슐츠 방법

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1. 개요
2. 역사
3. 방법
4. 구현
5. 특징
- 5.1. 장점
- 5.2. 단점
6. 활용 사례
7. 다른 선거 방식과의 비교
참조

1. 개요

슐츠 방법은 1997년 마르쿠스 슐츠가 개발한 선거 방식이다. 순위 투표 용지를 사용하며, 앨리스가 밥을 이기고 밥이 찰리를 이기면 앨리스가 찰리를 이기는 방식으로 비트패스를 구성하여 각 비트패스에 강도를 할당한다. 슐츠 방법은 콩도르세 방법이며, 다수결의 원칙을 확장한다. 이 방식은 슐츠 방법은 여러 단체에서 활용되고 있으며, 다른 선거 방식과 비교하여 다양한 특징을 갖는다.

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슐츠 방법
개요
유형	단일 당선인 선거 방식
다른 이름	슈르츠 순위 선호 방식 (Schulze ranked preference method), 슈르츠 승자 (Schulze winner), Schwartz Sequential Dropping (SSD), 비트위즈 순위 쌍 (beatpath Ranked Pairs), 경로 투표 (path voting)
고안자	마르쿠스 슈르츠
날짜	1997년
속성
기준	콘도르세 기준 충족
일관성 기준	충족
무관한 대안의 독립성 기준	충족하지 못함
단조성 기준	충족
역전된 기준	충족
복수성 기준	충족
참여 기준	충족하지 못함
스미스 기준	충족
스미스-콘도르세 기준	충족
사용
사용처	해커 커뮤니티 (Debian, Gentoo, Software in the Public Interest) 해적당 다양한 단체
변형	Cloneproof Schwartz Sequential Dropping (CSSD) Schulze-Warren 방식

2. 역사

슐츠 방법은 1997년 마르쿠스 슐츠가 개발하였다. 1997년부터 1998년 사이^[6]와 2000년에^[7] 공개 메일링 리스트에서 처음으로 논의되었다. 2011년, 슐츠는 학술지 ''사회 선택과 복지''에 이 방법을 게재했다.^[2]

그 후 슐츠 방식은 소프트웨어 인 더 퍼블릭 인터레스트(2003년)^[94], 데비안(2003년)^[95], 젠투(2005년)^[96], TopCoder(2005년)^[97], 위키미디어(2008년)^[98], KDE(2008년)^[99], 자유 소프트웨어 재단 유럽(2008년)^[100], 스웨덴 해적당(2009년)^[101], 독일 해적당(2010년)^[102] 등에서 사용되고 있다. 프랑스어판 위키백과에서는 2005년에 다수결로 찬성된 두 명의 후보가 있는 경우의 방식 중 하나이며^[103], 여러 번 사용되었다.^[104]

3. 방법

슐츠 방법은 동률을 허용하는 순위 투표 용지를 사용하며, 일반적으로 다음 두 가지 설명이 사용된다. (두 설명은 동등하다.)

W 후보자보다 V 후보자를 선호하는 투표자 수를 d[V,W]로 나타낸다.

X 후보자에서 Y 후보자로의 '''강도''' p의 '''경로'''는 후보자 C(1), …, C(n)의 수열로서, 다음 조건을 모두 만족하는 것이다.

# C(1) = X이고 C(n) = Y이다.

# 임의의 i = 1, …, n-1에 대하여 d[C(i),C(i+1)] > d[C(i+1),C(i)]이다.

# 임의의 i = 1, …, n-1에 대하여 d[C(i),C(i+1)] ≥ p이다.

A 후보자에서 B 후보자로의 경로 강도 최댓값을 p[A,B]로 나타낸다. 그러한 경로가 없다면 p[A,B] = 0으로 정의한다.

p[D,E] > p[E,D]이면, D 후보자는 E 후보자보다 '''우위'''에 있다고 간주한다. D 후보자가 다른 모든 E 후보자에 대해 p[D,E] ≥ p[E,D]이면, D 후보자는 '''당선 가능성이 있다'''.

p[X,Y] > p[Y,X]이고 p[Y,Z] > p[Z,Y]이면, p[X,Z] > p[Z,X]임을 증명할 수 있다.^[105] 이는 "'''우위'''"라는 이항 관계가 추이 관계임을 의미하며, 다른 모든 후보자 E에 대해 p[D,E] ≥ p[E,D]를 만족하는 후보자 D가 적어도 한 명은 있음을 보장한다.
예시45명의 투표자가 5명의 후보 A, B, C, D, E를 순위 매기는 다음 예시를 통해 슐츠 방법을 간단하게 알아보자.

5 ACBED (5명의 투표자가 A > C > B > E > D로 선호)
5 ADECB
8 BEDAC
3 CABED
7 CAEBD
2 CBADE
7 DCEBA
8 EBADC

먼저, 각 후보 쌍에 대한 선호를 계산한다. 예를 들어 A와 B를 비교하면, B보다 A를 선호하는 투표자는 20명(5+5+3+7), A보다 B를 선호하는 투표자는 25명(8+2+7+8)이다. 따라서 d[A,B] = 20, d[B,A] = 25이다.

쌍에 관한 선호
	d[*,A]	d[*,B]	d[*,C]	d[*,D]	d[*,E]
d[A,*]		20	26	30	22
d[B,*]	25		16	33	18
d[C,*]	19	29		17	24
d[D,*]	15	12	28		14
d[E,*]	23	27	21	31

위 도식은 최강 경로를 시각적으로 파악하기 쉽게 한 것으로, X에서 Y로의 화살표에 d[X,Y] 값을 붙인 유향 그래프이다. (d[X,Y] > d[Y,X]인 경우만 표시)

경로의 '''강도'''는 경로를 구성하는 변의 강도 중 최소값이다. 예를 들어 B에서 D로의 최강 경로는 강도 33의 직접 경로 (B,D)이며, p[B,D] = 33이다. A에서 C로의 최강 경로는 (A,D,C)이며, 강도는 d[A,D] = 30과 d[D,C] = 28 중 작은 값인 28이다. (p[A,C] = 28)

최강 경로의 강도는 아래 표와 같다.

최강 경로의 강도
	p[*,A]	p[*,B]	p[*,C]	p[*,D]	p[*,E]
p[A,*]		28	28	30	24
p[B,*]	25		28	33	24
p[C,*]	25	29		29	24
d[D,*]	25	28	28		24
p[E,*]	25	28	28	31

이제 슐츠 방식에 따른 결과를 확정할 수 있다. 예를 들어 A와 B를 비교하면 28 = p[A,B] > p[B,A] = 25이므로 A 후보자가 B 후보자보다 '''좋다'''. E와 D를 비교하면 31 = p[E,D] > p[D,E] = 24이므로 E 후보자가 D 후보자보다 '''좋다'''. 마찬가지로 모든 후보자를 비교하면 E > A > C > B > D 순으로 E가 당선된다. 즉, E는 다른 모든 후보자 X에 대해 p[E,X] > p[X,E]이기 때문에 당선되었다.

3. 1. 투표 용지

슐츠 방식에서는 유권자가 후보자들에 대한 선호 순위를 표시하는 순위 투표 용지를 사용한다. 투표 용지에는 후보자 목록이 나열되어 있으며, 유권자는 가장 선호하는 후보부터 순서대로 번호를 매겨 선호를 표시한다. 예를 들어, 가장 선호하는 후보에게는 '1'을, 그 다음으로 선호하는 후보에게는 '2'를 기입하는 방식이다.^[105]

다음과 같은 사항도 허용된다.

여러 후보자에게 같은 번호를 매기는 것: 이는 해당 후보들 사이에 선호도 차이가 없음을 의미한다.
연속되지 않은 번호를 사용하는 것: 번호의 절대적인 크기는 중요하지 않고, 오직 선호 순서만이 중요하다.
일부 후보에게 순위를 매기지 않는 것: 순위가 매겨지지 않은 후보는 순위가 매겨진 후보보다 덜 선호되며, 순위가 매겨지지 않은 후보들 사이에는 선호도 차이가 없는 것으로 간주된다.

3. 2. 슐츠 방식의 계산

슐츠 방식은 순위 투표 용지를 사용하여 승자를 결정하는 방법이다. 슐츠 방식에서는 각 투표자가 후보자들에 대한 선호도를 순위로 매긴다. 동률도 허용된다.

슐츠 방식은 비트패스(beatpath)라는 개념을 사용한다. 비트패스는 후보자 A에서 B로 가는 일련의 "승리"들을 의미한다. 예를 들어, A가 B를 이기고, B가 C를 이기면, A는 C를 "간접적으로" 이긴다고 할 수 있다.

모든 비트패스에는 강도가 부여된다. A에서 B로 가는 단일 단계 비트패스의 강도는 A를 B보다 더 선호하는 유권자의 수와 같다. 여러 단계로 구성된 비트패스의 강도는 가장 약한 연결고리, 즉 가장 적은 수의 승리 표를 가진 승리의 강도와 같다.

A가 B보다 더 강한 비트패스를 가지고 있다면, A는 B에 대해 "비트패스 승리"를 했다고 한다. 즉, A에서 B로 가는 가장 강한 비트패스가 B에서 A로 가는 가장 강한 비트패스보다 더 강한 경우이다. 승자는 다른 모든 후보에 대해 비트패스 승리를 거둔 후보이다.

마르쿠스 슐츠는 이 비트패스 승리의 정의가 추이적임을 증명했다.^[1] 즉, A가 B에 대해 비트패스 승리를 거두고, B가 C에 대해 비트패스 승리를 거두면, A는 C에 대해 비트패스 승리를 거둔다.

슐츠 방식의 승자는 패배 제거 방식을 사용하여 반복적으로 구성할 수도 있다.

1. 모든 후보를 노드로 하는 유향 그래프를 그린다. 엣지에는 승자를 지지하는 투표 수를 레이블로 표시한다.

2. 남은 후보가 2명 이상인 경우:

후보가 동점인지 확인하고, 동점인 경우 무작위 투표로 동점을 해소한다.
과반수 선호 집합 외의 모든 후보를 제거한다.
동점에 가장 가까운 엣지를 삭제한다.

승자는 절차의 마지막에 남은 유일한 후보이다.

W 후보자보다 V 후보자를 선호하는 투표자 수를 d[V,W]로 나타낸다.

X 후보자에서 Y 후보자로의 '''강도''' p의 '''경로'''는 후보자 C(1), …, C(n)의 수열로서, 다음 조건을 모두 만족하는 것이다.

# C(1) = X이고 C(n) = Y

# 임의의 i = 1, …, n-1에 대하여 d[C(i),C(i+1)] > d[C(i+1),C(i)]

# 임의의 i = 1, …, n-1에 대하여 d[C(i),C(i+1)] ≥ p

또한, A 후보자에서 B 후보자로의 경로의 강도의 최댓값을 p[A,B]로 나타낸다. 그러한 경로가 없다면, p[A,B] = 0으로 정의한다.

p[D,E] > p[E,D]이면, D 후보자는 E 후보자보다 '''우위'''에 있다고 간주한다.

D 후보자가 다른 모든 E 후보자에 대해 p[D,E] ≥ p[E,D]이면, D 후보자는 '''당선 가능성이 있다'''.

p[X,Y] > p[Y,X]이고 p[Y,Z] > p[Z,Y]이면, p[X,Z] > p[Z,X]임을 증명할 수 있다.^[105] 이는, "'''우위'''"라는 이항 관계가 추이 관계임을 의미하며, 다른 모든 후보자 E에 대해 p[D,E] ≥ p[E,D]를 만족하는 후보자 D가 적어도 한 명은 있음을 보장한다.

45명의 투표자가 5명의 후보 A, B, C, D, E를 순위 매기는 다음의 예를 통해 슐츠 방식을 이해할 수 있다.

5 ACBED (5명의 투표자가 A > C > B > E > D로 선호함을 나타냄.)
5 ADECB
8 BEDAC
3 CABED
7 CAEBD
2 CBADE
7 DCEBA
8 EBADC

먼저, 각 후보 쌍에 대한 선호도를 계산한다. 예를 들어, A와 B를 비교하면, B보다 A를 선호하는 투표자가 20명, A보다 B를 선호하는 투표자가 25명이다. 모든 쌍에 대한 선호도는 다음과 같다.

쌍에 관한 선호의 표
	d[*,A]	d[*,B]	d[*,C]	d[*,D]	d[*,E]
d[A,*]		20	26	30	22
d[B,*]	25		16	33	18
d[C,*]	19	29		17	24
d[D,*]	15	12	28		14
d[E,*]	23	27	21	31

위의 그림은 각 후보 쌍 간의 선호 관계를 유향 그래프로 나타낸 것이다. 여기서 화살표는 더 선호되는 후보 방향을 가리키고, 화살표에 적힌 숫자는 해당 선호 관계의 강도를 나타낸다.

이제 각 후보 쌍에 대해 최강 경로를 찾는다. 경로의 강도는 경로를 구성하는 각 단계의 강도 중 가장 작은 값이다. 예를 들어, B에서 D로 가는 최강 경로는 (B,D)이며, 강도는 33이다. A에서 C로 가는 최강 경로는 (A,D,C)이며, 강도는 28이다.

다음 표는 각 후보 쌍 간의 최강 경로와 그 강도를 나타낸다.

최강의 길의 강도
	p[*,A]	p[*,B]	p[*,C]	p[*,D]	p[*,E]
p[A,*]		28	28	30	24
p[B,*]	25		28	33	24
p[C,*]	25	29		29	24
p[D,*]	25	28	28		24
p[E,*]	25	28	28	31

마지막으로, 슐츠 방식에 따라 각 후보 쌍을 비교한다. 후보 X가 후보 Y보다 좋다는 것은 p[X,Y] > p[Y,X]임을 의미한다. 모든 후보를 비교하면 E > A > C > B > D 순서가 되고, 따라서 E가 슐츠 방식의 승자가 된다.

3. 3. 예시

5명의 후보(A, B, C, D, E)와 45명의 유권자가 있는 경우를 예시로 들어 슐츠 방식의 계산 과정을 살펴본다.

선호도 표

선호순서	투표자수
ACBED	5
ADECB	5
BEDAC	8
CABED	3
CAEBD	7
CBADE	2
DCEBA	7
EBADC	8
계	45

쌍별 선호도 행렬 계산

짝 대결 행렬
	d[*,A]	d[*,B]	d[*,C]	d[*,D]	d[*,E]
d[A,*]		20	26	30	22
d[B,*]	25		16	33	18
d[C,*]	19	29		17	24
d[D,*]	15	12	28		14
d[E,*]	23	27	21	31

쌍별 선호도 그래프 표현

최강 경로 계산

경로의 강도는 가장 약한 연결 강도를 의미한다.

최강 경로
	→ A	→ B	→ C	→ D	→ E
A →		A-(30)-D-(28)-C-(29)-B	A-(30)-D-(28)-C	A-(30)-D	A-(30)-D-(28)-C-(24)-E
B →	B-(25)-A		B-(33)-D-(28)-C	B-(33)-D	B-(33)-D-(28)-C-(24)-E
C →	C-(29)-B-(25)-A	C-(29)-B		C-(29)-B-(33)-D	C-(24)-E
D →	D-(28)-C-(29)-B-(25)-A	D-(28)-C-(29)-B	D-(28)-C		D-(28)-C-(24)-E
E →	E-(31)-D-(28)-C-(29)-B-(25)-A	E-(31)-D-(28)-C-(29)-B	E-(31)-D-(28)-C	E-(31)-D

각 쌍에 대한 최강 경로의 강도는 다음과 같다.

최강 경로의 강도
	p[*,A]	p[*,B]	p[*,C]	p[*,D]	p[*,E]
p[A,*]		28	28	30	24
p[B,*]	25		28	33	24
p[C,*]	25	29		29	24
p[D,*]	25	28	28		24
p[E,*]	25	28	28	31

최종 순위 결정

최강 경로의 강도를 비교하여 순위를 결정한다.

p[E,A] = 25 > p[A,E] = 24이므로 후보자 E는 후보자 A보다 선호된다.
p[E,B] = 28 > p[B,E] = 24이므로 후보자 E는 후보자 B보다 선호된다.
p[E,C] = 28 > p[C,E] = 24이므로 후보자 E는 후보자 C보다 선호된다.
p[E,D] = 31 > p[D,E] = 24이므로 후보자 E는 후보자 D보다 선호된다.
p[A,B] = 28 > p[B,A] = 25이므로 후보자 A는 후보자 B보다 선호된다.
p[A,C] = 28 > p[C,A] = 25이므로 후보자 A는 후보자 C보다 선호된다.
p[A,D] = 30 > p[D,A] = 25이므로 후보자 A는 후보자 D보다 선호된다.
p[C,B] = 29 > p[B,C] = 28이므로 후보자 C는 후보자 B보다 선호된다.
p[C,D] = 29 > p[D,C] = 28이므로 후보자 C는 후보자 D보다 선호된다.
p[B,D] = 33 > p[D,B] = 28이므로 후보자 B는 후보자 D보다 선호된다.

따라서 슐츠 순위는 E > A > C > B > D 순으로 결정된다.

4. 구현

슐츠 방식은 플로이드-워셜 알고리듬을 변형하여 효율적으로 구현할 수 있다. 후보자 수를 C라고 할 때, 이 알고리즘은 O(C³)의 시간 복잡도를 가진다.^[105]

다음은 파스칼 유사 코드로 표현된 슐츠 방식 구현 예시이다.

'''입력''': `d[i,j]`는 i 후보를 j 후보보다 강력하게 선호하는 투표자 수이다.
'''출력''': `p[i,j]`는 i 후보에서 j 후보로 가는 가장 강력한 경로의 강도이다.

for i : = 1 to C

begin

for j : = 1 to C

begin

if ( i ≠ j ) then

begin

if ( d[i,j] > d[j,i] ) then

begin

p[i,j] : = d[i,j]

end

else

begin

p[i,j] : = 0

end

end

end

end

for i : = 1 to C

begin

for j : = 1 to C

begin

if ( i ≠ j ) then

begin

for k : = 1 to C

begin

if ( i ≠ k ) then

begin

if ( j ≠ k ) then

begin

p[j,k] : = max ( p[j,k], min ( p[j,i], p[i,k] ) )

end

end

end

end

end

end

이 알고리즘은 그래프 이론에서 최대 대역폭 경로 문제를 해결하는 방법 중 하나이며, 효율적인 알고리즘으로 알려져 있다.^[105]

5. 특징

슐츠 방법은 유권자들이 후보들에 대한 선호도를 순위로 매기는 선호 투표 방식에서 사용되는 투표 집계 방식 중 하나이며, 동순위도 허용한다.

선호도에서 동순위를 어떻게 해석하느냐에 따라 슐츠 방식의 결과는 달라진다. d[A,B]를 B보다 A를 엄밀하게 선호하는(A>B) 투표자 수로 볼 것인지, (A>B 투표자)에서 (B>A 투표자)를 뺀 '표차'로 볼 것인지 두 가지 관점이 있다. 어떤 정의를 사용하더라도 슐츠 순위에서 순환은 발생하지 않으며, 'd' 값은 고유하고 동치가 없다고 가정할 수 있다.^[105]

슐츠 순위에서 동순위는 드물지만^[90] 발생할 수 있다. 슐츠의 원래 논문^[105]에서는 무작위로 선택된 투표자에 따라 동순위를 해소하는 방법을 제안했다.

슐츠 방식의 승자를 찾는 다른 방법은 다음과 같다.

# 모든 후보자와 후보자 간의 가능한 모든 선(에지)을 포함하는 완전한 유향 그래프를 그린다.

# 슈바르츠 집합에 포함되지 않는 후보자(예: 다른 후보자와 연결되지 않는 후보자)를 제외하고, 가장 약한 연결을 제거하는 과정을 반복한다.

# 마지막까지 남은 후보자가 승자가 된다.

5. 1. 장점

슐츠 방법은 여러 가지 좋은 성질을 만족한다.^[3] 이러한 기준들은 슐츠 방식이 민주적이고 공정한 선거 결과를 보장하는 데 기여한다. 슐츠 방법이 만족하는 기준은 다음과 같다.

기준	설명
단조성 기준^[3]	어떤 후보에 대한 선호도를 높이는 것이 그 후보의 당선 가능성을 낮추지 않는다.
과반수 기준	과반수의 유권자가 한 후보를 다른 모든 후보보다 선호하면 그 후보가 당선된다.
과반수 낙선자 기준	과반수의 유권자가 다른 모든 후보보다 특정 후보를 선호하지 않으면 그 후보는 당선될 수 없다.
콩도르세 기준	다른 모든 후보와의 일대일 대결에서 승리하는 후보(콩도르세 승자)가 있다면 그 후보가 당선된다.
콩도르세 낙선자 기준	다른 모든 후보와의 일대일 대결에서 패배하는 후보(콩도르세 패자)가 있다면 그 후보는 당선될 수 없다.
스미스 기준^[3]	콩도르세 승자가 없을 때, 스미스 집합(다른 모든 후보에게 지지 않거나 비기는 후보들의 집합)에서 당선자가 나온다.
스미스 지배 대안으로부터의 독립성^[3]	스미스 집합에 속하지 않는 후보를 추가하거나 제거해도 당선자가 바뀌지 않는다.
상호 과반수 기준	과반수의 유권자가 한 후보 집합에 속한 모든 후보를 그 집합에 속하지 않은 후보보다 선호하면, 당선자는 그 후보 집합에서 나온다.
복제 독립성^[3]	어떤 후보와 동일한 선호도를 가진 후보(복제 후보)를 추가해도 당선자가 바뀌지 않는다.
역 대칭성^[3]	모든 유권자의 선호도를 정반대로 뒤집으면 원래 당선자는 당선될 수 없다.
해결 가능성 기준^[3]	어떤 경우에도 당선자를 결정할 수 있다.
다항 시간 실행 시간^[3]	합리적인 시간 안에 당선자를 계산할 수 있다.
우달의 다수결 기준	(d[X,Y]에 승리 투표수를 사용하는 경우) 과반수가 특정 후보를 가장 선호하면 그 후보가 당선된다.
기타	단조 부가,^[4] 단조 추가 통통함,^[4] 신중함,^[3] MinMax 세트,^[3] 대칭-완성^[4] (d[X,Y]에 마진을 사용하는 경우)

5. 2. 단점

슐츠 방법은 다음 기준을 충족하지 못한다.

참여^[2]
일관성
매장에 대한 무취약성
후손해
무관한 대안으로부터의 독립성 (드문 경우 스포일러 효과에 취약)
무관한 대안의 지역적 독립성

슐츠 방법은 콩도르세 기준을 만족하므로 자동적으로 참여, 일관성, 타협, 매장, 사후 무해성 기준을 충족하지 못한다.^[105] 또한 애로우의 불가능성 정리에 의해 무관한 선택지 독립성 기준 또한 충족하지 못한다.

선호도에서 동순위를 어떻게 해석하느냐에 따라 슐츠 방식의 출력이 달라질 수 있다. 슐츠의 원 논문에서는 동순위 발생 시 무작위로 선택된 투표자에 따라 동순위를 해소하는 방식을 제안했다.^[105]

6. 활용 사례

슐츠 방법은 현재 국회의원 선거에서는 사용되지 않지만, 다양한 분야에서 활용되고 있다.^[8]^[9]^[10]^[11]^[12]^[13]

단체명	설명
스페인 발렌시아의 실라 시	모든 국민투표에 사용^[8]^[9]^[10]^[11]
이탈리아의 토리노 시와 산 도나 디 피아베 시	^[12]
런던 사우스워크 자치구	LiquidFeedback 의사 결정 도구를 사용하는 WeGovNow 플랫폼을 통해 사용^[13]
스웨덴 해적당	2009년에 채택^[14]
독일 해적당	2010년에 채택^[15]
미국 아이다호주 보이시의 미국 민주사회주의자 지부	2018년 3월에 열린 첫 특별 선거에서 이 방식을 선택^[16]
오성 운동	캄포바소,^[17] 폰디,^[18] 몬테 콤파트리,^[19] 몬테물로,^[20] 페스카라,^[21] 산 체사레오^[22]
해적당	호주 해적당,^[23] 오스트리아 해적당,^[24] 벨기에 해적당,^[25] 브라질 해적당, 독일 해적당,^[15] 아이슬란드 해적당,^[26] 이탈리아 해적당,^[27] 네덜란드 해적당,^[28] 스웨덴 해적당,^[14] 스위스 해적당,^[29] 미국 해적당^[30]
SustainableUnion	^[31]
볼트 유럽	^[32]
AEGEE – 유럽 학생 포럼
Club der Ehemaligen der Deutschen SchülerAkademien e. V.
파리 고등사범학교의 학생 자치 기구
플레미시 레벤 공학 학생회
뉴욕 주립 대학교 대학원생 기구: 컴퓨터 과학
힐레가스 파커 하우스
킹맨 홀
KGI 미네르바 스쿨 학생회
노스웨스턴 대학교 학생 자치 기구
프라이부르크 대학교 학생 자치 기구
카이저슬라우테른 대학교 컴퓨터 과학부 학생 자치 기구
전기 전자 기술자 협회(IEEE), 컴퓨팅 기계 협회(ACM), 유닉스 시스템 사용자 그룹(USENIX)	HotCRP 의사 결정 도구를 사용
Annodex 협회	^[44]
Berufsverband der Kinder- und Jugendärzte\|독일 소아청소년과 의사 협회^de (BVKJ)	^[45]
BoardGameGeek	^[46]
Cloud Foundry 재단	^[47]
County Highpointers	^[48]
Dapr	^[49]
Debian	^[50]
EuroBillTracker
유럽 민주 교육 공동체 (EUDEC)	^[51]
FFmpeg	^[52]
Free Geek	^[53]
이탈리아 자유 하드웨어 재단
Gentoo 재단	^[54]
GNU Privacy Guard (GnuPG)	^[55]
Haskell	^[56]
Homebrew	^[57]
인터넷 할당 번호 관리 기구(ICANN)	2023년까지^[58]
Kanawha Valley Scrabble Club	^[59]
KDE e.V.	^[60]
나이트 재단	^[61]
Kubernetes	^[62]
Kumoricon	^[63]
전문 시스템 관리자 협회(LOPSA)	^[64]
LiquidFeedback	^[65]
Madisonium	^[66]
Metalab	^[67]
MTV	^[68]
Neo	^[69]
Noisebridge	^[70]
OpenEmbedded	^[71]
Open Neural Network Exchange	^[72]
OpenStack	^[73]
OpenSwitch	^[74]
RLLMUK	^[75]
Squeak	^[76]
Students for Free Culture	^[77]
Sugar Labs	^[78]
Sverok	^[79]
TopCoder	^[80]
Ubuntu	^[81]
Vidya Gaem Awards	^[82]
위키미디어 재단	2008년^[83]
위키백과	프랑스어,^[84] 히브리어,^[85]^[86] 헝가리어,^[87] 러시아어,^[88] 페르시아어^[89]

7. 다른 선거 방식과의 비교

순위 쌍은 슐츠 방법과 매우 유사하며, 일반적으로 동일한 결과를 생성하는 또 다른 콩도르세 방법이다. 그러나 슐츠 방법은 미니맥스에 더 가까운 동작을 유지한다는 차이점이 있다. 후보 집합 '''X'''의 미니맥스 점수가 후보 A ∉ '''X'''가 후보 B ∈ '''X'''를 상대로 한 가장 강력한 쌍별 승리의 강도라고 가정하면, 슐츠 방법은 승자가 항상 최소 미니맥스 점수를 가진 집합의 후보임을 보장한다.^[2]

반면에 순위 쌍은 최종 순서를 결정하기 위해 뒤집혀야 하는 가장 큰 다수를 최소화한다.^[5] 즉, 순위 쌍과 슐츠 방법이 서로 다른 최종 순서를 생성하는 경우, 두 순서가 일치하지 않는 다수에 대해 슐츠 순서는 순위 쌍 순서보다 더 큰 다수를 뒤집는다.

선호도에서 동순위를 허용하는 경우, d[*,*]의 정의에서 이 동순위를 어떻게 해석하느냐에 따라 슐츠 방식의 출력은 자연스럽게 달라진다. d[A,B]를 엄밀하게 B보다 A를 선호하는 (A>B) 투표자 수로 할 것인지, (A>B 투표자)에서 (B>A 투표자)를 뺀 ''표차''로 할 것인지 두 가지 생각이 있다. 그러나, 설령 ''d''가 어떻게 정의되더라도 슐츠 순위에서 순환은 발생하지 않으며, ''d'' 값은 고유하며 동치가 없다고 가정할 수 있다.^[105]

슐츠 순위에서의 동순위는 드물지만^[90], 불가능한 것은 아니다. 슐츠의 원 논문^[105]은 무작위로 선택된 투표자에 따라 동순위를 해소(필요에 따라 반복)하는 것을 제안했다.

다음 표는 슐츠 방식과 다른 선호 투표 방식의 단기 의석 단일 투표제를 비교한 것이다.

	단일 강건성	콩도르세	다수결	콩도르세 패자	다수결 패자	상호 다수	스미스	ISDA	클론 독립	역행 대칭	다항 시간	참여, 일관성
슐츠
순위가 매겨진 조합
케메니-영
낸슨
볼드윈
즉시 결선 투표
볼다
백린
쿰스
미니맥스
소선거구제
반 소선거구제
컨틴전트 투표
스리랑카 컨틴전트 투표
보충 투표
도지슨

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