맨위로가기

비탈리 집합

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.
목차

1. 개요

비탈리 집합은 1905년 주세페 비탈리가 정의한, 선택 공리를 사용하여 구성되는 집합이다. 비탈리 집합 V는 임의의 실수 r에 대해 V와 유리수의 평행이동 집합 (Q+r)의 교집합이 단 하나의 원소를 갖는 [0,1]의 부분 집합이다. 비탈리 집합은 르베그 가측 집합이 아니며, 선택 공리가 없으면 르베그 측도 불가능한 집합의 존재를 증명할 수 없다.

더 읽어볼만한 페이지

  • 실수 집합 - 구간
    구간은 원순서 집합의 두 원소 사이의 원소 집합으로, 실수 구간은 끝점 포함 여부에 따라 열린 구간, 닫힌 구간, 반열린 구간으로 구분되며, 위상 대수 등 다양한 수학 분야에서 활용된다.
  • 실수 집합 - 축소구간정리
    축소구간정리는 닫힌 구간의 중첩 수열의 교집합이 닫힌 구간임을 보장하며, 특히 구간 길이가 0으로 수렴하면 교집합은 한 원소 집합이 된다.
  • 측도론 - 디랙 델타 함수
    디랙 델타 함수는 원점에서 무한대 값을 갖고 그 외 지점에서 0의 값을 갖는 수학적 개념으로, 분포 또는 측도로 정의되며, 순간적인 충격이나 점 형태 현상 모델링에 활용되고 푸리에 변환, 스케일링, 평행 이동 등의 성질을 가진다.
  • 측도론 - 바이어슈트라스 함수
    바이어슈트라스 함수는 특정 조건의 상수 a와 b를 사용하여 f(x)= \sum_{n=0}^\infin a^n\cos (b^n\pi x)와 같은 무한 급수 형태로 정의되며 모든 점에서 연속이지만 어느 곳에서도 미분 불가능한 자기 유사성을 지닌 최초로 연구된 프랙탈 중 하나이다.
비탈리 집합
정의
설명르베그 측도를 갖지 않는 실수의 집합
역사
이름주세페 비탈리의 이름을 따서 명명됨
발표 연도1905년
관련 연구로버트 솔로베이는 모든 실수의 집합이 르베그 측도를 갖는 집합론 모델을 구축함

2. 정의

비탈리 집합 V\subset[0,1]은 임의의 실수 r\in\mathbb R에 대하여, \left|(\mathbb Q+r)\cap V\right|=1을 만족하는 집합이다. 다시 말해, 비탈리 집합은 각 실수 r에 대해 v-r이 유리수가 되는 v \in V가 정확히 하나 존재하는 실수의 구간 [0,1]의 부분 집합이다. 이러한 비탈리 집합의 존재는 선택 공리를 통해 보일 수 있다.

2. 1. 구성

선택 공리를 사용하여 비탈리 집합을 구성할 수 있다.[1] 유리수의 덧셈군 \mathbb Q는 실수의 덧셈군 \mathbb R의 정규 부분군이므로, 몫군 \mathbb R/\mathbb Q이 존재한다.[2] \mathbb R/\mathbb Q의 각 원소에서, 단위 구간 [0,1]에 속하는 대표원을 선택한다.[3] 이렇게 선택된 대표원들의 집합이 비탈리 집합이다.

3. 성질

비탈리 집합은 크기가 2^{\aleph_0}이며, 다음과 같은 성질을 갖는다.



비탈리 집합의 비가측성은 비가측성의 증명에서 자세히 다룬다.

3. 1. 비가측성의 증명

비탈리 집합이 르베그 가측 집합이 아님을 증명하기 위해, 비탈리 집합 V가 가측이라고 가정하고 모순을 유도한다.

q_1, q_2, \dots를 [-1,1] 구간에 있는 유리수들을 열거한 것이라고 하자. (유리수 집합은 가산 집합이므로 가능하다.) V의 구성에 따라, 평행이동된 집합 V_k=V+q_k=\{v+q_k : v \in V\}, k=1,2,\dots는 쌍별로 서로소이다. 그렇지 않다면 서로 다른 v, u \in V와 k, \ell \in \mathbb{N}이 존재하여 v+q_k = u + q_{\ell} \implies v-u = q_{\ell}-q_k \in \mathbb{Q}가 되어 v-u가 무리수라는 사실에 모순이 된다.[4]

또한, 다음이 성립한다.

:[0,1]\subseteq\bigcup_k V_k\subseteq[-1,2].[4]

첫 번째 포함 관계를 보이기 위해, [0,1]에 있는 임의의 실수 r을 생각하고 r의 동치류에 대한 V의 대표원을 v라고 하자. 그러면 r-v=q_i는 [-1,1]에 있는 어떤 유리수 q_i이고, 이는 r이 V_i에 있음을 의미한다.[4]

위 포함 관계에 시그마 가산성을 사용하여 르베그 측도를 적용하면 다음을 얻는다.

:1 \leq \sum_{k=1}^\infty \lambda(V_k) \leq 3.[4]

르베그 측도는 평행이동 불변이므로, \lambda(V_k) = \lambda(V)이고, 따라서

:1 \leq \sum_{k=1}^\infty \lambda(V) \leq 3.이다.[4]

그러나 이는 불가능하다. 상수 \lambda(V)의 무한히 많은 복사본을 더하면 상수가 0인지 양수인지에 따라 0 또는 무한대가 생성된다. 어느 경우에도 합은 [1,3]에 있지 않다. 따라서 V는 가측일 수 없으며, 르베그 측도 \lambda는 \lambda(V)에 대한 어떤 값도 정의하지 않아야 한다.[4]

4. 역사

이탈리아의 수학자 주세페 비탈리가 1905년에 비탈리 집합을 정의하였다.[7] 비탈리 집합의 존재 증명은 선택 공리를 필요로 한다. 르베그 측도의 구성 자체로는 비가측 집합의 존재가 명확하게 드러나지 않기 때문에, 비가측 집합의 존재성은 선택 공리를 가정하는지에 대한 질문으로 이어진다.

5. 선택 공리의 역할

비탈리 집합의 구성은 선택 공리에 의존한다. 선택 공리 없이는 르베그 측도가 불가능한 집합의 존재를 증명할 수 없다. 로버트 솔로베이는 선택 공리가 없는 체르멜로-프렝켈 집합론 모델(솔로베이 모델)을 구성했는데[3], 이 모델에서는 모든 실수 집합이 르베그 측도 가능하다. 솔로베이의 증명은 접근 불가능 기수의 존재가 체르멜로-프렝켈 집합론의 다른 공리와 일관성이 있다는 (즉 모순을 일으키지 않는다는) 가정에 기반한다. 이 가정은 집합론자들 사이에서 널리 사실이라고 믿어지지만, ZFC만으로는 증명할 수 없다.[4]

사하론 셸라는 1980년에 솔로베이의 결과를 얻기 위해서는 접근 불가능 기수에 대한 가정이 필수적임을 증명했다.[4]

참조

[1] 논문 Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta
[2] 서적 Measure and Category Springer-Verlag
[3] 간행물 A model of set-theory in which every set of reals is Lebesgue measurable
[4] 서적 The Banach-Tarski Paradox Cambridge University Press
[5] 논문 Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta
[6] 간행물 A model of set-theory in which every set of reals is Lebesgue measurable
[7] 서적 Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta Tipografia Gamberini e Parmeggiani 1905


본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com