깎은 십이이십면체는 또한 구면 타일링으로 표현할 수 있으며, 스테레오그래픽 투영을 통해 평면에 투영할 수 있다. 이 투영은 등각 사상으로, 각도는 보존하지만 면적이나 길이는 보존하지 않는다. 구면의 직선은 평면에서 원호로 투영된다.

슐레겔 그림도 비슷하며, 원근 투영과 직선 모서리를 사용한다.

정사영	스테레오그래픽 투영
	십각형 중심	육각형 중심	정사각형 중심
--	--	--	--

4. 기하학적 변형

이십면체 대칭 내에서, ''깎은 십이이십면체''는 등각 면을 가진 채로 무한히 기하학적으로 변형될 수 있다. 깎은 십이면체, 마름모십이이십면체, 그리고 깎은 이십면체는 이러한 변형의 퇴화된 극한 경우에 해당한다.

5. 깎은 십이이십면체 그래프

수학의 그래프 이론 분야에서, '''깎은 십이이십면체 그래프'''(또는 '''큰 마름모 십이이십면체 그래프''')는 아르키메데스 입체 중 하나인 깎은 십이이십면체의 꼭짓점과 모서리 그래프이다. 120개의 꼭짓점과 180개의 모서리를 가지며, 영대칭이고 입방체 아르키메데스 그래프이다.^[6]

슐레겔 다이어그램 그래프
3겹 대칭	2겹 대칭

6. 관련 다면체 및 타일링

이 다면체는 꼭짓점 도형 (4.6.2''p'')과 콕세터-딘킨 다이어그램을 갖는 일련의 균일한 패턴의 구성원으로 간주될 수 있다. ''p'' < 6인 경우, 시퀀스 구성원은 전절단 다면체(존면체)이며, 구형 타일링으로 표시된다. ''p'' > 6인 경우, 이는 절단된 삼칠각 타일링으로 시작하는 쌍곡 평면의 타일링이다.

이 다면체는 정사각형 대신 두 개의 사다리꼴 면을 포함하는 보타이 이십면체와 십이이십면체를 포함한다.^[7] 또한 존 다면체의 일종이기도 하다.

7. 같이 보기

십이이십면체
마름모십이이십면체
깎은 십이면체
깎은 이십면체
비볼록 큰 마름모십이이십면체

참조

_[1] 문서 Wenninger Model Number 16
_[2] 서적 Williams (Section 3-9, p. 94)
_[3] 서적 Cromwell (p. 82)
_[4] 서적 The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs 1966
_[5] 웹사이트 Icosahedral group
_[6] 간행물 An Atlas of Graphs Oxford University Press
_[7] 웹사이트 Symmetrohedra: Polyhedra from Symmetric Placement of Regular Polygons http://www.cgl.uwate[...]
_[8] 서적 プラトンとアルキメデスの立体 - 三次元に浮かびあがる美の世界ランダムハウス講談社 2005

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