리프먼-슈윙거 방정식

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1. 개요
2. 정의
3. 유도
- 3.1. 정상 상태 슈뢰딩거 방정식으로부터의 유도
- 3.2. 시간 의존 슈뢰딩거 방정식으로부터의 유도
4. 그린 함수
5. 해법
- 5.1. 보른 근사법
- 5.2. 기타 해법
6. 응용
7. S-행렬과의 관계
8. 균질화
참조

1. 개요

리프먼-슈윙거 방정식은 자유 해밀토니안과 퍼텐셜의 상호작용으로 산란되는 입자의 파동 함수를 계산하는 데 사용되는 방정식이다. 이 방정식은 슈뢰딩거 방정식을 변형하여 유도되며, 복소수를 사용하여 특이점을 해결한다. 리프먼-슈윙거 방정식은 그린 함수를 통해 적분 방정식으로 표현할 수 있으며, 보른 근사법, 부분파 분석, 섭동법 등 다양한 방법으로 해를 구할 수 있다. 이 방정식은 2체 산란 문제에 유용하게 사용되며, S-행렬과의 관계를 통해 입자 물리학에도 적용된다. 또한, 그린 함수를 사용하여 균질화 이론에도 적용될 수 있다.

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리프먼-슈윙거 방정식
개요
유형	양자 산란 문제에 사용되는 방정식
분야	양자역학
관련 인물
이름	줄리언 슈윙거 버나드 리프먼
참고 문헌
논문	Lippmann, B. A.; Schwinger, J. (1950). "Variational Principles for Scattering Processes. I". Physical Review. 79 (3): 469–480. doi:10.1103/physrev.79.469
서적	Joachain, C. J. (1983). Quantum Collision Theory. North-Holland. ISBN 0-444-86773-3. Weinberg, S. (2002). The Quantum Theory of Fields. Vol. 1: Foundations. Cambridge University Press. ISBN 0-521-55001-7.

2. 정의

자유 해밀토니언 $H_0$ 를 갖는 계에 퍼텐셜 $V$ 가 작용하여 산란이 일어날 때, 입사 입자 $|\phi\rangle$ 가 $H_0$ 에 대해 에너지 $E$ 를 갖는 고유 상태라고 하면, 산란된 입자의 파동 함수 $|\psi\rangle$ 는 다음 식을 만족한다.

: $H_0|\phi\rangle=E|\phi\rangle$ .

: $(H_0+V)|\psi\rangle=E|\psi\rangle$ .

위 두 식을 더하고 항을 정리하면 다음과 같다.

: $(E-H_0)|\psi\rangle=(E-H_0)|\phi\rangle+V|\psi\rangle$ .

양변에 $(E-H_0)^{-1}$ 를 곱하면 다음과 같은 식을 얻는다.

: $|\psi\rangle\stackrel{?}=|\phi\rangle+(E-H_0)^{-1}V|\psi\rangle$ .

하지만 $(E-H_0)^{-1}$ 은 $H_0$ 에 대한 고윳값이 $E$ 일 경우 정의할 수 없다. 섭동 이론에서는 고윳값이 문제가 되는 경우를 사영 연산자로 사영해 없앨 수 있지만, 산란 이론에서 다루는 해밀토니언은 연속 스펙트럼을 가지므로 이렇게 할 수 없다. 대신, $E$ 를 복소수로 잡고, 그 허수 부분이 매우 작다고 가정한다.

: $|\psi^\pm\rangle=|\phi\rangle+(E\pm i\epsilon-H_0)^{-1}V|\psi^\pm\rangle$ ( $\epsilon\ll1$ ).

이 식을 '''리프먼-슈윙거 방정식'''이라고 한다. 리프먼-슈윙거 방정식은 경로적분법을 통해 풀 수 있으며, 그 해 가운데 $|\psi^+\rangle$ 는 초기 상태, $|\psi^-\rangle$ 는 나중 상태의 파동 함수이다.

3. 유도

해밀토니안을 다음과 같이 분리할 수 있다고 가정한다.

: $H = H_0 + V$

여기서 $H_0$ 는 자유 해밀토니안(혹은 더 일반적으로, 알려진 고유 벡터를 가진 해밀토니안)이다. 예를 들어, 비상대론적 양자 역학에서 $H_0$ 는 다음과 같다.

: $H_0 = \frac{p^2}{2m}.$

$V$ 는 시스템의 상호 작용 에너지로 해석할 수 있다. $H_0$ 의 고유 상태를 다음과 같이 가정한다.

: $H_0 | \phi \rangle = E | \phi \rangle.$

이제 상호 작용 $V$ 를 추가하면, 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.

: $\left( H_0 + V \right) | \psi \rangle = E | \psi \rangle.$

헬만-파인만 정리에 따르면, 해밀토니안의 에너지 고유값은 해밀토니안의 연속적인 변화에 따라 연속적으로 변화한다. 따라서, $V$ 가 0으로 접근할 때 $| \psi \rangle$ 가 $| \phi \rangle$ 로 수렴하기를 기대한다. 이 방정식의 한 가지 가능한 해는 다음과 같다.

: $| \psi \rangle = | \phi \rangle + \frac{1}{E - H_0} V | \psi \rangle.$

여기서 $\frac{1}{E - H_0}$ 는 $E - H_0$ 의 역원을 의미한다. 그러나 $E - H_0$ 는 $E$ 가 $H_0$ 의 고유값이기 때문에 특이점을 가진다. 이 특이점은 분모에 작은 복소수 항을 추가하여 두 가지 방식으로 해결할 수 있다.

: $| \psi^{(\pm)} \rangle = | \phi \rangle + \frac{1}{E - H_0 \pm i \epsilon} V |\psi^{(\pm)} \rangle.$

자유 입자 상태의 완전한 집합을 이용하여 위 식을 다시 쓰면 다음과 같다.

: $| \psi^{(\pm)} \rangle = | \phi \rangle + \int d\beta\frac$

3. 1. 정상 상태 슈뢰딩거 방정식으로부터의 유도

자유 해밀토니언이

H_0

인 계에 퍼텐셜

V

가 산란을 일으킨다고 가정할 때, 입사(入射) 입자

|\phi\rangle

는 자유 해밀토니언에 대하여 에너지

E

를 가진 고유 상태이며, 다음 관계를 만족한다.

:

H_0|\phi\rangle=E|\phi\rangle

.

산란 이론의 목표는

V

에 의하여 산란된 입자의 파동 함수

|\psi\rangle

를 계산하는 것이다. 즉, 다음 식을 만족하는

|\psi\rangle

를 구한다.^[1]

:

(H_0+V)|\psi\rangle=E|\psi\rangle

.

위의 두 식을 더하고, 항을 정리하면 다음 식을 얻는다.^[2]

:

(E-H_0)|\psi\rangle=(E-H_0)|\phi\rangle+V|\psi\rangle

.

양변에

(E-H_0)^{-1}

를 곱하면 다음 식을 얻을 수 있다.^[3]

:

|\psi\rangle\stackrel{?}=|\phi\rangle+(E-H_0)^{-1}V|\psi\rangle

.

하지만

(E-H_0)^{-1}

은

H_0

에 대한 고윳값이

E

일 때 정의할 수 없다. 섭동 이론에서는 고윳값이 문제가 되는 경우를 적절한 사영 연산자로 사영해 없앨 수 있지만, 산란 이론에서 다루는 해밀토니언은 연속 스펙트럼을 가지므로 이렇게 할 수 없다. 대신,

E

를 복소수로 잡고, 그 허수 부분이 매우 작다고 가정하여 다음 식을 얻는다.^[4]

:

|\psi^\pm\rangle=|\phi\rangle+(E\pm i\epsilon-H_0)^{-1}V|\psi^\pm\rangle

(

\epsilon\ll1

).

이 식을 '''리프먼-슈윙거 방정식'''이라고 한다. 경로적분법을 통해 풀 수 있으며, 그 해 가운데

|\psi^+\rangle

는 초기 상태,

|\psi^-\rangle

는 나중 상태의 파동 함수이다.^[5]

탄성 산란과 같이 산란 상태를 정상 상태로 간주할 수 있는 경우, 입사해 오는 자유 입자의 해밀토니안을

\hat{H_0}

로 하고, 입사 입자의 에너지 고유값・에너지 고유 상태는 다음 고유값 관계를 만족해야 한다.^[6]

:

\hat{H_0} | \phi \rangle = E | \phi \rangle

실험자가 어떤 정해진 에너지의 입자를 입사시켰다고 할 때, 즉, 여러 개의 "

\hat{H_0}

의 에너지 고유값

E

・에너지 고유 상태

| \phi \rangle

의 짝" 중에서 하나를 선택했다고 하며,

E

와

| \phi \rangle

는 정해져 있다고 가정한다.

산란 상태를 나타내는 해밀토니안은, 다음과 같이 자유 입자의 해밀토니안

\hat{H_0}

과 상호작용

\hat{V}

로 쓸 수 있다고 가정한다.^[7]

:

\hat{H} = \hat{H_0} + \hat{V}

탄성 산란에서는 입사 상태의 에너지와 산란 상태의 에너지가 같으므로, 산란 상태의 에너지 고유값도 이미 지정되어 있다. 따라서, 탄성 산란의 산란 이론에서는 그 에너지 고유값에 대응하는 에너지 고유 상태를 구하며, 이것은 고유값 문제가 아니라, 위 식이 경계 조건이 되는 미분 방정식이다.^[8]

에너지 고유값의 연속성 때문에,

\hat{V} \to 0 \,

일 때

| \psi \rangle \to | \phi \rangle \,

가 되어야 한다.

풀어야 할 식은 다음과 같다.^[9]

:

(\hat{H_0} + \hat{V}) | \psi \rangle = E | \psi \rangle

그 안의

E

는 다음을 만족해야 한다.

:

\hat{H_0} | \phi \rangle = E | \phi \rangle

해의 후보로서 다음을 생각할 수 있다.^[10]

:

|\psi \rangle = | \phi \rangle + \frac{1}{E - \hat{H_0}} \hat{V} | \psi \rangle \,

그러나

E

는

\hat{H_0}

의 고유값이기 때문에, 연산자

(E-\hat{H}_0)

는 특이성이 있다. 이 특이성은 분모를 약간 복소수로 함으로써 해소된다.^[11]

:

| \psi^{(\pm)} \rangle = | \phi \rangle + \frac{1}{E - \hat{H_0} \pm i \epsilon} \hat{V} |\psi^{(\pm)} \rangle \,

3. 2. 시간 의존 슈뢰딩거 방정식으로부터의 유도

자유 해밀토니언이

H_0

인 계에 퍼텐셜

V

가 산란을 일으킨다고 가정하자. 입사(入射) 입자

|\phi\rangle

는 자유 해밀토니언에 대하여 에너지

E

를 가진 고유 상태이다.

:

H_0|\phi\rangle=E|\phi\rangle

.

산란 이론의 목표는

V

에 의하여 산란된 입자의 파동 함수

|\psi\rangle

를 계산하는 것이다. 즉, 다음 식을 만족하는

|\psi\rangle

를 구한다.

:

(H_0+V)|\psi\rangle=E|\psi\rangle

.

이 두 식을 더하고, 항을 정리하면 다음과 같은 식을 얻는다.

:

(E-H_0)|\psi\rangle=(E-H_0)|\phi\rangle+V|\psi\rangle

.

만약 양변에

(E-H_0)^{-1}

를 곱할 수 있다면, 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

:

|\psi\rangle\stackrel{?}=|\phi\rangle+(E-H_0)^{-1}V|\psi\rangle

.

하지만

(E-H_0)^{-1}

은

H_0

에 대한 고윳값이

E

일 경우에는 정의할 수 없다. 섭동 이론에서는 고윳값이 문제가 되는 경우를 적절한 사영 연산자로 사영해 없앨 수 있지만, 산란 이론에서 다루는 해밀토니언은 연속 스펙트럼을 가지므로 이렇게 할 수 없다. 대신,

E

를 복소수로 잡고, 그 허수 부분이 매우 작다고 가정한다.

:

|\psi^\pm\rangle=|\phi\rangle+(E\pm i\epsilon-H_0)^{-1}V|\psi^\pm\rangle

(

\epsilon\ll1

).

이렇게 하여

|\psi^\pm\rangle

을 나타낼 수 있다. 이 식을 '''리프먼-슈윙거 방정식'''이라고 한다.

시간 의존 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같이 주어진다.

:

\left( i \hbar \frac{\partial}{\partial t} - \hat{H}_0 \right) |\psi(t) \rangle = V | \psi(t) \rangle \quad \cdots (1)

이 방정식의 그린 함수가 만족해야 하는 식은 다음과 같이 나타낸다.

:

\left( i \hbar \frac{\partial}{\partial t} - \hat{H}_0 \right) G^+(t,t') = \delta(t-t')

이를

t 일 때 G^+(t,t')=0 이 된다고 하여 풀면 다음과 같은 지연 그린 함수가 얻어진다.

:

G^+(t,t') = -\frac{i}{\hbar}\theta (t-t') e^{iH_0 (t-t')/\hbar}

이

G^+(t,t')

을 (1)식의 양변에 곱하여 시간으로 적분하면,

:

|\psi^+( t)\rangle = |\phi( t)\rangle +\int^{+\infty}_{-\infty}G^+(t,t')V|\psi^+( t)\rangle dt' \quad \cdots (2)

단,

|\phi( t)\rangle

는 다음을 만족한다.

:

\left( i \hbar \frac{\partial}{\partial t} - \hat{H}_0 \right) | \phi(t) \rangle = 0

여기서

|\psi( t)\rangle

와

|\phi(t)\rangle

로,

\hat{H}

와

\hat{H}_0

의 고유 상태를 생각한다.

:

|\psi(t)\rangle = |\psi\rangle e^{iEt/\hbar}

:

|\phi(t)\rangle = |\phi\rangle e^{iEt/\hbar}

더욱이 섭동을 무한 과거에서 서서히 더해 간다.

:

\hat{V} \to \lim_{\eta \to 0} \hat{V} e^{\eta t}

그러면 (2)식은

:

\begin{align}| \psi^+ \rangle&= | \phi \rangle - \frac{i}{\hbar} \lim_{t'' \to -\infty} \int^{0}_{t''} \exp (i(\hat{H}_0 - E - i \eta \hbar) t'/ \hbar) \hat{V}  | \psi^+ \rangle\,dt' \\&= | \phi \rangle - \frac{1}{\hat{H}_0 - E - i \eta \hbar} \left[ 1 - \lim_{t'' \to -\infty} \exp({[i(\hat{H}_0-E) / \hbar + \eta] t''}) \right]\hat{V} | \psi^+ \rangle .\end{align}

t'' \to -\infty

로 함으로써 리프먼-슈윙거 방정식이 얻어진다^[9]。

4. 그린 함수

다음과 같이 그린 함수 $G^\pm(\mathbf r,\mathbf r')$ 를 정의한다.

: $G^\pm(\mathbf r,\mathbf r')=\langle\mathbf r|(E\pm i\epsilon+\nabla^2/2m)^{-1}|\mathbf r'\rangle$ .

이를 대입하고, 브라-켓 표기법을 일반 함수 표기법으로 바꾸면 다음과 같은 적분 방정식을 얻는다.

: $\psi^\pm(\mathbf r)=\phi(\mathbf r)+\int G^\pm(\mathbf r,\mathbf r')V(\mathbf r')\psi^\pm(\mathbf r')\,d\mathbf r'$ .

빛의 속도보다 매우 느린 입자의 경우 $H_0$ 은 다음과 같다.

: $H_0=\mathbf p^2/2m=-\hbar^2\nabla^2/2m$ .

이에 해당하는 그린 함수 $G^\pm(\mathbf r,\mathbf r')$ 는 경로적분법을 통해 다음과 같이 계산할 수 있다.

: $G^\pm(\mathbf r,\mathbf r')=-\frac{2m}{\hbar^2}\frac{\exp(\pm i\sqrt{2mE}\Vert\mathbf r-\mathbf r'\Vert/\hbar)}{4\pi\Vert\mathbf r-\mathbf r'\Vert}$ .

5. 해법

리프먼-슈윙거 방정식은 다양한 방법으로 풀 수 있다.

탄성 산란처럼 산란 상태를 정상 상태로 간주할 수 있는 경우를 생각해보자. 입사해 오는 자유 입자의 해밀토니안을 $\hat{H_0}$ 라고 하면, 입사 입자의 에너지 고유값과 에너지 고유 상태는 다음 고유값 관계를 만족해야 한다.

: $\hat{H_0} | \phi \rangle = E | \phi \rangle \quad \cdots(1)$

실험자가 특정 에너지의 입자를 입사시켰다고 가정하면, 여러 개의 " $\hat{H_0}$ 의 에너지 고유값 $E$ ・에너지 고유 상태 $| \phi \rangle$ 의 짝" 중에서 하나를 선택한 것이다. 이후 논의에서는 $E$ 와 $| \phi \rangle$ 는 정해져 있다고 가정한다.

산란 상태를 나타내는 해밀토니안은 자유 입자의 해밀토니안 $\hat{H_0}$ 과 상호작용 $\hat{V}$ 로 쓸 수 있다.

: $\hat{H} = \hat{H_0} + \hat{V}$

$\hat{H}$ 는 다음 고유 관계식을 만족하는 여러 에너지 고유값 $E$ ・에너지 고유 상태 $| \psi \rangle$ 의 짝을 가지고 있다.

: $(\hat{H_0} + \hat{V}) | \psi \rangle = E | \psi \rangle \quad \cdots(2)$

탄성 산란에서는 입사 상태와 산란 상태의 에너지가 같으므로, 산란 상태의 에너지 고유값은 이미 지정되어 있다. 따라서 탄성 산란의 산란 이론에서는 (1)식이 경계 조건이 되는 미분 방정식을 풀어 에너지 고유값에 대응하는 에너지 고유 상태를 구한다.

에너지 고유값의 연속성 때문에, $\hat{V} \to 0$ 일 때 $| \psi \rangle \to | \phi \rangle$ 가 되어야 한다. (2)식에서 $E$ 는 (1)식을 만족하는 값이어야 하므로, 해의 후보는 다음과 같다.

: $|\psi \rangle = | \phi \rangle + \frac{1}{E - \hat{H_0}} \hat{V} | \psi \rangle$

양변에 $E - \hat{H}_0$ 를 작용시키면 (1)식을 만족할 때 (2)식도 만족함을 알 수 있다. 그러나 $E$ 는 $\hat{H_0}$ 의 고유값이기 때문에 연산자 $(E - \hat{H}_0)$ 는 특이성이 있다. 이 특이성은 분모를 약간 복소수로 만들어 해소할 수 있다.

: $| \psi^{(\pm)} \rangle = | \phi \rangle + \frac{1}{E - \hat{H_0} \pm i \epsilon} \hat{V} |\psi^{(\pm)} \rangle$

시간 의존 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같다.

: $\left( i \hbar \frac{\partial}{\partial t} - \hat{H}_0 \right) |\psi(t) \rangle = V | \psi(t) \rangle \quad \cdots (1)$

이 방정식의 그린 함수가 만족해야 하는 식은 다음과 같다.

: $\left( i \hbar \frac{\partial}{\partial t} - \hat{H}_0 \right) G^+(t,t') = \delta(t-t')$

$t < t'$ 일 때 $G^+(t, t') = 0$ 이 된다고 하여 풀면 지연 그린 함수를 얻을 수 있다.

: $G^+(t,t') = -\frac{i}{\hbar}\theta (t-t') e^{iH_0 (t-t')/\hbar}$

이 $G^+(t,t')$ 을 (1)식의 양변에 곱하여 시간으로 적분하면,

: $|\psi^+( t)\rangle = |\phi( t)\rangle +\int^{+\infty}_{-\infty}G^+(t,t')V|\psi^+( t)\rangle dt' \quad \cdots (2)$

단, $|\phi( t)\rangle$ 는 다음을 만족한다.

: $\left( i \hbar \frac{\partial}{\partial t} - \hat{H}_0 \right) | \phi(t) \rangle = 0$

여기서 $|\psi( t)\rangle$ 와 $|\phi(t)\rangle$ 로, $\hat{H}$ 와 $\hat{H}_0$ 의 고유 상태를 생각한다.

: $|\psi(t)\rangle = |\psi\rangle e^{iEt/\hbar}$

: $|\phi(t)\rangle = |\phi\rangle e^{iEt/\hbar}$

섭동을 무한 과거에서 서서히 더해가면,

: $\hat{V} \to \lim_{\eta \to 0} \hat{V} e^{\eta t}$

(2)식은 다음과 같이 정리된다.

: $\begin{align}| \psi^+ \rangle&= | \phi \rangle - \frac{i}{\hbar} \lim_{t'' \to -\infty} \int^{0}_{t''} \exp (i(\hat{H}_0 - E - i \eta \hbar) t'/ \hbar) \hat{V} | \psi^+ \rangle\,dt' \\&= | \phi \rangle - \frac{1}{\hat{H}_0 - E - i \eta \hbar} \left[ 1 - \lim_{t'' \to -\infty} \exp({[i(\hat{H}_0-E) / \hbar + \eta] t''}) \right]\hat{V} | \psi^+ \rangle .\end{align}$

$t'' \to -\infty$ 로 함으로써 립만-슈윙거 방정식이 얻어진다^[9]。

5. 1. 보른 근사법

리프먼-슈윙거 방정식의 해는 '''보른 근사법'''(Born approximation^영어)을 통해 급수로 나타낼 수 있다.^[11]^[12]

1차 보른 근사법이란 리프먼-슈윙거 방정식 우변에서 총 파동 함수를 입사 파동 함수로 치환하여 푸는 것이다. (즉, 이미 산란된 입자가 재차로 산란되는 경우를 무시한다.)

이 해를 리프먼-슈윙거 방정식에 도입해 2차 이상의 보른 근사를 차례로 계산할 수 있다.

5. 2. 기타 해법

수학적 관점에서 좌표 표현에서의 리프먼-슈윙거 방정식은 프레드홀름 대안의 적분 방정식이다. 이는 이산화를 통해 풀 수 있다. 적절한 경계 조건을 가진 시간 독립적인 슈뢰딩거 방정식과 동등하기 때문에, 미분 방정식에 대한 수치적 방법을 통해 풀 수도 있다. 구면 대칭 포텐셜

V

의 경우, 일반적으로 부분파 분석을 통해 해결된다. 고에너지 및/또는 약한 포텐셜의 경우, 본 급수를 사용하여 섭동적으로 해결할 수도 있다. 원자, 핵 또는 분자 충돌의 설명과 같이 다체 물리학의 경우에도 편리한 방법은 비그너와 아이젠버드의 R-행렬 방법이다. 또 다른 종류의 방법은 포텐셜 또는 그린 연산자의 분리 가능한 전개에 기반하며, 예를 들어 Horáček과 Sasakawa의 연분수 방법과 같다. 매우 중요한 방법의 종류는 슈윙거의 변분 원리와 란초스 알고리즘을 결합한 슈윙거-란초스 방법과 같은 변분 원리에 기반한다.

6. 응용

리프먼-슈윙거 방정식은 2체 산란과 관련된 매우 많은 상황에서 유용하게 사용된다. 3개 이상의 입자가 충돌하는 경우에는 수학적 제약으로 인해 잘 작동하지 않으며, 대신 파데예프 방정식을 사용할 수 있다.^[4] 그러나 다양한 경우에 다체 문제를 일련의 2체 문제로 줄일 수 있는 근사법이 있다. 예를 들어, 전자와 분자 간의 충돌에는 수십 또는 수백 개의 입자가 관련될 수 있지만, 현상은 모든 분자 구성 입자 전위와 유사 전위를 함께 설명하여 2체 문제로 축소될 수 있다.^[5] 이러한 경우 리프먼-슈윙거 방정식을 사용할 수 있다. 물론, 이러한 접근 방식의 주요 동기는 훨씬 적은 계산 노력으로 계산을 수행할 수 있다는 가능성이기도 하다.

7. S-행렬과의 관계

S-행렬은 ''a''번째와 ''b''번째 하이젠베르크 그림 점근 상태의 내적으로 다음과 같이 정의된다.

: $S_{ab} = (\psi^-_a, \psi^+_b)$

위의 적분 경로 전략을 사용하면 ''S'' 행렬과 퍼텐셜 ''V''의 관계를 나타내는 다음 공식을 얻을 수 있다.

: $S_{ab} = \delta(a-b) - 2i\pi \delta(E_a-E_b) (\phi_a, V\psi^+_b)$

이 공식에서 적분 경로는 에너지 극점을 선택한다. 이는 S 행렬을 사용하여 두 개의 $\psi$ 를 $\phi$ 와 관련시킬 수 있기 때문이다. 방정식 양쪽에서 $\phi$ 의 계수를 식별하면 위와 같이 ''S''와 퍼텐셜을 관련시키는 공식을 찾을 수 있다.

본 근사에서, 즉 1차 섭동 이론에 해당하며, 위 공식의 $\psi^+$ 를 자유 해밀토니안 ''H''₀^영어의 해당 고유 함수 $\phi$ 로 대체하면 다음과 같다.

: $S_{ab}=\delta(a-b)-2i\pi\delta(E_a-E_b)(\phi_a,V\phi_b)\,$

이 식은 ''S'' 행렬을 ''V''와 자유 해밀토니안 고유 함수로만 표현한다.

이 공식은 $b \to a$ 과정의 반응 속도를 계산하는 데 사용될 수 있으며, 이는 $|S_{ab} - \delta_{ab}|^2$ 와 같다.

8. 균질화

그린 함수를 사용하면 리프먼-슈윙거 방정식은 균질화 이론(역학, 전도율, 유전율 등)에서도 대응 관계를 갖는다.

참조

_[1] 문헌
_[2] 문헌
_[3] 문헌
_[4] 문헌
_[5] 문헌
_[6] 문헌
_[7] 문헌
_[8] 서적 量子力学岩波書店
_[9] 서적 Modern Quantum Mechanics Addison Wesley
_[10] 논문 Variational Principles for Scattering Processes I
_[11] 서적 Optik: Ein Lehrbuch der elektromagnetische Lichttheorie Springer-Verlag
_[12] 서적 Principles of Optics: Electromagnetic Theory of Propagation, Interference and Diffraction of Light Cambridge University Press

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