푸비니 정리

3. 정의

σ-유한 측도 공간 $(X,\backslash mathcal\; F,\backslash mu)$와 $(Y,\backslash mathcal\; G,\backslash nu)$가 주어졌고, $(X\backslash times\; Y,\backslash mathcal\; F\backslash times\backslash mathcal\; G,\backslash mu\backslash times\backslash nu)$가 곱측도 공간일 때, '''푸비니 정리'''에 따르면 다음이 성립한다.^[12]

:$\backslash int\_\{X\backslash times\; Y\}f\backslash mathrm\; d(\backslash mu\backslash times\backslash nu)$

=\int_X\mathrm d\mu(x)\int_Yf(x,y)\mathrm d\nu(y)

=\int_Y\mathrm d\nu(y)\int_Xf(x,y)\mathrm d\mu(x)



이는 $f\backslash colon\; X\backslash times\; Y\backslash to(\backslash mathbb\; R,\backslash mathcal\; B(\backslash mathbb\; R))$가 가측 함수이고, $f$의 적분이 확장된 실수로서 존재할 때 (특히, $f$가 $(\backslash mu\backslash times\backslash nu)$-적분 가능할 때) 성립한다. 거의 모든 $x\backslash in\; X$에 대하여 $y\backslash mapsto\; f(x,y)$는 $\backslash nu$-적분 가능하며, 거의 모든 $y\backslash in\; Y$에 대하여 $x\backslash mapsto\; f(x,y)$는 $\backslash mu$-적분 가능하다.^[12]

''X''와 ''Y''가 σ-유한 측도 공간이고, ''X'' × ''Y''가 곱 측도를 가지는 경우(''X''와 ''Y''가 σ-유한이므로 유일), 푸비니 정리는 ''f''가 ''X'' × ''Y'' 적분 가능하다면, 즉 ''f''가 가측 함수이고 다음이 성립한다고 말한다.

:

:$\backslash int\_X\backslash left(\backslash int\_Y\; f(x,y)\backslash ,\backslash text\{d\}y\backslash right)\backslash ,\backslash text\{d\}x\; =\; \backslash int\_Y\backslash left(\backslash int\_X\; f(x,y)\backslash ,\backslash text\{d\}x\backslash right)\backslash ,\backslash text\{d\}y\; =\; \backslash int\_\{X\backslash times\; Y\}\; f(x,y)\backslash ,\backslash text\{d\}(x,y).$

처음 두 적분은 각각 두 측도에 대한 반복 적분이고, 세 번째 적분은 곱 측도에 대한 적분이다. 부분 적분 $\backslash int\_Y\; f(x,y)\backslash ,\backslash text\{d\}y$와 $\backslash int\_X\; f(x,y)\backslash ,\backslash text\{d\}x$는 모든 곳에서 정의될 필요는 없지만, 정의되지 않은 점들이 측도 0인 집합을 이루므로 문제가 되지 않는다.

만약 위 절댓값 적분이 유한하지 않다면, 두 반복 적분은 서로 다른 값을 가질 수 있다.

''X''와 ''Y''가 σ-유한이라는 조건은 푸비니 정리를 사용하는 거의 모든 측도 공간이 σ-유한이기 때문에 일반적으로 문제가 되지 않는다.

3. 1. 곱측도 (Product measures)

3. 2. 적분 가능 함수에 대한 푸비니 정리 (For integrable functions)

3. 3. 비음 가측 함수에 대한 토넬리 정리 (Tonelli's theorem for non-negative measurable functions)

3. 4. 푸비니-토넬리 정리 (Fubini–Tonelli theorem)

3. 5. 완비 측도에 대한 푸비니 정리 (For complete measures)

• 두 측도 공간의 곱 $X\; \backslash times\; Y$ 대신, 어떤 곱의 완비화를 취한다.
• $f$가 $X\; \backslash times\; Y$의 완비화에서 가측이면, 수직 또는 수평선에 대한 제한은 측도 0인 선의 부분 집합에 대해 비가측일 수 있다. 따라서 수직 또는 수평 적분은 비가측 함수를 적분해야 하므로 측도 0인 집합에서 정의되지 않을 가능성을 허용해야 한다. 하지만 이는 함수가 적분 가능하지 않아 이미 정의되지 않을 수 있기 때문에 큰 차이를 만들지 않는다.
• 일반적으로 $X$와 $Y$상의 측도가 완비되어 있다고 가정한다. 그렇지 않으면 수직 또는 수평선을 따라 두 부분 적분은 잘 정의될 수 있지만 가측 가능하지 않을 수 있다. 예를 들어, $f$가 가측 가능한 집합과 측도 0인 집합에 포함된 비가측 집합의 곱의 지시 함수이면, 단일 적분은 모든 곳에서 잘 정의되지만 가측 가능하지 않다.^[1]

3. 6. 추이 측도로 유도된 측도의 경우

• 임의의 음이 아닌 가측 함수 $f\backslash colon\; X\backslash times\; Y\backslash to([0,\backslash infty),\backslash mathcal\; B([0,\backslash infty)))$에 대하여, 다음 함수는 가측 함수이다.
• :$(X,\backslash mathcal\; F)\backslash to([0,\backslash infty],\backslash mathcal\; B([0,\backslash infty]))$
• :$x\backslash mapsto\backslash int\_Yf(x,y)\backslash mathrm\; d\backslash nu(x,\backslash cdot)(y)$
• 임의의 가측 함수 $f\backslash colon\; X\backslash times\; Y\backslash to(\backslash mathbb\; R,\backslash mathcal\; B(\backslash mathbb\; R))$에 대하여, 만약 $f$의 적분이 확장된 실수로서 존재한다면, 다음이 성립한다. (특히, 만약 $f$가 $(\backslash mu\backslash times\backslash nu)$-적분 가능하다면, 거의 모든 $x\backslash in\; X$에 대하여, $y\backslash mapsto\; f(x,y)$는 $\backslash nu(x,\backslash cdot)$-적분 가능하다.)
• :$\backslash int\_\{X\backslash times\; Y\}f\backslash mathrm\; d(\backslash mu\backslash times\backslash nu)=\backslash int\_X\backslash mathrm\; d\backslash mu(x)\backslash int\_Yf(x,y)\backslash mathrm\; d\backslash nu(x,\backslash cdot)(y)$

3. 7. 리만 적분 (Riemann integrals)

• `f`는 `[a,b]×[c,d]` 위에서 리만 적분 가능하다.
• 임의의 `x∈[a,b]`에 대하여, `y↦f(x,y)`는 `[c,d]` 위에서 리만 적분 가능하다.
• 임의의 `y∈[a,b]`에 대하여, `x↦f(x,y)`는 `[a,b]` 위에서 리만 적분 가능하다.

• `x↦∫c^df(x,y) dy`와 `y↦∫a^bf(x,y) dx`는 `[a,b]` 위에서 리만 적분 가능하다.
• `∬[a,b]×[c,d]f(x,y) dx dy=∫a^b dx∫c^df(x,y) dy=∫c^d dy∫a^bf(x,y) dx`

4. 증명 (Proofs)

푸비니 정리와 토넬리 정리의 증명은 σ-유한성과 관련된 가정을 사용하므로 다소 기술적인 부분이 있다. 대부분의 증명은 다음과 같은 단계를 거쳐 점점 더 복잡한 함수에 대해 정리를 증명하여 전체 정리에 도달하는 방식으로 진행된다.^[4][5][6]

# 곱공간 상의 측도가 직사각형에 대해 곱셈적이라는 사실을 사용하여 직사각형의 지시 함수에 대해 정리를 증명한다.

# 공간이 σ-유한하다는 조건(또는 이와 관련된 조건)을 사용하여 가측 집합의 지시 함수에 대해 정리를 증명한다. 이는 단순 가측 함수(유한 개의 값만 취하는 가측 함수)의 경우도 포함한다.

# 함수가 가측이라는 조건을 사용하여 단순 가측 함수로 근사함으로써 양의 가측 함수에 대해 정리를 증명한다. 이로써 토넬리 정리가 증명된다.

# 함수가 적분 가능하다는 조건을 사용하여 두 양의 적분 가능 함수의 차이로 함수를 표현하고, 토넬리 정리를 각 함수에 적용한다. 이로써 푸비니 정리가 증명된다.

5. 적분 계산 예시 (Calculation examples)

Fubini's theorem^영어을 사용하여 여러 적분 계산 예시를 살펴본다.

두 적분의 곱에서 하한이 0이고 공통 상한이 있는 경우 다음 공식을 사용한다.

Arcsine Integral^영어은 역 사인 적분이라고도 하며, 기본 함수로 나타낼 수 없는 함수이다. 그러나 아크사인 적분은 몇 가지 기본 함수 값을 가지고 있다. 이 함수를 적분하기 위해 푸비니 정리는 적분 매개변수의 순서를 교환하여 적분을 풀 수 있는 핵심 역할을 한다. 푸비니 정리를 올바르게 적용하면 다음과 같이 적분할 수 있다.

$$\backslash operatorname\{Si\}\_\{2\}(1)\; =\; \backslash int\_\{0\}^\{1\}\; \backslash frac\{1\}\{x\}\backslash arcsin(x)\; \backslash ,\backslash mathrm\{d\}x\; =\; \backslash int\_\{0\}^\{1\}\; \backslash int\_\{0\}^\{1\}\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{1-x^2\}\backslash ,y\}\{(1-\; x^2\; y^2)\backslash sqrt\{1-y^2\}\}\; \backslash ,\{\backslash mathrm\{d\}y\}\; \backslash ,\{\backslash mathrm\{d\}x\}\; =$$

$$=\; \backslash int\_\{0\}^\{1\}\; \backslash int\_\{0\}^\{1\}\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{1-x^2\}\backslash \; ,y\}\{(1-x^2\; y^2)\backslash sqrt\{1-y^2\}\}\; \{\backslash mathrm\{d\}x\}\; \{\backslash mathrm\{d\}y\}\; =\backslash int\_\{0\}^\{1\}\; \backslash frac\{\backslash pi\backslash ,y\}\{2\backslash sqrt\{1-y^2\}(1+\backslash sqrt\{1-y^2\}\backslash ,)\}\; \backslash ,\backslash mathrm\{d\}y\; =$$

$$=\; \backslash biggl\backslash \{\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\; \backslash ln\backslash bigl[2\; \backslash bigl(1\; +\; \backslash sqrt\{1\; -\; y^2\}\backslash ,\backslash bigr)^\; \{-1\}\backslash bigr]\; \backslash biggr\backslash \}\_\{y\; =\; 0\}^\{y\; =\; 1\}\; =\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}\backslash ln(2)$$

디리클레 에타 함수를 다음과 같이 정의한다.

$$\backslash eta(s)\; =\; \backslash sum\_\{n=1\}^\backslash infty\; \backslash frac\{(-1)^\{n-1\}\}\{n^s\}\; =\; 1\; -\; \backslash frac\{1\}\{2^\; s\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{3^s\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{4^s\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{5^s\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{6^s\}\; \backslash pm\; \backslash cdots$$

η(2)의 값은 π²/12와 같으며, 이는 푸비니 정리를 사용하여 증명할 수 있다.^[1]

$$\backslash eta(2)\; =\; \backslash sum\_\{n\; =\; 1\}^\backslash infty\; (-1)^\{n-1\}\backslash frac\{1\}\{n^2\}\; =\; \backslash sum\_\{n\; =\; 1\}^\backslash infty\; \backslash int\_\{0\}^\{1\}\; (-1)^\{n-1\}\backslash frac\{1\}\{n\}\; \{x\}^\{n-1\}\; \backslash ,\backslash mathrm\{d\}x\; =\; \backslash int\_\{0\}^\{1\}\; \backslash sum\_\{n\; =\; 1\}^\backslash infty\; (-1)^\{n-1\}\backslash frac\{1\}\{n\}\; \{x\}^\{n-1\}\; \backslash ,\backslash mathrm\{d\}x\; =\; \backslash int\_\{0\}^\{1\}\; \backslash frac\{1\}\{x\}\backslash ln(x+1)\; \backslash ,\backslash mathrm\{d\}x$$

역수 함수와 '다음 함수'의 자연 로그의 곱의 적분은 폴리로그 적분이며, 기본 함수 표현식으로는 나타낼 수 없다. 푸비니 정리는 이 적분을 다음과 같이 풀어낸다.

$$\backslash int\_\{0\}^\{1\}\; \backslash frac\{1\}\{x\}\backslash ln(x+1)\; \backslash ,\backslash mathrm\{d\}x\; =\; \backslash int\_\{0\}^\{1\}\; \backslash int\_\{0\}^\{1\}\; \backslash frac\{4\}\{3(x^2+2xy+1)\}\; +\; \backslash frac\{2x\}\{3(x^2y+1\; )\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{3(xy+1)\}\; \backslash ,\{\backslash mathrm\{d\}y\}\; \backslash ,\{\backslash mathrm\{d\}x\}\; =$$

$$=\; \backslash int\_\{0\}^\{1\}\; \backslash int\_\{0\}^\{1\}\; \backslash frac\{4\}\{3(x^2+2xy\; +1)\}\; +\; \backslash frac\{2x\}\{3(x^2y+1)\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{3(xy+1)\}\; \backslash ,\{\backslash mathrm\{d\}x\}\; \backslash ,\{\backslash mathrm\{d\}y\}\; =\; \backslash int\_\{0\}^\{1\}\; \backslash frac\{2\backslash arccos(y)\}\{3\backslash sqrt\{1-y^2\}\}\; \backslash ,\backslash mathrm\; \{d\}y\; =$$

$$=\; \backslash biggl[\backslash frac\{\backslash pi^2\}\{12\}-\backslash frac\{1\}\{3\}\backslash arccos(y)^2\; \backslash biggr]\_\{y\; =\; 0\}\; ^\{y\; =\; 1\}\}\; =\; \backslash frac\{\backslash pi^2\}\{12\}$$

'''제1종 완전 타원 적분''' '''K'''의 이상 적분은 카탈랑 상수의 두 배 값을 갖는다. 카탈랑 상수는 역탄젠트 적분을 통해서만 얻을 수 있으며, 이는 푸비니 정리를 적용하여 얻는다.

$$\backslash int\_\{0\}^\{1\}\; K(x)\; \backslash ,\backslash mathrm\{d\}x\; =\; \backslash int\_\{0\}^\{1\}\; \backslash int\_\; \{0\}^\{1\}\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{(1\; -\; x^2\; y^2)(1\; -\; y^2)\}\}\; \backslash ,\{\backslash mathrm\{d\}y\; \}\backslash ,\{\backslash mathrm\{d\}x\}\; =\; \backslash int\_\{0\}^\{1\}\; \backslash int\_\{0\}^\{1\}\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{(1\; -\; x^2\; y^2)(1\; -\; y^2)\}\}\; \backslash ,\{\backslash mathrm\{d\}x\}\; \backslash ,\{\backslash mathrm\{d\}y\}=$$

$$=\; \backslash int\_\{0\}^\{1\}\; \backslash frac\{\backslash arcsin(y)\}\{y\backslash sqrt\{1\; -\; y^2\}\}\; \backslash ,\backslash mathrm\{d\}y\; =\; \backslash biggl\backslash \{\; 2\backslash ,\backslash mathrm\{Ti\}\_\{2\}\; \backslash bigl[\; y\backslash bigl(1\; +\; \backslash sqrt\{1\; -\; y^2\}\backslash ,\backslash bigr)^\{-1\}\; \backslash bigr]\; \backslash biggr\backslash \}\_\{y\; =\; 0\}^\{y\; =\; 1\}\; =\; 2\backslash ,\backslash mathrm\{Ti\}\_\{2\}(1)\; =2\backslash beta(2)\; =2\backslash ,C$$

'''제2종 완전 타원 적분''' '''E'''에도 푸비니 정리를 적용할 수 있다.

$$\backslash int\_\{0\}^\{1\}\; E(x)\; \backslash ,\backslash mathrm\{d\}x\; =\; \backslash int\_\{0\}^\{1\}\; \backslash int\_\; \{0\}^\{1\}\; \backslash frac\{\backslash sqrt\{1\; -\; x^2\; y^2\}\}\{\backslash sqrt\{1\; -\; y^2\}\}\; \backslash ,\{\backslash mathrm\{d\}y\}\; \backslash ,\{\backslash mathrm\{d\}x\}\; =\; \backslash int\_\{0\}^\{1\}\; \backslash int\_\{0\}^\{1\}\; \backslash frac\; \{\backslash sqrt\{1\; -\; x^2\; y^2\}\}\{\backslash sqrt\{1\; -\; y^2\}\}\; \backslash ,\{\backslash mathrm\{d\}x\}\; \backslash ,\{\backslash mathrm\; \{d\}y\}=$$

$$=\; \backslash int\_\{0\}^\{1\}\; \backslash biggl[\backslash frac\{\backslash arcsin(y)\}\{2y\backslash sqrt\{1\; -\; y^2\}\}\; +\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash biggr]\; \backslash ,\backslash mathrm\{d\}y\; =\; \backslash biggl\backslash \{\; \backslash mathrm\{Ti\}\_\{2\}\; \backslash bigl[\; y\backslash bigl(1\; +\; \backslash sqrt\{1\; -\; y^2\}\backslash ,\backslash bigr\; )^\{-1\}\; \backslash bigr]\; +\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; y\; \backslash biggr\backslash \}\_\{y\; =\; 0\}^\{y\; =\; 1\}\; =\; \backslash mathrm\{Ti\}\_\{2\}(1)\; +\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; =\backslash beta(2)\; +\; \backslash frac\{1\}\{2\}\; =C\; +\; \backslash frac\{1\}\{2\}$$

오일러-마스케로니 상수는 음의 자연 로그와 지수 역수의 곱에 대한 적분에서 0부터 무한대까지의 이상 적분으로 나타난다.

$$\backslash gamma\; =\; \backslash int\_0^\backslash infty\; \backslash frac\{-\backslash ln(x)\}\{\backslash exp(x)\}\backslash ,\backslash mathrm\{d\}x\; =\; \backslash int\_\{0\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{1\}\{x\}\backslash biggl[\backslash frac\{1\}\{x\; +\; 1\}-\backslash exp(-x)\backslash biggr]\; \backslash ,\backslash mathrm\{d\}x$$

이 두 적분은 푸비니 정리를 두번 적용하여 구할 수 있다.

적분 지수 함수는 다음과 같이 정의된다.

: $\backslash mathrm\{E\}\_\{1\}(x)\; =\; \backslash exp(-x)\backslash int\_\{0\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{\backslash exp(-xy)\}\{y+1\}\; \backslash ,\; \backslash mathrm\{d\}y$

푸비니 정리의 첫 번째 구현:

$$\backslash gamma=\; \backslash int\_\{0\}^\{\backslash infty\}\; -\backslash exp(-y)\backslash ln(y)\; \backslash ,\backslash mathrm\{d\}y\; =\; \backslash int\_\{0\}^\{\backslash infty\}\; \backslash int\_\{0\}^\{\backslash infty\}\; \backslash exp(-y)\backslash bigl(\backslash frac\{1\}\{x\; +\; y\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{x\; +\; 1\}\backslash bigr)\; \backslash ,\{\backslash mathrm\{d\}x\}\; \backslash ,\{\backslash mathrm\{d\}y\}\; =$$

$$=\; \backslash int\_\{0\}^\{\backslash infty\}\; \backslash int\_\{0\}^\{\backslash infty\}\; \backslash exp(-y)\backslash bigl(\backslash frac\{1\}\{x\; +\; y\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{x\; +\; 1\}\backslash bigr)\; \backslash ,\{\backslash mathrm\{d\}y\}\; \backslash ,\{\backslash mathrm\{d\}x\}\; =\; \backslash int\_\{0\}^\{\backslash infty\}\; \backslash biggl[\backslash exp(x)\backslash ,\backslash mathrm\{E\}\_\{1\}(x)\; -\; \backslash frac\{1\}\{x\; +\; 1\}\backslash biggr]\; \backslash ,\backslash mathrm\{d\}x$$

푸비니 정리의 두 번째 구현:

$$\backslash gamma\; =\; \backslash int\_\{0\}^\{\backslash infty\}\; \backslash biggl[\backslash exp(x)\backslash ,\backslash mathrm\{E\}\_\{1\}(x)\; -\; \backslash frac\{1\}\{x\; +\; 1\}\backslash biggr]\; \backslash ,\backslash mathrm\{d\}x\}\; =\; \backslash int\_\{0\}^\{\backslash infty\}\; \backslash int\_\{0\}^\{\backslash infty\}\; \backslash exp(-xz)\backslash biggl[\backslash frac\{1\}\{z\; +\; 1\}-\backslash exp(-z)\backslash biggr]\; \backslash ,\{\backslash mathrm\{d\}z\}\; \backslash ,\{\backslash mathrm\{d\}x\}\; =$$

$$=\; \backslash int\_\{0\}^\{\backslash infty\}\; \backslash int\_\{0\}^\{\backslash infty\}\; \backslash exp(-xz)\backslash biggl[\backslash frac\{1\}\{z\; +\; 1\}-\backslash exp(-z)\backslash biggr]\; \backslash ,\{\backslash mathrm\{d\}x\}\; \backslash ,\{\backslash mathrm\{d\}z\}\; =\; \backslash int\_\{0\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{1\}\{z\}\backslash biggl[\backslash frac\{1\}\{z\; +\; 1\}-\backslash exp(-z)\backslash biggr]\; \backslash ,\backslash mathrm\{d\}z$$

다음은 적분의 제곱에 대한 공식이다.

이 공식을 이용해 정규 분포의 적분을 계산할 수 있다.

$$\backslash biggl[\backslash int\_\{0\}^\{\backslash infty\}\; \backslash exp(-x^2)\; \backslash ,\backslash mathrm\{d\}x\backslash biggr]^2\; =\; \backslash int\_\{0\}^\{1\}\; \backslash int\_\{0\}^\{\backslash infty\}\; 2x\backslash exp(-x^2)\backslash exp(-x^2\; y^2)\; \backslash ,\backslash mathrm\{d\}x\backslash ,\backslash mathrm\{d\}y\; =\; \backslash int\_\{0\}^\{1\}\; \backslash int\_\{0\}^\{\backslash infty\}\; 2x\backslash exp\backslash bigl[-x^2\; (y^2\; +\; 1)\backslash bigr]\; \backslash ,\backslash mathrm\{d\}x\backslash ,\backslash mathrm\{d\}y\; =$$

$$=\; \backslash int\_\{0\}^\{1\}\; \backslash biggl\backslash \{\backslash frac\{1\}\{y^2\; +\; 1\}\; -\; \backslash frac\{1\}\{y^2\; +\; 1\}\backslash exp\backslash biggl[-x^2(y^2\; +\; 1)\backslash biggr]\backslash biggr\backslash \}\_\{x\; =\; 0\}^\{x\; =\; \backslash infty\}\; \backslash ,\backslash mathrm\{d\}y\; =\; \backslash int\_\{0\}^\{1\}\; \backslash frac\{1\}\{y^2\; +\; 1\}\; \backslash ,\backslash mathrm\{d\}y\; =\; \backslash arctan(1)\; =\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{4\}$$

가우스 곡선에 대해 이 값을 생성할 수 있다.

: $\backslash int\_\{0\}^\{\backslash infty\}\; \backslash exp(-x^2)\; \backslash ,\backslash mathrm\{d\}x\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash sqrt\{\backslash pi\}$

다음은 적분의 제곱에 대한 또 다른 공식이다.

:

이 공식을 이용해 바젤 문제를 해결할 수 있다.

$$\backslash frac\{\backslash pi^2\}\{4\}\; =\; \backslash arcsin(1)^2\; =\; \backslash biggl[\backslash int\_\{0\}^\{1\}\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{1\; -\; x^2\}\}\; \backslash ,\backslash mathrm\{d\}x\backslash biggr]^2\; =\; \backslash int\_\{0\}^\{1\}\; \backslash int\_\{0\}^\{1\}\; \backslash frac\{2x\}\{\backslash sqrt\{(1\; -\; x^2)(1\; -\; x^2\; y^2)\}\}\; \backslash ,\backslash mathrm\{d\}x\; \backslash ,\backslash mathrm\{d\}y\; =$$

$$=\; \backslash int\_\{0\}^\{1\}\; \backslash biggl[\backslash frac\{2\}\{y\}\backslash operatorname\{artanh\}(y)\; -\; \backslash frac\{2\}\{y\}\backslash operatorname\{artanh\}\backslash biggl(\backslash frac\{\backslash sqrt\{1\; -\; x^2\}\backslash ,y\}\{\backslash sqrt\{1\; -\; x^2\; y^2\}\}\backslash biggr)\backslash biggr]\_\{x\; =\; 0\}^\{x\; =\; 1\}\backslash ,\backslash mathrm\{d\}y\; =\; \backslash int\_\{0\}^\{1\}\; \backslash frac\{2\}\{y\}\backslash operatorname\{artanh\}(y)\; \backslash ,\backslash mathrm\{d\}y\; =$$

$$=\; \backslash biggl[2\backslash ,\backslash mathrm\{Li\}\_\{2\}(y)\; -\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash ,\backslash mathrm\{Li\}\_\{2\}(y^2)\backslash biggr]\_\{y\; =\; 0\}^\{y\; =\; 1\}\; =\; \backslash frac\{3\}\{2\}\backslash ,\backslash mathrm\{Li\}\_\{2\}(1)$$

일의 이중대수에 대해 이 값이 나타납니다.

: $\backslash mathrm\{Li\}\_\{2\}(1)\; =\; \backslash frac\{\backslash pi^2\}\{6\}$

다음은 적분의 곱에 대한 일반화된 공식이다.

:

타원 적분을 사용하여 다음과 같이 계산할 수 있다.

: $\backslash int\_\{0\}^\{1\}\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{1\; -\; x^4\}\}\; \backslash ,\backslash mathrm\{d\}x\; =$

$$\backslash biggl\backslash \{\; -\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash sqrt\{2\}\backslash ,F\backslash biggl[\backslash arccos(x);\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash sqrt\{2\}\backslash biggr]\; \backslash biggr\backslash \}\_\{x\; =\; 0\}^\{x\; =\; 1\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash sqrt\{2\}\backslash ,K\backslash bigl(\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash sqrt\{2\}\backslash bigr)$$

: $\backslash int\_\{0\}^\{1\}\; \backslash frac\{x^2\}\{\backslash sqrt\{1\; -\; x^4\}\}\; \backslash ,\backslash mathrm\{d\}x\; =$

$$\backslash biggl\backslash \{\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash sqrt\{2\}\backslash ,F\backslash biggl[\backslash arccos(x);\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash sqrt\{2\}\backslash biggr]\; -\; \backslash sqrt\{2\}\backslash ,E\backslash biggl[\backslash arccos(x);\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash sqrt\{2\}\backslash biggr]\; \backslash biggr\backslash \}\_\{x\; =\; 0\}^\{x\; =\; 1\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2\}\backslash sqrt\{2\}\backslash biggl[2\backslash ,E\backslash bigl(\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash sqrt\{2\}\backslash bigr)\; -\; K\backslash bigl(\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash sqrt\{2\}\backslash bigr)\backslash biggr]$$

이 두 적분을 위의 형식에 삽입하면 다음과 같다.

$$\backslash biggl[\backslash int\_\{0\}^\{1\}\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{1\; -\; x^4\}\}\; \backslash ,\backslash mathrm\{d\}x\backslash biggr]\backslash biggl[\backslash int\_\{0\}^\{1\}\; \backslash frac\{x^2\}\{\backslash sqrt\{1\; -\; x^4\}\}\; \backslash ,\backslash mathrm\{d\}x\backslash biggr]\; =\backslash int\_\{0\}^\{1\}\; \backslash int\_\{0\}^\{1\}\; \backslash frac\{x^3\; (y^2+1)\}\{\backslash sqrt\{(1\; -\; x^4)(1\; -\; x^4\; y^4)\}\}\; \backslash ,\backslash mathrm\{d\}x\backslash ,\backslash mathrm\{d\}y\; =$$

$$=\; \backslash int\_\{0\}^\{1\}\; \backslash biggl\backslash \{\backslash frac\{y^2\; +\; 1\}\{2\backslash ,y^2\}\backslash biggl[\backslash text\{artanh\}\backslash bigl(y^2\backslash bigr)\; -\; \backslash text\{artanh\}\backslash biggl(\backslash frac\{\backslash sqrt\{1\; -\; x^4\}\backslash ,y^2\}\{\backslash sqrt\{1\; -\; x^4\; y^4\}\}\backslash biggr)\backslash biggr]\backslash biggr\backslash \}\_\{x\; =\; 0\}^\{x\; =\; 1\}\backslash ,\backslash mathrm\{d\}y\; =\; \backslash int\_\{0\}^\{1\}\; \backslash frac\{y^2\; +\; 1\}\{2\backslash ,y^2\}\backslash ,\backslash mathrm\{artanh\}\backslash bigl(y^2\backslash bigr)\; \backslash ,\backslash mathrm\{d\}y=$$

$$=\; \backslash biggl[\backslash arctan(y)\; -\; \backslash frac\{1\; -\; y^2\}\{2\backslash ,y\}\backslash ,\backslash mathrm\{artanh\}\backslash bigl(y^2\backslash bigr)\backslash biggr]\_\{y\; =\; 0\}^\{y\; =\; 1\}\; =\; \backslash arctan(1)\; =\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{4\}$$

6. 반례 (Counterexamples)

푸비니 정리와 토넬리 정리의 가정이 생략될 경우, 이 정리들이 성립하지 않을 수 있음을 보여주는 몇 가지 예시는 다음과 같다.

• σ-유한이 아닌 경우: ''X''가 르베그 가측 집합과 르베그 측도를 갖는 단위 구간이고, ''Y''가 모든 부분 집합이 가측 집합이고 계수 측도를 갖는 단위 구간인 경우 (''Y''는 σ-유한이 아니다). ''f''가 ''X''×''Y''의 대각선의 지시 함수라면, ''X''를 따라 ''f''를 적분하면 ''Y''에서 0 함수가 되지만, ''Y''를 따라 ''f''를 적분하면 ''X''에서 1 함수가 된다. 따라서 두 반복 적분은 서로 다른 값을 갖는다. 이는 토넬리 정리가 σ-유한하지 않은 공간에 대해 실패할 수 있음을 보여준다.
• 최대 곱 측도를 사용하지 않는 경우: 집합의 측도가 수평 단면의 르베그 측도의 합이 되도록 ''X''×''Y''에 곱 측도를 부여하면, |''f''|의 이중 적분은 0이 되지만 두 반복 적분은 여전히 다른 값을 갖는다. 이는 푸비니 정리가 실패하는 곱 측도의 한 예시이다.
• 비가측 함수의 경우: 가측 공간 ''X''가 첫 번째 비가산 서수이고, 가측 집합이 가산 집합(측도 0) 또는 가산 여집합(측도 1)인 유한 측도를 갖는다고 가정하자. ''x''<''y''인 쌍 (''x'' , ''y'')로 주어진 ''X''×''X''의 (비가측) 부분 집합 ''E''에 대해, ''f''가 ''E''의 특성 함수이면 ''f''의 두 반복 적분은 정의되고 서로 다른 값 1과 0을 갖는다. 이는 토넬리 정리가 비가측 함수에 대해 실패할 수 있음을 보여준다.
• |f|가 적분 가능하고 두 반복 적분이 잘 정의되어 있더라도 비가측 함수인 경우: ''f''를 ''E''에서 1, ''E''의 여집합에서 –1로 놓는다면, |''f''|는 적분 1을 갖는 곱집합에서 적분 가능하고, 두 반복 적분은 모두 잘 정의되어 있지만 1과 –1이라는 서로 다른 값을 갖는다.
• 연속체 가설을 가정한 경우: 연속체 가설을 가정하면, ''X''를 단위 구간 ''I''와 동일시할 수 있으므로, 두 반복 적분(르베그 측도를 사용)이 모두 정의되어 있지만 같지 않은 ''I''×''I'' 상의 유계 비음수 함수가 존재한다.^[7]

• 두 개의 측도 공간을 양의 정수로 정의하고, 함수 ''f''(''x'',''y'')는 ''x''=''y''이면 1, ''x''=''y''+1이면 -1, 그 외에는 0이 되는 경우, 두 반복 적분은 각각 0과 1이라는 다른 값을 갖는다.
• 함수 $\backslash frac\{x^2-y^2\}\{(x^2+y^2)^2\}\; =\; -\backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; x\backslash partial\; y\}\backslash arctan(y/x)$의 경우, 반복 적분은

7. 쿠라토프스키-울람 정리(Kuratowski–Ulam theorem)

카지미에시 쿠라토프스키와 스타니스와프 울람의 이름을 딴 쿠라토프스키-울람 정리는 임의의 제2 가산 베어 공간에 대한 유사한 결과이며, "베어 범주에 대한 푸비니 정리"라고도 불린다.^[9] ''X''와 ''Y''를 제2 가산 베어 공간(또는 특히, 폴란드 공간)이라고 하고, $A\backslash subset\; X\backslash times\; Y$라고 하자. 이때, ''A''가 베어 성질을 갖는다면, 다음 두 조건은 동치이다.

# ''A''는 빈약 집합(meagre set)이다.

# 집합 $\backslash \{\; x\; \backslash in\; X\; :A\_x\; \backslash text\{\; is\; meager\; in\; Y\}\; \backslash \}$는 X 내의 보빈약 집합(comeagre set)이다. 단, $A\_x=\backslash pi\_Y[A\backslash cap\; \backslash lbrace\; x\; \backslash rbrace\; \backslash times\; Y]$이고, $\backslash pi\_Y$는 Y 위로의 사영이다.

각 조건의 빈약 집합은 각각 보빈약 집합으로 대체해도 성립한다. 만약 A가 베어 성질을 갖지 않더라도, 조건 2는 조건 1에서 유도된다.^[9] 이 정리는 임의의 하우스도르프 공간 X 및 가산 n-기저를 갖는 하우스도르프 공간 Y에 대해서도 (공허한 의미일 수도 있지만) 성립한다.^[9]

이 정리는 생각하는 함수가 어떤 곱공간의 집합의 특성 함수인 경우의 일반적인 푸비니 정리와 유사하다. 그 경우, 빈약 집합은 측도 0의 집합, 보빈약 집합은 전체 측도(full measure)의 집합, 베어 성질을 갖는 집합은 가측 집합에 대응한다.^[9]

참조

_[1] 서적 Analysis I Springer
_[2] 서적 A course of modern analysis Cambridge University Press
_[3] 서적 Real Analysis Prentice Hall
_[4] 서적 Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives https://archive.org/[...] Gauthier-Villars
_[5] 간행물 Sugli integrali multipli
_[6] 간행물 Sull'integrazione per parti
_[7] 간행물 Sur un problème concernant les ensembles mesurables superficiellement https://eudml.org/do[...]
_[8] 간행물 A Consistent Fubini-Tonelli Theorem for Nonmeasurable Functions http://projecteuclid[...]
_[9] 서적 A course on Borel sets Springer
_[10] 서적 Measure theory. Volume II Springer
_[11] 서적 Real and Complex Analysis http://www.mcgraw-hi[...] McGraw-Hill 2014-10-06
_[12] 서적 Measure theory. Volume I Springer
_[13] 서적 해석학 입문 경문사