차원 해석

3. 기본 원리

차원은 물리량의 성질을 나타내는 기본적인 개념으로, 국제 단위계(SI)에서는 시간(T), 길이(L), 질량(M), 전류(I), 절대 온도(Θ), 물질량(N), 광도(J)의 7가지 기본 차원을 사용한다.^[2] 여러 기본 차원들의 조합과 거듭제곱을 통해 다양한 물리량의 차원을 표현할 수 있다. 예를 들어, 속도의 차원은 LT^-1, 힘의 차원은 MLT^-2와 같이 나타낼 수 있다.

버킹엄 파이 정리는 물리적 관계식을 무차원 변수들의 관계로 변환하여 해석을 간단하게 만드는 방법이다. 어떤 물리적 관계식이 ''n''개의 물리 변수를 포함하고, 그 변수들이 ''k'' 종류의 독립적인 기본 단위를 가진다면, 그 식은 ''p'' = ''n'' - ''k''개의 무차원량을 포함하는 식으로 나타낼 수 있다.^[57] 이 정리는 무차원 변수를 구하는 방법을 제시하지만, 물리적으로 의미 있는 무차원 변수를 선택하는 것은 연구자의 몫이다.

레일리 경이 제시한 레일리의 방법은 차원 해석을 통해 물리 현상을 분석하는 기법이다. 이 방법은 종속 변수에 영향을 주는 독립 변수들을 찾고, 이들 사이의 관계를 지수 함수 형태로 나타낸 후, 차원 동차성을 이용하여 지수를 결정한다.

예를 들어, 용수철에 매달린 물체의 진동 주기를 구하는 문제를 생각해보자. 질량 ''m'', 용수철 상수 ''k'', 초기 변위 ''x'' 중 주기 ''T''와 차원이 일치하는 조합은 $\backslash sqrt\{m/k\}$ 뿐이므로, 주기 ''T''는 $T\; =\; A\; \backslash sqrt\{m/k\}$ (''A''는 무차원 상수) 형태로 표현될 수 있다.

3. 1. 차원 동차성 (Commensurability)

3. 2. 단위 변환 (Conversion factor)

4. 응용 분야

차원 해석은 물리학, 화학뿐만 아니라 다양한 분야에서 응용된다.

수학에서 차원 해석을 적용하는 간단한 예로 n차원 공의 부피나 n차원 구의 표면적을 계산하는 경우가 있다. n차원 도형의 부피는 $x^n$에 비례하고, 표면적은 (n-1)차원이므로 $x^{n-1}$에 비례한다. 따라서 반지름을 기준으로 n차원 공의 부피는 어떤 상수 $C_n$에 대해 $C_n r^n$ 형태가 된다.

경제학 및 금융 분야에서도 차원 해석이 활용된다.

• 주가수익비율은 시간(년)의 차원을 가지며, "지불한 가격을 벌어들이는 데 걸리는 수익 연수"로 해석할 수 있다.^[1]
• GDP 대비 부채 비율 또한 연 단위를 갖는다. (부채는 통화, GDP는 통화/년 단위를 갖는다).^[1]
• 화폐 유통 속도는 1/년 단위를 갖는다. (GDP/통화 공급은 통화/년 단위를 갖는다). 이는 통화 단위가 1년 동안 얼마나 자주 순환하는지를 나타낸다.^[1]
• 연간 연속 복리 이자율과 단리 이자율은 종종 백분율(무차원량)로 표현되지만, 시간은 연수로 구성된 무차원량으로 표현된다. 그러나 시간에 연도를 측정 단위로 포함하는 경우, 이자율의 차원은 1/년이 된다.^[1]
• 재무 분석에서 채권 듀레이션은 (''dV''/''dr'')/''V''로 정의될 수 있다. 여기서 ''V''는 채권(또는 포트폴리오)의 가치, ''r''는 연속 복리 이자율이며, ''dV''/''dr''은 미분이다. ''r''의 차원은 1/시간이므로 듀레이션의 차원은 시간(보통 년 단위)이다.^[1]

4. 1. 유체 역학

펌프, 송풍기, 발전용 수차와 같은 터보 기계는 내부 흐름이 복잡하기 때문에 그 거동을 나타내는 나비에-스토크스 방정식을 직접 풀 수 없다. 그러나 그 운전 상태는 다음 조건을 부여하면 대체로 결정된다.

• 작동 유체의 밀도 (차원은 $[\backslash rho]=\backslash mathsf\{M\; L\}^\{-3\}$)
• 기계의 크기 ($[D]=\backslash mathsf\{L\}$)
• 회전 속도 ($[N]=\backslash mathsf\{T^\{-1\}\}$)
• 유량 ($[Q]=\backslash mathsf\{L\}^3\; \backslash mathsf\{T\}^\{-1\}$)

• 압력 ($[P]=\backslash mathsf\{M\; L\}^\{-1\}\; \backslash mathsf\{T\}^\{-2\}$)
• 출력 ($[L]=\backslash mathsf\{M\; L\}^2\; \backslash mathsf\{T\}^\{-3\}$)

4. 2. 전자기학

이때, $\backslash mathsf\{M\}$은 질량, $\backslash mathsf\{L\}$은 길이, $\backslash mathsf\{T\}$는 시간, $\backslash mathsf\{I\}$는 전류의 차원을 나타낸다.

닐스 보어는 이러한 미시 세계에서는 플랑크 상수 ''h''가 관계하고 있다고 생각했다. 위의 4가지 물리량을 조합하여 길이의 차원을 가진 양을 만들면, 다음과 같이 보어 반지름의 배가 유도된다.^[59]

:$a\; =\; \backslash frac\{\backslash epsilon\_0\; h^2\}\{m\; e^2\}$

4. 3. 경제학 및 금융

• 주가수익비율은 시간(단위: 년)의 차원을 가지며, "지불한 가격을 벌어들이는 데 걸리는 수익 연수"로 해석할 수 있다.^[1]
• 경제학에서 GDP 대비 부채 비율 또한 단위가 년이다. (부채는 통화 단위를 가지며, GDP는 통화/년 단위를 가진다).^[1]
• 화폐 유통 속도는 1/년 단위를 가진다 (GDP/통화 공급은 통화/년 단위를 가진다): 통화 단위가 1년 동안 얼마나 자주 순환하는지.^[1]
• 연간 연속 복리 이자율과 단리 이자율은 종종 백분율(무차원량)로 표현되는 반면, 시간은 연수로 구성된 무차원량으로 표현된다. 그러나 시간에 연도를 측정 단위로 포함하는 경우, 이자율의 차원은 1/년이 된다. 다른 시간 단위를 사용해도 무방하며, 이자율과 시간에 측정 단위를 포함하는 경우 각각 다른 단위를 사용하는 것은 문제가 되지 않는다. 반면에, 이자율과 시간이 무차원인 경우 공통 기간을 참조해야 한다. (실효 이자율은 무차원량으로만 정의될 수 있음에 유의).^[1]
• 재무 분석에서 채권 듀레이션은 (''dV''/''dr'')/''V''로 정의될 수 있으며, 여기서 ''V''는 채권(또는 포트폴리오)의 가치, ''r''는 연속 복리 이자율이며, ''dV''/''dr''은 미분이다. ''r''의 차원은 1/시간이다. 따라서 듀레이션의 차원은 시간(보통 년 단위로 표현)이며, ''dr''이 미분의 "분모"에 있기 때문이다.^[1]

5. 확장된 차원 해석

차원 해석을 할 때 국제단위계 기본 단위의 7가지 차원 외에도, 문제에 따라 독립적인 차원을 선택하여 더 자세한 정보를 얻을 수 있다.^[60] 예를 들어, 가속도가 없는 흐름에서는 힘을 독립 차원으로 추가할 수 있다(브리지먼, 1921).

또한, 길이 차원($\backslash mathsf\{L\}$)을 x, y, z 세 방향으로 구분하여 해석하는 방법(Huntley, 1955)이 있는데,^[60] 이를 '''방향성 차원 해석'''(directional analysis^영어[61]) 또는 '''지향 해석'''이라고 한다. 중력이나 경계층처럼 특정 방향이 중요한 물리 현상에 대해 방향성 차원 해석이 유용할 수 있다.

예를 들어 흐름에 평행하게 놓인 평판이 받는 항력 문제에서,^[60] 일반적인 차원 해석으로는 항력 계수와 레이놀즈 수 사이의 관계식을 알 수 없지만, 평판에 평행한 x, y 방향과 수직인 z 방향의 길이를 구분하면 층류에서 $f\; Re^\{1/2\}=\backslash text\{const.\}$ 와 같은 더 자세한 관계식을 얻을 수 있다.

Moran(1967)은 군론적 방법과 차원 해석의 관련성을 연구했다.^[60]

5. 1. 헌틀리의 확장 (Huntley's extensions)

• 벡터 구성 요소의 크기를 차원적으로 독립적인 것으로 간주한다. 예를 들어, 일반적인 길이 차원 L 대신, x-방향의 차원을 L_x로 나타내는 등, 각 방향에 따른 차원을 구분한다. 이는 물리적으로 의미 있는 방정식(스칼라, 벡터 또는 텐서)의 각 구성 요소가 차원적으로 일관되어야 한다는 요구 사항에서 비롯된다.
• 물질의 양을 측정하는 질량은 관성의 척도로서의 질량과는 차원적으로 독립적인 것으로 간주한다.

• 외적을 포함하는 벡터 방정식에는 적합하지 않다.
• 물리적 변수로 각도를 사용하는 데 적합하지 않다.
• 문제에 관련된 물리적 변수에 L, L_x, L_y, L_z 기호를 할당하는 것이 어려울 때가 많다. 헌틀리는 물리적 문제의 "대칭"을 고려하는 절차를 제시했지만, 이를 신뢰성 있게 적용하기는 쉽지 않다.

이 경우, 세 개의 기본 변수를 사용하여 두 개의 독립적인 무차원 변수를 얻는다.

:$\backslash pi\_1\; =\; \backslash frac\{\backslash dot\{m\}\}\{\backslash eta\; r\}$

:$\backslash pi\_2\; =\; \backslash frac\{p\_\backslash mathrm\{x\}\backslash rho\; r^5\}\{\backslash dot\{m\}^2\}$

그러나 관성 질량($M\_\backslash text\{i\}$)과 물질의 양($M\_\backslash text\{m\}$)을 구분하면, 질량 유량과 밀도는 물질의 양을, 압력 기울기와 점성 계수는 관성 질량을 사용한다. 이렇게 하면 네 개의 기본 매개변수와 하나의 무차원 상수를 갖게 되어 차원 방정식을 다음과 같이 쓸 수 있다.

:$C\; =\; \backslash frac\{p\_\backslash mathrm\{x\}\backslash rho\; r^4\}\{\backslash eta\; \backslash dot\{m\}\}$

여기서 C는 미정 상수이며, 차원 분석 이외의 방법을 통해 $\backslash pi/8$임을 알 수 있다. 이 방정식은 푸아죄유의 법칙을 생성하기 위해 질량 유량에 대해 풀 수 있다.

헌틀리가 물질의 양을 독립적인 양 차원으로 인식하는 것은 유체 역학 및 열역학과 같은 분야에서 유용하지만, 물질의 양에 대한 정의가 구체적이지 않아 해석에 어려움이 있을 수 있다. 하지만, SI 단위 몰을 갖는 물질량은 헌틀리의 두 가지 요구 사항을 모두 충족하며, 헌틀리의 개념이 적용 가능한 차원 분석 문제에서 물질의 양으로 사용될 수 있다.

차원 해석에 사용되는 차원은 국제단위계 기본 단위에 대응하는 7개의 차원에 한정될 필요는 없으며, 문제에 따라 독립적인 차원을 선택할 수 있다.^[60] 예를 들어, 가속도가 없는 흐름에서는 질량, 길이, 시간에 더하여 힘을 독립 차원으로 간주하는 방법(브리지먼, 1921)이 있다.

또한, 길이 차원 $\backslash mathsf\{L\}$에 대해 3방향 (x, y, z)를 구별하여 차원 해석을 수행할 수 있다. 이 방법은 Huntley(1955)에 의해 제안되었으며,^[60] '''방향성 차원 해석'''(directional analysis^[61]) 또는 '''지향 해석'''이라고 불린다. 중력이나 경계층과 같이 특정 방향을 갖는 물리 현상에 대해 방향성 차원 해석이 유용할 수 있다.

예를 들어, 흐름 안에 평행하게 놓인 평판이 받는 항력 문제를 생각해보자.^[60] 항력 F, 평판 면적 S, 유속 u, 유체 밀도 ρ, 점성 μ, 평판 전연에서 흐름 방향 거리 x를 변수로 하고, $\backslash mathsf\{MLT\}$를 독립 차원으로 사용하는 일반적인 차원 해석에서는 항력 계수 f와 레이놀즈 수 Re라는 두 개의 무차원수를 얻을 수 있지만, 이들 사이의 관계식은 알 수 없다. 그러나 평판에 평행한 두 방향 x, y의 길이 차원 $\backslash mathsf\{L\}$와 평판에 수직인 z 방향의 길이 차원 $\backslash mathsf\{L\}\_z$를 독립적으로 고려하면, 층류의 경우 다음과 같은 더 자세한 관계식을 얻을 수 있다.

:$f\; Re^\{1/2\}=\backslash text\{const.\}$

Moran(1967)은 군론적 방법과 차원 해석의 관련성을 논의하기도 했다.^[60]

5. 2. 시아노의 확장 (Siano's extension)

이 표에서 볼 수 있듯이, 방향 기호는 클라인 네 그룹을 형성한다. 이 체계에서 스칼라는 항상 항등원과 같은 방향(1₀)을 갖는다. 벡터량은 예상되는 방향을 갖는다. 예를 들어, z 방향의 힘이나 속도는 1_z 방향을 갖는다.

각도의 경우, z 평면의 각도 θ는 1_z 방향을 갖는다. 유사하게, sin(θ)는 1_z 방향을, cos(θ)는 1₀ 방향을 갖는다. 따라서, a cos(θ) + b sin(θ) 형태의 방정식은 물리적으로 성립하지 않는다.

시아노는 또한 3차원 공간의 기하학적 각도와 시간 기반 진동의 위상각을 구별했다. 위상각은 1₀ 방향을 갖는다.

방향 기호를 물리량에 할당하고 물리 방정식이 방향적으로 균일해야 한다는 요구 사항을 사용하면, 물리 문제의 해에 대한 추가 정보를 얻을 수 있다. 예를 들어, 투사체 문제에서 사정거리 R은 다음과 같은 형태를 갖는다.

: $R\; =\; g^a\backslash ,v^b\backslash ,\backslash theta^c$

이는 다음과 같은 관계식을 의미한다.

: $\backslash mathsf\{L\}\backslash ,1\_\backslash mathrm\{x\}\; \backslash sim\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash mathsf\{L\}\backslash ,1\_\backslash text\{y\}\}\{\backslash mathsf\{T\}^2\}\backslash right)^a\; \backslash left(\backslash frac\{\backslash mathsf\{L\}\}\{\backslash mathsf\{T\}\}\backslash right)^b\backslash ,1\_\backslash mathsf\{z\}^c$

차원적 균일성은 a = -1, b = 2를 제공하고, 방향적 균일성은 c가 홀수여야 함을 나타낸다. 실제로 필요한 θ 함수는 sin(θ)cos(θ)이며, 이는 θ의 홀수 거듭제곱으로 구성된다.

sin(θ)와 cos(θ)의 테일러 급수는 방향적으로 균일하지만, cos(θ) + sin(θ)와 exp(θ) 같은 표현식은 비물리적이다.

시아노의 방향 분석은 라디안을 무차원량으로 취급하는 기존 개념과 호환되며, 일반적인 차원 분석을 보완한다.

6. 프로그래밍 언어에서의 차원 해석

차원 정확성은 1977년부터 타입 검사의 일부로 연구되기 시작했다.^[30] 1985년과 1988년에 Ada^[31]와 C++^[32]에 대한 구현이 각각 설명되었다. 케네디는 1996년 논문에서 Standard ML에서의 구현을 설명했으며,^[33] 이후 F#에서도 구현되었다.^[34] 하스켈,^[35] OCaml,^[36] 러스트,^[37] 파이썬,^[38] 포트란 코드 검사기도 존재한다.^[39][40]

그리피온은 2019년 논문에서 케네디의 힌들리-밀너 타입 시스템을 확장하여 하트의 행렬을 지원한다.^[41][42] 맥브라이드와 노르드발-포르스베르그는 종속 타입을 사용하여 측정 단위에 대한 타입 시스템을 확장하는 방법을 제시했다.^[43]

7. 한계 및 주의사항

차원 해석은 매우 유용한 도구이지만, 몇 가지 한계와 주의해야 할 점이 있다.

• 차원 동질성의 한계: 차원 해석은 차원이 같은 양들만 비교, 더하기, 빼기가 가능하다는 차원 동질성 원칙에 기반한다. 따라서 서로 다른 차원을 가진 양들 사이의 관계는 차원 해석만으로는 알 수 없다.^[6] 예를 들어, 시간과 거리는 서로 다른 차원을 가지므로, "1시간이 1킬로미터보다 더 큰가?"와 같은 질문은 의미가 없다.
• 무차원 상수: 차원 해석은 물리량들 사이의 관계를 나타내는 식에서 무차원 상수의 값은 알려주지 않는다. 예를 들어, 용수철에 매달린 질량의 진동 주기를 구하는 문제에서 차원 해석을 통해 주기$T$가 $\backslash sqrt\{\backslash frac\{m\}\{k\}\}$에 비례한다는 것을 알 수 있지만, 비례 상수 $\backslash kappa$의 값은 알 수 없다.^[21][22] 이 값은 실험이나 추가적인 이론적 분석을 통해 결정해야 한다.
• 무관한 변수: 차원 해석은 문제와 관련이 없어 보이는 변수를 제거하는 데 도움을 줄 수 있다. 앞서 언급된 용수철 문제에서 중력 가속도 $g$는 진동 주기에 영향을 미치지 않는다는 것을 차원 해석을 통해 알 수 있다. 하지만, 실제로 관련이 있지만 고려되지 않은 변수가 있을 수 있으므로 주의해야 한다.
• 복잡한 문제: 차원 해석은 기본적인 방정식이 복잡하거나 알려지지 않은 경우에도 유용하게 사용될 수 있다. 예를 들어, 강바닥의 조약돌이 물에 의해 움직이기 시작하는 임계 속도를 구하는 문제와 같이 복잡한 문제에서 차원 해석은 레이놀즈 수와 같은 무차원 수를 통해 문제를 이해하는 데 도움을 줄 수 있다.
• 초월 함수와 다항식: 차원 해석에서 스칼라는 초월 함수(지수, 삼각 함수, 로그 함수 등)의 인자이거나 비동차 다항식의 인자여야 하며, 이는 무차원 양이어야 한다는 제약이 있다.^[23]

참조

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