삼각 함수의 덧셈 정리
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1. 개요
삼각 함수의 덧셈 정리는 삼각 함수의 합과 차를 삼각 함수의 곱으로 나타내는 공식이다. 사인, 코사인, 탄젠트 함수에 대한 덧셈 정리가 있으며, 이를 통해 삼각 함수의 값을 계산하고, 삼각 함수와 관련된 다양한 문제를 해결할 수 있다. 덧셈 정리는 사인 함수의 덧셈 정리, 코사인 함수의 덧셈 정리, 탄젠트 함수의 덧셈 정리 및 변형된 뺄셈 정리 등으로 구성되며, 유클리드 기하학, 행렬, 그리고 삼각함수의 성질들을 이용하여 유도할 수 있다.
2. 사인함수의 덧셈정리
예각삼각형 ABC 의 넓이를 두 가지 방법으로 계산하여 비교함으로써 사인 함수의 덧셈정리를 유도할 수 있다.ABC 의 넓이는 꼭짓점 A 에서 내린 수선 AH 에 의해 나뉜 두 삼각형 AHB 와 AHC 의 넓이의 합과 같다.ABC 의 넓이를 \angle BAC = \alpha + \beta 를 이용하여 표현하는 방식과, 두 작은 삼각형 넓이의 합을 각 변과 각도를 이용하여 표현하는 방식을 비교하면 다음의 사인 함수 덧셈정리 공식을 얻는다. \sin(\alpha+\beta) = \sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha
2. 1. 사인함수의 덧셈정리 공식 유도
예각 삼각형 ABC에서 높이 AH를 내려 삼각형의 넓이를 이용한 사인 덧셈정리 유도 예각삼각형 ABC 의 넓이 \triangle ABC 를 이용하여 사인 함수의 덧셈정리를 유도할 수 있다.ABC 의 꼭짓점 A 에서 밑변 BC 에 내린 수선의 발을 H 라 하고, \angle BAH = \alpha , \angle CAH = \beta 라고 하자. 삼각형 ABC 의 넓이는 두 삼각형 AHB 와 AHC 의 넓이의 합과 같다.\triangle ABC = \triangle AHB + \triangle AHC (\text{넓이} = \frac{1}{2}ab\sin C) 을 이용하면, \angle BAC = \alpha + \beta 이므로 삼각형 ABC 의 넓이는 다음과 같다.\triangle ABC = {1 \over{2}} bc \sin(\alpha+\beta) AHB 와 AHC 의 넓이의 합은 다음 과정을 통해 계산할 수 있다.\triangle AHB+\triangle AHC ={1 \over{2}}\; \overline{BH}\;\overline{AH} + {1 \over{2}}\; \overline{CH}\;\overline{AH} ={1 \over{2}}c \sin \alpha \; b \cos \beta + {1 \over{2}} b \sin \beta \; c \cos \alpha ={1 \over{2}}cb (\sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha) {1 \over{2}} bc \sin(\alpha+\beta) = {1 \over{2}}cb (\sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha) {1 \over{2}} bc 를 소거하면 사인 함수의 덧셈정리 공식을 얻는다. \sin(\alpha+\beta) = \sin \alpha \cos \beta + \sin \beta \cos \alpha
3. 코사인의 덧셈정리
코사인 함수의 덧셈정리는 주로 제2코사인법칙과 두 점 사이의 거리 공식을 이용하여 유도할 수 있다.단위원 위의 두 점 P(\cos \alpha, \sin \alpha) 와 Q(\cos \beta, \sin \beta) 를 생각해보자. 두 점 사이의 거리 공식을 이용하여 선분 \overline{PQ} 의 길이를 \alpha 와 \beta 의 삼각함수로 나타내는 방법과,O 와 두 점 P, Q 로 이루어진 삼각형 \triangle{OPQ} 에 제2코사인법칙을 적용하여 선분 \overline{PQ} 의 길이를 \cos(\alpha - \beta) 로 나타내는 방법이 있다.\overline{PQ} 의 길이 제곱(\overline{PQ}^2 )은 서로 같아야 한다. 두 결과를 비교하여 정리하면 다음과 같은 코사인 함수의 뺄셈에 대한 덧셈정리 공식을 얻는다. \cos (\alpha-\beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin\alpha \sin \beta
3. 1. 제2코사인법칙을 이용한 유도
단위원 위의 두 점 P= (\cos \alpha, \sin \alpha) 와 Q= (\cos \beta, \sin \beta) 를 생각하자. 두 점 사이의 거리 공식을 이용하면 선분 \overline{PQ} 의 길이 제곱은 다음과 같다.\overline{PQ}^2 = (\cos \beta - \cos \alpha )^2 + ( \sin \beta - \sin \alpha)^2 = (\cos^2 \beta - 2\cos \alpha \cos \beta + \cos^2 \alpha ) + ( \sin^2 \beta -2 \sin\alpha \sin \beta + \sin^2 \alpha ) = (\cos^2 \beta + \sin^2 \beta ) + (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha ) - 2\cos \alpha \cos \beta -2 \sin\alpha \sin \beta 삼각 함수 항등식 중 피타고라스 정리 에 의해 \sin^2{x} + \cos^2{x} = 1 이므로,= 1 + 1 - 2 (\cos \alpha \cos \beta + \sin\alpha \sin \beta ) \overline{PQ}^2= 2 - 2 (\cos \alpha \cos \beta + \sin\alpha \sin \beta ) O 와 두 점 P, Q 가 이루는 삼각형 \triangle{OPQ} 를 생각하자. \overline{OP} = \overline{OQ} = 1 이고 두 반지름이 이루는 각의 크기는 \angle{POQ} = \alpha - \beta (또는 \beta - \alpha )이다. 삼각형 \triangle{OPQ} 에 제2코사인법칙을 적용하면 다음과 같다.\overline{PQ}^2= \overline{OP}^2 +\overline{OQ}^2 - 2 (\overline{OP} \cdot \overline{OQ} \cos (\alpha-\beta)) \overline{PQ}^2= 1^2 + 1^2 - 2 (1 \cdot 1 \cos (\alpha-\beta)) \overline{PQ}^2= 2 - 2 \cos (\alpha-\beta) \overline{PQ}^2 의 식은 같아야 하므로,2 - 2 \cos (\alpha-\beta) = 2 - 2 (\cos \alpha \cos \beta + \sin\alpha \sin \beta ) \cos (\alpha-\beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin\alpha \sin \beta 3. 2. 두 점 사이의 거리를 이용한 유도
단위원 위의 두 점 P, Q의 좌표를 각각 P(\cos \alpha, \sin \alpha) , Q(\cos \beta, \sin \beta) 라고 하자. 두 점 사이의 거리 공식을 이용하여 선분 PQ의 길이 제곱을 구하면 다음과 같다.\overline{PQ}^2 = (\cos \beta - \cos \alpha)^2 + (\sin \beta - \sin \alpha)^2 = (\cos^2 \beta - 2\cos \alpha \cos \beta + \cos^2 \alpha) + (\sin^2 \beta - 2\sin \alpha \sin \beta + \sin^2 \alpha) = (\cos^2 \beta + \sin^2 \beta) + (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) - 2(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) 삼각 함수 항등식 중 피타고라스 정리 에 의해 \sin^2 x + \cos^2 x = 1 이므로,= 1 + 1 - 2(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) \overline{PQ}^2 = 2 - 2(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) \overline{OP} = \overline{OQ} = 1 (단위원의 반지름)이고, 두 반지름 사이의 각은 \alpha - \beta 이다.\overline{PQ}^2 = \overline{OP}^2 + \overline{OQ}^2 - 2 \cdot \overline{OP} \cdot \overline{OQ} \cos(\alpha - \beta) = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cos(\alpha - \beta) \overline{PQ}^2 = 2 - 2 \cos(\alpha - \beta) \overline{PQ}^2 는 같아야 하므로,2 - 2 \cos(\alpha - \beta) = 2 - 2(\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta) \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta
4. 탄젠트의 덧셈정리
사인 함수와 코사인 함수의 덧셈정리를 이용하여 탄젠트 함수의 덧셈정리를 유도할 수 있다. 탄젠트 함수의 덧셈정리 공식은 다음과 같다.\tan \left(x + y \right) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}
4. 1. 탄젠트함수의 덧셈정리 공식 유도
탄젠트 함수의 정의는 다음과 같다.\tan x= \tan(x+y) 를 사인 과 코사인 함수로 표현한다.\tan \left(x + y \right)= 사인 과 코사인 함수의 덧셈정리 공식을 적용한다.\tan \left(x + y \right)={ {\sin x \cos y + \cos x \sin y } \over{\cos x \cos y - \sin x \sin y} } \cos x \cos y 로 나눈다.\tan \left(x + y \right)={ { { {\sin x \cos y}\over{\cos x \cos y} } + { { {\cos x \sin y} \over{\cos x \cos y}} } } \over { { {\cos x \cos y} \over{\cos x \cos y}} -{ {\sin x \sin y} \over{\cos x \cos y}} } } \tan \left(x + y \right)={ { { \tan x} + { \tan y } } \over { 1 -{ \tan x \tan y } } }
5. 덧셈정리의 변형
삼각 함수의 덧셈정리는 각 항의 부호를 바꾸는 간단한 변형을 통해 삼각함수의 뺄셈 정리와 같은 다른 유용한 공식들을 유도하는 데 사용될 수 있다. 이러한 변형은 주로 삼각함수의 음각 공식 을 활용하여 이루어진다.
\sin(x - y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y 코사인(cosine) 함수의 덧셈 정리 (다른 유도 방식): \cos(x + y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y \tan(x - y) = \frac{\tan x - \tan y}{1 + \tan x \tan y} 5. 1. 뺄셈 정리 유도
삼각함수의 음각 공식 \theta 에 음의 부호를 대입하면 다음과 같은 관계가 성립한다. 이를 음각 공식 이라고 한다.\sin (-\theta) = -\sin \theta \cos (-\theta)= \cos \theta \tan (-\theta)=={-{\sin \theta} \over{\cos \theta}}=- \tan \theta \sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y 에 y 대신 -y 를 대입하고 음각 공식을 적용하면 다음과 같이 사인 함수의 뺄셈 정리를 얻는다.\sin \left(x + (-y )\right)=\sin x \cos (-y) + \cos x \sin (-y) \sin \left(x - y\right)=\sin x \cos y - \cos x \sin y \cos \left(x - (-y)\right) 형태에 음각 공식을 적용할 수 있다. (주어진 원본 소스는 이 과정을 포함한다.)\cos \left(x - (-y)\right)=\cos x \cos (-y) + \sin x \sin (-y) \cos \left(x + y\right)=\cos x \cos y - \sin x \sin y 를 얻는다.\tan(x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y} 에 y 대신 -y 를 대입하고 음각 공식을 적용하면 다음과 같이 탄젠트 함수의 뺄셈 정리를 얻는다.\tan (x+(-y))={ { { \tan x} + { \tan(-y)} } \over { 1 -{ \tan x \tan (-y) } } } \tan (x-y)={ { { \tan x} -{\tan y} } \over { 1 +{ \tan x \tan y } } }
6. 유클리드 기하학 원론을 이용한 정리
유클리드의 기하학 원론 2권 법칙 9삼각 함수 의 덧셈 정리를 기하학 적으로 증명 하는 방법이 있다. 이 방법은 특정 도형을 설정하고, 그 안에서 선분들의 길이를 사인 과 코사인 함수를 이용해 표현한 뒤, 도형의 기하학적 관계를 통해 각의 합(α + β)에 대한 사인과 코사인 값을 유도하는 과정을 따른다.
6. 1. 사인함수의 덧셈정리 유도
정삼각형을 이용한 삼각함수 덧셈정리 유도 정삼각형 에서 \overline{AE}= 1 로 가정한다. \over {1}}= { \cos \alpha} \over {1}} = { \sin \alpha} \over{AF}}= {\overline{FD}}= {\overline{GC}} = {\sin \beta {\overline{AF}}}={\sin \beta \cos \alpha} \over{\overline{EF}}}= {\overline{EG}} = {\overline{EF}} ={\cos \beta} { \sin \alpha} {\sin(\alpha + \beta)}= +{\overline{GC}} }\over {1}} {\sin(\alpha + \beta)}= + {\sin(\alpha + \beta)}= {\sin \alpha \cos \beta} + {\cos \alpha \sin \beta} 6. 2. 코사인의 덧셈정리 유도
정삼각형 에서, \overline{AE}= 1 , \angle A = \angle E = \angle B, \angle A = \angle \alpha + \angle \beta , \angle \alpha = \angle \beta \over {1}} = { \sin \alpha} \over {1}} = { \cos \alpha} \over{AF}}= {\overline{AD}}= { \cos \beta} {\overline{AF}} {\overline{AD}}= { \cos \beta} { \cos \alpha} \over{\overline{EF}}}= }= {\overline{EF}} }= {\sin \alpha} {\overline{GF}} ={\overline{CD}} ={ \sin \beta} { \sin \alpha} {\cos(\alpha + \beta)}= }\over {1}} {\cos(\alpha + \beta)}= }-{\overline{CD}}} {\cos(\alpha + \beta)}= -
7. 행렬을 이용한 정리
회전 변환 행렬을 이용한 덧셈정리 유도 (x, y) 를 원점을 중심으로 각도 \theta 만큼 회전 변환시키는 것은 다음 행렬 을 이용하여 표현할 수 있다. 이 행렬을 회전 행렬이라고 한다.단위원 위의 점 (\cos x, \sin x) 를 각도 y 만큼 회전시키면 점 (\cos(x+y), \sin(x+y)) 가 되는데, 이를 회전 행렬을 이용하여 나타내면 다음과 같다.\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y \sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y
7. 1. 회전 변환 행렬 유도
단위원 위의 점은 각도 α에 대해 (\cos \alpha, \sin \alpha) 로 나타낼 수 있다. 만약 점 P가 단위원 위의 점이라면, x = \cos \alpha , y = \sin \alpha 로 놓을 수 있다.(\cos(\alpha+\theta), \sin(\alpha+\theta)) 가 된다. 즉,x' = \cos(\alpha+\theta) y' = \sin(\alpha+\theta) x' = \cos \alpha \cos \theta - \sin \alpha \sin \theta y' = \sin \alpha \cos \theta + \cos \alpha \sin \theta x = \cos \alpha , y = \sin \alpha 를 대입하면 다음과 같다.x' = x \cos \theta - y \sin \theta y' = y \cos \theta + x \sin \theta = x \sin \theta + y \cos \theta 행렬 로 표현하면 다음과 같다.(\cos x, \sin x) 를 다시 각도 y만큼 회전시키면, 총 x+y 만큼 회전한 점 (\cos(x+y), \sin(x+y)) 가 된다. 이를 행렬로 표현하면 다음과 같다.\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y \sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y 7. 2. 덧셈정리 공식 유도
단위원 상의 점 P(\cos x, \sin x) 를 원점을 중심으로 각도 y 만큼 회전 변환시킨 점을 P'(\cos(x+y), \sin(x+y)) 라고 하자.행렬 을 이용하여 점 P'의 좌표를 구하면 다음과 같다.\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y \sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y 사인 함수의 덧셈정리 공식을 나타낸다.
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