르베그 미분가능성 정리

\int_{B}f \, \mathrm{d}\lambda

여기서 ''B''는 ''x''를 중심으로 하는 구이고, |''B''|는 구 ''B''의 르베그 측도(즉, 부피)를 나타낸다. ''B'' → ''x''는 구 ''B''의 지름이 0으로 수렴하는 극한을 의미한다.

3. 르베그 미분 정리의 내용

실변수 함수 f:[a, b] → '''R'''이 단조증가한다고 가정하면, 이 함수 f는 거의 모든 점에서 미분가능하다. 이는 르베그 미분가능성 정리의 한 형태이다.^[4] 이 정리의 증명에는 비탈리의 보조정리를 이용하는 방법 등 여러 가지가 있으며,^[4] 이를 이용해 푸비니의 미분 정리를 증명할 수도 있다.^[5]

더 일반적으로, '''R'''^''n''에서 정의된 르베그 적분가능한 실수 또는 복소수 값을 갖는 함수 ''f''를 생각해보자. 이 함수의 부정 적분은 가측 집합 ''A''를 $f\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{1\}\_A$의 르베그 적분 값으로 대응시키는 집합 함수로 정의할 수 있다. 여기서 $\backslash mathbf\{1\}\_\{A\}$는 집합 ''A''의 지시 함수이다. 이는 보통 다음과 같이 표기한다.

$$A\; \backslash mapsto\; \backslash int\_\{A\}\; f\backslash \; \backslash mathrm\{d\}\backslash lambda$$

여기서 ''λ''는 ''n''차원 르베그 측도이다.

이 적분의 점 ''x''에서의 ''미분''은 다음과 같이 정의된다.

$$\backslash lim\_\{B\; \backslash to\; x\}\; \backslash frac\{1\}$$

\int_{B}f \, \mathrm{d}\lambda

여기서 |''B''|는 ''x''를 중심으로 하는 구 ''B''의 부피(르베그 측도)를 나타내며, ''B'' → ''x''는 구 ''B''의 지름이 0으로 수렴하는 것을 의미한다.
르베그 미분 정리는 거의 모든 점 ''x'' ∈ '''R'''^''n''에서 위 극한값이 존재하며, 그 값은 원래 함수값 ''f''(''x'')와 같다는 것을 말한다.^[1] 실제로는 이보다 약간 더 강한 주장도 참이며, 이와 관련된 개념으로 르베그 점이 있다. 또한, 미분을 정의할 때 사용된 구 ''B''를 특정 조건을 만족하는 다른 종류의 집합족으로 대체하는 일반화도 가능하다.

특히 1차원(실수선)의 경우, 적분 가능한 함수 ''f''에 대해 함수

$$F(x)\; =\; \backslash int\_\{(-\backslash infty,x]\}\; f(t)\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}\; t$$

는 거의 모든 곳에서 미분 가능하며, 그 도함수는 $F\text{'}(x)\; =\; f(x)$를 만족한다. 이는 미적분학의 기본 정리와 유사한 형태이지만, 리만 적분 대신 르베그 적분을 사용해도 성립함을 보여준다.^[2] 이 1차원 경우는 앙리 르베그가 1904년에 먼저 증명하였다.

3. 1. 르베그 점

르베그 적분가능한 함수 ''f''에 대해, ''x''에서의 적분 평균과 ''f''(''x'')의 차이를 나타내는 다음 부등식을 고려할 수 있다.

$$\backslash left|\backslash frac\{1\}$$

\int_{B}f(y) \, \mathrm{d}\lambda(y) - f(x)\right| = \left|\frac{1}

\int_{B}(f(y) - f(x))\, \mathrm{d}\lambda(y)\right| \le \frac{1}

\int_{B}|f(y) -f(x)|\, \mathrm{d}\lambda(y).

여기서 ''B''는 ''x''를 중심으로 하는 구이고, |''B''|는 그 르베그 측도이며, ''λ''는 ''n''차원 르베그 측도이다.

르베그 미분가능성 정리는 위 부등식의 가장 왼쪽 항이 거의 모든 ''x''에서 0으로 수렴함을 의미한다. 더 나아가, 위 부등식의 가장 오른쪽 항, 즉

$$\backslash frac\{1\}$$

\int_{B}|f(y) -f(x)|\, \mathrm{d}\lambda(y)

역시 거의 모든 점 ''x''에서 0으로 수렴한다는 더 강력한 주장이 성립한다.^[1] 이 조건이 성립하는 점 ''x''를 함수 ''f''의 '''르베그 점'''(Lebesgue point)이라고 한다. 즉, 르베그 점에서는 함수값과 주변 평균값의 차이뿐만 아니라, 함수값과 주변값들 자체의 차이의 평균도 0으로 수렴한다.

3. 2. 일반화

르베그 미분 정리는 더 일반적인 상황에서도 성립한다. 정리의 기본 명제에서 사용된 구 ''B''의 족 대신, 유계 편심(bounded eccentricity)이라는 성질을 만족하는 집합족 $\backslash mathcal\{V\}$를 사용해도 동일한 결과가 성립한다.

여기서 집합족 $\backslash mathcal\{V\}$가 유계 편심이라는 것은 다음 조건을 만족함을 의미한다:

어떤 고정된 상수 ''c'' > 0가 존재하여, $\backslash mathcal\{V\}$에 속하는 모든 집합 ''U''에 대해, ''U''를 포함하면서 부피(르베그 측도) 관계 $|U|\; \backslash ge\; c\; \backslash ,\; |B|$를 만족하는 구 ''B''가 항상 존재해야 한다.

또한, 추가적으로 다음 조건이 필요하다:

'''R'''^''n'' 안의 모든 점 ''x''는 $\backslash mathcal\{V\}$에 속하는 집합들 중 측도가 임의로 작은 집합에 포함될 수 있어야 한다. 즉, 점 ''x''를 포함하면서 얼마든지 작아질 수 있는 $\backslash mathcal\{V\}$의 원소들이 존재해야 한다.

위 두 조건이 만족되면, $\backslash mathcal\{V\}$에 속하는 집합 ''U''가 점 ''x''로 수축할 때 (즉, ''U''의 지름이 0으로 갈 때), 거의 모든 점 ''x'' ∈ '''R'''^''n''에 대해 다음 등식이 성립한다:

$$f(x)\; =\; \backslash lim\_\{U\; \backslash rightarrow\; x,\; \backslash ,\; U\; \backslash in\; \backslash mathcal\{V\}\}\; \backslash frac\{1\}$$

\int_U f \, \mathrm{d}\lambda

유계 편심 조건을 만족하는 집합족 $\backslash mathcal\{V\}$의 예시는 다음과 같다.

• '''R'''^''n''에서 모든 정육면체(cube)의 집합.
• '''R'''²에서, 어떤 고정된 상수 ''m'' ≥ 1에 대해, 변들의 비율이 ''m''⁻¹과 ''m'' 사이에 있는 모든 직사각형의 집합 $\backslash mathcal\{V\}$(''m'').
• '''R'''^''n''에 주어진 임의의 노름(norm)에 대해, 그 노름으로부터 유도되는 거리 함수에 대한 모든 구(ball)들의 집합.

4. 1차원 경우

1차원 경우는 르베그가 1904년에 먼저 증명하였다. ''f''가 실수선상에서 적분 가능하면, 함수

$$F(x)\; =\; \backslash int\_\{-\backslash infty\}^x\; f(t)\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}\; t$$

는 거의 모든 곳에서 미분 가능하며, 그 도함수는 $F\text{'}(x)\; =\; f(x)$이다. 이는 리만 적분으로 정의된 함수의 경우 미적분학의 기본 정리와 유사한 형태이지만, 르베그는 이 정리가 르베그 적분에서도 성립함을 보였다.^[2]

5. 증명

르베그 미분가능성 정리의 증명에는 비탈리의 보조정리를 이용하는 등 여러 방법이 있다.^[4] 또한 이 정리를 이용해서 푸비니의 미분 정리를 증명할 수도 있다.^[5]

정리의 더 강력한 형태, 즉 거의 모든 점이 국소 적분 가능 함수 ''f''의 르베그 점이라는 것은 하디-리틀우드 극대 함수에 대한 약–''L''¹ 추정치를 통해 증명할 수 있다. 이 증명 방식은 여러 해석학 교재에서 표준적인 방법으로 소개되고 있다.

5. 1. 증명 과정 요약

정리의 더 강력한 형태, 즉 거의 모든 점이 국소 적분 가능 함수 ''f''의 르베그 점이라는 것은 약–''L''¹ 추정치와 하디-리틀우드 최대 함수의 결과로 증명할 수 있다.

명제가 국소적 성격을 띠므로, ''f''는 유한한 반지름의 어떤 공 밖에서는 0이고 적분 가능하다고 가정할 수 있다. 그런 다음 집합

:$E\_\backslash alpha\; =\; \backslash Bigl\backslash \{\; x\; \backslash in\; \backslash mathbf\{R\}^n\; :\backslash limsup\_\{|B|\backslash rightarrow\; 0,\; \backslash ,\; x\; \backslash in\; B\}\; \backslash frac\{1\}$

\bigg|\int_B f(y) -f(x)\, \mathrm{d}y\bigg| > 2\alpha \Bigr\}

의 측도가 모든 ''α'' > 0에 대해 0임을 증명하는 것으로 충분하다.

''ε'' > 0이 주어졌다고 하자. ''L''¹('''R'''^''n'')에서 콤팩트지지 집합을 가진 연속 함수들이 조밀하다는 성질을 이용하여, 다음을 만족하는 함수 ''g''를 찾을 수 있다.

:

그런 다음 주요 차이를 다음과 같이 세 부분으로 나누어 생각하는 것이 유용하다.

:$\backslash frac\{1\}$

\int_B f(y) \, \mathrm{d}y - f(x) = \Bigl(\frac{1}

\int_B \bigl(f(y) - g(y)\bigr) \, \mathrm{d}y \Bigr) + \Bigl(\frac{1}

\int_B g(y) \, \mathrm{d}y - g(x) \Bigr)+ \bigl(g(x) - f(x)\bigr).

첫 번째 항의 절댓값은 ''f'' − ''g''에 대한 하디-리틀우드 최대 함수의 ''x''에서의 값, 즉 $(f-g)^*(x)$로 상계를 가진다.

:$\backslash frac\{1\}$

\int_B |f(y) - g(y)| \, \mathrm{d}y \leq \sup_{r>0} \frac{1}

\int_{B_r(x)} |f(y)-g(y)| \, \mathrm{d}y = (f-g)^*(x).

두 번째 항은 ''g''가 연속 함수이므로 공 ''B''의 크기가 0으로 갈 때 극한에서 사라진다. 세 번째 항의 절댓값은 |''f''(''x'') − ''g''(''x'')|로 상계를 가진다.

원래 차이의 절댓값의 상극한이 2''α''보다 크려면, 첫 번째 항 또는 세 번째 항 중 적어도 하나의 절댓값이 ''α''보다 커야 한다. 그러나 하디-리틀우드 최대 함수에 대한 추정치에 따르면, 차원 ''n''에만 의존하는 어떤 상수 ''A_n''에 대해 다음이 성립한다.

:

또한 마르코프 부등식 (체비셰프 부등식이라고도 함)에 따르면 다음이 성립한다.

:

따라서 ''E_α''의 측도는 다음과 같이 상계를 가진다.

:$|E\_\backslash alpha|\; \backslash leq\; \backslash frac\{A\_n+1\}\{\backslash alpha\}\; \backslash ,\; \backslash varepsilon.$

여기서 ''ε''은 임의의 양수였으므로, 얼마든지 작게 만들 수 있다. 따라서 ''E_α''의 측도는 0이어야 하며, 이것으로 정리가 증명된다.

6. 증명의 핵심

르베그 미분가능성 정리의 증명은 국소 적분 가능 함수 ''f''가 거의 모든 점에서 르베그 점임을 보이는 것을 목표로 한다. 즉, 거의 모든 점 ''x''에서 다음 식이 성립함을 증명하고자 한다.

:$\backslash lim\_\{B\; \backslash rightarrow\; x\}\; \backslash frac\{1\}$

\int_{B}f(y) \, \mathrm{d}y = f(x)

증명의 핵심 아이디어는 위 식이 성립하지 않는 점들의 집합, 즉 특정 양수 ''α'' > 0에 대해

:$E\_\backslash alpha\; =\; \backslash Bigl\backslash \{\; x\; \backslash in\; \backslash mathbf\{R\}^n\; :\backslash limsup\_\{|B|\backslash rightarrow\; 0,\; \backslash ,\; x\; \backslash in\; B\}\; \backslash frac\{1\}$

\bigg|\int_B f(y) -f(x)\, \mathrm{d}y\bigg| > 2\alpha \Bigr\}

와 같이 정의된 집합의 측도가 0임을 보이는 것이다. 모든 양수 ''α''에 대해 이것이 성립하면, 극한값이 ''f(x)''와 다른 점들의 전체 집합 역시 측도가 0이 되기 때문이다.

이를 보이기 위해, ''L''¹('''R'''^''n'') 공간의 성질, 특히 콤팩트 지지를 가지는 연속 함수들이 조밀하다는 성질을 이용하여 함수 ''f''를 연속 함수 ''g''로 근사한다. 즉, 임의의 ''ε'' > 0에 대해 ''f''와 ''g''의 차이의 ''L''¹ 노름 을 만족하는 연속 함수 ''g''를 찾을 수 있다.

그 다음, 증명하고자 하는 식의 좌변 항 $\backslash frac\{1\}$

\int_B f(y) \, \mathrm{d}y - f(x)을 ''f''와 ''g''를 이용하여 세 부분으로 분해한다.

:$\backslash Bigl(\backslash frac\{1\}$

\int_B \bigl(f(y) - g(y)\bigr) \, \mathrm{d}y \Bigr) + \Bigl(\frac{1}

\int_B g(y) \, \mathrm{d}y - g(x) \Bigr)+ \bigl(g(x) - f(x)\bigr)

여기서 두 번째 항은 ''g''가 연속 함수이므로 극한($|B|\; \backslash rightarrow\; 0$)에서 0이 된다. 따라서 원래 식의 극한값이 2''α''보다 크려면, 첫 번째 항 또는 세 번째 항의 절댓값이 ''α''보다 커야 한다.

첫 번째 항의 절댓값은 하디-리틀우드 최대 함수 $(f-g)^*(x)$를 이용하여 다음과 같이 상계를 잡을 수 있다.

:$\backslash frac\{1\}$

\int_B |f(y) - g(y)| \, \mathrm{d}y \leq (f-g)^*(x)

세 번째 항은 단순히 $|g(x)\; -\; f(x)|$이다.

하디-리틀우드 최대 함수에 대한 약-''L''¹ 평가식은 차원 ''n''에만 의존하는 상수 ''A_n''에 대해 다음 부등식을 제공한다.

:

또한 마르코프 부등식에 의해 다음이 성립한다.

:

따라서, 첫 번째 항 또는 세 번째 항의 절댓값이 ''α''보다 커지는 점들의 집합 $E\_\backslash alpha$의 측도는 다음과 같이 제한된다.

:$|E\_\backslash alpha|\; \backslash leq\; \backslash frac\{A\_n+1\}\{\backslash alpha\}\; \backslash ,\; \backslash varepsilon$

''ε''은 임의의 양수이므로 얼마든지 작게 만들 수 있다. 이는 결국 집합 $E\_\backslash alpha$의 측도가 0임을 의미하며, 르베그 미분가능성 정리가 증명된다.

이 전체 증명 과정에서 하디-리틀우드 최대 함수에 대한 평가식이 결정적인 역할을 하는데, 이 평가식을 증명하는 데 비탈리 덮개 보조정리가 핵심적으로 사용된다.^[4][5] 따라서 비탈리 덮개 보조정리는 르베그 미분가능성 정리 증명의 근간을 이루는 매우 중요한 정리라고 할 수 있다.

7. 관련 정리 및 확장

르베그 미분가능성 정리는 미적분학의 기본 정리와 밀접한 관련이 있으며, 이를 일반화한 것으로 이해할 수 있다.^[4][5] 미적분학의 기본 정리는 리만 적분 가능한 함수가 그 (부정) 적분의 도함수와 같다는 것을 보여준다. 반대로, 미분 가능한 함수는 그 도함수의 적분과 같다고 할 수 있는데, 모든 도함수를 적분 가능하게 하려면 헨스톡-쿠르츠바일 적분을 고려해야 할 수도 있다.^[4][5]

또한, 르베그 미분가능성 정리는 푸비니의 미분 정리를 증명하는 데 사용될 수 있다.^[5] 이 정리의 증명에는 비탈리의 보조정리를 이용하는 방법 등이 있다.^[4]

7. 1. 르베그 밀도 정리

르베그 미분가능성 정리의 특수한 경우로 르베그 밀도 정리가 있다. 이는 가측 집합의 지시 함수에 르베그 미분가능성 정리를 적용한 것과 동일하다. 르베그 밀도 정리는 보통 더 간단한 방법으로 증명하는 것이 일반적이다.

7. 2. 보렐 측도에 대한 확장

르베그 미분가능성 정리는 르베그 측도뿐만 아니라, '''R'''^''n'' 위의 모든 유한 보렐 측도에 대해서도 성립한다. 이는 예를 들어 Ledrappier와 Young (1985)에서 증명되었다.

더 나아가, 다음 조건 중 하나 이상을 만족하는 가분 거리 공간 위의 모든 유한 보렐 측도에 대해서도 성립한다.

• 거리 공간이 리만 다양체이다.
• 거리 공간이 국소 컴팩트 초거리 공간이다.
• 측도가 두 배가 되는 측도(doubling measure)이다.

이러한 결과의 증명은 Federer (1969)의 2.8–2.9절에 제시되어 있다.

참조

_[1] 서적 Real analysis : modern techniques and their applications https://www.worldcat[...] Wiley 1999
_[2] 서적 A course in real analysis https://www.worldcat[...] Academic Press/Elsevier 2013
_[3] 서적 실해석학개론 범한서적주식회사 2006
_[4] 서적 실해석 서울대학교출판부 2002
_[5] 서적 같은 책

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