경로적분법

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1. 개요

경로 적분법은 복소 평면에서 정의된 곡선, 즉 경로를 따라 복소 함수를 적분하는 방법이다. 경로 적분은 실함수의 적분을 일반화한 것으로, 선 적분과 유사하게 정의되며, 코시 적분 정리, 유수 정리 등 다양한 적분 정리를 활용하여 계산한다. 삼각 함수를 포함하는 적분이나 특수한 형태의 실적분 계산에 유용하게 사용되며, 함수의 적분 표현을 제공하여 해석적 연속, 함수 방정식, 수치적 평가 등 다양한 분야에 활용된다. 또한, 다변수 선적분을 풀기 위해 발산 정리를 사용하기도 한다.

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경로적분법
개요
종류	복소해석학의 방법
주제	복소평면에서 경로를 따라 적분
관련 정리	코시 적분 정리 코시 적분 공식 잔류 정리
활용
응용 분야	특정 실수 적분 계산 푸리에 변환 계산 미분 방정식 풀이
관련 개념
관련 개념	복소 함수 홀로모픽 함수 특이점 잔류
주의 사항
경로 선택	적분 경로의 선택이 결과에 큰 영향을 미침
특이점	경로 내부에 특이점이 존재하면 적분값이 달라짐

2. 복소 평면에서의 곡선

복소해석학에서 '''경로'''는 복소 평면에서 특정한 종류의 곡선을 의미한다. 경로 적분에서 경로는 적절하게 정의될 수 있는 곡선의 정확한 정의를 제공한다. 복소 평면에서의 '''곡선'''은 실수선의 닫힌 구간에서 복소 평면으로의 연속 함수 ''z'' : [ ''a'', ''b'' ] → '''C'''로 정의된다.

이 곡선의 정의는 곡선에 대한 직관적인 개념과 일치하지만, 닫힌 구간에서 연속 함수에 의한 매개변수화를 포함한다. 이보다 더 정확한 정의는 적분에 유용하기 위해 곡선이 가져야 하는 속성을 고려할 수 있게 해준다. 적분할 수 있는 곡선의 집합은 방향을 부여할 수 있는 유한 개의 연속 곡선으로 구성될 수 있는 곡선만 포함하도록 좁힐 수 있다. 더욱이, "조각"이 서로 교차하는 것을 제한하고, 각 조각이 유한(소멸되지 않는) 연속 미분을 갖도록 요구한다. 이러한 요구 사항은 펜으로 추적할 수 있는 곡선, 즉 펜을 들지 않고 새로운 곡선의 조각을 시작하기 위해서만 멈추는 일련의 균일하고 꾸준한 획으로 이루어진 곡선만을 고려하도록 요구하는 것과 같다.^[6]

2. 1. 방향이 있는 매끄러운 곡선

윤곽선은 종종 방향이 있는 매끄러운 곡선으로 정의된다.^[6] 이것은 윤곽선을 구성하는 매끄러운 곡선의 "조각"에 대한 정확한 정의를 제공한다.

'''매끄러운 곡선'''은 각 점이 한 번만 통과하는 (

z

는 일대일 함수), 0이 아닌 연속적인 도함수를 가진 곡선

z:[a,b]\to\C

이며, 끝점이 일치하는 경우 (

z(a)=z(b)

)는 제외한다. 끝점이 일치하는 경우 곡선을 닫힌 곡선이라고 하며, 함수는 다른 모든 곳에서 일대일 함수여야 하고, 도함수는 식별된 점 (

z'(a)=z'(b)

)에서 연속적이어야 한다. 닫히지 않은 매끄러운 곡선은 종종 매끄러운 호라고 한다.^[6]

곡선의 매개변수화는 곡선 위의 점들의 자연스러운 순서를 제공한다. 즉,

x 이면 z(x) 가 z(y) 보다 먼저 나타난다. 이것은 '''방향을 가진 매끄러운 곡선'''의 개념으로 이어진다. 특정 매개변수화와 무관하게 곡선을 고려하는 것이 가장 유용하다. 이것은 같은 방향을 가진 매끄러운 곡선의 동치류를 고려함으로써 할 수 있다. '''방향을 가진 매끄러운 곡선'''은 자연스러운 순서(매개변수화에 따라)로 일부 매끄러운 곡선의 이미지인 복소 평면의 순서화된 점들의 집합으로 정의될 수 있다. 모든 점들의 순서가 매끄러운 곡선의 자연스러운 순서는 아님에 유의해야 한다. 실제로 주어진 매끄러운 곡선은 이러한 순서가 단 두 개뿐이다. 또한 단일 닫힌 곡선은 모든 점을 끝점으로 가질 수 있지만, 매끄러운 호는 끝점에 대한 선택 사항이 두 개뿐이다.

2. 2. 윤곽선 (Contours)

윤곽선은 윤곽선 적분을 정의하는 곡선의 한 종류이다. 윤곽선은 끝점이 일치하는 유한 개의 방향이 있는 매끄러운 곡선으로 구성된 방향이 있는 곡선이다. 이는 곡선 시퀀스

\gamma_1,\dots,\gamma_n

에서

1\leq i 인 모든 i 에 대해 \gamma_i 의 종점이 \gamma_{i+1} 의 시작점과 일치해야 함을 의미한다. 여기에는 모든 방향이 있는 매끄러운 곡선이 포함된다. 또한 복소 평면의 단일 점도 윤곽선으로 간주된다. 기호 + 는 종종 곡선을 함께 연결하여 새 곡선을 형성하는 데 사용된다. 따라서 n 개의 곡선으로 구성된 윤곽선 \Gamma 는 다음과 같이 쓸 수 있다.

\Gamma = \gamma_1 + \gamma_2 + \cdots + \gamma_n.

3. 경로 적분

복소함수 f^영어:C^영어→C^영어의 '''경로 적분'''은 실수 값 함수에 대한 적분을 일반화한 것이다. 복소 평면에서 연속 함수의 경우, 경로 적분은 실수 값 매개변수에 대한 적분을 사용하여 방향이 지정된 매끄러운 곡선에 대한 적분을 먼저 정의함으로써 선 적분과 유사하게 정의할 수 있다. 더 일반적인 정의는 구간의 분할 및 리만 적분과 유사하게 경로의 분할을 사용하여 제공될 수 있다. 두 경우 모두 경로에 대한 적분은 경로를 구성하는 방향이 지정된 매끄러운 곡선에 대한 적분의 합으로 정의된다.^[6]

적분 경로의 종점이 시점과 일치할 때, 경로 적분을 주회 적분이라고 부르기도 한다.

3. 1. 연속 함수에 대한 경로 적분

선적분을 정의하려면 먼저 복소수 값을 갖는 함수에 대한 실수 변수에 대한 적분을 고려해야 한다. `f: '''R''' → '''C'''`를 실수 변수 `t`의 복소수 값 함수라고 하자. `f`의 실수부와 허수부는 각각 `u(t)`와 `v(t)`로 표시되는 경우가 많으며, 다음과 같다.

`f(t) = u(t) + iv(t)`

그런 다음, 구간 `[a, b]`에서 복소수 값 함수 `f`의 적분은 다음과 같이 주어진다.

`∫ab f(t) dt = ∫ab [u(t) + iv(t)] dt = ∫ab u(t) dt + i ∫ab v(t) dt`

이제 선적분을 정의하기 위해 `f: '''C''' → '''C'''`를 연속 함수에 대한 방향이 있는 매끄러운 곡선 `γ`라고 하자. `z: '''R''' → '''C'''`를 순서(방향)와 일치하는 `γ`의 임의의 매개변수화라고 하자. 그러면 `γ`를 따라 적분은 다음과 같이 표시된다.

`∫γ f(z) dz`

그리고 다음과 같이 주어진다.^[6]

`∫γ f(z) dz := ∫ab f(z(t)) z'(t) dt`

이 정의는 잘 정의되어 있다. 즉, 결과는 선택된 매개변수화에 독립적이다.^[6] 오른쪽에 있는 실수 적분이 존재하지 않는 경우 `γ`를 따른 적분이 존재하지 않는다고 한다.

리만 적분을 복소 변수의 함수로 일반화하는 것은 실수에서 함수에 대한 정의와 완전히 유사하게 수행된다. 유향 매끄러운 곡선 `γ`의 분할은 `γ` 위에 있는 유한하고 정렬된 점의 집합으로 정의된다. 곡선에 대한 적분은 분할의 점들에서 취한 함수 값의 유한 합의 극한이며, 분할에서 두 개의 연속적인 점 사이의 최대 거리(2차원 복소 평면에서), 즉 메쉬가 0으로 가는 극한에서 수행된다.

4. 직접 계산

다변수 미적분학에서 선적분을 계산하듯이 직접 적분을 계산한다. 이 계산은 다음의 과정을 거친다.^[1]

경로를 매개변수화한다.
적분을 매개변수로 치환한다.
직접 계산한다.

여기서 경로를 매개변수화한다는 것은, 경로를 실변수의 미분 가능한 복소수 값 함수로 나타내거나, 경로가 여러 조각으로 나뉘어 있을 경우 각각을 매개변수화하는 것을 의미한다. 이렇게 매개변수화된 함수를 피적분 함수에 대입하면 복소수 적분은 하나의 실변수 적분으로 변환된다. 그 후, 실변수 적분과 유사한 방식으로 직접 계산을 수행한다.

4. 1. 예

다변수 미적분학에서 선적분을 계산하듯이 직접 적분을 계산할 수 있다. 이 계산은 다음의 과정을 거친다.^[1]

경로를 매개변수화 한다.
적분을 매개변수로 치환한다.
직접 계산한다.

적분 경로가 단위원일 경우

z^{-1}

의 경로적분값을 직접 계산해 보자. 즉, 다음 적분을 계산하면 된다.^[1]

:

\oint_C {1 \over z}\,dz

이 적분을 하기 위해 단위원을 매개변수화 한다.

t \in [0, 2\pi]

일 때,

z(t) = e^{it}

가 되므로

dz/dt = ie^{it}

가 된다. 따라서 다음과 같이 계산된다.^[1]

:

\begin{align}\oint_C {1 \over z}\,dz & {} = \int_0^{2\pi} {1 \over e^{it}} \, ie^{it}\,dt =  i\int_0^{2\pi} 1 \,dt \\& {} = \Big[t\Big]_0^{2\pi} i=(2\pi-0)i = 2\pi i\end{align}

이 결과는 z의 지수가 -1인 경우에만 적용된다. 지수가 -1이 아닌 경우 결과는 항상 0이 된다.^[1]

5. 적분 정리들의 응용

코시 적분 정리나 유수 정리 등 몇 가지 알려진 정리들을 활용하여 복소함수 적분을 계산할 수 있다.

예를 들어, 다음과 같은 적분을 살펴보자.

: $\int_{-\infty}^\infty {e^{itx} \over x^2+1}\,dx$

이 적분은 초등 미적분학으로는 계산하기 어렵다. 하지만, 다음과 같은 복소함수의 적분을 이용하면 계산할 수 있다.

: $\int_C {e^{itz} \over z^2+1}\,dz.$

$e^{itz}$ 는 전해석 함수이므로, 이 함수는 분모가 0이 되는 지점에서만 특이점을 가진다. 유수를 계산하여 유수 정리를 적용하면 전체 경로의 적분값을 얻을 수 있다. 이 경로는 실수축을 따르는 직선 부분과 반원 호 부분으로 나눌 수 있으며, $t$ 의 부호에 따라 경로를 다르게 선택해야 한다. (자세한 내용은 하위 섹션 참고)

이처럼 적분 정리는 경계선을 따라 적분을 평가하는 데 사용되며, 실수 값 적분은 경계선 적분과 동시에 계산된다.

5. 1. 예 1

코시 적분 정리나 유수 정리를 활용하여 다음 적분을 계산할 수 있다.

:

\int_{-\infty}^{\infty} {1 \over (x^2+1)^2}\,dx

이 적분을 하기 위해 다음과 같은 복소함수를 생각한다.

:

f(z)={1 \over (z^2+1)^2}

이 함수는

i

와

-i

에서 특이점을 갖는다. 우측 그림과 같은 경로를 선택하면, 실수축을 따라가는 적분 부분을 계산할 수 있다.

코시 적분 공식과 유수 정리를 이용하는 두 가지 방법으로 계산이 가능하다. 이 경로를

C

라고 하면, 하위 섹션에서 계산하는 과정을 볼 수 있으며, 최종적으로 다음 결과를 얻는다.

:

\int_{-\infty}^{\infty} {1 \over (x^2+1)^2}\,dx = {\pi\over 2}.

5. 1. 1. 코시 적분 공식을 이용한 계산

먼저 다음 식을 고려한다.

:

\oint_C f(z)\,dz = \int_{-a}^a f(z)\,dz + \int_\text{Arc} f(z)\,dz

따라서 다음이 성립한다.

:

\int_{-a}^a f(z)\,dz = \oint_C f(z)\,dz - \int_\text{Arc} f(z)\,dz

여기서 Arc는 반원의 가장자리를 따라가는 경로를 의미한다.

또한, 다음이 성립한다.

:

f(z)={1 \over (z^2+1)^2}={1 \over (z+i)^2(z-i)^2}.

폐곡선이 감싸는 영역 내에

i

에서 특이점이 발생하므로, 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

f(z)={{1 \over (z+i)^2} \over (z-i)^2},

이제 코시 적분 공식을 직접 적용하면 다음과 같이 계산된다.

:

\begin{align}\oint_C f(z)\,dz & = \oint_C {1 \over (z^2+1)^2}\,dz = \oint_C {{1 \over (z+i)^2} \over (z-i)^2}\,dz = 2\pi i \frac{d}{dz} \left(\left.{1 \over (z+i)^2}\right)\right|_{z=i} \\& =2 \pi i \left.\left({-2 \over (z+i)^3}\right)\right|_{z = i} =2 \pi i (-i/4)={\pi\over 2}\end{align}

위 단계에서 첫 번째 도함수를 구했는데, 이는 극이 2차 극이기 때문이다. 즉,

(z-i)

가 2제곱으로 취해지므로,

f(z)

의 첫 번째 도함수를 사용한다.

추정 보조정리를 사용하여 반원의 호에 대한 적분이

a \rightarrow \infty

일 때 0으로 수렴함을 보일 수 있다.

:

\left|\int_\text{Arc} f(z)\,dz\right| \le ML

여기서

M

은 호를 따라

|f(z)|

의 상한이고,

L

은 반원 가장자리의 길이이다.

:

\int_\text{Arc} f(z)\,dz \le {a\pi \over (a^2-1)^2} \rightarrow 0\ \mathrm{as}\ a \rightarrow \infty.

그러므로

:

\int_{-\infty}^{\infty} {1 \over (x^2+1)^2}\,dx = \int_{-\infty}^\infty f(z)\,dz = \lim_{a \rightarrow +\infty} \int_{-a}^a f(z)\,dz = {\pi\over 2}.\quad\square

5. 1. 2. 유수 정리를 이용한 계산

f(z)

의 로랑 급수를

i

에서 전개하면 다음과 같다.

:

f(z) = {-1 \over 4(z-i)^2} + {-i \over 4(z-i)} + {3 \over 16} + {i \over 8}(z-i) + {-5 \over 64}(z-i)^2 + \cdots

이 급수에서 유수(residue)는

-i/4

임을 알 수 있다. 따라서 유수 정리에 의해 다음을 얻는다.

:

\oint_C f(z)\,dz = \oint_C {1 \over (z^2+1)^2}\,dz = 2 \pi i \,\mathrm{Res}_{z=i} f = 2 \pi i (-i/4)={\pi\over 2}

한편,

f(z)={1 \over (z^2+1)^2}={1 \over (z+i)^2(z-i)^2}

이고, 폐곡선 내부의 2차 극점

i

가 존재하므로, 코시의 적분 공식에 의해

:

\oint_C f(z)\,dz = 2\pi i \frac{d}{dz} \left({1 \over (z+i)^2}\right)\Bigg|_{z=i} =2 \pi i \left(\frac{-2}{(z+i)^3}\right)\Bigg|_{z = i} =\frac{\pi}{2}

가 성립한다. 위 식에서 2차 극이므로 첫 번째 도함수를 사용했다. 만약

(z - i)

가 3제곱이었다면 두 번째 도함수를 사용하고

2!

로 나누었을 것이다.

추정 보조정리에 의해 반원의 호에 대한 적분은

a \to \infty

일 때 0으로 수렴한다. 즉,

:

\left|\int_\text{Arc} f(z)\,dz\right| \le ML

(

M

은 호에서

|f(z)|

의 상한,

L

은 호의 길이) 이고,

:

\left|\int_\text{Arc} f(z)\,dz\right|\le \frac{a\pi}{\left(a^2-1\right)^2} \to 0 \text{ as } a \to \infty.

이다. 따라서,

:

\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\left(x^2+1\right)^2}\,dx = \int_{-\infty}^\infty f(z)\,dz = \lim_{a \to +\infty} \int_{-a}^a f(z)\,dz = \frac{\pi}2

이다.

다른 특이점

-i

를 포함하는 반원을 택하지 않은 이유는, 실수축을 따른 적분이 올바른 방향으로 진행되려면 경로가 시계 방향(음의 방향)이어야 하므로 전체 적분의 부호가 반대가 되기 때문이다. 이는 잔류 정리를 이용한 방법에는 영향을 주지 않는다.

5. 2. 예 2

이 적분은 초등 미적분학으로는 계산하기 어렵지만, 복소함수를 이용하여 경로 적분으로 계산할 수 있다. 다음 복소함수의 적분을 고려한다.

:

\int_C {e^{itz} \over z^2+1}\,dz.

e^itz^영어는 전해석 함수이므로, 이 함수는 분모가 0이 되는 지점, 즉

z = i

또는

z = -i

에서만 특이점을 가진다. 이 중

z = i

에서의 유수를 계산하면 다음과 같다.

:

\lim_{z\to i}(z-i)f(z)=\lim_{z\to i}(z-i){e^{itz} \over z^2+1}=\lim_{z\to i}(z-i){e^{itz} \over (z-i)(z+i)}

:

=\lim_{z\to i}{e^{itz} \over z+i}={e^{iti} \over i+i}={e^{-t}\over 2i}.

유수 정리에 의해 전체 경로의 적분값은 다음과 같이 계산된다.

:

\int_C f(z)\,dz=2\pi i\cdot\operatorname{Res}_{z=i}f(z)=2\pi i{e^{-t} \over 2i}=\pi e^{-t}.

이 경로는 실수축을 따르는 직선 부분과 반원 호 부분으로 나눌 수 있다.

:

\int_{\mbox{straight}}+\int_{\mbox{arc}}=\pi e^{-t},

따라서

:

\int_{-a}^a =\pi e^{-t}-\int_{\mbox{arc}}.

가 된다.

t

의 부호에 따라 경로를 다르게 선택해야 한다.

$t > 0$ 인 경우, 요르단 보조정리에 의해

:

\int_{\mbox{arc}}{e^{itz} \over z^2+1}\,dz\rightarrow 0\ \mbox{as}\ a\rightarrow\infty.

이므로

:

\int_{-\infty}^\infty{e^{itz} \over z^2+1}\,dz=\pi e^{-t}.

$t < 0$ 인 경우, 아래쪽 반원을 경로로 취하면

:

\int_{-\infty}^\infty{e^{itz} \over z^2+1}\,dz=\pi e^t,

가 된다.

결론적으로,

:

\int_{-\infty}^\infty{e^{itz} \over z^2+1}\,dz=\pi e^{-\left|t\right|}.\quad\square

이다. (

t=0

일 경우는 실해석학으로 적분값이

\pi

임을 즉시 알 수 있다.)

이 결과는 확률론에서 코시 분포의 특성 함수를 구하는 데 사용된다.

5. 3. 예 3 – 삼각 적분

삼각 함수를 포함하는 적분은 특정 치환을 통해 복소 유리 함수로 변환하여 계산할 수 있다.

예시로 다음 적분을 고려해 보자.

:

\int_{-\pi}^\pi {1 \over 1 + 3 (\cos{t})^2} \,dt.

''z'' = ''e^it''^영어 로 치환하면,

:

\cos t = {1 \over 2} \left(e^{it}+e^{-it}\right) = {1 \over 2} \left(z+{1 \over z}\right)

:

{dz \over dt} = iz,\ dt = {dz \over iz}

이므로, C를 단위 원주라고 할때, 치환 적분은 다음과 같다.

:

\begin{align}\oint_C {1 \over 1 + 3 ({1 \over 2} (z+{1 \over z}))^2} \,{dz\over iz} &= \oint_C {1 \over 1 + {3 \over 4} (z+{1 \over z})^2}{1 \over iz} \,dz \\&= \oint_C {-i \over z+{3\over 4}z(z+{1\over z})^2}\,dz \\& = -i \oint_C { 1 \over z+{3\over 4}z(z^2+2+{1\over z^2})} \,dz \\& = -i \oint_C {1\over z+{3\over 4}(z^3+2z+{1 \over z})} \,dz \\&= -i \oint_C {1 \over {3\over 4 }z^3+{5 \over 2}z+{3 \over 4z}} \,dz \\& = -i \oint_C {4 \over 3z^3+10z+{3\over z}}\,dz \\&= -4i \oint_C {1 \over 3z^3+10z+{3\over z}}\,dz \\& = -4i \oint_C { z \over 3z^4+10z^2+3 } \,dz \\& = -4i \oint_C {z \over 3(z+\sqrt{3}i)\left(z-\sqrt{3}i\right)\left(z+\frac{i}{\sqrt{3}}\right)\left(z-\frac{i}{\sqrt{3}}\right)}\,dz \\& = -{4\over 3}i \oint_C {z \over (z+\sqrt{3}i)(z-\sqrt{3}i)\left(z+\frac{i}{\sqrt{3}}\right)\left(z-\frac{i}{\sqrt{3}}\right)}\,dz.\end{align}

여기서 특이점은

\tfrac{\pm i}{\sqrt{3}}

이다.

C_1

을

\tfrac{i}{\sqrt{3}}

을 둘러싸는 작은 원,

C_2

를

\tfrac{-i}{\sqrt{3}}

를 둘러싸는 작은 원이라 하면,

:

\begin{align}&-\frac{4}{3}i \left [ \oint_{C_1} \frac{\frac{z}{(z+\sqrt{3}i)(z-\sqrt{3}i)\left(z+\frac{i}{\sqrt{3}} \right)}}{z-\frac{i}{\sqrt{3}}}\,dz +\oint_{C_2} \frac{\frac{z}{(z+\sqrt{3}i)(z-\sqrt{3}i)\left(z-\frac{i}{\sqrt{3}}\right)}}{z+\frac{i}{\sqrt{3}}} \, dz \right ] \\&= -\frac{4}{3}i \left[ 2\pi i \left(\frac{z}{(z+\sqrt{3}i)(z-\sqrt{3}i)(z+\frac{i}{\sqrt{3}})}\right)\Bigg|_{z=\frac{i}{\sqrt{3}}} + 2\pi i \left(\frac{z}{(z+\sqrt{3}i)(z-\sqrt{3}i)(z-\frac{i}{\sqrt{3}})} \right)\Bigg|_{z=-\frac{i}{\sqrt{3}}}\right] \\&= \frac{8\pi}{3} \left[\frac{\frac{i}{\sqrt{3}}}{(\frac{i}{\sqrt{3}}+\sqrt{3}i)(\frac{i}{\sqrt{3}}-\sqrt{3}i)(\frac{i}{\sqrt{3}}+\frac{i}{\sqrt{3}})} + \frac{-\frac{i}{\sqrt{3}}}{(-\frac{i}{\sqrt{3}}+\sqrt{3}i)(-\frac{i}{\sqrt{3}}-\sqrt{3}i)(-\frac{i}{\sqrt{3}}-\frac{i}{\sqrt{3}})} \right] \\&= \frac{8\pi}{3} \left[\frac{\frac{i}{\sqrt{3}}}{(\frac{4}{\sqrt{3}}i)(-\frac{2}{i\sqrt{3}})(\frac{2}{\sqrt{3}i})}+\frac{-\frac{i}{\sqrt{3}}}{-i(\frac{2}{\sqrt{3}})(\frac{4}{\sqrt{3}})(\frac{2}{\sqrt{3}})}\right] \\&= \frac{8\pi}{3}\left[\frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{(\frac{4}{\sqrt{3}})(\frac{2}{\sqrt{3}})(\frac{2}{\sqrt{3}})}+\frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{(\frac{2}{\sqrt{3}})(\frac{4}{\sqrt{3}})(\frac{2}{\sqrt{3}})}\right] \\&= \frac{8\pi}{3}\left[\frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{16}{3\sqrt{3}}}+\frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{16}{3\sqrt{3}}} \right] \\&= \frac{8\pi}{3}\left[\frac{3}{16} +  \frac{3}{16} \right] = \pi.\end{align}

이 적분은 유수 정리를 사용하여 계산할 수 있으며, 그 값은

\pi

이다.

5. 3. 1. 일반적인 절차

삼각 함수를 포함하는 적분의 일반적인 절차는 다음과 같다.

먼저, 적분을 복소 변수의 유리 함수로 변환하기 위해 특정 치환을 사용한다. 예를 들어, 다음 적분을 고려해 보자.

:

\int_{-\pi}^\pi \frac{1}{1 + 3(\cos t)^2} \, dt.

이 경우,

z = e^{it}

로 치환한다. 그러면 다음이 성립한다.

:

\cos t = \frac{1}{2}(e^{it} + e^{-it}) = \frac{1}{2}(z + \frac{1}{z})

그리고

:

\frac{dz}{dt} = iz, \quad dt = \frac{dz}{iz}.

C

를 단위 원이라고 하면, 치환을 통해 다음을 얻는다.

:

\oint_C \frac{1}{1 + 3(\frac{1}{2}(z + \frac{1}{z}))^2} \frac{dz}{iz} = \oint_C \frac{-iz}{z + \frac{3}{4}z(z^2 + 2 + \frac{1}{z^2})} dz = -4i \oint_C \frac{z}{3z^4 + 10z^2 + 3} dz.

이 적분은 복소함수론의 유수 정리를 사용하여 계산할 수 있다.

일반적으로, 다음 형식의 적분을 고려해 보자.

:

\int_0^{2\pi} \frac{P(\sin(t), \sin(2t), \ldots, \cos(t), \cos(2t), \ldots)}{Q(\sin(t), \sin(2t), \ldots, \cos(t), \cos(2t), \ldots)} dt

여기서

P

와

Q

는 다항식이다. 즉, 삼각 함수 항의 유리 함수를 적분하는 것이다. 적분 범위는

\pi

와

-\pi

, 또는

2\pi

간격의 다른 임의의 종점일 수 있다.

이때,

z = e^{it}

치환을 사용하면

dz = ie^{it} dt

이므로 다음이 성립한다.

:

\frac{1}{iz} dz = dt.

이 치환은 구간

[0, 2\pi]

를 단위 원에 매핑한다. 또한,

:

\sin(kt) = \frac{e^{ikt} - e^{-ikt}}{2i} = \frac{z^k - z^{-k}}{2i},

:

\cos(kt) = \frac{e^{ikt} + e^{-ikt}}{2} = \frac{z^k + z^{-k}}{2}

이므로, 치환 결과

z

의 유리 함수

f(z)

가 생성되고, 적분은 다음과 같이 된다.

:

\oint_{|z|=1} f(z) \frac{1}{iz} dz.

이 적분은 단위 원 내부의

f(z)\frac{1}{iz}

의 잔차를 합산하여 계산할 수 있다.

예를 들어, 다음 적분을 계산해 보자.

:

I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1 + (\sin t)^2} dt.

먼저, 다음이 성립한다.

:

I = \frac{1}{4} \int_0^{2\pi} \frac{1}{1 + (\sin t)^2} dt.

치환하면 다음을 얻는다.

:

\frac{1}{4} \oint_{|z|=1} \frac{4iz}{z^4 - 6z^2 + 1} dz = \oint_

5. 4. 예 4 – 분기 절단

다음 실적분을 고려한다.:

\int_0^\infty \frac{\sqrt x}{x^2+6x+8}\,dx.

다음과 같이 복소 적분으로 나타낼 수 있다.

:

\int_C \frac{\sqrt z}{z^2+6z+8}\,dz=I.

코시 적분 공식 또는 유수 정리를 사용하여 관련 유수를 얻을 수 있다. 그러나 이므로, 은 분기 절단을 갖는다는 점에 유의해야 한다. 이는 윤곽선 의 선택에 영향을 준다. 일반적으로 로그 분기 절단은 음의 실수축으로 정의되지만, 이렇게 하면 적분 계산이 다소 복잡해지므로, 양의 실수축으로 정의한다.

그런 다음, 소위 "키홀 윤곽선"을 사용하는데, 이는 반경 의 원점을 중심으로 하는 작은 원, 양의 실수축과 평행하고 가깝지만 접촉하지는 않는 선분, 거의 완전한 원, 음의 방향으로 양의 실수축과 평행하고 가깝고 아래에 있는 선분, 중간의 작은 원으로 돌아오는 경로로 구성된다.

및 가 큰 원 안에 있다는 점에 유의한다. 이들은 피적분식의 분모를 인수분해하여 얻을 수 있는 두 개의 나머지 극점이다. 에서의 분기점은 원점을 우회하여 피한다.

를 반경 의 작은 원, 를 반경 의 더 큰 원이라고 하면, 다음과 같이 분해할 수 있다.

:

\int_C = \int_\varepsilon^R + \int_\Gamma + \int_R^\varepsilon + \int_\gamma.

및 로 갈 때 및 에 대한 적분은 모두 0으로 수렴하며, 두 개의 항이 남는다. 이므로, 분기 절단 바깥의 윤곽선 를 따라 인수가 2만큼 증가한다. 따라서

:

\begin{align}\int_R^\varepsilon \frac{\sqrt z}{z^2+6z+8}\,dz&=\int_R^\varepsilon \frac{e^{\frac12 \operatorname{Log} z}}{z^2+6z+8}\,dz \\[6pt]&=\int_R^\varepsilon \frac{e^{\frac12(\log|z|+i \arg{z})}}{z^2+6z+8}\,dz \\[6pt]& = \int_R^\varepsilon \frac{ e^{\frac12\log|z|}e^{\frac12(2\pi i)}}{z^2+6z+8}\,dz\\[6pt]&=\int_R^\varepsilon \frac{ e^{\frac12\log|z|}e^{\pi i}}{z^2+6z+8}\,dz \\[6pt]& = \int_R^\varepsilon \frac{-\sqrt z}{z^2+6z+8}\,dz\\[6pt]&=\int_\varepsilon^R \frac{\sqrt z}{z^2+6z+8}\,dz.\end{align}

그러므로

:

\int_C \frac{\sqrt z}{z^2+6z+8}\,dz=2\int_0^\infty \frac{\sqrt x}{x^2+6x+8}\,dx.

유수 정리 또는 코시 적분 공식(부분 분수 방법을 사용하여 두 개의 단순한 윤곽 적분 합을 도출)을 사용하면 다음을 얻는다.^[13]

:

\pi i \left(\frac{i}{\sqrt 2}-i\right)=\int_0^\infty \frac{\sqrt x}{x^2+6x+8}\,dx = \pi\left(1-\frac{1}{\sqrt 2}\right).\quad\square

5. 5. 예 5 – 로그의 제곱

This section^영어에서는 다음 적분을 다룬다.

:

\int_0^\infty \frac{\log(x)}{(1+x^2)^2} \, dx

이 적분을 계산하기 위해 다음 함수를 사용한다.

:

f(z) = \left (\frac{\log(z)}{1+z^2} \right )^2

그리고

-\pi < \arg(z) \le \pi

에 대응하는 로그 함수의 가지를 생각한다.

오른쪽 그림에 나타낸 것과 같은 열쇠 구멍 적분 경로를 따라 ''f''(''z'')의 복소선 적분을 계산한다. 이 적분은 처음에 나타낸 실수 적분의 상수배이고, 적분값은 잔류 정리에 의해 다음과 같이 계산할 수 있다.

:

\begin{align}\left( \int_R + \int_M + \int_N + \int_r \right) f(z) \, dz &= 2 \pi i \left( \mathrm{Res}_{z=i} f(z) + \mathrm{Res}_{z=-i} f(z) \right) \\&= 2 \pi i \left( - \frac{\pi}{4} + \frac{1}{16} i \pi^2 - \frac{\pi}{4} - \frac{1}{16} i \pi^2 \right) \\&= - i \pi^2\end{align}

''R''과 ''r''을 각각 큰 원, 작은 원의 반지름으로 하고, 위쪽의 선분을 ''M'', 아래쪽의 선분을 ''N''으로 쓴다. ''R'' → ∞ 및 ''r'' → 0의 극한은 아직 취하지 않았다. 두 원주 부분으로부터의 적분의 기여는 모두 극한을 취하면 사라진다. 예를 들어, ML 보조정리에 의해 큰 원을 따라 적분은 다음과 같이 위에서 억제된다.

:

\left| \int_R f(z) \, dz \right| \le 2 \pi R \frac{(\log(R))^2 + \pi^2}{(R^2-1)^2} \to 0

''M'', ''N''을 따라 적분값을 계산하기 위해, ''M'' 위에서는

z =-x + i\epsilon

, ''N'' 위에서는

z = -x - i\epsilon

(0 < ''x'' < ∞)라고 하면,

:

\begin{align}

i \pi^2 &= \left( \int_R + \int_M + \int_N + \int_r \right) f(z) \, dz \\

&= \left( \int_M + \int_N \right) f(z)\, dz \\&=-\int_\infty^0 \left (\frac{\log(-x + i\epsilon)}{1+(-x + i\epsilon)^2} \right )^2\, dx - \int_0^\infty \left (\frac{\log(-x - i\epsilon)}{1+(-x - i\epsilon)^2}\right)^2 \, dx \\&= \int_0^\infty \left (\frac{\log(-x + i\epsilon)}{1+(-x + i\epsilon)^2} \right )^2 \, dx - \int_0^\infty \left (\frac{\log(-x - i\epsilon)}{1+(-x - i\epsilon)^2} \right )^2 \, dx \\&= \int_0^\infty \left (\frac{\log(x) + i\pi}{1+x^2} \right )^2 \, dx - \int_0^\infty \left (\frac{\log(x) - i\pi}{1+x^2} \right )^2 \, dx \\&= \int_0^\infty \frac{(\log(x) + i\pi)^2 - (\log(x) - i\pi)^2}{(1+x^2)^2} \, dx \\&= \int_0^\infty \frac{4 \pi i \log(x)}{(1+x^2)^2} \, dx \\&= 4 \pi i \int_0^\infty \frac{\log(x)}{(1+x^2)^2} \, dx\end{align}

따라서,

:

\int_0^\infty \frac{\log(x)}{(1+x^2)^2} \, dx = - \frac{\pi}{4}.

5. 6. 예 6 – 로그와 무한대에서의 유수

이 섹션에서는 로그 함수와 무한대에서의 유수를 사용하여 다음 적분을 계산하는 방법을 예시를 통해 설명한다.

계산하고자 하는 적분은 다음과 같다.

:

I = \int_0^3 \frac{x^\frac34 (3-x)^\frac14}{5-x}\,dx.

이를 위해 다음 함수를 정의한다.

:

f(z) = z^\frac34 (3-z)^\frac14.

f(z)

는 절단선이 [0, 3]이 되도록 구성한다. 이를 위해 두 개의 로그 분기를 선택한다.

:

z^\frac34 = \exp \left (\frac34 \log z \right ) \quad \mbox{where } -\pi \le \arg z < \pi

:

(3-z)^\frac14 = \exp \left (\frac14 \log(3-z) \right ) \quad \mbox{where } 0 \le \arg(3-z) < 2\pi.

z^\frac34

의 절단선은

(-\infty, 0]

이고,

(3-z)^\frac14

의 절단선은

(-\infty, 3]

이다.

f(z)

는

(-\infty, 0)

을 가로질러 연속이므로,

f(z)

의 절단선은 [0, 3]이다.

그림의 녹색 윤곽선을 사용하면, 코시 적분 정리에 의해 다음을 얻는다.

:

(-i + 1) I = -2\pi i \left( \operatorname{Res}_{z=5} \frac{f(z)}{5-z} + \operatorname{Res}_{z=\infty} \frac{f(z)}{5-z} \right).

여기서,

:

\operatorname{Res}_{z=5} \frac{f(z)}{5-z} = - 5^\frac34 e^{\frac14 \log(-2)} = -e^{\frac14 \pi i} 5^\frac34 2^\frac14.

무한대에서의 잔류물은 다음 공식을 사용한다.

:

\operatorname{Res}_{z=\infty} h(z) = \operatorname{Res}_{z=0} \left(- \frac{1}{z^2} h\left(\frac{1}{z}\right)\right).

계산하면,

:

\operatorname{Res}_{z=\infty} \frac{f(z)}{5-z} = e^{\frac14 \pi i} \left (5 - \frac34 \right ) = e^{\frac14 \pi i}\frac{17}{4}.

최종적으로,

I

의 값은 다음과 같다.

:

I = 2 \pi i \frac{e^{\frac14 \pi i}}{-1+i} \left(\frac{17}{4} - 5^\frac34 2^\frac14 \right) = 2 \pi 2^{-\frac12} \left(\frac{17}{4} - 5^\frac34 2^\frac14 \right)

:

I = \frac{\pi}{2\sqrt 2} \left(17 - 5^\frac34 2^\frac94 \right) = \frac{\pi}{2\sqrt 2} \left(17 - 40^\frac34 \right).

6. 유수 정리를 이용한 계산

유수 정리를 사용하면 닫힌 경로 적분을 계산할 수 있다. 다음은 유수 정리를 사용하여 경로 적분을 계산하는 예시이다.

유수 정리를 사용하여 다음 경로 적분을 계산해 보자.

: $\oint_C \frac{e^z}{z^3}\,dz$

유수 정리는 다음과 같다.

: $\oint_{C} f(z) dz=2\pi i\cdot \sum\operatorname{Res}(f,a_k)$

여기서 $\operatorname{Res}$ 는 $f(z)$ 의 유수이고, $a_k$ 는 경계 $C$ 내부에 있는 $f(z)$ 의 특이점이다(그 중 어느 것도 $C$ 위에 직접 있지 않다).

$f(z)$ 는 단 하나의 극점 $0$ 을 가진다. 이를 통해 $f(z)$ 의 유수가 $\tfrac{1}{2}$ 임을 알 수 있다.

: $\begin{align}\oint_C f(z) dz&=\oint_C \frac{e^z}{z^3}dz\\&=2\pi i \cdot \operatorname{Res}_{z=0} f(z)\\&=2\pi i\operatorname{Res}_{z=0} \frac{e^z}{z^3}\\&=2\pi i \cdot \frac{1}{2}\\&=\pi i\end{align}$

따라서 유수 정리를 사용하면 다음과 같이 결정할 수 있다.

: $\oint_C \frac{e^z}{z^3} dz = \pi i.$

7. 다변수 경로 적분

다변수 선적분(면적분, 복소 체적분, 고차 적분)을 풀기 위해서는 발산 정리를 사용해야 한다. $\nabla \cdot$ 는 $\operatorname{div}$ 와 상호 교환 가능하며, 이 둘은 모두 $\mathbf{F}$ 로 표시되는 벡터장의 발산으로 작용한다. 발산 정리는 다음과 같다.

: $\underbrace{\int \cdots \int_U}_n \operatorname{div}(\mathbf{F}) \, dV = \underbrace{ \oint \cdots \oint_{\partial U} }_{n-1} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS$

$\nabla\cdot \mathbf{F}$ 는 $\operatorname{div} (\mathbf{F})$ 의 다른 표기법이며, 모든 차원의 발산은 다음과 같이 설명할 수 있다.

: $\begin{align}\operatorname{div}(\mathbf{F}) &=\nabla\cdot\mathbf{F}\\&= \left(\frac{\partial}{\partial u}, \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}, \dots \right) \cdot (F_u,F_x,F_y,F_z,\dots)\\&=\left(\frac{\partial F_u}{\partial u} + \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z} + \cdots \right)\end{align}$

다변수 경로 적분의 예시는 "예 1"과 "예 2"에서 확인할 수 있다.

7. 1. 예 1

벡터장

\mathbf{F}=\sin(2x)\mathbf{e}_x+\sin(2y)\mathbf{e}_y+\sin(2z)\mathbf{e}_z

이고, 제한 범위는 다음과 같다.

:

{0\leq x\leq 1} \quad {0\leq y\leq 3} \quad {-1\leq z\leq 4}

이 경우 이중 선적분은 다음과 같이 설정된다.

:

\mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS

이제

\nabla\cdot\mathbf{F}

를 계산하고, 동시에 삼중 적분을 설정한다.

:

\begin{align}&=\iiint_V \left(\frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}\right) dV\\[6pt]&=\iiint_V \left(\frac{\partial \sin(2x)}{\partial x} + \frac{\partial \sin(2y)}{\partial y} + \frac{\partial \sin(2z)}{\partial z}\right) dV\\[6pt]&=\iiint_V 2 \left(\cos(2x) + \cos(2y) + \cos(2z)\right) dV \\[6pt]&=\int_{0}^{1}\int_{0}^{3}\int_{-1}^{4} 2(\cos(2x)+\cos(2y)+\cos(2z))\,dx\,dy\,dz \\[6pt]&=\int_{0}^{1}\int_{0}^{3}(10\cos(2y)+\sin(8)+\sin(2)+10\cos(z))\,dy\,dz\\[6pt]&=\int_{0}^{1}(30\cos(2z)+3\sin(2)+3\sin(8)+5\sin(6))\,dz\\[6pt]&=18\sin(2)+3\sin(8)+5\sin(6)\end{align}

7. 2. 예 2

벡터장

\mathbf{F}=u^4\mathbf{e}_u+x^5\mathbf{e}_x+y^6\mathbf{e}_y+z^{-3}\mathbf{e}_z

에 대한 다변수 경로 적분을 계산하는 과정을 살펴본다. 이 경우 4개의 매개변수 (

u, x, y, z

)가 있음을 알 수 있다. 이 벡터장은 다음 경계에 의해 제한된다.

:

{0\leq x\leq 1} \quad {-10\leq y\leq 2\pi} \quad {4\leq z\leq 5} \quad {-1\leq u\leq 3}

이 적분을 계산하기 위해 발산 정리를 활용하고,

\nabla\cdot\mathbf{F}

를 계산해야 한다. 여기서

dV = dx \, dy \, dz \, du

이다.

:

\begin{align}&=\iiiint_V \left(\frac{\partial F_u}{\partial u} + \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}\right)\,dV\\[6pt]&=\iiiint_V \left(\frac{\partial u^4}{\partial u} + \frac{\partial x^5}{\partial x} + \frac{\partial y^6}{\partial y} + \frac{\partial z^{-3}}{\partial z}\right)\,dV\\[6pt]&=\iiiint_V \left(4u^3 + 5x^4 + 6y^5 - 3z^{-4}\right) \,dV \\[6pt]&= \int_{0}^{1}\int_{-10}^{2\pi}\int_{4}^{5}\int_{-1}^{3} \left(4u^3 + 5x^4 + 6y^5 - 3z^{-4}\right) \,du\,dz\,dy\,dx\\[6pt]&=\int_{0}^{1}\int_{-10}^{2\pi}\int_{4}^{5} \left[u^4 + 5x^4u + 6y^5u - 3uz^{-4}\right]_{-1}^{3} \,dz\,dy\,dx\\[6pt]&=\int_{0}^{1}\int_{-10}^{2\pi}\int_{4}^{5} \left(80 + 20x^4 + 24y^5 - \frac{120}{z^4}\right) \,dz\,dy\,dx\\[6pt]&=\int_{0}^{1}\int_{-10}^{2\pi} \left[80z + 20x^4z + 24y^5z + \frac{40}{z^3}\right]_{4}^{5} \,dy\,dx\\[6pt]&=\int_{0}^{1}\int_{-10}^{2\pi} \left(80 + 20x^4 + \frac{93}{250} + 24y^5\right) \,dy\,dx\\[6pt]&=\int_{0}^{1} \left[80y + 20x^4y + \frac{93}{250}y + 4y^6\right]_{-10}^{2\pi} \,dx\\[6pt]&=\int_{0}^{1} \left(80(2\pi+10) + 20x^4(2\pi+10) + \frac{93}{250}(2\pi+10) + 4((2\pi)^6 - (-10)^6) \right) \,dx\\[6pt]&=\int_{0}^{1} \left(160\pi + 800 + 40\pi x^4 + 200x^4 + \frac{93\pi}{125} + \frac{93}{25} + 256\pi^6 - 4000000 \right) \,dx\\[6pt]&=\left[160\pi x + 800x + 8\pi x^5 + 40x^5 + \frac{93\pi}{125}x + \frac{93}{25}x + 256\pi^6x - 4000000x \right]_{0}^{1} \\[6pt]&=160\pi + 800 + 8\pi + 40 + \frac{93\pi}{125} + \frac{93}{25} + 256\pi^6 - 4000000 \\[6pt]&\approx{576468.77}\end{align}

따라서,

n=4

인 경우의 선적분을 계산할 수 있다. 이와 같은 방법을 사용하여

n>4

인 모든 벡터장에 대한 선적분 또한 계산할 수 있다.

8. 적분 표현

함수의 '''적분 표현'''은 윤곽 적분을 포함하는 함수의 표현식이다. 많은 특수 함수에 대해 다양한 적분 표현이 알려져 있다. 적분 표현은 해석적 연속 또는 함수 방정식을 제공하는 등의 이론적인 이유로 중요할 수 있으며, 때로는 수치적 평가에도 유용할 수 있다.^[1]

예를 들어, 리만 제타 함수 ζ(s)|ζ(s)^영어의 원래 정의는 디리클레 급수를 통해 다음과 같다.^[1]

:

이는 Re(s) > 1|Re(s) > 1^영어에 대해서만 유효하다. 하지만 다음 식은^[1]

:

1이 아닌 모든 복소수 s에 대해 유효하다. 여기서 적분은 항켈 윤곽선 H|H^영어를 따라 수행된다.^[1]

참조

_[1] 서적 Complex Analysis: Fundamentals of the Classical Theory of Functions https://books.google[...] Springer
_[2] 서적 Complex Analysis Springer
_[3] 서적 Handbook of Complex Variables Springer
_[4] 서적 The Cauchy Method of Residues: Theory and Applications https://books.google[...] Springer
_[5] 서적 The Cauchy Method of Residues: Theory and Applications https://books.google[...] Springer
_[6] 서적 Fundamentals of Complex Analysis with Applications to Engineering, Science, and Mathematics https://books.google[...] Prentice Hall
_[7] 서적 Complex Analysis: Fundamentals of the Classical Theory of Functions https://books.google[...] Springer
_[8] 서적 Complex Analysis https://books.google[...] Springer
_[9] 서적 Handbook of Complex Variables https://books.google[...] Springer
_[10] 서적 The Cauchy Method of Residues: Theory and Applications https://books.google[...] Springer
_[11] 서적 Chapter 5 https://books.google[...]
_[12] 서적 Chapter 4 https://books.google[...]
_[13] 문서 （訳注）実軸に平行な路に沿った複素線積分の収束性については、厳密にはもう少し議論が要るように思われる（これに続く例でも同様）。

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