축소구간정리

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1. 개요

축소구간정리는 닫힌 구간의 중첩 수열의 교집합이 닫힌 구간임을 보장하는 정리이다. 임의의 자연수 n에 대해 In ⊇ In+1을 만족하는 구간열 (In)n∈ℕ을 축소구간열이라고 하며, 축소구간정리는 이러한 축소구간열이 닫힌 구간일 경우, 교집합이 공집합이 아닌 닫힌 구간이 된다는 것을 의미한다. 특히, 구간의 길이가 0으로 수렴하는 조건을 만족하면 교집합은 한 원소 집합이 된다. 이 정리는 실수의 완비성을 나타내는 여러 공리들과 동치이며, 코시 성질과도 관련이 있다. 축소구간정리는 제곱근 계산, 유계 집합의 상한과 하한의 존재성 증명 등에 활용되며, 칸토어의 교점 정리로 일반화될 수 있다.

2. 정의

일부 저자는 위의 두 가지 속성을 모두 만족하는 이러한 구간 수열을 '''축소 중첩 구간'''이라고 부르기도 한다. 이 경우 중첩 구간의 수열은 첫번째 속성만 만족하는 수열을 의미한다.

2. 1. 축소구간열

'''축소구간열'''은 임의의 자연수

n\in\mathbb N

에 대하여

I_n\supseteq I_{n+1}

을 만족시키는 구간열

(I_n)_{n\in\mathbb N}

이다.

축소구간열

(I_n)_{n\in\mathbb N}

의 각 항

I_n

의 양쪽 끝점을

a_n,b_n\in\mathbb R

이라고 할 때, 임의의 자연수

n\in\mathbb N

에 대하여 다음 성질들이 성립한다.

$|I_n|\ge|I_{n+1}|$ (여기서 $|I_n|=b_n-a_n$ 은 구간의 길이이다.)
$a_n\le a_{n+1}\le b_{n+1}\le b_n$
$\begin{cases}a_n\notin I_n\\a_{n+1}\in I_{n+1}\end{cases}\implies a_n$
$\begin{cases}b_n\notin I_n\\b_{n+1}\in I_{n+1}\end{cases}\implies b_{n+1}$

일부 저자는 위의 두 가지 속성을 모두 만족하는 이러한 구간 수열을 ''축소 중첩 구간''이라고 부르기도 한다. 이 경우 중첩 구간의 수열은 첫번째 속성만 만족하는 수열을 의미한다.

2. 2. 축소구간정리

구간열

(I_n)_{n\in\mathbb N}

이 다음 조건들을 만족한다고 하자.

모두 닫힌구간이다. 즉, 임의의 자연수 $n\in\mathbb N$ 에 대하여, $I_n=\operatorname{cl}I_n$ 이다.
축소구간열이다. 즉, 임의의 자연수 $n\in\mathbb N$ 에 대하여, $I_n\supseteq I_{n+1}$ 이다.

'''축소구간정리'''에 따르면, 이 구간열의 교집합은 공집합이 아닌 (퇴화 또는 비퇴화) 닫힌구간이다. 즉,

:

\bigcap_{n\in\mathbb N}I_n=[a,b]

이게 되는 두 실수

a\le b

가 존재한다.

특히,

(I_n)_{n\in\mathbb N}

이

\lim_{n\to\infty}|I_n|=0

즉, 구간의 길이가 0으로 수렴하는 조건을 추가로 만족하면,

a=b

이며, 교집합은 한원소 집합이다.

:

\bigcap_{n\in\mathbb N}I_n=\{a=b\}

축소구간정리는 코시 성질과 동치이다. 즉, 아르키메데스 성질을 덧붙이면 실수의 완비성을 나타내는 여러 공리들과 동치가 된다. 문헌에 따라서는 구간의 길이가 0으로 수렴한다는 조건이 빠진 서술을 뜻하기도 하는데, 이 또한 더 강한 조건의 축소구간정리와 동치이다.

일부 저자는 닫힌구간이며 축소구간열인 조건을 만족하는 구간 수열을 ''축소 중첩 구간''이라고 부르기도 한다. 이 경우 중첩 구간의 수열은 닫힌구간 조건만 만족하는 수열을 의미한다.

각 중첩 구간 수열

(I_n)_{n\in\mathbb{N}}

의 교집합은 정확히 하나의 실수

x

를 포함한다.

''증명:'' 이 명제는 귀류법으로 쉽게 증명할 수 있다. 서로 다른 두 수

x,y\in\cap_{n\in\mathbb{N}} I_n

이 존재한다고 가정하자.

x\neq y

이므로, 이들은

|x-y|>0

만큼 차이가 난다. 두 수가 모든 구간에 포함되어야 하므로, 모든

n\in\mathbb{N}

에 대해

|I_n|\geq |x-y|

가 성립한다. 이는 중첩 구간의 정의에서 구간의 길이가 0으로 수렴한다는 조건에 모순되므로, 교집합은 최대 하나의 수

x

를 포함할 수 있다. 완비성 공리는 그러한 실수

x

가 존재함을 보장한다.

\; \square

3. 예와 반례

다음 구간열들은 축소구간정리의 전제 조건을 만족하며, 따라서 교집합이 (퇴화 또는 비퇴화) 닫힌구간이다.

$\bigcap_{n\in\mathbb N}\left[1-\frac1n,2+\frac1n\right]=[1,2]$
$\bigcap_{n\in\mathbb N}\left[1-\frac1n,1+\frac1n\right]=\{1\}$

일반적인 축소구간열의 교집합은 공집합이 아닌 (퇴화 또는 비퇴화) 닫힌구간일 필요가 없다. 즉, 열린구간이나 공집합 등일 수 있다.

$\bigcap_{n\in\mathbb N}\left(0,\frac1n\right)=\bigcap_{n\in\mathbb N}\left(0,\frac1n\right]=\varnothing$
$\bigcap_{n\in\mathbb N}(0,1)=(0,1)$

4. 다른 전제 조건

축소구간열의 "닫힌 구간" 전제 조건은 다른 조건으로 바꿀 수 있다.

축소구간열 $(I_n)_{n\in\mathbb N}$이 임의의 자연수 $n\in\mathbb N$에 대하여 $a_n
: $\bigcap_{n\in\mathbb N}I_n=\bigcap_{n\in\mathbb N}\operatorname{cl}I_n$

이기 때문이다. 여기서 $\operatorname{cl}I_n$은 폐포이며, 이들은 닫힌구간으로 구성된 축소 구간열을 이룬다. 예를 들어, 다음과 같다.

$\bigcap_{n\in\mathbb N}\left(-\frac1n,\frac1n\right)=\bigcap_{n\in\mathbb N}\left[-\frac1n,\frac1n\right]=\{0\}$
$\bigcap_{n\in\mathbb N}\left[0,\frac1n\right)=\bigcap_{n\in\mathbb N}\left[0,\frac1n\right]=\{0\}$ (이는 오른쪽 끝점에만 위 결론을 적용한 경우이다.)

비슷하게, 축소구간열 $(I_n)_{n\in\mathbb N}$이 임의의 자연수 $n\in\mathbb N$에 대하여, $a_n<\sup_{n\in\mathbb N}a_n\le\sup_{n\in\mathbb N}b_n

5. 일반화

칸토어의 교점 정리는 축소구간정리의 일반화된 형태이다.

=== 거리 공간 ===

축소구간정리는 유클리드 공간을 비롯한 거리 공간으로 일반화할 수 있다.

거리 공간 $X$ 의 부분 집합의 열 $(K_n)_{n\in\mathbb N}$ 이 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.

임의의 $n\in\mathbb N$ 에 대하여, $K_n$ 은 공집합이 아닌 콤팩트 집합이다.
임의의 $n\in\mathbb N$ 에 대하여, $K_n\supseteq K_{n+1}$ 이다.

그렇다면, 그들의 교집합은 공집합이 아니다. 또한, 추가적으로 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

$\lim_{n\to\infty}\operatorname{diam}K_n=0$ 즉, 거리 공간의 지름이 0으로 수렴한다.

그렇다면, 그들의 교집합은 한원소 집합이다.

=== 위상 공간 ===

위상 공간에서, 공집합이 아닌 콤팩트 닫힌집합의 하강 열의 교집합은 공집합이 아니다. 이는 칸토어 교점 정리를 위상 공간으로 확장한 개념이다.

5. 1. 거리 공간

축소구간정리는 유클리드 공간을 비롯한 거리 공간으로 일반화할 수 있다.

거리 공간

X

의 부분 집합의 열

(K_n)_{n\in\mathbb N}

이 다음 조건들을 만족시킨다고 하자.

임의의 $n\in\mathbb N$ 에 대하여, $K_n$ 은 공집합이 아닌 콤팩트 집합이다.
임의의 $n\in\mathbb N$ 에 대하여, $K_n\supseteq K_{n+1}$ 이다.

그렇다면, 그들의 교집합은 공집합이 아니다. 또한, 추가적으로 다음 조건을 만족시킨다고 하자.

$\lim_{n\to\infty}\operatorname{diam}K_n=0$ 즉, 거리 공간의 지름이 0으로 수렴한다.

그렇다면, 그들의 교집합은 한원소 집합이다.

5. 2. 위상 공간

위상 공간에서, 공집합이 아닌 콤팩트 닫힌집합의 하강 열의 교집합은 공집합이 아니다. 이는 칸토어 교점 정리를 위상 공간으로 확장한 개념이다.

6. 역사적 배경

서론에서 언급했듯이, 역사적으로 수학을 사용했던 사람들은 특정한 계산 방법으로 구간 중첩과 밀접하게 관련된 알고리즘을 발견했다.

1보다 큰 수 x의 제곱근을 찾는 경우,

1\leq \sqrt{x} \leq x

임을 알 수 있다. 따라서 x의 제곱근은 첫 번째 구간

I_1=[1, x]

안에 존재한다. 만약 x보다 큰 완전 제곱수

k^2 > x

를 알고 있다면, 첫 번째 구간을

I_1=[1, k]

로 설정할 수 있다.

이제 구간

I_n=[a_n, b_n], n\in\mathbb{N}

을 재귀적으로 정의한다. 중간점

m_n=\frac{a_n + b_n}{2}

을 계산하여,

m_n^2 \leq x

이면

I_{n+1} := \left[m_n, b_n\right]

,

m_n^2 > x

이면

I_{n+1} := \left[a_n, m_n\right]

로 설정한다. 즉,

I_{n}

의 중간점을

\sqrt{x}

와 비교하여 중간점이

\sqrt{x}

보다 작으면 다음 구간의 하한으로, 크면 상한으로 설정한다. 이렇게 하면

\sqrt{x}\in I_{n+1}

이 보장된다. 이 과정에서 구간은 중첩되고, 각 단계에서 길이

|I_n|

은 절반으로 줄어든다. 따라서 충분한 계산을 통해

\sqrt{x}

에 대한 하한과 상한을 임의의 정밀도로 구할 수 있다.

0 인 경우에도 \sqrt{y} 를 계산할 수 있다. 1/y>1 이므로, x:=1/y 로 설정하고 위 알고리즘을 사용하여 \sqrt{x} 를 구한 후, 역수를 취하면 된다.

제곱근 계산 알고리즘을 사용하여 루트 19/√19^영어의 값을 구하는 예시는 다음과 같다.

:1² < 19 < 5² 이므로, 첫 번째 구간 ''I''₁ := [1, 5]로 정의한다. 루트 19/√19^영어는 이 구간 안에 존재한다.

:구간의 중간값을 계산하고, 중간값의 제곱이 19보다 큰지 작은지를 판별하여 다음 구간을 결정한다.

:

\begin{aligned}m_1&=\dfrac{1+5}{2}=3   &&\Rightarrow\; m_1^2=9 \leq 19 &&\Rightarrow\; I_2=[3, 5]\\m_2&=\dfrac{3+5}{2}=4  &&\Rightarrow\; m_2^2=16 \leq 19 &&\Rightarrow\; I_3=[4, 5]\\m_3&=\dfrac{4+5}{2}=4.5 &&\Rightarrow\; m_3^2=20.25 > 19 &&\Rightarrow\; I_4=[4, 4.5]\\m_4&=\dfrac{4+4.5}{2}=4.25 &&\Rightarrow\; m_4^2=18.0625 \leq 19 &&\Rightarrow\; I_5=[4.25, 4.5]\\m_5&=\dfrac{4.25+4.5}{2}=4.375 &&\Rightarrow\; m_5^2=19.140625 > 19 &&\Rightarrow\; I_5=[4.25, 4.375]\\&\vdots & &\end{aligned}

:매번 새로운 중간값을 계산하면서, 루트 19/√19^영어의 가능한 값의 범위는 좁혀진다. 이 값들은 루트 19/√19^영어 = 4.35889894... 의 실제 값에 점점 더 가까워진다. 즉, 구간의 하한을 증가시키거나 상한을 감소시켜 루트 19/√19^영어의 값을 더욱 정밀하게 추정할 수 있다.

:이 과정은 원하는 정밀도에 도달할 때까지 반복할 수 있다. 이론적으로, 단계를 무한히 반복하면 제곱근의 실제 값에 도달할 수 있다.

바빌로니아 방법은

x>0

에 대한

\sqrt{x}

의 정확한 근사값을 훨씬 더 빠르게 산출하는 훨씬 더 효율적인 알고리즘이다. 중첩 구간을 사용하는 현대적인 설명은 위의 알고리즘과 유사하지만, 일련의 중점을 사용하는 대신, 다음 수열

(c_n)_{n\in\mathbb{N}}

을 사용한다.

:

c_{n+1}:=\frac{1}{2}\cdot\left(c_n + \frac{x}{c_n}\right)

.

이는

I_{n+1}:=\left[\frac{x}{c_n}, c_n\right]

및

I_1=[0, k]

로 주어지는 일련의 구간을 생성하며, 여기서

k^2>x

는

\sqrt{x}

에 대한 정확한 상한 및 하한을 매우 빠르게 제공한다. 실제로,

c_n

만 고려하면 되며, 이는

\sqrt{x}

로 수렴한다(물론 하한 구간도 마찬가지). 이 알고리즘은 뉴턴 방법의 특별한 경우이다.

원의 둘레에 대한 하한과 상한은 내접 및 외접 정다각형으로 구할 수 있다. 지름이 1인 원을 검토할 때, 원의 둘레는 (의 정의에 따라) 원의 수 π이다.

기원전 250년경 아르키메데스는 정육각형으로 시작하여, 변의 수를 96변 다각형에 도달할 때까지 연속적으로 두 배로 늘려, π/π^grc의 근사값을 계산했다. 아르키메데스는 이 방법을 통해 223/71 < π < 22/7 의 범위를 구했다. 상한 22/7 (약 3.143)는 오늘날에도 π의 근사값으로 자주 사용된다.

1600년경까지 아르키메데스의 방법은 π 계산의 표준이었으며, 네덜란드 수학자 루돌프 판 쾰런은 이 방법으로 π의 30자리 이상을 계산했다.

미적분학의 선구자 (미분 및 적분)에서 초기 중첩 구간 시퀀스의 사용을 찾아볼 수 있다. 컴퓨터 과학에서 중첩 구간 시퀀스는 수치 계산 알고리즘에 사용된다. 예를 들어, 이분법은 연속 함수의 근을 계산하는 데 사용될 수 있다. 수학적으로 무한한 시퀀스와는 대조적으로, 적용된 계산 알고리즘은 원하는 영점이 발견되었거나 충분히 잘 근사되었을 때 특정 지점에서 종료된다.

6. 1. 제곱근 계산

1보다 큰 수 x의 제곱근을 찾는 경우,

1\leq \sqrt{x} \leq x

임을 알 수 있다. 따라서 x의 제곱근은 첫 번째 구간

I_1=[1, x]

안에 존재한다. 만약 x보다 큰 완전 제곱수

k^2 > x

를 알고 있다면, 첫 번째 구간을

I_1=[1, k]

로 설정할 수 있다.

이제 구간

I_n=[a_n, b_n], n\in\mathbb{N}

을 재귀적으로 정의한다. 중간점

m_n=\frac{a_n + b_n}{2}

을 계산하여,

m_n^2 \leq x

이면

I_{n+1} := \left[m_n, b_n\right]

,

m_n^2 > x

이면

I_{n+1} := \left[a_n, m_n\right]

로 설정한다. 즉,

I_{n}

의 중간점을

\sqrt{x}

와 비교하여 중간점이

\sqrt{x}

보다 작으면 다음 구간의 하한으로, 크면 상한으로 설정한다. 이렇게 하면

\sqrt{x}\in I_{n+1}

이 보장된다. 이 과정에서 구간은 중첩되고, 각 단계에서 길이

|I_n|

은 절반으로 줄어든다. 따라서 충분한 계산을 통해

\sqrt{x}

에 대한 하한과 상한을 임의의 정밀도로 구할 수 있다.

0 인 경우에도 \sqrt{y} 를 계산할 수 있다. 1/y>1 이므로, x:=1/y 로 설정하고 위 알고리즘을 사용하여 \sqrt{x} 를 구한 후, 역수를 취하면 된다.

6. 1. 1. 예시

제곱근 계산 알고리즘을 사용하여 루트 19/√19^영어의 값을 구하는 예시는 다음과 같다.

:1² < 19 < 5² 이므로, 첫 번째 구간 ''I''₁ := [1, 5]로 정의한다. 루트 19/√19^영어는 이 구간 안에 존재한다.

:구간의 중간값을 계산하고, 중간값의 제곱이 19보다 큰지 작은지를 판별하여 다음 구간을 결정한다.

:

\begin{aligned}m_1&=\dfrac{1+5}{2}=3   &&\Rightarrow\; m_1^2=9 \leq 19 &&\Rightarrow\; I_2=[3, 5]\\m_2&=\dfrac{3+5}{2}=4  &&\Rightarrow\; m_2^2=16 \leq 19 &&\Rightarrow\; I_3=[4, 5]\\m_3&=\dfrac{4+5}{2}=4.5 &&\Rightarrow\; m_3^2=20.25 > 19 &&\Rightarrow\; I_4=[4, 4.5]\\m_4&=\dfrac{4+4.5}{2}=4.25 &&\Rightarrow\; m_4^2=18.0625 \leq 19 &&\Rightarrow\; I_5=[4.25, 4.5]\\m_5&=\dfrac{4.25+4.5}{2}=4.375 &&\Rightarrow\; m_5^2=19.140625 > 19 &&\Rightarrow\; I_5=[4.25, 4.375]\\&\vdots & &\end{aligned}

:매번 새로운 중간값을 계산하면서, 루트 19/√19^영어의 가능한 값의 범위는 좁혀진다. 이 값들은 루트 19/√19^영어 = 4.35889894... 의 실제 값에 점점 더 가까워진다. 즉, 구간의 하한을 증가시키거나 상한을 감소시켜 루트 19/√19^영어의 값을 더욱 정밀하게 추정할 수 있다.

:이 과정은 원하는 정밀도에 도달할 때까지 반복할 수 있다. 이론적으로, 단계를 무한히 반복하면 제곱근의 실제 값에 도달할 수 있다.

6. 1. 2. 헤론의 방법

바빌로니아 방법은

x>0

에 대한

\sqrt{x}

의 정확한 근사값을 훨씬 더 빠르게 산출하는 훨씬 더 효율적인 알고리즘이다. 중첩 구간을 사용하는 현대적인 설명은 위의 알고리즘과 유사하지만, 일련의 중점을 사용하는 대신, 다음 수열

(c_n)_{n\in\mathbb{N}}

을 사용한다.

:

c_{n+1}:=\frac{1}{2}\cdot\left(c_n + \frac{x}{c_n}\right)

.

이는

I_{n+1}:=\left[\frac{x}{c_n}, c_n\right]

및

I_1=[0, k]

로 주어지는 일련의 구간을 생성하며, 여기서

k^2>x

는

\sqrt{x}

에 대한 정확한 상한 및 하한을 매우 빠르게 제공한다. 실제로,

c_n

만 고려하면 되며, 이는

\sqrt{x}

로 수렴한다(물론 하한 구간도 마찬가지). 이 알고리즘은 뉴턴 방법의 특별한 경우이다.

6. 2. 아르키메데스의 원주율 계산

원의 둘레에 대한 하한과 상한은 내접 및 외접 정다각형으로 구할 수 있다. 지름이 1인 원을 검토할 때, 원의 둘레는 (의 정의에 따라) 원의 수 π이다.

기원전 250년경 아르키메데스는 정육각형으로 시작하여, 변의 수를 96변 다각형에 도달할 때까지 연속적으로 두 배로 늘려, π/π^grc의 근사값을 계산했다. 아르키메데스는 이 방법을 통해 223/71 < π < 22/7 의 범위를 구했다. 상한 22/7 (약 3.143)는 오늘날에도 π의 근사값으로 자주 사용된다.

1600년경까지 아르키메데스의 방법은 π 계산의 표준이었으며, 네덜란드 수학자 루돌프 판 쾰런은 이 방법으로 π의 30자리 이상을 계산했다.

6. 3. 기타 활용 사례

미적분학의 선구자 (미분 및 적분)에서 초기 중첩 구간 시퀀스의 사용을 찾아볼 수 있다. 컴퓨터 과학에서 중첩 구간 시퀀스는 수치 계산 알고리즘에 사용된다. 예를 들어, 이분법은 연속 함수의 근을 계산하는 데 사용될 수 있다. 수학적으로 무한한 시퀀스와는 대조적으로, 적용된 계산 알고리즘은 원하는 영점이 발견되었거나 충분히 잘 근사되었을 때 특정 지점에서 종료된다.

7. 실수의 구성

수학적 분석에서, 축소구간정리는 실수를 유리수의 완비화로 공리적으로 도입하는 한 가지 방법을 제공하며, 이는 연속성 및 미분 가능성의 개념을 논의하는 데 필수적이다. 역사적으로, 1600년대 후반 아이작 뉴턴과 고트프리트 빌헬름 라이프니츠의 미분 및 적분 미적분학 발견은, 그들의 방법이 물리학, 공학 및 기타 과학 분야에서 성공을 거두었음에도 불구하고, 그들의 방법을 엄밀하게 증명하려는 수학자들에게 엄청난 도전 과제를 제시했다. 축소구간정리의 공리적 설명 (또는 그에 상응하는 공리)은 미적분학의 현대적 이해를 위한 중요한 토대가 되었다.

이 문서의 맥락에서, ℝ은 + 및 ·과 함께 아르키메데스 순서체이며, 이는 순서의 공리와 아르키메데스 성질이 성립함을 의미한다.

실수의 완비성 공리는 모든 중첩 구간의 수열 (''I''_''n'')_''n''∈ℕ에 대해, 모든 구간 ''I''_''n''에 포함되는 실수가 항상 존재한다는 것을 의미한다. 이는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:∃ ''x''∈ℝ: ''x''∈∩_''n''∈ℕ ''I''_''n''.

7. 1. 완비성 공리

실수의 완비성 공리는 모든 중첩 구간의 수열

(I_n)_{n\in\mathbb{N}}

에 대해, 모든 구간

I_n

에 포함되는 실수가 항상 존재한다는 것을 의미한다. 이는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\exists x\in\mathbb{R}: \;x\in\bigcap_{n\in\mathbb{N}} I_n

.

8. 직접적인 결과

8. 1. 제곱근의 존재성

위에서 제곱근에 대해 설명한 알고리즘을 일반화하면, 실수 내에서 방정식

x=y^j,\; j\in\mathbb{N}, x>0

는 항상

y=\sqrt[j]{x}=x^{1/j}

에 대해 해를 가짐을 증명할 수 있다. 이는

x=y^k

를 만족하는 유일한 실수

y>0

가 존재한다는 것을 의미한다.

n

번째 구간의 중간점

m_n

이

m_n^k

보다 작거나 같거나 큰지를 살펴봄으로써,

x

의

k

제곱근, 즉

y

에 대한 중첩 구간의 수열을 얻을 수 있다.

8. 2. 유계 집합의 상한과 하한의 존재성

일반성의 상실 없이 상한을 갖는 집합

A\subset \mathbb{R}

을 살펴볼 수 있다. 모든

x\in A

에 대해

x\leq b

를 만족하는 숫자

b

가 존재한다면, 숫자

s=\sup(A)

를 '

A

의 상한'이라고 부를 수 있다. 이러한 숫자

s

는 다음 조건을 만족해야 하며 단 하나만 존재할 수 있다.

# 숫자

s

는

A

의 상한이다. 즉,

\forall x \in A: \; x\leq s

#

s

는

A

의 최소 상한이다. 즉,

\forall \sigma < s : \; \exists x\in A: \; x >\sigma

유사하게, 아래로 경계가 있는 집합

B\subset \mathbb{R}

의 '하한(

\inf(B)

)'을 그 집합의 최대 하한으로 정의할 수 있다.

이제 다음과 같은 두 가지 속성을 갖는 중첩 구간

I_n=[a_n, b_n]

의 수열

(I_n)_{n\in\mathbb{N}}

을 구성할 수 있다.

# 모든

n\in\mathbb{N}

에 대해

b_n

은

A

의 상한이다.

# 모든

n\in\mathbb{N}

에 대해

a_n

은

A

의 상한이 아니다.

구성은 상한이 아닌 임의의 수

a_1

(예:

a_1=c - 1

, 여기서

c\in A

)과

A

의 임의의 상한

b_1

에서 시작하여 재귀적으로 수행된다. 어떤

n\in\mathbb{N}

에 대해

I_n=[a_n, b_n]

이 주어지면 중점

m_n:= \frac{a_n+b_n}{2}

을 계산하고 다음과 같이 정의한다.

:

I_{n+1} := \left\{\begin{matrix}\left[a_n, m_n\right] && \text{if}\; m_n \;\text{is an upper bound of}\; A \\\left[m_n, b_n\right] && \text{if}\; m_n \;\text{is not an upper bound}\end{matrix}\right.

이 구간 수열은 잘 정의되어 있으며, 구성에 의해 명백히 중첩 구간의 수열이다.

모든 구간 내의 수(그 존재는 공리에 의해 보장됨)를

s

라고 하면,

s

는

A

의 상한이다. 그렇지 않다면

x>s

인

x\in A

가 존재한다. 또한, 이는

b_m - a_m < x-s

인 구간

I_m=[a_m, b_m]

의 존재를 암시하며, 이는

s

가

I_m

의 요소이기도 하므로

b_m - s < x-s

로 이어진다. 그러나 이는 상한의 속성 1에 모순된다(즉, 모든

m\in\mathbb{N}

에 대해

b_m). 따라서 s 는 실제로 A 의 상한이다.

A

의 하위 상한

\sigma < s

가 존재한다고 가정해 보자.

(I_n)_{n\in\mathbb{N}}

이 중첩 구간의 수열이므로 구간 길이는 임의로 작아진다. 특히 길이가

s-\sigma

보다 작은 구간이 존재한다. 그러나

s\in I_n

으로부터

s-a_n 를 얻고 따라서 a_n>\sigma 를 얻는다. 이 구성 규칙에 따르면 a_n 은 A 의 상한이어야 하며, 이는 모든 중첩 구간 수열의 속성 2에 모순된다.

두 단계에서

s

가

A

의 상한이고, 하위 상한이 존재할 수 없다는 것을 보였다. 따라서 정의에 의해

s

는

A

의 상한이다.

앞서 살펴본 바와 같이, 유계 집합의 상한과 하한의 존재는

\mathbb{R}

의 완비성의 결과이다. 실제로 이 둘은 동치이며, 둘 중 하나를 공리적으로 도입할 수 있다. 증명은 다음과 같다.

I_n=[a_n, b_n]

인

(I_n)_{n\in\mathbb{N}}

을 중첩된 구간의 수열이라고 하면, 집합

A:=\{a_1, a_2,\dots\}

는 위로 유계이며, 여기서 모든

b_n

은 상한이다. 이는 최소 상한

s=\sup(A)

가 모든

n\in\mathbb{N}

에 대해

a_n\leq s\leq b_n

을 만족함을 의미한다. 따라서 모든

n\in\mathbb{N}

에 대해

s\in I_n

이며,

s\in\cap_{n\in\mathbb{N}} I_n

이다.

8. 3. 추가적인 결과

수열의 수렴과 수열의 집적점을 정의한 후, 축소구간정리를 사용하여 볼차노-바이어슈트라스 정리를 증명할 수 있다. 또한, 코시 수열이 수렴한다는 사실 및 모든 수렴 수열은 코시 수열이라는 사실을 증명할 수 있다. 이는 완비성 성질의 증명을 가능하게 한다.

9. 관련 논의

수열의 구간이 무엇을 의미하는지 구체적으로 명시하지 않으면, 모든 자연수에 걸쳐 교집합 $\cap_{n\in\mathbb{N}} I_n$ 에 대해 말할 수 있는 것은 공집합 $\emptyset$ 이거나, 수직선 위의 점 (단일 집합 $\{x\}$ 라고 함)이거나, 어떤 구간이라는 것이다.

공집합 교집합의 가능성은 열린 구간 $I_n=\left(0, \frac{1}{n}\right) = \left\{x\in\mathbb{R}:0 의 수열을 살펴봄으로써 설명할 수 있다.$

이 경우, 공집합 $\emptyset$ 이 교집합 $\cap_{n\in\mathbb{N}} I_n$ 의 결과로 나타난다. 이 결과는 임의의 수 $x>0$ 에 대해 $n\in\mathbb{N}$ 의 어떤 값 (즉, $n>1/x$ 인 모든 값)이 존재하여 $1/n 가 된다는 사실에서 비롯된다. 이는 실수에 대한 아르키메데스 성질 에 의해 주어지는 것이다. 따라서, x > 0 이 아무리 작더라도, 수열에서 x\notin I_n, 을 의미하는 구간 I_n 을 항상 찾을 수 있으며, 이는 교집합이 비어 있어야 함을 의미한다.$

닫힌 구간의 경우에는 상황이 다르다. 위 상황을 $I_n=\left[0, \frac{1}{n}\right] = \left\{x\in\mathbb{R}:0 \leq x \leq \frac{1}{n}\right\}$ 와 같은 유형의 닫힌 구간을 살펴보는 것으로 변경하면 이를 매우 명확하게 볼 수 있다. 이제 각 $x>0$ 에 대해 해당 $x$ 를 포함하지 않는 구간을 항상 찾을 수 있지만, $x=0$ 의 경우 속성 $0\leq x \leq 1/n$ 은 모든 $n\in\mathbb{N}$ 에 대해 참이다. 이 경우, $\cap_{n\in\mathbb{N}} I_n = \{0\}$ 이라고 결론 내릴 수 있다.

각 구간의 여집합, 즉 $(-\infty,a_n) \cup (b_n, \infty)$ 를 고려할 수도 있는데, 이는 마지막 예에서 $(-\infty,0) \cup (1/n, \infty)$ 이다. 드 모르간의 법칙에 의해, 교집합의 여집합은 두 개의 상호 배타적인 열린 집합의 합집합이다. 실수선의 연결성에 의해 그 사이에 무언가가 있어야 한다. 이는 (심지어 가산 무한 개의) 중첩된 닫힌 유계 구간의 교집합이 공집합이 아님을 보여준다.

9. 1. 열린 구간의 경우

모든 자연수에 걸쳐 교집합

\cap_{n\in\mathbb{N}} I_n

을 정의할 때, 그 결과는 공집합(

\emptyset

), 수직선 위의 점(단일 집합

\{x\}

), 또는 특정 구간이 될 수 있다.

열린 구간

I_n=\left(0, \frac{1}{n}\right) = \left\{x\in\mathbb{R}:0 의 수열을 예로 들면, 교집합 \cap_{n\in\mathbb{N}} I_n 은 공집합이다. 임의의 수 x>0 에 대해 n>1/x 이면 1/n 가 성립한다는 아르키메데스 성질 에 따라, 아무리 작은 x > 0 라도 x\notin I_n 를 만족시키는 구간 I_n 이 존재하므로 교집합은 공집합이어야 한다.

반면, 닫힌 구간

I_n=\left[0, \frac{1}{n}\right] = \left\{x\in\mathbb{R}:0 \leq x \leq \frac{1}{n}\right\}

의 경우, 모든

n\in\mathbb{N}

에 대해

0\leq x \leq 1/n

을 만족하는

x=0

이 존재하므로

\cap_{n\in\mathbb{N}} I_n = \{0\}

이 된다.

각 구간의 여집합

(-\infty,a_n) \cup (b_n, \infty)

을 고려하고, 드 모르간의 법칙을 적용하면, 교집합의 여집합은 두 개의 상호 배타적인 열린 집합의 합집합이 된다. 실수선의 연결성에 의해, 중첩된 닫힌 유계 구간의 교집합은 공집합이 될 수 없다.

9. 2. 고차원에서의 확장

2차원에서도 유사한 결과가 있다. 평면 내의 중첩된 닫힌 원판은 공통적인 교차점을 가져야 한다. 이 결과는 헤르만 바일에 의해 특정 미분 방정식의 특이한 거동을 분류하기 위해 증명되었다.

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