막 (끈이론)
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1. 개요
막(brane)은 끈 이론에서 사용되는 개념으로, 0차원의 점 입자, 1차원의 끈, 2차원의 멤브레인(membrane)을 일반화한 것이다. p-막은 (p+1)차원 부피를 가지며, D-막은 열린 끈의 끝점이 위치하는 중요한 막의 종류이다. D-막의 역학은 게이지 이론으로 설명되며, 이는 게이지 이론과 양자장론에 대한 통찰력을 제공한다. 또한, 막은 범주론을 사용하여 수학적으로 설명될 수 있으며, 위상 끈 이론에서 칼라비-야우 다양체의 부분 다양체로 나타난다. 호몰로지 거울 대칭은 이러한 막과 관련된 복소 기하학과 심플렉틱 기하학 사이의 연결을 제시한다.
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| 막 (끈이론) | |
|---|---|
| 기본 정보 | |
 | |
| 학문 분야 | 이론물리학 |
| 연구 분야 | 양자장론 일반 상대성이론 응집물질물리학 |
| 주요 개념 | 초대칭 칼라비-야우 다양체 D-막 끈 블랙홀 |
| 관련 이론 | |
| 관련 이론 | 초중력 M이론 양자 전기역학 양자 색역학 |
| 주요 학자 | |
| 주요 학자 | 가브리엘레 베네치아노 레너드 서스킨드 요이치로 남부 존 슈워츠 마이클 그린 에드워드 위튼 조지프 폴친스키 앤드루 스트로민저 컴런 바파 시바라주 라오 사미르 마투르 아쇽 센 |
| 역사 | |
| 시작 시점 | 1960년대 후반 |
| 해결해야 할 문제 | |
| 해결해야 할 문제 | 실험적 증거 부족 |
2. p-막
점 입자는 차원이 0인 0-막이다. 진동하는 현의 이름을 딴 끈은 1-막이다. 드럼헤드와 같은 진동 막의 이름을 딴 멤막은 2-막이다.[2] 임의의 p 차원에 해당하는 대상은 마이클 제임스 더프 등이 1988년에 만든 용어인 ''p''-막이라고 한다.[3]
''p''-막은 '''세계부피'''라고 불리는 시공간에서 (''p''+1)차원 부피를 쓸어낸다. 물리학자들은 종종 막의 세계 부피에 존재하는 전자기장과 유사한 장을 연구한다.[4]
2. 1. p-막과 세계부피
점 입자는 차원이 0인 0-막이다. 진동하는 현의 이름을 딴 끈은 1-막이다. 드럼헤드와 같은 진동 막의 이름을 딴 멤막은 2-막이다.[2] 임의의 p 차원에 해당하는 대상은 마이클 제임스 더프 등이 1988년에 만든 용어인 ''p''-막이라고 한다.[3]''p''-막은 세계부피라고 불리는 시공간에서 (''p''+1)차원 부피를 쓸어낸다. 물리학자들은 종종 막의 세계 부피에 존재하는 전자기장과 유사한 장을 연구한다.[4]
3. D-막
끈 이론에서 끈은 열려 있을 수도 있고(두 개의 끝점이 있는 선분을 형성함) 닫혀 있을 수도 있다(폐쇄 루프를 형성함). D-막은 열린 끈을 고려할 때 발생하는 중요한 막 종류이다. 열린 끈이 시공간을 통해 전파됨에 따라 그 끝점은 D-막에 있어야 한다. D-막의 문자 "D"는 D-막이 충족하는 디리클레 경계 조건을 나타낸다.[5]
D-막에 대한 한 가지 중요한 점은 D-막 세계 부피의 역학이 게이지 이론으로 설명된다는 것이다. 게이지 이론은 입자 물리학의 표준 모형 에서 기본 입자의 행동을 설명하는 데에도 사용되는 일종의 고도로 대칭적인 물리 이론이다. 이러한 연결은 게이지 이론과 양자장론에 대한 중요한 통찰력을 가져왔다. 예를 들어, 물리학자들이 게이지 이론의 어려운 문제를 수학적으로 다루기 쉬운 끈 이론의 문제로 변환하는 데 사용하는 이론적 도구인 AdS/CFT 대응이 발견되었다.[6]
3. 1. 열린 끈과 D-막
끈 이론에서 끈은 열려 있을 수도 있고(두 개의 끝점이 있는 선분을 형성함) 닫혀 있을 수도 있다(폐쇄 루프를 형성함). D-막은 열린 끈을 고려할 때 발생하는 중요한 막 종류이다. 열린 끈이 시공간을 통해 전파됨에 따라 그 끝점은 D-막에 있어야 한다.[5] D-막의 문자 "D"는 D-막이 충족하는 디리클레 경계 조건을 나타낸다.D-막 세계 부피의 역학이 게이지 이론으로 설명된다는 점은 D-막에 대한 중요한 점중 하나이다.[6] 게이지 이론은 입자 물리학의 표준 모형 에서 기본 입자의 행동을 설명하는 데에도 사용되는 일종의 고도로 대칭적인 물리 이론이다. 이러한 연결은 게이지 이론과 양자장론에 대한 중요한 통찰력을 가져왔다. 예를 들어, AdS/CFT 대응이 발견되어, 물리학자들이 게이지 이론의 어려운 문제를 수학적으로 다루기 쉬운 끈 이론의 문제로 변환하는 데 사용가능한 이론적 도구가 되었다.[6]
3. 2. D-막과 게이지 이론
끈 이론에서 끈은 열려 있을 수도 있고(두 개의 끝점이 있는 선분을 형성함) 닫혀 있을 수도 있다(폐쇄 루프를 형성함). D-막은 열린 끈을 고려할 때 발생하는 중요한 막 종류이다. 열린 끈이 시공간을 통해 전파됨에 따라 그 끝점은 D-막에 있어야 한다. D-막의 문자 "D"는 D-막이 충족하는 디리클레 경계 조건을 나타낸다.[5]D-막 세계 부피의 역학은 게이지 이론으로 설명된다. 게이지 이론은 입자 물리학의 표준 모형 에서 기본 입자의 행동을 설명하는 데에도 사용되는 일종의 고도로 대칭적인 물리 이론이다. 이러한 연결은 게이지 이론과 양자장론에 대한 중요한 통찰력을 가져왔다. 예를 들어, 물리학자들이 게이지 이론의 어려운 문제를 수학적으로 다루기 쉬운 끈 이론의 문제로 변환하는 데 사용하는 이론적 도구인 AdS/CFT 대응이 발견되었다.[6]
4. 막의 범주론적 설명
수학적으로 막은 범주론 개념을 사용하여 설명할 수 있다.[7] 이것은 ''대상''으로 구성된 수학적 구조이며 대상들의 쌍의 경우 대상들 사이의 ''사상''들의 집합이다. 대상은 어떤 종류의 수학적 구조(예: 집합, 벡터 공간 또는 위상 공간)이고 사상은 이러한 대상들 사이의 함수이다.[8] 마찬가지로 대상이 D-막들이고 임의의 두 막 와 사이의 사상들이 과 사이에 늘어진 열린 끈의 상태를 나타내는 범주를 고려할 수 있다.[9]
위상수학적 B-모형으로 알려진 끈 이론의 한 버전에서 D-막은 끈의 끝점에서 물리적으로 발생하는 추가 데이터와 함께 칼라비-야우 다양체라고 불리는 특정 6차원 모양의 복소 부분 다양체이다.[10] 직관적으로 부분 다양체는 칼라비-야우 다양체 내부에 매장된 곡면으로 생각할 수 있지만 부분 다양체는 2차원과 다른 차원으로 존재할 수도 있다.[11] 수학에서 이러한 막을 대상으로 갖는 범주는 칼라비-야우의 연접층의 유도 범주로 알려져 있다.[12] 위상수학적 A-모형이라고 불리는 또 다른 끈 이론 버전에서 D-막은 다시 칼라비-야우 다양체의 부분 다양체로 볼 수 있다. 대략적으로 말하자면, 수학자들이 특별한 라그랑주 부분다양체라고 부르는 것이다.[13] 이는 무엇보다도 그들이 앉는 공간의 크기가 절반이고 길이, 면적 또는 부피가 최소화된다는 것을 의미한다.[14] 이러한 막을 대상으로 하는 범주를 후카야 범주라고 한다.[15]
연접층의 유도 범주는 대수학 용어로 기하학적 모양을 설명하고 대수 방정식을 사용하여 기하학적 문제를 해결하는 수학의 한 분야인 복소기하학의 도구를 사용하여 구성된다.[16] 반면, 후카야 범주는 고전물리학 연구에서 발생한 수학의 한 분야 인 심플렉틱 기하학을 사용하여 구성된다. 심플렉틱 기하학은 2차원 예에서 면적을 계산하는 데 사용할 수 있는 수학적 도구인 심플렉틱 형식을 갖춘 공간을 연구한다.[17]
수학자 막심 콘체비치의 호몰로지 거울 대칭 추측은 하나의 칼라비-야우 다양체에 있는 연접층의 유도 범주가 완전히 다른 칼라비-야우 다양체의 후카야 범주와 어떤 의미에서 동일하다고 말한다.[18] 이러한 등가성은 기하학의 두 가지 가지, 즉 복소 기하학과 심플렉틱 기하학 사이에 예상치 못한 연결을 제공한다.[19]
4. 1. 범주론의 기본 개념
수학에서 막은 범주론 개념을 사용하여 설명할 수 있다.[7] 범주는 ''대상''과 대상들 사이의 ''사상''으로 구성된다.[7] 대상은 집합, 벡터 공간, 위상 공간과 같은 수학적 구조이고,[8] 사상은 이러한 대상들 사이의 함수이다.[8] D-막과 D-막 사이에 늘어진 열린 끈의 상태를 나타내는 사상으로 이루어진 범주를 생각할 수도 있다.[9]위상수학적 B-모형에서 D-막은 칼라비-야우 다양체의 복소 부분 다양체이다.[10] 이는 끈의 끝점에 붙어 있는 추가적인 데이터와 함께 나타난다.[10] 직관적으로, 부분 다양체는 칼라비-야우 다양체 안에 들어 있는 곡면으로 생각할 수 있다.[11] 하지만 부분 다양체는 2차원뿐만 아니라 다른 차원에도 존재할 수 있다.[11] 이러한 D-막을 대상으로 갖는 범주는 칼라비-야우의 연접층의 유도 범주로 알려져 있다.[12] 위상수학적 A-모형에서 D-막은 칼라비-야우 다양체의 특별한 라그랑주 부분다양체로 볼 수 있다.[13] 이는 D-막이 위치한 공간의 절반 차원이며, 길이, 면적, 부피가 최소화된다는 것을 의미한다.[14] 이러한 막을 대상으로 하는 범주는 후카야 범주라고 한다.[15]
연접층의 유도 범주는 복소기하학의 도구를 사용하여 구성된다.[16] 반면, 후카야 범주는 고전물리학에서 발생한 심플렉틱 기하학을 사용하여 구성된다.[17] 심플렉틱 기하학은 심플렉틱 형식을 갖춘 공간을 연구하며, 2차원 예에서 면적을 계산하는 데 사용될 수 있다.[17]
막심 콘체비치의 호몰로지 거울 대칭 추측은 하나의 칼라비-야우 다양체에 있는 연접층의 유도 범주가 다른 칼라비-야우 다양체의 후카야 범주와 동일하다고 주장한다.[18] 이러한 동등성은 복소 기하학과 심플렉틱 기하학 사이에 예상치 못한 연결을 제공한다.[19]
4. 2. 끈 이론과 범주론
수학적으로 막은 범주론 개념을 사용하여 설명할 수 있다.[7] 이것은 ''대상''으로 구성된 수학적 구조이며 대상들의 쌍의 경우 대상들 사이의 ''사상''들의 집합이다. 대상은 집합, 벡터 공간, 위상 공간과 같은 수학적 구조이고 사상은 이러한 대상들 사이의 함수이다.[8] 마찬가지로 대상이 D-막들이고 임의의 두 막 와 사이의 사상들이 과 사이에 늘어진 열린 끈의 상태를 나타내는 범주를 고려할 수 있다.[9]위상수학적 B-모형에서 D-막은 끈의 끝점에서 물리적으로 발생하는 추가 데이터와 함께 칼라비-야우 다양체라고 불리는 특정 6차원 모양의 복소 부분 다양체이다.[10] 위상수학적 A-모형에서 D-막은 칼라비-야우 다양체의 특별한 라그랑주 부분다양체로 볼 수 있다.[13]
이러한 막을 대상으로 갖는 범주는 칼라비-야우의 연접층의 유도 범주로 알려져 있으며, [12] 후카야 범주라고 불리는 범주가 있다.[15]
연접층의 유도 범주는 복소기하학의 도구를 사용하여 구성되는 반면,[16] 후카야 범주는 고전물리학 연구에서 발생한 심플렉틱 기하학을 사용하여 구성된다.[17]
수학자 막심 콘체비치의 호몰로지 거울 대칭 추측은 하나의 칼라비-야우 다양체에 있는 연접층의 유도 범주가 완전히 다른 칼라비-야우 다양체의 후카야 범주와 어떤 의미에서 동일하다고 말한다.[18] 이러한 등가성은 복소기하학과 심플렉틱 기하학 사이에 예상치 못한 연결을 제공한다.[19]
4. 3. 위상 끈 이론과 막
위상수학적 B-모형에서 D-막은 끈의 끝점에서 물리적으로 발생하는 추가 데이터와 함께 칼라비-야우 다양체라고 불리는 특정 6차원 모양의 복소 부분 다양체이다.[10] 직관적으로 부분 다양체는 칼라비-야우 다양체 내부에 매장된 곡면으로 생각할 수 있지만, 부분 다양체는 2차원과 다른 차원으로 존재할 수도 있다.[11] 수학에서 이러한 막을 대상으로 갖는 범주는 칼라비-야우의 연접층의 유도 범주로 알려져 있다.[12]
위상수학적 A-모형에서 D-막은 다시 칼라비-야우 다양체의 부분 다양체로 볼 수 있다. 대략적으로 말하자면, 수학자들이 특별한 라그랑주 부분다양체라고 부르는 것이다.[13] 이는 무엇보다도 그들이 앉는 공간의 크기가 절반이고 길이, 면적 또는 부피가 최소화된다는 것을 의미한다.[14] 이러한 막을 대상으로 하는 범주는 후카야 범주라고 한다.[15]
4. 3. 1. 위상 B-모형과 연접층의 유도 범주
위상수학적 B-모형에서 D-막은 끈의 끝점에서 물리적으로 발생하는 추가 데이터와 함께 칼라비-야우 다양체라고 불리는 특정 6차원 모양의 복소 부분 다양체이다.[10] 직관적으로 부분 다양체는 칼라비-야우 다양체 내부에 매장된 곡면으로 생각할 수 있지만, 2차원과 다른 차원으로 존재할 수도 있다.[11] 수학에서 이러한 막을 대상으로 갖는 범주는 칼라비-야우의 연접층의 유도 범주로 알려져 있다.[12]
4. 3. 2. 위상 A-모형과 후카야 범주
위상수학적 A-모형에서 D-막은 칼라비-야우 다양체의 부분 다양체로 볼 수 있다. 대략적으로 말하면, 이들은 수학자들이 특별한 라그랑주 부분다양체라고 부르는 것이다.[13] 이는 무엇보다도 그들이 앉는 공간의 크기가 절반이고 길이, 면적 또는 부피가 최소화된다는 것을 의미한다.[14] 이러한 막을 대상으로 하는 범주를 후카야 범주라고 한다.[15]후카야 범주는 고전물리학 연구에서 발생한 수학의 한 분야 인 심플렉틱 기하학을 사용하여 구성된다. 심플렉틱 기하학은 2차원 예에서 면적을 계산하는 데 사용할 수 있는 수학적 도구인 심플렉틱 형식을 갖춘 공간을 연구한다.[17]
4. 4. 호몰로지 거울 대칭
막은 범주론 개념을 사용하여 설명할 수 있다.[7] 범주는 '대상'으로 구성된 수학적 구조이며 대상들의 쌍에는 대상들 사이의 ''사상''들의 집합이 있다. 대상은 집합, 벡터 공간, 위상 공간과 같은 수학적 구조이고, 사상은 이러한 대상들 사이의 함수이다.[8] D-막을 대상으로 하고, 임의의 두 막 와 사이의 사상들이 과 사이에 늘어진 열린 끈의 상태를 나타내는 범주를 생각할 수도 있다.[9]위상수학적 B-모형에서 D-막은 칼라비-야우 다양체의 복소 부분 다양체이다.[10] 이 막은 칼라비-야우 다양체 내부에 매장된 곡면으로 생각할 수 있지만, 2차원과 다른 차원으로 존재할 수도 있다.[11] 이러한 막을 대상으로 갖는 범주는 칼라비-야우의 연접층의 유도 범주이다.[12] 위상수학적 A-모형에서 D-막은 특별한 라그랑주 부분다양체로 볼 수 있다.[13] 이는 그들이 앉는 공간의 크기가 절반이고 길이, 면적 또는 부피가 최소화된다는 것을 의미한다.[14] 이러한 막을 대상으로 하는 범주는 후카야 범주이다.[15]
연접층의 유도 범주는 복소기하학의 도구를 사용하여 구성된다.[16] 반면, 후카야 범주는 심플렉틱 기하학을 사용하여 구성되며, 심플렉틱 형식을 갖춘 공간을 연구한다.[17]
막심 콘체비치의 호몰로지 거울 대칭 추측은 하나의 칼라비-야우 다양체에 있는 연접층의 유도 범주가 완전히 다른 칼라비-야우 다양체의 후카야 범주와 어떤 의미에서 동일하다고 말한다.[18] 이러한 등가성은 복소기하학과 심플렉틱 기하학 사이에 예상치 못한 연결을 제공한다.[19]
5. 한국의 막 이론 연구
참조
[1]
사전
brane
OED
[2]
서적
2005
[3]
논문
Semiclassical quantization of the supermembrane
1988
[4]
서적
2005
[5]
서적
2005
[6]
서적
2005
[7]
서적
2009
[8]
서적
1998
[9]
서적
2008
[10]
서적
2008
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서적
2010
[12]
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2009
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2009
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2010
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서적
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[16]
서적
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서적
2008
[18]
서적
2009
[19]
서적
2010
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