대역적 쌍곡 다양체

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 대역적 쌍곡 다양체의 정의
- 2.2. 코시 곡면
3. 성질
4. 일반 상대성 이론에서의 중요성
참조

1. 개요

대역적 쌍곡 다양체는 경계가 없는 매끄러운 로런츠 다양체로, 인과적 폐곡선을 갖지 않고 인과 다이아몬드가 콤팩트하다는 조건을 만족하는 경우를 말한다. 이는 일반 상대성 이론의 맥락에서 아인슈타인 방정식의 유일한 해를 보장하는 중요한 조건이다. 대역적 쌍곡 다양체는 코시 곡면을 가지며, 코시 곡면과 실수 집합의 곱에 미분 동형이다.

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대역적 쌍곡 다양체

2. 정의

대역적 쌍곡 다양체는 일반 상대성 이론의 맥락에서 중요한 수학적 개념으로, 시공간의 인과 구조와 전역적 특성을 잘 나타내는 로런츠 다양체의 한 종류이다. 이는 기본적으로 닫힌 인과적 경로가 존재하지 않으며, 두 점 사이의 인과적 관계를 나타내는 영역이 콤팩트하다는 조건을 만족하는 시공간을 의미한다.

이러한 다양체는 여러 동등한 방식으로 정의될 수 있으며, 특히 코시 곡면이라고 불리는 특별한 종류의 초곡면의 존재와 밀접하게 연관되어 있다. 대역적 쌍곡성은 시공간 내에서 정보가 예측 가능하게 전파될 수 있는지를 결정하는 중요한 성질이며, 물리학, 특히 중력 이론에서 핵심적인 역할을 한다.

자세한 수학적 정의와 다양한 동치 조건, 그리고 코시 곡면과의 관계는 아래 하위 섹션에서 상세히 다룬다.

2. 1. 대역적 쌍곡 다양체의 정의

M

이 경계가 없는 매끄러운 로런츠 다양체라고 하자. 만약

M

이 다음 두 조건을 만족시킨다면,

M

을 '''대역적 쌍곡 다양체'''(globally hyperbolic manifold^영어)라고 한다.^[11]

'''인과성'''(causality^영어): 인과적 폐곡선을 갖지 않는다.
'''인과 다이아몬드의 콤팩트성''': 모든 점 $x,y\in M$ 에 대하여, 인과적 미래 $J^+(y)$ 와 인과적 과거 $J^-(x)$ 의 교집합 $J^-(x)\cap J^+(y)$ 는 콤팩트하다.

만약 첫 번째 조건(인과성)만 만족시키는 경우,

M

을 '''인과적 다양체'''(causal manifold^영어)라고 한다. 원래 대역적 쌍곡성은 위 "인과성" 조건 대신 "강한 인과성"(strong causality^영어) 조건으로 정의되었으나, 2007년에 강한 인과성을 인과성으로 약화시켜도 같은 개념이 정의된다는 것이 증명되었다.^[11]

대역적 쌍곡 다양체의 정의는 여러 가지가 있으며, 이는 서로 동치이다. ''M''을 경계가 없는 매끄럽고 연결된 로렌츠 다양체라고 할 때, 먼저 다음과 같은 용어들을 정의한다.

'''전체적으로 악독하지 않음'''(non-totally vicious^영어): 적어도 하나의 점을 지나가는 닫힌 시간꼴 곡선이 없다.
'''인과적'''(causal^영어): 닫힌 인과적 곡선이 없다. (위의 인과성 조건과 동일)
'''전체적으로 감금되지 않음'''(non-total imprisonment^영어): 연장할 수 없는 인과 곡선이 콤팩트 집합 안에 포함되지 않는다. 이 성질은 인과성을 함의한다.
'''강하게 인과적'''(strongly causal^영어): 모든 점 ''p''와 ''p''의 임의의 근방 ''U''에 대해, ''U''에 포함된 인과적으로 볼록한 ''p''의 근방 ''V''가 존재한다. 여기서 인과적 볼록성은 ''V''의 끝점을 갖는 모든 인과 곡선이 완전히 ''V''에 포함됨을 의미한다. 이 성질은 전체적인 감금이 아님을 함의한다.
'''인과적 미래''' $J^+(p)$ 와 '''인과적 과거''' $J^-(p)$ : 각각 점 ''p''에서 시작하는 미래 방향 또는 과거 방향 연속 인과 곡선에 의해 도달할 수 있는 점들의 집합이다.
'''의존 영역'''(domain of dependence^영어): 부분 집합 ''S''에 대해, ''p''를 지나는 모든 연장할 수 없는 인과 곡선이 ''S''와 교차하는 ''M''의 모든 점 ''p''의 집합이다.
'''비시간꼴'''(achronal^영어): 부분 집합 ''S''는 시간꼴 곡선이 ''S''와 한 번 이상 교차하지 않는다.
'''코시 곡면'''(Cauchy surface^영어): 의존 영역이 ''M''인 닫힌 비시간꼴 집합이다. 코시 곡면은 여차원이 1인 초곡면이다.

위 용어들을 사용하여, 다음 조건들은 서로 동치이며, 이 중 하나라도 만족하면 ''M''을 '''대역적 쌍곡 다양체'''라고 한다.

# 시공간은 인과적이며, ''M''의 모든 두 점 ''p''와 ''q''에 대해, ''p''에서 ''q''까지의 연속적인 미래 방향 인과 곡선의 공간은

\mathcal{C}^0

위상에서 콤팩트하다.

# 시공간은 코시 곡면을 갖는다. (코시 곡면의 존재는 대역적 쌍곡성과 동치이다.)

# 시공간은 인과적이며, ''M''의 모든 두 점 ''p''와 ''q''에 대해, 부분 집합

J^-(p)\cap J^+(q)

는 콤팩트하다. (이는 맨 처음 제시된 정의와 같다.)

# 시공간은 전체적으로 감금되지 않으며, ''M''의 모든 두 점 ''p''와 ''q''에 대해, 부분 집합

J^-(p)\cap J^+(q)

는 콤팩트 집합에 포함된다(즉, 폐포가 콤팩트하다).

만약 ''M''이 경계가 있는 매끄럽고 연결된 로렌츠 다양체인 경우, 그 내부가 대역적 쌍곡적이면 대역적 쌍곡적이라고 한다.

또한, 로렌츠 거리

d(p,q):=\sup_\gamma l(\gamma)

(여기서 상한은 점들을 연결하는 모든

C^1

인과 곡선의 길이

l(\gamma)

에 대해 취하며, 그러한 곡선이 없으면

d=0

으로 정의)를 이용한 동치 조건도 있다.

$d$ 가 유한 값을 갖는 강하게 인과적인 시공간.^[1]
$d$ 가 원래 계량의 등각류에서 모든 계량 선택에 대해 연속적인, 전체적으로 감금되지 않은 시공간.

2. 2. 코시 곡면

다양체

M

의 '''코시 곡면'''(Cauchy surface^영어)은 다음 두 조건을 만족시키는, 여차원이 1인 초곡면

S\subset M

이다.

(비시간성 achronality^영어) 시간꼴 곡선은 $S$ 를 2번 이상 관통할 수 없다.
모든 점 $x\in M$ 에 대하여, $x$ 를 지나는 모든 인과적 곡선은 $S$ 를 지나게 인과적으로 연장될 수 있다.

대역적 쌍곡 다양체의 정의는 코시 곡면의 존재와 동치이다. 즉, 어떤 로런츠 다양체가 대역적 쌍곡 다양체일 필요충분조건은 그 다양체가 코시 곡면을 갖는 것이다.^[3]^[4]

2003년 Bernal과 Sánchez는 모든 대역적 쌍곡 다양체

M

이 매끄럽게 임베딩된 3차원 코시 면을 가지며, 더욱이

M

의 모든 두 코시 면이 미분 동형임을 보여주었다.^[10] 이는 이전에 알려진 결과, 즉 모든 코시 면이 임베딩된 3차원

C^0

부분다양체이고 임의의 두 코시 면이 위상 동형이라는 사실을 개선한 것이다. 특히, 대역적 쌍곡 다양체

M

은 위상적으로나 미분기하학적으로나 코시 면

S

와 실수선

\mathbb{R}

의 곱

S \times \mathbb{R}

과 같다. 이는 대역적 쌍곡 다양체가 코시 면들에 의해 엽층 구조를 가짐을 의미한다.

3. 성질

대역적 쌍곡 다양체 $M$ 은 중요한 기하학적 및 위상적 성질을 가진다. 가장 핵심적인 성질 중 하나는 코시 곡면과의 관계이다. 2003년 베르날(Bernal)과 산체스(Sánchez)는 모든 대역적 쌍곡 다양체 $M$ 이 매끄럽게 포함된(embedded) 코시 곡면 $S$ 를 가지며, 더욱이 $M$ 의 모든 두 코시 곡면은 서로 미분동형임을 증명했다.^[10] 이는 이전에 알려졌던 위상 동형보다 더 강력한 결과이다.

이 결과에 따라, 대역적 쌍곡 다양체 $M$ 은 코시 곡면 $S$ 와 실수선 $\mathbb{R}$ 의 곱공간인 $S\times\mathbb{R}$ 과 미분동형이다.^[12]^[10] 즉, 위상적으로 뿐만 아니라 미분 구조까지 같다는 의미이다. 이는 대역적 쌍곡 다양체가 코시 곡면들을 '잎'으로 하는 엽층 구조를 가짐을 보여준다.^[10]

또한, 대역적 쌍곡성은 계량(metric)의 작은 변화(섭동)에 대해 안정적인 성질을 가진다.^[9] 이는 대역적 쌍곡성이라는 조건이 물리적으로 의미 있는 변화에도 유지될 수 있음을 시사한다.

이러한 성질 때문에 대역적 쌍곡성은 일반 상대성 이론에서 중요한 역할을 한다. 특히 초기값 공식을 다룰 때, 대역적 쌍곡성은 주어진 초기 조건에 대해 아인슈타인 방정식의 유일한 최대 해가 존재함을 보장하는 자연스러운 조건으로 여겨진다.

4. 일반 상대성 이론에서의 중요성

일반 상대성 이론에서 시공간의 구조를 이해하고 예측하는 데 있어 대역적 쌍곡성은 매우 중요한 개념이다.^[3]^[4] 특히 초기값 공식 문제를 고려할 때, 대역적 쌍곡성 조건은 핵심적인 역할을 한다.

어떤 시공간이 대역적 쌍곡성을 만족한다면, 특정 시점의 초기 조건(초기 데이터)이 주어졌을 때, 아인슈타인 방정식의 해가 유일하게 결정되며, 이 해는 '최대'의 대역적 쌍곡 해가 된다는 것이 보장된다. 이는 마치 초기 상태를 알면 미래가 유일하게 결정되는 것과 유사한 의미를 갖는다.

따라서 대역적 쌍곡성은 주어진 초기 상태로부터 시공간이 어떻게 진화할지를 예측할 수 있게 하며, 이는 물리적으로 타당하고 의미 있는 시공간 모델을 구축하는 데 필수적인 조건이다. 이러한 이유로 일반 상대성 이론의 연구에서 대역적 쌍곡성은 매우 자연스럽고 중요한 가정이다.

참조

_[1] 서적 Global Lorentzian Geometry Marcel Dekker Inc. 1996
_[2] 문서 Hyperbolic Differential Equations
_[3] 논문 Domain of dependence 1970
_[4] 서적 The Large Scale Structure of Space-Time Cambridge University Press 1973
_[5] 논문 Globally hyperbolic spacetimes can be defined as 'causal' instead of 'strongly causal' https://arxiv.org/ab[...] 2007
_[6] 논문 Globally hyperbolic spacetimes can be defined without the ‘causal’ condition https://arxiv.org/ab[...] 2019
_[7] 간행물 The Causal Hierarchy of Spacetimes https://arxiv.org/ab[...] European Mathematical Society Publishing House (EMS) 2008
_[8] 논문 Characterization of some causality conditions through the continuity of the Lorentzian distance https://arxiv.org/ab[...] 2009
_[9] 논문 Global hyperbolicity is stable in the interval topology https://arxiv.org/ab[...] 2011
_[10] 논문 On smooth Cauchy hypersurfaces and Geroch's splitting theorem https://arxiv.org/ab[...] 2003
_[11] 저널 Globally hyperbolic spacetimes can be defined as ‘causal’ instead of ‘strongly causal’ 2007
_[12] 저널 On smooth Cauchy hypersurfaces and Geroch's splitting theorem

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