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몰리 삼등분 정리

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목차

1. 개요

몰리 삼등분 정리는 삼각형의 각을 삼등분하는 선과 관련된 기하학적 정리이다. 삼각형의 각을 삼등분하는 선의 교점을 연결하면 정삼각형, 즉 몰리 삼각형이 생성된다는 내용을 담고 있다. 이 정리는 삼각법과 대수학 등 다양한 방법으로 증명될 수 있으며, 여러 개의 정삼각형을 포함하는 몰리 삼각형을 정의한다. 이 정리는 1900년 프랭크 몰리에 의해 처음 제시되었다.

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    스튜어트 정리는 삼각형의 변과 체바 선분 사이의 관계를 나타내는 기하학 정리이며, 아폴로니우스 정리를 포함하고 코사인 법칙을 이용하여 증명한다.
  • 삼각형에 대한 정리 - 코사인 법칙
    코사인 법칙은 삼각형의 세 변 길이와 한 각의 코사인 값 사이의 관계를 나타내는 정리로, 두 변과 사잇각으로부터 제3의 변을 구하거나 세 변의 길이로 세 각을 구할 수 있으며, 직각삼각형의 경우 피타고라스 정리로 귀결된다.
몰리 삼등분 정리

2. 정의

삼각형 \triangle ABC의 각 \angle B와 \angle C의 변 BC와 더 가까운 삼등분선의 교점이 X라고 하자. 마찬가지로 각 \angle A와 \angle C의 변 AC와 더 가까운 삼등분선의 교점이 Y라고 하고, 각 \angle A와 \angle B의 변 AB와 가까운 삼등분선의 교점이 Z라고 하자. '''몰리 삼등분 정리'''에 따르면, 삼각형 \triangle XYZ는 정삼각형이다. 삼각형 \triangle XYZ를 삼각형 \triangle ABC의 '''몰리 삼각형'''(몰리 삼각형/Morley triangle영어)이라고 한다. 즉, 몰리 삼등분 정리는 임의의 삼각형의 몰리 삼각형은 정삼각형이라는 내용이다.

3. 증명

몰리 삼등분 정리에는 여러 가지 증명이 있으며, 그중 일부는 매우 전문적이다.[1] 초기의 몇몇 증명은 섬세한 삼각법적 계산에 기반했다. 최근의 증명으로는 알랭 콩이 특성상 3이 아닌 일반적인 체로 정리를 확장한 대수학적 증명과 존 콘웨이의 초등 기하학적 증명이 있다.[2][3] 후자의 증명은 정삼각형에서 시작하여 선택된 삼각형과 닮음을 이루는 삼각형을 그 주위에 만들 수 있음을 보여준다. 몰리 정리는 구면[4] 및 쌍곡 기하학에서는 성립하지 않는다.

몰리 삼등분 정리의 초등 증명


== 초등적 증명 ==

정삼각형 \triangle XYZ를 고정하고, 임의의 삼각형 \triangle A'B'C'에 대해 두 가지 조건을 만족하는 삼각형 \triangle ABC를 찾는다.[11]

  • 삼각형 \triangle ABC와 \triangle A'B'C'은 서로 닮음이다.
  • 삼각형 \triangle ABC의 몰리 삼각형은 삼각형 \triangle XYZ이다.


우선, \angle A'=3\alpha,\;\angle B'=3\beta,\;\angle C'=3\gamma라고 하면, \alpha+\beta+\gamma=60^\circ이다. 삼각형 \triangle XYZ 외부에 점 A,B,C를 다음과 같이 정의한다.

:\angle BZX=\angle CYX=60^\circ+\alpha

:\angle CXY=\angle AZY=60^\circ+\beta

:\angle AYZ=\angle BXZ=60^\circ+\gamma

그러면 \angle YAZ=\alpha,\;\angle XBZ=\beta,\;\angle XCY=\gamma이다.

직선 BZ와 CY의 교점을 U, 직선 AZ와 CX의 교점을 V, 직선 AY와 BX의 교점을 W라고 하면, \angle UYZ=\angle UZY=60^\circ-\alpha이므로 UY=UZ이며, 삼각형 \triangle UYX와 \triangle UZX는 서로 합동이다. 특히, 반직선 UX는 각 \angle U의 이등분선이다. 또한, \angle BUC=180^\circ-\angle UYZ-\angle UZY=60^\circ+2\alpha이고 \angle BXC=180^\circ-\angle CXW=120^\circ+\alpha이므로, \angle BXC=90^\circ+\frac 12\angle BUC이다. 즉, X는 삼각형 \triangle BCU의 내심이며, 반직선 BX와 CX는 각 \angle CBU와 \angle BCU의 이등분선이다. 마찬가지로, 반직선 AY와 CY는 삼각형 \triangle ACV의 두 각의 이등분선이며, 반직선 AZ와 BZ는 삼각형 \triangle ABW의 두 각의 이등분선이다. 즉, 이 6개의 반직선은 모두 삼각형 \triangle ABC의 세 각의 삼등분선이며, 삼각형 \triangle XYZ는 삼각형 \triangle ABC의 몰리 삼각형이다.

또한, \angle BAC=3\alpha=\angle A', \angle ABC=3\beta=\angle B', \angle ACB=3\gamma=\angle C'이므로, 삼각형 \triangle ABC와 \triangle A'B'C'은 서로 닮음이다. 닮음은 직선을 보존하고 두 직선 사이의 각의 크기를 보존하며, 특히 각의 삼등분선을 각의 삼등분선으로, 정삼각형을 정삼각형으로 변환한다. 이에 의하여 원래 삼각형 \triangle A'B'C'의 몰리 삼각형 역시 정삼각형이다.

== 삼각법을 통한 증명 ==

몰리 삼각형의 세 변의 길이를 직접 구하여 증명할 수 있다.[12] 삼각형 \triangle ABC의 외접원의 반지름이 R라고 하고, \angle BAC=3\alpha,\;\angle ABC=3\beta,\;\angle ACB=3\gamma라고 하면, \alpha+\beta+\gamma=60^\circ이다.

삼각형 \triangle BCX에 사인 법칙을 적용하면

:\begin{align}CX

&=\frac{BC\cdot\sin\beta}{\sin(180^\circ-\beta-\gamma)}\\

&=\frac{2R\sin 3\alpha\sin\beta}{\sin(60^\circ-\alpha)}\\

&=8R\sin\alpha\sin\beta\sin(60^\circ+\alpha)

\end{align}

를 얻는다. 마지막 등호는 다음 항등식에 의해 성립한다.

:\begin{align}\sin 3\alpha

&=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha\\

&=4\sin\alpha\left(\left(\frac{\sqrt 3}2\right)^2-\sin^2\alpha\right)\\

&=4\sin\alpha(\sin 60^\circ+\sin\alpha)(\sin 60^\circ-\sin\alpha)\\

&=4\sin\alpha

\cdot 2\sin\frac{60^\circ+\alpha}2\cos\frac{60^\circ-\alpha}2

\cdot 2\sin\frac{60^\circ-\alpha}2\cos\frac{60^\circ+\alpha}2\\

&=4\sin\alpha\sin(60^\circ+\alpha)\sin(60^\circ-\alpha)

\end{align}

마찬가지로, CY=8R\sin\alpha\sin\beta\sin(60^\circ+\beta)가 성립한다.

삼각형 \triangle CXY에 코사인 법칙을 적용하면

:\begin{align}XY^2

&=CX^2+CY^2-2CX\cdot CY\cdot\cos\gamma\\

&=64R^2\sin^2\alpha\sin^2\beta(

\sin^2(60^\circ+\alpha)+\sin^2(60^\circ+\beta)-2\sin(60^\circ+\alpha)\sin(60^\circ+\beta)\cos\gamma)\\

&=64R^2\sin^2\alpha\sin^2\beta\sin^2\gamma

\end{align}

를 얻는다. 마지막 등호는 세 각의 크기가 60^\circ+\alpha와 60^\circ+\beta 및 \gamma인 삼각형에 코사인 법칙을 적용한 결과이다. 즉, XY=8R\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma이다. 이는 \alpha,\beta,\gamma에 대하여 대칭적이므로, XY=XZ=YZ가 성립한다.

삼각 함수를 이용한 증명에서, 외접원의 반지름을 1로 하면 세 변의 길이는 \text{AB} = 2 \sin 3c^{\circ}, \text{BC} = 2 \sin 3a^{\circ}, \text{CA} = 2 \sin 3b^{\circ}가 된다. \triangle BPC에 사인 법칙을 적용하고, \sin 3a^{\circ}를 변형하여 대입하면 \text{BP} = 8 \sin a^{\circ} \sin c^{\circ} \sin (60^{\circ}+a^{\circ})를 얻을 수 있다. 마찬가지로 \text{BR} = 8 \sin a^{\circ} \sin c^{\circ} \sin (60^{\circ}+c^{\circ})이다. \triangle BPR에 코사인 법칙을 적용하면 \text{PR} = 8 \sin a^{\circ} \sin b^{\circ} \sin c^{\circ}를 얻고, 같은 방식으로 \text{PQ} = 8 \sin b^{\circ} \sin a^{\circ} \sin c^{\circ}, \text{QR} = 8 \sin a^{\circ} \sin c^{\circ} \sin b^{\circ}를 얻어, 세 변이 같음이 증명된다.

== 대수학적 증명 ==

한 가지 증명은 다음과 같은 삼각 함수 항등식을 사용한다.

:\sin(3\theta)=4\sin\theta\sin(60^\circ+\theta)\sin(120^\circ+\theta)

이는 두 각의 합의 항등식을 사용하면 다음과 같음을 보일 수 있다.

:\sin(3\theta)=-4\sin^3\theta+3\sin\theta.

점 D, E, F가 \overline{BC} 위에 구성되고, 3\alpha+3\beta+3\gamma=180^\circ이므로 \alpha+\beta+\gamma=60^\circ이다. 따라서 삼각형 XEF의 각은 \alpha, (60^\circ+\beta), 그리고 (60^\circ+\gamma)이다.

또한,

:\angle{AYC}=180^\circ-\alpha-\gamma=120^\circ+\beta

:\angle{AZB}=120^\circ+\gamma.

삼각형 AYC와 AZB에 사인 법칙을 적용하고, 삼각형 ABC의 높이를 두 가지 방법으로 표현하면, 각 EXF와 각 ZAY가 같고 이 각을 이루는 변이 동일한 비율을 가지므로 삼각형 XEF와 AZY는 닮음이다.

닮은 각 AYZ와 XFE는 (60^\circ+\gamma)와 같고, 닮은 각 AZY와 XEF는 (60^\circ+\beta)와 같다. 유사한 논리로 삼각형 BXZ와 CYX의 밑각을 얻는다.

특히 각 BZX는 (60^\circ+\alpha)이며,

:\angle{AZY}+\angle{AZB}+\angle{BZX}+\angle{XZY}=360^\circ.

:(60^\circ+\beta)+(120^\circ+\gamma)+(60^\circ+\alpha)+\angle{XZY}=360^\circ

:\angle{XZY}=60^\circ.

마찬가지로 삼각형 XYZ의 다른 각도 60^\circ이다.

== 기타 증명 ==

한 가지 증명은 다음과 같은 삼각 함수 항등식을 사용한다.

:\sin(3\theta)=4\sin\theta\sin(60^\circ+\theta)\sin(120^\circ+\theta)

이는 두 각의 합의 항등식을 사용하면 다음과 같음을 보일 수 있다.

:\sin(3\theta)=-4\sin^3\theta+3\sin\theta.

마지막 방정식은 두 각의 합 항등식을 왼쪽에 두 번 적용하고 코사인을 제거하여 확인할 수 있다.

점 ''D, E, F''가 그림과 같이 \overline{BC} 위에 구성된다. 3\alpha+3\beta+3\gamma=180^\circ, 즉 어떤 삼각형의 각의 합을 가지므로 \alpha+\beta+\gamma=60^\circ이다. 따라서 삼각형 ''XEF''의 각은 \alpha, (60^\circ+\beta), 그리고 (60^\circ+\gamma).이다.

그림에서

:\sin(60^\circ+\beta)=\frac{\overline{DX}}{\overline{XE}}

그리고

:\sin(60^\circ+\gamma)=\frac{\overline{DX}}{\overline{XF}}.

또한 그림에서

:\angle{AYC}=180^\circ-\alpha-\gamma=120^\circ+\beta

그리고

:\angle{AZB}=120^\circ+\gamma.

삼각형 ''AYC''와 ''AZB''에 사인 법칙을 적용하면

:\sin(120^\circ+\beta)=\frac{\overline{AC}}{\overline{AY}}\sin\gamma

:\sin(120^\circ+\gamma)=\frac{\overline{AB}}{\overline{AZ}}\sin\beta.

삼각형 ABC의 높이를 두 가지 방법으로 표현하면

::h=\overline{AB} \sin(3\beta)=\overline{AB}\cdot 4\sin\beta\sin(60^\circ+\beta)\sin(120^\circ+\beta)

그리고

::h=\overline{AC} \sin(3\gamma)=\overline{AC}\cdot 4\sin\gamma\sin(60^\circ+\gamma)\sin(120^\circ+\gamma).

여기서 첫 번째 식은 이 두 방정식에서 \sin(3\beta)와 \sin(3\gamma)를 대체하는 데 사용되었다. 두 번째 식과 다섯 번째 식을 \beta 방정식에 대입하고 세 번째 식과 여섯 번째 식을 \gamma 방정식에 대입하면

::h=4\overline{AB}\sin\beta\cdot\frac{\overline{DX}}{\overline{XE}}\cdot\frac{\overline{AC}}{\overline{AY}}\sin\gamma

그리고

::h=4\overline{AC}\sin\gamma\cdot\frac{\overline{DX}}{\overline{XF}}\cdot\frac{\overline{AB}}{\overline{AZ}}\sin\beta

분자가 같으므로

::\overline{XE}\cdot\overline{AY}=\overline{XF}\cdot\overline{AZ}

또는

::\frac{\overline{XE}}{\overline{XF}}=\frac{\overline{AZ}}{\overline{AY}}.

각 ''EXF''와 각 ''ZAY''가 같고 이 각을 이루는 변이 동일한 비율을 가지므로 삼각형 ''XEF''와 ''AZY''는 닮음이다.

닮은 각 ''AYZ''와 ''XFE''는 (60^\circ+\gamma)와 같고, 닮은 각 ''AZY''와 ''XEF''는 (60^\circ+\beta)와 같다. 유사한 논리로 삼각형 ''BXZ''와 ''CYX''의 밑각을 얻는다.

특히 각 ''BZX''는 (60^\circ+\alpha)로 발견되며 그림에서

::\angle{AZY}+\angle{AZB}+\angle{BZX}+\angle{XZY}=360^\circ.

대입하면

::(60^\circ+\beta)+(120^\circ+\gamma)+(60^\circ+\alpha)+\angle{XZY}=360^\circ

여기서 네 번째 식은 각 ''AZB''에 사용되었으므로

::\angle{XZY}=60^\circ.

마찬가지로 삼각형 ''XYZ''의 다른 각도 60^\circ이다.

3. 1. 초등적 증명

정삼각형 \triangle XYZ를 고정하고, 임의의 삼각형 \triangle A'B'C'에 대해 두 가지 조건을 만족하는 삼각형 \triangle ABC를 찾는다.[11]

  • 삼각형 \triangle ABC와 \triangle A'B'C'은 서로 닮음이다.
  • 삼각형 \triangle ABC의 몰리 삼각형은 삼각형 \triangle XYZ이다.


우선, \angle A'=3\alpha,\;\angle B'=3\beta,\;\angle C'=3\gamma라고 하면, \alpha+\beta+\gamma=60^\circ이다. 삼각형 \triangle XYZ 외부에 점 A,B,C를 다음과 같이 정의한다.

:\angle BZX=\angle CYX=60^\circ+\alpha

:\angle CXY=\angle AZY=60^\circ+\beta

:\angle AYZ=\angle BXZ=60^\circ+\gamma

그러면 \angle YAZ=\alpha,\;\angle XBZ=\beta,\;\angle XCY=\gamma이다.

직선 BZ와 CY의 교점을 U, 직선 AZ와 CX의 교점을 V, 직선 AY와 BX의 교점을 W라고 하면, \angle UYZ=\angle UZY=60^\circ-\alpha이므로 UY=UZ이며, 삼각형 \triangle UYX와 \triangle UZX는 서로 합동이다. 특히, 반직선 UX는 각 \angle U의 이등분선이다. 또한, \angle BUC=180^\circ-\angle UYZ-\angle UZY=60^\circ+2\alpha이고 \angle BXC=180^\circ-\angle CXW=120^\circ+\alpha이므로, \angle BXC=90^\circ+\frac 12\angle BUC이다. 즉, X는 삼각형 \triangle BCU의 내심이며, 반직선 BX와 CX는 각 \angle CBU와 \angle BCU의 이등분선이다. 마찬가지로, 반직선 AY와 CY는 삼각형 \triangle ACV의 두 각의 이등분선이며, 반직선 AZ와 BZ는 삼각형 \triangle ABW의 두 각의 이등분선이다. 즉, 이 6개의 반직선은 모두 삼각형 \triangle ABC의 세 각의 삼등분선이며, 삼각형 \triangle XYZ는 삼각형 \triangle ABC의 몰리 삼각형이다.

또한, \angle BAC=3\alpha=\angle A', \angle ABC=3\beta=\angle B', \angle ACB=3\gamma=\angle C'이므로, 삼각형 \triangle ABC와 \triangle A'B'C'은 서로 닮음이다. 닮음은 직선을 보존하고 두 직선 사이의 각의 크기를 보존하며, 특히 각의 삼등분선을 각의 삼등분선으로, 정삼각형을 정삼각형으로 변환한다. 이에 의하여 원래 삼각형 \triangle A'B'C'의 몰리 삼각형 역시 정삼각형이다.

몰리 삼등분 정리에는 여러 가지 증명이 있으며, 그중 일부는 매우 전문적이다.[1] 초기 증명은 삼각법적 계산에 기반했다. 알랭 콩[2][3]은 체로 정리를 확장한 대수학적 증명을 제시했고, 존 콘웨이는 초등 기하학적 증명을 제시했다. 몰리 정리는 구면[4] 및 쌍곡 기하학에서는 성립하지 않는다.

삼각 함수 항등식 \sin(3\theta)=4\sin\theta\sin(60^\circ+\theta)\sin(120^\circ+\theta)를 사용하여 증명할 수 있다. 이는 두 각의 합의 항등식을 사용하면 \sin(3\theta)=-4\sin^3\theta+3\sin\theta임을 보일 수 있다.

점 D, E, F가 \overline{BC} 위에 구성되고, 3\alpha+3\beta+3\gamma=180^\circ이므로 \alpha+\beta+\gamma=60^\circ이다. 따라서 삼각형 XEF의 각은 \alpha, (60^\circ+\beta), 그리고 (60^\circ+\gamma)이다.

\sin(60^\circ+\beta)=\frac{\overline{DX}}{\overline{XE}} 이고, \sin(60^\circ+\gamma)=\frac{\overline{DX}}{\overline{XF}}이다. 또한 \angle{AYC}=180^\circ-\alpha-\gamma=120^\circ+\beta 이고, \angle{AZB}=120^\circ+\gamma이다.

삼각형 AYC와 AZB에 사인 법칙을 적용하면 \sin(120^\circ+\beta)=\frac{\overline{AC}}{\overline{AY}}\sin\gamma 이고, \sin(120^\circ+\gamma)=\frac{\overline{AB}}{\overline{AZ}}\sin\beta이다.

삼각형 ABC의 높이를 두 가지 방법으로 표현하면, h=\overline{AB} \sin(3\beta)=\overline{AB}\cdot 4\sin\beta\sin(60^\circ+\beta)\sin(120^\circ+\beta) 이고, h=\overline{AC} \sin(3\gamma)=\overline{AC}\cdot 4\sin\gamma\sin(60^\circ+\gamma)\sin(120^\circ+\gamma)이다.

위 식들을 정리하면 \frac{\overline{XE}}{\overline{XF}}=\frac{\overline{AZ}}{\overline{AY}}를 얻는다. 각 EXF와 각 ZAY가 같고 이 각을 이루는 변이 동일한 비율을 가지므로 삼각형 XEF와 AZY는 닮음이다.

닮은 각 AYZ와 XFE는 (60^\circ+\gamma)와 같고, 닮은 각 AZY와 XEF는 (60^\circ+\beta)와 같다. 유사한 논리로 삼각형 BXZ와 CYX의 밑각을 얻는다.

특히 각 BZX는 (60^\circ+\alpha)이며, \angle{AZY}+\angle{AZB}+\angle{BZX}+\angle{XZY}=360^\circ이다.

대입하면 (60^\circ+\beta)+(120^\circ+\gamma)+(60^\circ+\alpha)+\angle{XZY}=360^\circ 이므로, \angle{XZY}=60^\circ이다. 마찬가지로 삼각형 XYZ의 다른 각도 60^\circ이다.

3. 2. 삼각법을 통한 증명

몰리 삼각형의 세 변의 길이를 직접 구하여 증명할 수 있다.[12] 삼각형 \triangle ABC의 외접원의 반지름이 R라고 하고, \angle BAC=3\alpha,\;\angle ABC=3\beta,\;\angle ACB=3\gamma라고 하면, \alpha+\beta+\gamma=60^\circ이다.

삼각형 \triangle BCX에 사인 법칙을 적용하면

:\begin{align}CX

&=\frac{BC\cdot\sin\beta}{\sin(180^\circ-\beta-\gamma)}\\

&=\frac{2R\sin 3\alpha\sin\beta}{\sin(60^\circ-\alpha)}\\

&=8R\sin\alpha\sin\beta\sin(60^\circ+\alpha)

\end{align}

를 얻는다. 마지막 등호는 다음 항등식에 의해 성립한다.

:\begin{align}\sin 3\alpha

&=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha\\

&=4\sin\alpha\left(\left(\frac{\sqrt 3}2\right)^2-\sin^2\alpha\right)\\

&=4\sin\alpha(\sin 60^\circ+\sin\alpha)(\sin 60^\circ-\sin\alpha)\\

&=4\sin\alpha

\cdot 2\sin\frac{60^\circ+\alpha}2\cos\frac{60^\circ-\alpha}2

\cdot 2\sin\frac{60^\circ-\alpha}2\cos\frac{60^\circ+\alpha}2\\

&=4\sin\alpha\sin(60^\circ+\alpha)\sin(60^\circ-\alpha)

\end{align}

마찬가지로, CY=8R\sin\alpha\sin\beta\sin(60^\circ+\beta)가 성립한다.

삼각형 \triangle CXY에 코사인 법칙을 적용하면

:\begin{align}XY^2

&=CX^2+CY^2-2CX\cdot CY\cdot\cos\gamma\\

&=64R^2\sin^2\alpha\sin^2\beta(

\sin^2(60^\circ+\alpha)+\sin^2(60^\circ+\beta)-2\sin(60^\circ+\alpha)\sin(60^\circ+\beta)\cos\gamma)\\

&=64R^2\sin^2\alpha\sin^2\beta\sin^2\gamma

\end{align}

를 얻는다. 마지막 등호는 세 각의 크기가 60^\circ+\alpha와 60^\circ+\beta 및 \gamma인 삼각형에 코사인 법칙을 적용한 결과이다. 즉, XY=8R\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma이다. 이는 \alpha,\beta,\gamma에 대하여 대칭적이므로, XY=XZ=YZ가 성립한다.

삼각 함수를 이용한 증명에서, 외접원의 반지름을 1로 하면 세 변의 길이는 \text{AB} = 2 \sin 3c^{\circ}, \text{BC} = 2 \sin 3a^{\circ}, \text{CA} = 2 \sin 3b^{\circ}가 된다. \triangle BPC에 사인 법칙을 적용하고, \sin 3a^{\circ}를 변형하여 대입하면 \text{BP} = 8 \sin a^{\circ} \sin c^{\circ} \sin (60^{\circ}+a^{\circ})를 얻을 수 있다. 마찬가지로 \text{BR} = 8 \sin a^{\circ} \sin c^{\circ} \sin (60^{\circ}+c^{\circ})이다. \triangle BPR에 코사인 법칙을 적용하면 \text{PR} = 8 \sin a^{\circ} \sin b^{\circ} \sin c^{\circ}를 얻고, 같은 방식으로 \text{PQ} = 8 \sin b^{\circ} \sin a^{\circ} \sin c^{\circ}, \text{QR} = 8 \sin a^{\circ} \sin c^{\circ} \sin b^{\circ}를 얻어, 세 변이 같음이 증명된다.

3. 3. 대수학적 증명

몰리 삼등분 정리에는 여러 증명이 있으며, 그중 일부는 매우 전문적이다.[1] 초기의 몇몇 증명은 섬세한 삼각법적 계산에 기반했다. 최근에는 알랭 콩이 특성상 3이 아닌 일반적인 체로 정리를 확장한 대수학적 증명과 존 콘웨이의 초등 기하학적 증명이 있다.[2][3]

한 가지 증명은 다음과 같은 삼각 함수 항등식을 사용한다.

:\sin(3\theta)=4\sin\theta\sin(60^\circ+\theta)\sin(120^\circ+\theta)

이는 두 각의 합의 항등식을 사용하면 다음과 같음을 보일 수 있다.

:\sin(3\theta)=-4\sin^3\theta+3\sin\theta.

점 D, E, F가 \overline{BC} 위에 구성되고, 3\alpha+3\beta+3\gamma=180^\circ이므로 \alpha+\beta+\gamma=60^\circ이다. 따라서 삼각형 XEF의 각은 \alpha, (60^\circ+\beta), 그리고 (60^\circ+\gamma)이다.

또한,

:\angle{AYC}=180^\circ-\alpha-\gamma=120^\circ+\beta

:\angle{AZB}=120^\circ+\gamma.

삼각형 AYC와 AZB에 사인 법칙을 적용하고, 삼각형 ABC의 높이를 두 가지 방법으로 표현하면, 각 EXF와 각 ZAY가 같고 이 각을 이루는 변이 동일한 비율을 가지므로 삼각형 XEF와 AZY는 닮음이다.

닮은 각 AYZ와 XFE는 (60^\circ+\gamma)와 같고, 닮은 각 AZY와 XEF는 (60^\circ+\beta)와 같다. 유사한 논리로 삼각형 BXZ와 CYX의 밑각을 얻는다.

특히 각 BZX는 (60^\circ+\alpha)이며,

:\angle{AZY}+\angle{AZB}+\angle{BZX}+\angle{XZY}=360^\circ.

:(60^\circ+\beta)+(120^\circ+\gamma)+(60^\circ+\alpha)+\angle{XZY}=360^\circ

:\angle{XZY}=60^\circ.

마찬가지로 삼각형 XYZ의 다른 각도 60^\circ이다.

3. 4. 기타 증명

몰리 삼등분 정리에는 여러 가지 증명이 있으며, 그중 일부는 매우 전문적이다.[1] 초기의 몇몇 증명은 섬세한 삼각법적 계산에 기반했다. 최근의 증명으로는 알랭 콩이 특성상 3이 아닌 일반적인 체로 정리를 확장한 대수학적 증명과 존 콘웨이의 초등 기하학적 증명이 있다.[2][3] 후자의 증명은 정삼각형에서 시작하여 선택된 삼각형과 닮음을 이루는 삼각형을 그 주위에 만들 수 있음을 보여준다. 몰리 정리는 구면[4] 및 쌍곡 기하학에서는 성립하지 않는다.

한 가지 증명은 다음과 같은 삼각 함수 항등식을 사용한다.

:\sin(3\theta)=4\sin\theta\sin(60^\circ+\theta)\sin(120^\circ+\theta)

이는 두 각의 합의 항등식을 사용하면 다음과 같음을 보일 수 있다.

:\sin(3\theta)=-4\sin^3\theta+3\sin\theta.

마지막 방정식은 두 각의 합 항등식을 왼쪽에 두 번 적용하고 코사인을 제거하여 확인할 수 있다.

점 ''D, E, F''가 그림과 같이 \overline{BC} 위에 구성된다. 3\alpha+3\beta+3\gamma=180^\circ, 즉 어떤 삼각형의 각의 합을 가지므로 \alpha+\beta+\gamma=60^\circ이다. 따라서 삼각형 ''XEF''의 각은 \alpha, (60^\circ+\beta), 그리고 (60^\circ+\gamma).이다.

그림에서

:\sin(60^\circ+\beta)=\frac{\overline{DX}}{\overline{XE}}

그리고

:\sin(60^\circ+\gamma)=\frac{\overline{DX}}{\overline{XF}}.

또한 그림에서

:\angle{AYC}=180^\circ-\alpha-\gamma=120^\circ+\beta

그리고

:\angle{AZB}=120^\circ+\gamma.

삼각형 ''AYC''와 ''AZB''에 사인 법칙을 적용하면

:\sin(120^\circ+\beta)=\frac{\overline{AC}}{\overline{AY}}\sin\gamma

:\sin(120^\circ+\gamma)=\frac{\overline{AB}}{\overline{AZ}}\sin\beta.

삼각형 ABC의 높이를 두 가지 방법으로 표현하면

::h=\overline{AB} \sin(3\beta)=\overline{AB}\cdot 4\sin\beta\sin(60^\circ+\beta)\sin(120^\circ+\beta)

그리고

::h=\overline{AC} \sin(3\gamma)=\overline{AC}\cdot 4\sin\gamma\sin(60^\circ+\gamma)\sin(120^\circ+\gamma).

여기서 첫 번째 식은 이 두 방정식에서 \sin(3\beta)와 \sin(3\gamma)를 대체하는 데 사용되었다. 두 번째 식과 다섯 번째 식을 \beta 방정식에 대입하고 세 번째 식과 여섯 번째 식을 \gamma 방정식에 대입하면

::h=4\overline{AB}\sin\beta\cdot\frac{\overline{DX}}{\overline{XE}}\cdot\frac{\overline{AC}}{\overline{AY}}\sin\gamma

그리고

::h=4\overline{AC}\sin\gamma\cdot\frac{\overline{DX}}{\overline{XF}}\cdot\frac{\overline{AB}}{\overline{AZ}}\sin\beta

분자가 같으므로

::\overline{XE}\cdot\overline{AY}=\overline{XF}\cdot\overline{AZ}

또는

::\frac{\overline{XE}}{\overline{XF}}=\frac{\overline{AZ}}{\overline{AY}}.

각 ''EXF''와 각 ''ZAY''가 같고 이 각을 이루는 변이 동일한 비율을 가지므로 삼각형 ''XEF''와 ''AZY''는 닮음이다.

닮은 각 ''AYZ''와 ''XFE''는 (60^\circ+\gamma)와 같고, 닮은 각 ''AZY''와 ''XEF''는 (60^\circ+\beta).와 같다. 유사한 논리로 삼각형 ''BXZ''와 ''CYX''의 밑각을 얻는다.

특히 각 ''BZX''는 (60^\circ+\alpha)로 발견되며 그림에서

::\angle{AZY}+\angle{AZB}+\angle{BZX}+\angle{XZY}=360^\circ.

대입하면

::(60^\circ+\beta)+(120^\circ+\gamma)+(60^\circ+\alpha)+\angle{XZY}=360^\circ

여기서 네 번째 식은 각 ''AZB''에 사용되었으므로

::\angle{XZY}=60^\circ.

마찬가지로 삼각형 ''XYZ''의 다른 각도 60^\circ.이다.

4. 몰리 삼각형

몰리의 정리는 18개의 정삼각형을 수반한다. 위 삼등분 정리에서 설명된 삼각형은 '''첫 번째 몰리 삼각형'''이라고 불리며, 삼각형 ''ABC''를 기준으로 다음과 같은 삼선좌표로 꼭짓점이 주어진다.

:A \text{-꼭짓점} = 1 : 2 \cos\tfrac13 C : 2 \cos\tfrac13 B

:B \text{-꼭짓점} = 2 \cos\tfrac13 C : 1 : 2 \cos\tfrac13 A

:C \text{-꼭짓점} = 2 \cos\tfrac13 B : 2 \cos\tfrac13 A : 1

몰리의 또 다른 정삼각형 중 하나는 중심 삼각형이기도 하며 '''두 번째 몰리 삼각형'''이라고 불리며, 다음 꼭짓점으로 주어진다.

:A \text{-꼭짓점} = 1 : 2 \cos\tfrac13(C - 2\pi) : 2 \cos\tfrac13(B - 2\pi)

:B \text{-꼭짓점} = 2 \cos\tfrac13(C - 2\pi) : 1 : 2 \cos\tfrac13(A - 2\pi)

:C \text{-꼭짓점} = 2 \cos\tfrac13(B - 2\pi) : 2 \cos\tfrac13(A - 2\pi) : 1

몰리의 18개 정삼각형 중 세 번째는 중심 삼각형이기도 하며, '''세 번째 몰리 삼각형'''이라고 불리며, 다음 꼭짓점으로 주어진다.

:A \text{-꼭짓점} = 1 : 2 \cos\tfrac13(C + 2\pi) : 2 \cos\tfrac13(B + 2\pi)

:B \text{-꼭짓점} = 2 \cos\tfrac13(C + 2\pi) : 1 : 2 \cos\tfrac13(A + 2\pi)

:C \text{-꼭짓점} = 2 \cos\tfrac13(B + 2\pi) : 2 \cos\tfrac13(A + 2\pi) : 1

첫 번째, 두 번째, 세 번째 몰리 삼각형은 쌍별로 호모테틱이다. 또 다른 호모테틱 삼각형은 삼각형 ''ABC''의 외접원 위에 있는 세 점 ''X''에 의해 형성되는데, 여기서 선 ''XX'' -1는 외접원에 접하며, 여기서 ''X'' -1는 ''X''의 등각 공액을 나타낸다. 이 정삼각형은 '''외접 접선 삼각형'''이라고 불리며, 다음과 같은 꼭짓점을 갖는다.

:A \text{-꼭짓점} = \phantom{-}\csc\tfrac13(C - B) : \phantom{-}\csc\tfrac13(2C + B) : -\csc\tfrac13(C + 2B)

:B \text{-꼭짓점} = -\csc\tfrac13(A + 2C) : \phantom{-}\csc\tfrac13(A - C) : \phantom{-}\csc\tfrac13(2A + C)

:C \text{-꼭짓점} = \phantom{-}\csc\tfrac13(2B + A) : -\csc\tfrac13(B + 2A) : \phantom{-}\csc\tfrac13(B - A)

다섯 번째 정삼각형은 다른 정삼각형과 호모테틱하며, 외접 접선 삼각형을 중심을 기준으로 /6 회전하여 얻는다. '''외접 법선 삼각형'''이라고 불리며, 그 꼭짓점은 다음과 같다.

:A \text{-꼭짓점} = \phantom{-}\sec\tfrac13(C - B) : -\sec\tfrac13(2C + B) : -\sec\tfrac13(C + 2B)

:B \text{-꼭짓점} = -\sec\tfrac13(A + 2C) : \phantom{-}\sec\tfrac13(A - C) : -\sec\tfrac13(2A + C)

:C \text{-꼭짓점} = -\sec\tfrac13(2B + A) : -\sec\tfrac13(B + 2A) : \phantom{-}\sec\tfrac13(B - A)

"외향"이라는 연산을 사용하여 다른 18개의 몰리 삼각형 중 하나를 얻을 수 있다. 18개의 몰리 삼각형과 27쌍의 외향 삼각형은 파푸스 그래프의 18개의 꼭짓점과 27개의 변을 형성한다.[6]

임의의 삼각형에서 각 내각의 삼등분선을 긋는다. 각 변에 가까운 선끼리의 교점을 P, Q, R이라고 하면 삼각형 PQR은 정삼각형이 된다. 이 정삼각형을 (제1) '''몰리 삼각형'''이라고 한다[8]。

내각의 삼등분선 외에도 외각의 삼등분선 등으로도 마찬가지로 정삼각형을 만들 수 있다. 이 정삼각형을 제2 몰리 삼각형이라고 한다[9]。 또한 대각 방향으로 (내각+4π)/3만큼 회전한 선분으로도 정삼각형을 만들 수 있으며, 이를 제3 몰리 삼각형이라고 한다[10]。

4. 1. 제2, 제3 몰리 삼각형

몰리의 정리는 18개의 정삼각형을 수반한다. 몰리의 또 다른 정삼각형 중 하나는 중심 삼각형이기도 하며 ''''두 번째 몰리 삼각형''''이라고 불리며, 다음 꼭짓점으로 주어진다.[6]

:\begin{array}{ccccccc}

A \text{-꼭짓점} &=& 1 &:& 2 \cos\tfrac13(C - 2\pi) &:& 2 \cos\tfrac13(B - 2\pi) \\[5mu]

B \text{-꼭짓점} &=& 2 \cos\tfrac13(C - 2\pi) &:& 1 &:& 2 \cos\tfrac13(A - 2\pi) \\[5mu]

C \text{-꼭짓점} &=& 2 \cos\tfrac13(B - 2\pi) &:& 2 \cos\tfrac13(A - 2\pi) &:& 1

\end{array}

몰리의 18개 정삼각형 중 세 번째는 중심 삼각형이기도 하며, ''''세 번째 몰리 삼각형''''이라고 불리며, 다음 꼭짓점으로 주어진다.[6]

:\begin{array}{ccccccc}

A \text{-꼭짓점} &=& 1 &:& 2 \cos\tfrac13(C + 2\pi) &:& 2 \cos\tfrac13(B + 2\pi) \\[5mu]

B \text{-꼭짓점} &=& 2 \cos\tfrac13(C + 2\pi) &:& 1 &:& 2 \cos\tfrac13(A + 2\pi) \\[5mu]

C \text{-꼭짓점} &=& 2 \cos\tfrac13(B + 2\pi) &:& 2 \cos\tfrac13(A + 2\pi) &:& 1

\end{array}

첫 번째, 두 번째, 세 번째 몰리 삼각형은 쌍별로 호모테틱하다.[6]

4. 2. 기타 몰리 삼각형

몰리의 정리는 18개의 정삼각형을 수반한다. 이 중 첫 번째 몰리 삼각형은 삼각형 ''ABC''를 기준으로 다음과 같은 삼선좌표로 꼭짓점이 주어진다.[6]

:\begin{array}{ccccccc}

A \text{-꼭짓점} &=& 1 &:& 2 \cos\tfrac13 C &:& 2 \cos\tfrac13 B \\[5mu]

B \text{-꼭짓점} &=& 2 \cos\tfrac13 C &:& 1 &:& 2 \cos\tfrac13 A \\[5mu]

C \text{-꼭짓점} &=& 2 \cos\tfrac13 B &:& 2 \cos\tfrac13 A &:& 1

\end{array}

두 번째 몰리 삼각형은 중심 삼각형이기도 하며, 다음 꼭짓점으로 주어진다.[6]

:\begin{array}{ccccccc}

A \text{-꼭짓점} &=& 1 &:& 2 \cos\tfrac13(C - 2\pi) &:& 2 \cos\tfrac13(B - 2\pi) \\[5mu]

B \text{-꼭짓점} &=& 2 \cos\tfrac13(C - 2\pi) &:& 1 &:& 2 \cos\tfrac13(A - 2\pi) \\[5mu]

C \text{-꼭짓점} &=& 2 \cos\tfrac13(B - 2\pi) &:& 2 \cos\tfrac13(A - 2\pi) &:& 1

\end{array}

세 번째 몰리 삼각형 역시 중심 삼각형이며, 다음 꼭짓점으로 주어진다.[6]

:\begin{array}{ccccccc}

A \text{-꼭짓점} &=& 1 &:& 2 \cos\tfrac13(C + 2\pi) &:& 2 \cos\tfrac13(B + 2\pi) \\[5mu]

B \text{-꼭짓점} &=& 2 \cos\tfrac13(C + 2\pi) &:& 1 &:& 2 \cos\tfrac13(A + 2\pi) \\[5mu]

C \text{-꼭짓점} &=& 2 \cos\tfrac13(B + 2\pi) &:& 2 \cos\tfrac13(A + 2\pi) &:& 1

\end{array}

첫 번째, 두 번째, 세 번째 몰리 삼각형은 쌍별로 호모테틱하다. 또 다른 호모테틱 삼각형은 삼각형 ''ABC''의 외접원 위에 있는 세 점 ''X''에 의해 형성되는데, 여기서 선 ''XX'' −1는 외접원에 접하며, ''X'' −1는 ''X''의 등각 공액을 나타낸다. 이 정삼각형은 외접 접선 삼각형이라고 불리며, 다음과 같은 꼭짓점을 갖는다.[6]

:\begin{array}{lllllll}

A \text{-꼭짓점} &=& \phantom{-}\csc\tfrac13(C - B) &:& \phantom{-}\csc\tfrac13(2C + B) &:& -\csc\tfrac13(C + 2B) \\[5mu]

B \text{-꼭짓점} &=& -\csc\tfrac13(A + 2C) &:& \phantom{-}\csc\tfrac13(A - C) &:& \phantom{-}\csc\tfrac13(2A + C) \\[5mu]

C \text{-꼭짓점} &=& \phantom{-}\csc\tfrac13(2B + A) &:& -\csc\tfrac13(B + 2A) &:& \phantom{-}\csc\tfrac13(B - A)

\end{array}

다섯 번째 정삼각형은 다른 정삼각형과 호모테틱하며, 외접 접선 삼각형을 중심을 기준으로 회전하여 얻는다. 외접 법선 삼각형이라고 불리며, 그 꼭짓점은 다음과 같다.[6]

:\begin{array}{lllllll}

A \text{-꼭짓점} &=& \phantom{-}\sec\tfrac13(C - B) &:& -\sec\tfrac13(2C + B) &:& -\sec\tfrac13(C + 2B) \\[5mu]

B \text{-꼭짓점} &=& -\sec\tfrac13(A + 2C) &:& \phantom{-}\sec\tfrac13(A - C) &:& -\sec\tfrac13(2A + C) \\[5mu]

C \text{-꼭짓점} &=& -\sec\tfrac13(2B + A) &:& -\sec\tfrac13(B + 2A) &:& \phantom{-}\sec\tfrac13(B - A)

\end{array}

외향 연산을 사용하여 다른 18개의 몰리 삼각형 중 하나를 얻을 수 있다. 18개의 몰리 삼각형과 27쌍의 외향 삼각형은 파푸스 그래프의 18개의 꼭짓점과 27개의 변을 형성한다.[6]

5. 관련 삼각형 중심

몰리 중심, ''X''(356)는 제1 몰리 삼각형의 무게중심이며, 삼선좌표는 다음과 같다.[7]

:

\cos\tfrac13A + 2\cos\tfrac13B\,\cos\tfrac13C \,:\, \cos\tfrac13B + 2\cos\tfrac13C\,\cos\tfrac13A \,:\, \cos\tfrac13C + 2\cos\tfrac13A\,\cos\tfrac13B



제1 몰리-테일러-마르 중심, ''X''(357)은 제1 몰리 삼각형과 원래 삼각형이 사영 관계에 있을 때, 원래 삼각형의 각 꼭짓점과 몰리 삼각형의 반대편 꼭짓점을 연결하는 각 선이 만나는 공점점이며,[7] 삼선좌표는 다음과 같다.

:

\sec\tfrac13A \,:\, \sec\tfrac13B \,:\, \sec\tfrac13C


6. 역사

미국의 수학자 프랭크 몰리가 1900년에 제시하였다.[13]

7. 한국 수학 교육에의 영향

참조

[1] 간행물 Morley's Miracle http://www.cut-the-k[...] Cut-the-knot 2010-01-02
[2] 간행물 J. Conway's proof http://www.cut-the-k[...] Cut-the-knot 2021-12-03
[3] 간행물 Power Cambridge University Press 2010-10-08
[4] 웹사이트 Morley's Theorem in Spherical Geometry http://lienhard-wimm[...]
[5] 웹사이트 First Morley Triangle FirstMorleyTriangle 2021-12-03
[6] 간행물 2007
[7] 간행물 Morley's diagram generalised 2003-11
[8] 웹사이트 First Morley Triangle FirstMorleyTriangle 2024-03-16
[9] 웹사이트 Second Morley Triangle SecondMorleyTriangle 2024-03-16
[10] 웹사이트 Third Morley Triangle ThirdMorleyTriangle 2024-03-16
[11] 서적 Geometry for College Students Brooks/Cole 2001
[12] 서적 Topics in Elementary Geometry https://archive.org/[...] Springer 2008
[13] 저널 On the Metric Geometry of the Plane N-Line 1900-04


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