엽층

2. 정의

foliation^영어 엽층은 다양체를 국소적으로 "판"들의 곱으로 분해하는 구조이다.^[13]

$n$차원 매끄러운 다양체 $M$ 위의 $p$차원 잎으로의 엽층은 다음과 같은 데이터로 주어진다.

• 열린 덮개 $\backslash \{U\_i\backslash \}\_\{i\backslash in\; I\}$
• 매끄러운 사상 $\backslash phi\_i\backslash colon\; U\_i\backslash to\backslash mathbb\; R^n$. 이 경우 $\backslash phi\_i$는 $U\_i$와 $\backslash phi\_i(U\_i)$ 사이의 미분 동형을 정의한다.

• 모든 $i,j\backslash in\; I$에 대하여, 만약 $U\_i\backslash cap\; U\_j\backslash ne\backslash varnothing$이라면 $\backslash phi\_\{ij\}=\backslash phi\_j\backslash circ\backslash phi\_i^\{-1\}\backslash colon\; \backslash phi\_i(U\_i)\backslash to\backslash mathbb\; R^n$은 다음과 같은 꼴이다.
• :$\backslash phi\_\{ij\}(a,b)=\backslash left(\backslash phi\_\{ij\}^1(a),\backslash phi\_\{ij\}^2(a,b)\backslash right)\backslash qquad(a\backslash in\backslash mathbb\; R^\{n-p\},\backslash ;b\backslash in\backslash mathbb\; R^p)$

2. 1. 엽층 차트와 아틀라스

• '''엽층 차트(foliated chart)''': ''q'' 차원 ''n''-다양체 ''M''의 엽층 차트는 (''U'',''φ'') 쌍으로, ''U'' ⊆ ''M''은 열린 집합이고 $\backslash varphi:\; U\; \backslash to\; B\_\{\backslash tau\}\; \backslash times\; B\_\{\backslash pitchfork\}$는 미분 동형 사상이다. $B\_\{\backslash pitchfork\}$는 '''R'''^''q''의 사각형 근방이고 $B\_\{\backslash tau\}$는 '''R'''^''p''의 사각형 근방이다.
• '''판(plaque)''': 집합 ''P_y'' = ''φ''⁻¹(''B_τ'' × {''y''}), 여기서 $y\; \backslash in\; B\_\{\backslash pitchfork\}$
• '''횡단면(transversal)''': 각 x ∈ ''B_τ''에 대해, 집합 ''S_x'' = ''φ''⁻¹({''x''} × $B\_\{\backslash pitchfork\}$)
• '''접선 경계(tangential boundary)''': 집합 ''∂_τU'' = ''φ''⁻¹(''B_τ'' × (''∂''$B\_\{\backslash pitchfork\}$))
• '''횡단 경계(transversal boundary)''': $\backslash partial\_\{\backslash pitchfork\}U$ = ''φ''⁻¹((''∂B_τ'') × $B\_\{\backslash pitchfork\}$)

2. 2. 엽층의 정의

3. 성질

프로베니우스 정리( Frobenius theorem^영어)에 따르면, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

• (적분 가능성 integrability^영어) 접다발의 단면은 리 괄호에 대하여 닫혀 있다.
• 임의의 점에 대하여 그 점을 지나는 엽층이 존재한다.

이는 하위 섹션에서 자세히 다루고 있으므로, 여기서는 간단하게 요약한다.

3. 1. 프로베니우스 정리

접다발의 매끄러운 부분 벡터 다발은 '''분포'''(distribution^영어)라고 한다. '''프로베니우스 정리'''(Frobenius theorem^영어)에 따르면, 다음 두 조건은 서로 동치이다.

• (적분 가능성 integrability^영어) 단면은 리 괄호에 대하여 닫혀 있다. 즉, 임의의 벡터장 $X,Y\backslash in\backslash Gamma(E)$에 대하여, $[X,Y]\backslash in\backslash Gamma(E)$이다.
• 임의의 $x\backslash in\; M\_a$에 대하여 $E=TM\_a\backslash subset\; TM$가 되는 엽층 $(M\_a)\_\{a\backslash in\; A\}$이 존재한다.

즉, 적분 가능 분포는 엽층과 동치인 개념이다.

3. 2. 홀로노미(Holonomy)

(''M'', $\backslash mathcal\{F\}$)가 엽층 다양체일 때, $\backslash mathcal\{F\}$의 잎 ''L'' 위의 경로 ''s''를 따라가면, ''s'' 근방에서 엽층 구조가 어떻게 변화하는지 관찰할 수 있다. 잎 ''L''에 있는 사람이 경로 ''s''를 따라 걸으면서 주변의 잎들을 보면, 어떤 잎들은 시야에서 사라지고, 다른 잎들은 갑자기 나타나 ''L''에 가까워지기도 하며, 또 다른 잎들은 ''L'' 주위를 감싸는 등 다양한 현상이 나타난다. ''s''가 루프(loop)이면, ''s''(''t'')는 ''t''가 무한대로 갈 때마다 같은 점 ''s''(''t''₀)로 되돌아오고, 매번 더 많은 잎들이 나타나거나 사라질 수 있다. 이러한 현상을 엽층 구조의 ''홀로노미''(holonomy)라고 한다.

홀로노미는 엽층 다발의 전체 홀로노미 군, 일반 엽층 다양체의 홀로노미 유사군, 일반 엽층 다양체의 맹아 홀로노미 군, 잎의 맹아 홀로노미 군, 그리고 잎의 무한소 홀로노미 군 등 다양한 방식으로 엽층 다양체에서 구현된다.

엽층 다발에서 가장 이해하기 쉬운 것은 "전체 홀로노미"이며, 이는 푸앵카레 사상 개념의 일반화이다.

"첫 번째 반환 (재귀) 사상"은 역학계 이론에서 나온 용어이다. Φ_''t''를 콤팩트한 ''n''차원 다양체 ''M'' 위의 비특이 ''C^r'' 흐름(''r'' ≥ 1)이라고 하자. 예를 들어 ''M''이 사이클로트론이거나 유체 흐름이 있는 닫힌 루프라고 생각할 수 있다. ''M''에 경계가 있으면 흐름은 경계에 접한다고 가정한다. 이 흐름은 1차원 엽층 $\backslash mathcal\{F\}$를 만든다. 흐름의 양의 방향을 유지하고 매개변수화(궤적의 모양, 속도 등)를 무시하면, 엽층 $\backslash mathcal\{F\}$는 방향이 있다고 한다. 흐름이 전역 단면 ''N''을 허용한다고 가정하면, ''N''은 차원이 ''n'' – 1인 ''M''의 콤팩트하고 적절하게 삽입된 ''C^r'' 부분 다양체이고, 엽층 $\backslash mathcal\{F\}$는 ''N''에 횡단하며, 모든 흐름선은 ''N''과 만난다. ''N''과 잎의 차원이 상호 보완적이므로 횡단 조건은 다음과 같다.

:$T\_y\; (M)\; =\; T\_y(\backslash mathcal\{F\})\; \backslash oplus\; T\_y(N)\; \backslash text\{\; 모든\; \}\; y\backslash in\; N에\; 대해.$

''y'' ∈ ''N''이고, 모든 수열 $\backslash left\; \backslash \{\backslash Phi\_\{t\_k\}(y)\backslash right\backslash \}\_\{k=1\}^\backslash infty$의 ''M''에서 모든 누적점의 ''ω''-극한 집합 ω(''y'')를 고려한다. 여기서 ''t_k''는 무한대로 간다. ω(y)는 콤팩트하고 비어 있지 않으며, 흐름선의 결합이다. 만약 $z\; =\; \backslash lim\_\{k\; \backslash rightarrow\; \backslash infty\}\; \backslash Phi\_\{t\_k\}\; \backslash in\; \backslash omega(y),$이면, Φ_''t''*(''z'') ∈ ''N''이 되도록 하는 값 ''t''* ∈ '''R'''이 있고,

:$\backslash lim\_\{k\; \backslash to\; \backslash infty\}\; \backslash Phi\_\{t\_k\; +\; t^\backslash ast\}\; (y)\; =\; \backslash Phi\_\{t^\backslash ast\}(z)\; \backslash in\; N.$

이 된다.

''N''이 콤팩트하고 $\backslash mathcal\{F\}$가 ''N''에 횡단하므로, 집합 {''t'' > 0 | Φ_''t''(''y'') ∈ N}은 무한대로 발산하는 단조 증가 수열 $\backslash \{\backslash tau\_k(y)\backslash \}\_\{k=1\}^\backslash infty$이다.

''y'' ∈ ''N''이 변함에 따라 ''τ''(''y'') = ''τ''₁(''y'')로 하고, Φ_''t''(''y'') ∉ ''N'', 0 < ''t'' < ''τ''(''y''), 그리고 Φ_{''τ''(''y'')}(''y'') ∈ ''N''이 되는 양의 함수 ''τ'' ∈ ''C^r''(''N'') (첫 번째 반환 시간)을 정의한다.

''f'' : ''N'' → ''N''을 공식 ''f''(''y'') = Φ_{''τ''(''y'')}(''y'')로 정의하면, ''C''^''r'' 맵이 된다. 흐름이 반전되면 동일한 구성을 통해 역 ''f''⁻¹을 제공하므로, ''f'' ∈ Diff^''r''(''N'')이다. 이 미분 동형 사상은 첫 번째 반환 사상이며 τ는 ''첫 번째 반환 시간''이라고 한다. 첫 번째 반환 시간은 흐름의 매개변수화에 따라 다르지만, ''f''는 방향이 있는 엽층 $\backslash mathcal\{F\}$에만 의존한다. Φ_''t''를 비특이하고 클래스 ''C^r''이며 방향을 반전하지 않도록 재매개변수화하여 ''τ'' ≡ 1이 되도록 할 수 있다.

흐름에 대한 단면 N이 있다는 가정은 ''M''이 ''S''¹ 위의 섬유 다발의 전체 공간임을 의미한다. '''R''' × ''N''에서 ~_''f''를

:$(t,y)\; \backslash sim\_f\; (t-1,f(y)).$

에 의해 생성된 동치 관계로 정의한다.

또는, 각 ''k'' ∈ '''Z''' 및 각 (''t'',''y'') ∈ '''R''' × ''N''에 대해,

:$k\; \backslash cdot\; (t,y)\; =\; (t\; -\; k,f^k(y)\; ),$

로 정의된 '''Z'''의 가법 군의 '''R''' × ''N''에 대한 작용에 대한 궤도 동치이다. ''f''의 매핑 실린더는 ''C''^''r'' 다양체

:$M\_f\; =\; (\backslash mathbb\{R\}\; \backslash times\; N)/\{\backslash sim\_f\}.$

로 정의된다.

첫 번째 반환 사상 ''f''와 첫 번째 반환 시간은 τ ≡ 1이라는 가정에 의해, 흐름에 의해 정의된 맵

:$\backslash Phi\; :\; \backslash mathbb\{R\}\; \backslash times\; N\; \backslash rightarrow\; M.$

은 자연스러운 ''C''^''r'' 미분 동형 사상

:$\backslash varphi\; :\; M\_f\; \backslash rightarrow\; M.$

을 유도한다.

만약 ''M''_''f'' = ''M''의 식별을 하면, '''R''' × ''N''을 '''R'''로 투영하면 ''C''^''r'' 맵

:$\backslash pi\; :\; M\; \backslash rightarrow\; \backslash mathbb\{R\}\; /\; \backslash mathbb\{Z\}\; =\; S^1$

을 유도하고, 이로써 ''M''은 원 위의 섬유 다발의 전체 공간이 된다. 이것은 단순히 ''S''¹ × ''D''²를 ''S''¹로 투영한 것이다. 엽층 $\backslash mathcal\{F\}$는 이 다발의 섬유에 횡단하며, 다발 투영을 각 잎 ''L''로 제한하면 덮개 맵 : ''L'' → ''S''¹이다. 이것을 "엽층 다발"이라고 한다.

''x''₀ ∈ ''S''¹을 0 + '''Z'''로 사용하면 π⁻¹(''x''₀)은 원래의 단면 ''N''이다. ''x''₀에서 시작하는 ''S''¹ 위의 각 루프 ''s''에 대해, 호모토피 클래스 [''s''] ∈ π₁(''S''¹,''x''₀)는 deg ''s'' ∈ '''Z'''에 의해 특징지어진다. 루프 ''s''는 각 흐름선에 경로로 올리고, ''y'' ∈ ''N''에서 시작하는 올림 ''s_y''가 ''k'' = deg ''s''일 때, ''f^k''(''y'') ∈ ''N''에서 끝나는 것이 분명해야 한다. 미분 동형 사상 ''f^k'' ∈ Diff^''r''(''N'')는 ''h_s''로 표시되며, 루프 ''s''의 "전체 홀로노미"라고 한다. 이것은 [''s'']에만 의존하므로, 호모모르피즘

:$h\; :\; \backslash pi\_1(S^1,x\_0)\; \backslash rightarrow\; \backslash operatorname\{Diff\}^\{\backslash ,r\}(N),$

은 엽층 다발의 "전체 홀로노미 호모모르피즘"이라고 한다.

(''M'',$\backslash mathcal\{F\}$)을 코드 차원 ''q''인 엽층 ''n''차원 다양체라고 하고, : ''M'' → ''B''를 ''q''차원 섬유 ''F''와 연결된 기저 공간 ''B''를 갖는 섬유 다발이라고 하자. 이러한 구조가 클래스 ''C^r'' , 0 ≤ ''r'' ≤ ∞이고, ''r'' = 0이면, ''B''가 ''C''¹ 구조를 지원한다고 가정한다. ''B''의 모든 최대 ''C''¹ 아틀라스는 ''C''^∞ 부아틀라스를 포함하므로, ''B''가 원하는 만큼 매끄럽다고 가정해도 된다. 각 ''x'' ∈ ''B''에 대해, ''x''의 연결된 열린 근방 ''U'' ⊆ ''B''와 국소적 자명화

:$\backslash begin\{matrix\}$

\pi^{-1}(U) & \xrightarrow{\varphi} & U\times{F} \\

\scriptstyle{\pi} \Bigg\downarrow & {\qquad} & \Bigg\downarrow{\scriptstyle{p}} \\

U & \xrightarrow{\text{id}} & U

\end{matrix}



가 있다.

여기서, ''φ''는 $\backslash mathcal\{F\}\; \backslash mid\; \backslash pi^\{-1\}(U)$를 곱 엽층 {''U'' × {''y''}}_{''y'' ∈ ''F''}로 전달하는 ''C^r'' 미분 동형 사상(''r'' = 0이면 동형 사상)이다. $\backslash mathcal\{F\}\; \backslash mid\; \backslash pi^\{-1\}(U)$는 ''L''이 $\backslash mathcal\{F\}$의 잎의 범위일 때 ''L'' ∩ π⁻¹(''U'')의 연결 구성 요소인 잎을 갖는 엽층이다. 이것은 클래스 ''C^r''의 "엽층 다발"(''M'',$\backslash mathcal\{F\}$,π)의 일반적인 정의이다.

$\backslash mathcal\{F\}$는 π의 섬유에 횡단하며( $\backslash mathcal\{F\}$가 섬유화에 횡단한다고 한다) 각 잎 ''L''로의 π의 제한은 덮개 맵 π : ''L'' → ''B''이다. 각 섬유 ''F_x'' = π⁻¹(''x'')는 $\backslash mathcal\{F\}$의 모든 잎과 만난다. 섬유는 흐름의 단면 개념과 유사한 $\backslash mathcal\{F\}$의 단면이다.

엽층 $\backslash mathcal\{F\}$가 섬유에 횡단한다는 것만으로는 잎이 ''B''의 덮개 공간임을 보장하지 않는다. 섬유화에 횡단하는 '''R'''²의 엽층을 예로 들면,

:$\backslash pi\; :\; \backslash mathbb\{R\}^2\; \backslash rightarrow\; \backslash mathbb\{R\},$

:$\backslash pi(x,y)\; =\; x,$

이지만 ''y''축을 놓친 무한히 많은 잎이 있다. 각 그림에서 "화살표가 있는" 잎과 그 위의 모든 잎은 축 ''x'' = 0에 점근한다. 이러한 엽층을 섬유화에 대해 불완전하다고 부르며, 일부 잎이 매개변수 ''x'' ∈ ''B''가 어떤 ''x''₀ ∈ ''B''에 접근할 때 "무한대로 실행"하는 것을 의미한다. 잎 ''L''과 연속 경로 ''s'' : [0,''a'') → ''L''이 있어서 lim_{''t''→''a''−}π(''s''(''t'')) = ''x''₀ ∈ ''B''이지만, lim_{''t''→''a''−}''s''(''t'')는 ''L''의 다양체 위상에서 존재하지 않을 수 있다. 이것은 불완전한 흐름의 경우와 유사하며, 일부 흐름선이 유한 시간에 "무한대로 간다"는 것이다. 이러한 잎 ''L''이 다른 곳에서 π⁻¹(''x''₀)과 만날 수 있지만, ''x''₀의 근방을 균일하게 덮을 수 없으므로, π 아래에서 ''B''의 덮개 공간이 될 수 없다. 그러나 ''F''가 콤팩트하면, $\backslash mathcal\{F\}$가 섬유화에 횡단하는 것이 완전성을 보장하여 $(M,\backslash mathcal\{F\},\backslash pi)$가 엽층 다발임이 사실이다.

''B''에는 열린 연결 좌표 차트로 구성된 아틀라스 $\backslash mathcal\{U\}$ = {''U''_α,''x''_α}_α∈A와 $\backslash mathcal\{F\}$|π⁻¹(''U''_''α'')를 곱 엽층으로 전달하는 자명화 ''φ''_''α'' : ''π''⁻¹(''U''_''α'') → ''U''_''α'' × ''F''가 있다. ''W''_''α'' = ''π''⁻¹(''U''_''α'')로 설정하고, ''x''_α가 ''x''_''α'' ∘ ''π''를 나타내고, ''y''_''α'' : ''π''⁻¹(''U''_α) → ''F''가 ''φ''_α를 표준 투영 ''U''_α × ''F'' → ''F''와 합성하여 얻은 침강을 나타내도록 ''φ''_''α'' = (''x''_''α'',''y''_''α'')로 작성한다.

$\backslash mathcal\{W\}$ = {''W''_''α'',''x''_''α'',''y''_''α''}_{''α''∈''A''}는 엽층 아틀라스와 유사한 역할을 한다. ''W''_''α''의 판은 ''y''_''α''의 레벨 집합이며, 이 판의 패밀리는 ''y''_''α''를 통해 ''F''와 동일하다. ''B''가 ''C''^∞ 구조를 지원한다고 가정하면, 화이트헤드 정리에 따르면 ''B''에 리만 메트릭을 고정하고 지오데식 볼록인 아틀라스 $\backslash mathcal\{U\}$을 선택할 수 있다. ''U''_α ∩ ''U''_''β''는 항상 연결되어 있다. 이 교차점이 비어 있지 않으면, ''W''_''α''의 각 판은 정확히 ''W''_''β''의 한 판과 만난다. ''홀로노미 코사이클'' $\backslash gamma\; =\; \backslash left\; \backslash \{\; \backslash gamma\_\{\backslash alpha\; \backslash beta\}\; \backslash right\; \backslash \}\_\{\backslash alpha,\backslash beta\; \backslash in\; A\}$를 설정하여 정의한다.

:$\backslash gamma\_\{\backslash alpha\; \backslash beta\}\; =\; y\_\backslash alpha\; \backslash circ\; y\_\backslash beta^\{-1\}\; :\; F\; \backslash rightarrow\; F.$

4. 예

• 올다발

:$F\backslash hookrightarrow\; E\backslash stackrel\backslash pi\backslash twoheadrightarrow\; B$

: 이 주어졌을 때, 올 $F$와 전체 공간 $E$가 매끄러운 다양체라면, 이는 엽층을 이룬다. 엽공간은 $B$이며, $b\backslash in\; B$에 대응하는 잎은 원상 $\backslash pi^\{-1\}\backslash \{b\backslash \}$이다.

• 곱공간 $E=F\backslash times\; B$는 자명한 올다발을 이루므로, 엽공간이 $B$인 엽층을 이룬다.

• 리 군 $G$와 $H$ 사이에 단사 몰입

:$H\backslash hookrightarrow\; G$

: 가 주어지면, $G/H$는 엽층을 이룬다. 이 엽층에서 잎은 $G$는 $H$에 대한 잉여류이며, 엽공간은 몫공간 $G/H$이다.

: 만약 $H$의 상이 $G$ 속의 닫힌집합이라면, 몫공간 $G/H$는 (하우스도르프) 매끄러운 다양체가 되며, $G\backslash twoheadrightarrow\; G/H$는 $H$-주다발을 이룬다.

• 크로네커 엽층: 원환면 ${\mathbb R^n/\mathbb Z^n}$에서, 잎들이

:$M\_\{\backslash mathbf\; x\_0\}=\backslash frac\{\backslash \{\backslash mathbf\; x\_0+t\backslash mathbf\; v\backslash colon\; t\backslash in\backslash mathbb\; R\backslash \}\}\{\backslash mathbb\; Z^n\}$

: 인 엽층을 주자 ($v_1=1$). 이 경우, 기울기 $\mathbf v$의 성분들이 모두 유리수라면 각 잎들은 원환면 속의 매끄럽게 매장된 원을 이룬다. 그러나 $v_1$을 제외한 성분들이 모두 무리수라면, 각 잎들은 매끄럽게 단사 몰입된 직선을 이룬다. 이 경우, 잎들은 매장된 부분 다양체가 아니라 몰입된 부분 다양체이다.

• 덮개 공간: 만약 가 덮개 사상이고, 가 위의 엽층이라면, 이는 위의 엽층으로 당겨진다. 더 일반적으로, 만약 사상이 단순히 분기 덮개이고, 가지 궤적이 엽층과 횡단한다면, 엽층을 당겨올 수 있다.^[1]

• 침강: 만약 $M^n\; \backslash to\; N^q,\; (q\; \backslash le\; n)$가 침강(섭머전)이면, 역함수 정리에 의해 침강의 올(fiber)들의 연결 성분은 $M$의 여차원 $q$ 엽층을 정의한다.^[1] 올다발은 이러한 유형의 예이다.^[1]

• 리브 엽층: 다음과 같은 침강을 정의한다.

:$\backslash begin\{cases\}\; f:D^\{n\}\backslash times\; \backslash mathbb\{R\}\backslash to\; \backslash mathbb\{R\}\; \backslash \backslash \; f(r,\backslash theta,t):=(r^2-1)e^t\backslash end\{cases\}$

: 여기서 (''r'', ''θ'') ∈ [0, 1] × ''S''^''n''−1|r, θ ∈ [0, 1] × S^n−1영어은 n차원 원반 ''Dⁿ''|D^n영어의 원통 좌표이다. 이 침강은 다음과 같은 '''Z'''|Z^영어 작용에 불변인 ''Dⁿ'' × '''R'''|Dⁿ × R^영어의 엽층을 생성한다.

:$z(x,y)=(x,y+z)$

: 여기서 (''x'', ''y'') ∈ ''Dⁿ'' × '''R''', ''z'' ∈ '''Z'''| (x, y) ∈ Dⁿ × R, z ∈ Z^영어이다. '''Z''' \ (''Dⁿ'' × '''R''')|Z (Dⁿ × R)^영어의 유도된 엽층은 n차원 리브 엽층이라고 한다. 이 잎 공간은 하우스도르프 공간이 아니다.

• 현수 엽층: 평탄한 다발은 올에 의한 엽층뿐만 아니라 올에 수직인 엽층도 가지는데, 잎은 다음과 같이 정의된다.^[1]

:$L\_f:=\; \backslash left\backslash \{p\backslash left(\backslash tilde\{b\},f\backslash right):\; \backslash tilde\{b\}\backslash in\backslash widetilde\{B\}\backslash right\backslash \},\; \backslash quad\; \backslash mbox\{\; for\; \}f\backslash in\; F,$

: 여기서 $p:\backslash widetilde\{B\}\backslash times\; F\backslash to\; M$는 정규 투영이다. 이 엽층은 표현의 현수라고 불린다.^[1]

• 선형 엽층: 원환면 ''T''²의 1차원 엽층의 중요한 부류는 ''T''²에서 상수 벡터장을 투영하여 파생된다. 상수 벡터장

:$\backslash tilde\{X\}\; \backslash equiv\; \backslash begin\{bmatrix\}a\; \backslash \backslash \; b\; \backslash end\{bmatrix\}$

: 은 '''R'''²에서 모든 '''R'''²의 변환에 의해 불변이므로, 토러스에 투영될 때 잘 정의된 벡터장 ''X''로 전달된다. ''a'' ≠ 0이라고 가정한다. $\backslash tilde\{X\}$에 의해 생성된 '''R'''²의 엽층 $\backslash mathcal\{\backslash tilde\{F\}\}$는 기울기 θ = ''b''/''a''의 평행한 직선을 잎으로 가진다. 이 엽층 또한 변환에 불변이며, ''X''에 의해 생성된 ''T''²의 엽층 $\backslash mathcal\{F\}$로 전달된다.

4. 1. 올다발(Fiber bundle)

올다발

:$F\backslash hookrightarrow\; E\backslash stackrel\backslash pi\backslash twoheadrightarrow\; B$

이 주어졌을 때, 올 $F$와 전체 공간 $E$가 매끄러운 다양체라면, 이는 엽층을 이룬다. 엽공간은 $B$이며, $b\backslash in\; B$에 대응하는 잎은 원상 $\backslash pi^\{-1\}\backslash \{b\backslash \}$이다.

곱공간 $E=F\backslash times\; B$는 자명한 올다발을 이루므로, 엽공간이 $B$인 엽층을 이룬다.

4. 2. 리 군(Lie group)

리 군 $G$와 $H$ 사이에 단사 몰입

:$H\backslash hookrightarrow\; G$

가 주어진다고 하자. 그렇다면, $G/H$는 엽층을 이룬다. 이 엽층에서 잎은 $G$는 $H$에 대한 잉여류이며, 엽공간은 몫공간 $G/H$이다.

만약 $H$의 상이 $G$ 속의 닫힌집합이라면, 몫공간 $G/H$는 (하우스도르프) 매끄러운 다양체가 되며, $G\backslash twoheadrightarrow\; G/H$는 $H$-주다발을 이룬다.

만약 $G$가 리 군이고, $H$가 부분 리 군이면, $G$는 $H$의 잉여류에 의해 엽층 구조를 이룬다. $H$가 $G$에서 닫힌 집합이면, 몫 공간 $G/H$는 매끄러운 (하우스도르프) 다양체가 되어 $G$를 올 $H$와 밑면 $G/H$를 갖는 올 다발로 만든다. 이 올 다발은 실제로 구조군 $H$를 갖는 주다발이다.

$G$를 매끄러운 다양체 $M$에 작용하는 리 군이라고 하자. 이 작용이 국소 자유 작용 또는 자유 작용이면, $G$의 궤도는 $M$의 엽층을 정의한다.

4. 3. 크로네커 엽층(Kronecker foliation)

원환면 ${\mathbb R^n/\mathbb Z^n}$에서, 잎들이

:$M_{\mathbf x_0}=\frac{\{\mathbf x_0+t\mathbf v\colon t\in\mathbb R\}}{\mathbb Z^n}$

인 엽층을 주자 ($v_1=1$). 이 경우, 기울기 $\mathbf v$의 성분들이 모두 유리수라면 각 잎들은 원환면 속의 매끄럽게 매장된 원을 이룬다. 그러나 $v_1$을 제외한 성분들이 모두 무리수라면, 각 잎들은 매끄럽게 단사 몰입된 직선을 이룬다. 이 경우, 잎들은 매장된 부분 다양체가 아니라 몰입된 부분 다양체이다.

4. 4. 평탄 공간(Flat space)

차원 공간을 생각해 보자. 이 공간은 처음 개의 좌표가 일정한 점들로 구성된 부분 공간의 곱으로 엽층 구조를 이룬다. 이는 단일 차트로 덮을 수 있다. 이 내용은 본질적으로 이며, 잎 또는 판 는 에 의해 열거된다는 것이다. 3차원의 경우 및 를 사용하여 비슷한 점을 볼 수 있다. 책의 2차원 잎은 (1차원) 페이지 번호로 열거된다.

4. 5. 덮개 공간(Covering space)

만약 가 덮개 사상이고, 가 위의 엽층이라면, 이는 위의 엽층으로 당겨진다. 더 일반적으로, 만약 사상이 단순히 분기 덮개이고, 가지 궤적이 엽층과 횡단한다면, 엽층을 당겨올 수 있다.^[1]

4. 6. 침강(Submersion)

만약 $M^n\; \backslash to\; N^q,\; (q\; \backslash le\; n)$가 침강(섭머전)이면, 역함수 정리에 의해 침강의 올(fiber)들의 연결 성분은 $M$의 여차원 $q$ 엽층을 정의한다.^[1] 올다발은 이러한 유형의 예이다.^[1]

올다발이 아닌 침강의 예는 다음과 같다.^[1]

:$\backslash begin\{cases\}\; f:[-1,1]\backslash times\; \backslash mathbb\{R\}\backslash to\; \backslash mathbb\{R\}\; \backslash \backslash f(x,y)=(x^2-1)\; e^y\backslash end\{cases\}$

이 침강은 $[-1,\; 1]\; \backslash times\; \backslash mathbb\{R\}$의 엽층을 생성하며, 이는 다음과 같은 $\backslash mathbb\{Z\}$-작용에 의해 불변이다.^[1]

:$z(x,\; y)=\; (x,y+n\; ),\; \backslash quad\; \backslash text\{or\}\; \backslash quad\; z(x,\; y)=\backslash left((-1)^nx,\; y\backslash right)$

$(x,\; y)\; \backslash in\; [-1,\; 1]\; \backslash times\; \backslash mathbb\{R\}$ 및 $n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\}$에 대해. $\backslash mathbb\{Z\}\; \backslash backslash\; ([-1,\; 1]\; \backslash times\; \backslash mathbb\{R\})$의 유도된 엽층은 2차원 Reeb 엽층(환면의) 및 2차원 비가향 Reeb 엽층(뫼비우스 띠의)이라고 불린다. 이들의 잎 공간은 하우스도르프가 아니다.^[1]

4. 7. 리브 엽층(Reeb foliation)

다음과 같은 침강을 정의한다.

:$\backslash begin\{cases\}\; f:D^\{n\}\backslash times\; \backslash mathbb\{R\}\backslash to\; \backslash mathbb\{R\}\; \backslash \backslash \; f(r,\backslash theta,t):=(r^2-1)e^t\backslash end\{cases\}$

여기서 (''r'', ''θ'') ∈ [0, 1] × ''S''^''n''−1|r, θ ∈ [0, 1] × S^n−1영어은 n차원 원반 ''Dⁿ''|D^n영어의 원통 좌표이다. 이 침강은 다음과 같은 '''Z'''|Z^영어 작용에 불변인 ''Dⁿ'' × '''R'''|Dⁿ × R^영어의 엽층을 생성한다.

:$z(x,y)=(x,y+z)$

여기서 (''x'', ''y'') ∈ ''Dⁿ'' × '''R''', ''z'' ∈ '''Z'''| (x, y) ∈ Dⁿ × R, z ∈ Z^영어이다. '''Z''' \ (''Dⁿ'' × '''R''')|Z (Dⁿ × R)^영어의 유도된 엽층은 n차원 리브 엽층이라고 한다. 이 잎 공간은 하우스도르프 공간이 아니다.

n = 2인 경우, 이는 경계를 따라 두 개의 속이 꽉 찬 토러스를 접합하여 3차원 구의 리브 엽층을 정의하는 데 사용할 수 있는 속이 꽉 찬 토러스의 엽층을 제공한다. 홀수 차원 구 ''S''^2''n''+1|S^2n+1영어의 엽층 또한 명시적으로 알려져 있다.^[16]

4. 8. 현수 엽층(Suspension foliation)

평탄한 다발은 올에 의한 엽층뿐만 아니라 올에 수직인 엽층도 가지는데, 잎은 다음과 같이 정의된다.^[1]

:$L\_f:=\; \backslash left\backslash \{p\backslash left(\backslash tilde\{b\},f\backslash right):\; \backslash tilde\{b\}\backslash in\backslash widetilde\{B\}\backslash right\backslash \},\; \backslash quad\; \backslash mbox\{\; for\; \}f\backslash in\; F,$

여기서 $p:\backslash widetilde\{B\}\backslash times\; F\backslash to\; M$는 정규 투영이다. 이 엽층은 표현의 현수라고 불린다.^[1]

특히, $B=S^1$이고 $\backslash varphi:F\backslash to\; F$가 $F$의 위상 동형사상인 경우, $\backslash varphi$의 현수 엽층은 $\backslash rho\; :\; \backslash mathbb\{Z\}\; \backslash to\; Homeo(F)$로 주어지는 표현 $\backslash rho(z)\; =\; \backslash Phi^z$의 현수 엽층으로 정의된다. 그 잎의 공간은 $L\; =\; \backslash mathcal\{F\}/\; \backslash sim$인데, 여기서 $x\; \backslash sim\; y$는 $y\; =\; \backslash Phi^n(x)$가 어떤 $n\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\}$에 대해 성립할 때이다.^[1]

현수 엽층의 가장 간단한 예는 차원 ''q''의 다양체 ''X''이다. ''f'' : ''X'' → ''X''를 전단사 함수로 두고, 현수 $M\; =\; S^1\; \backslash times\_f\; X$를 등가 관계 (1,''x'') ~ (0,''f''(''x''))에 의한 [0,1] × ''X''의 몫으로 정의한다.^[1]

:$M\; =\; S^1\; \backslash times\_f\; X\; =\; [0,1]\; \backslash times\; X$

그러면 자동적으로 ''M''은 두 개의 엽층을 가진다. $\backslash mathcal\{F\}\_2$는 $F\_\{2,t\}\; =\; \backslash \{(t,x)\_\backslash sim\; :\; x\; \backslash in\; X\backslash \}$ 형식의 집합으로 구성되고, $\backslash mathcal\{F\}\_1$은 $F\_\{2,x\_0\}\; =\; \backslash \{(t,x)\; :\; t\; \backslash in\; [0,1]\; ,x\; \backslash in\; O\_\{x\_0\}\backslash \}$ 형식의 집합으로 구성되는데, 여기서 궤도 $O\_\{x\_0\}$는 다음과 같이 정의된다.^[1]

:$O\_\{x\_0\}\; =\; \backslash \{...,\; f^\{-2\}(x\_0),\; f^\{-1\}(x\_0),\; x\_0,\; f(x\_0),\; f^2(x\_0),\; ...\backslash \},$

여기서 지수는 함수 ''f''가 자기 자신과 합성된 횟수를 나타낸다. $O\_\{x\_0\}\; =\; O\_\{f(x\_0)\}\; =\; O\_\{f^\{-2\}(x\_0)\}$ 등이므로, $F\_\{1,x\_0\}$에 대해서도 마찬가지이다. 엽층 $\backslash mathcal\{F\}\_1$을 이해하는 것은 맵 ''f''의 역학을 이해하는 것과 같다. 다양체 ''X''가 이미 엽층화되어 있다면, ''f''가 잎을 잎으로 매핑하는 한, 이 구성을 사용하여 엽층의 여차원을 증가시킬 수 있다.^[1]

2-토러스의 크로네커 엽층은 각도 $\backslash alpha\; \backslash in\; [0,\; 2\backslash pi)$로의 회전 $R\_\backslash alpha\; :\; S^1\; \backslash to\; S^1$의 현수 엽층이다.^[1]

더 구체적으로, $\backslash Sigma\; =\; \backslash Sigma\_2$가 $C^1,\; C^2\; \backslash in\; \backslash Sigma$가 두 개의 내장된 원을 갖는 2-구멍 토러스인 경우, 3-다양체 $M\; =\; \backslash Sigma\; \backslash times\; S^1$의 곱 엽층을 잎 $\backslash Sigma\; \backslash times\; \backslash \{y\backslash \},\; y\; \backslash in\; S^1$으로 둔다. $N\_i\; =\; C\_i\; \backslash times\; S^1$이 내장된 토러스이고 $\backslash mathcal\{F\}$가 $N\_i,\; i\; =\; 1,2$에 수직임을 유의한다. $Diff\_+(S^1)$은 $S^1$의 방향 보존 미분 동형 사상의 그룹을 나타내고, $f\_1,f\_2\; \backslash in\; Diff\_+(S^1)$을 선택한다. $N\_1$과 $N\_2$를 따라 ''M''을 절단하여 $N\_i^+$과 $N\_i^-$가 결과적으로 $N\_i,\; i\; =\; 1,2$의 사본을 나타내도록 한다. 이 시점에서 $M\text{'}\; =\; \backslash Sigma\text{'}\; \backslash times\; S\_1$과 네 개의 경계 구성 요소 $\backslash \{N\_i^\backslash pm\backslash \}\_\{i=1,2\}$가 있다. 엽층 $\backslash mathcal\{F\}$는 경계 $\backslash partial\; M\text{'}$에 수직인 엽층 $\backslash mathcal\{F\text{'}\}$으로 바뀌었으며, 각 잎은 $\backslash Sigma\text{'}\; \backslash times\; \backslash \{y\backslash \},\; y\; \backslash in\; S^1$ 형식이다.^[1]

이 잎은 네 개의 원 $C\_i^\backslash pm\; \backslash times\; \backslash \{y\backslash \}\; \backslash subset\; N\_i^\backslash pm$에서 $\backslash partial\; M\text{'}$을 만난다. $z\; \backslash in\; C\_i$인 경우, $C\_i^\backslash pm$의 해당 점은 $z^\backslash pm$로 표시되고, $N\_i^-$는 식별을 통해 $N\_i^+$에 "다시 접합"된다.^[1]

:$(z^-,y)\; \backslash equiv\; (z^+,f\_i(y)),\; \backslash quad\; i\; =\; 1,2.$

$f\_1$과 $f\_2$는 $S^1$의 방향 보존 미분 동형 사상이므로 항등 사상과 동위 원소이며, 이 재접합 연산으로 얻은 다양체는 ''M''과 위상 동형이다. 그러나 $\backslash mathcal\{F\text{'}\}$의 잎은 재조립되어 ''M''의 새로운 엽층 $\backslash mathcal\{F\}(f\_1,f\_2)$를 생성한다. $\backslash mathcal\{F\}(f\_1,f\_2)$의 잎 ''L''에 조각 $\backslash Sigma\text{'}\; \backslash times\; \backslash \{y\_0\backslash \}$가 포함되어 있는 경우,^[1]

:$L\; =\; \backslash bigcup\_\{g\; \backslash in\; G\}\; \backslash Sigma\text{'}\; \backslash times\; \backslash \{\; g\; (y\_0)\; \backslash \},$

여기서 $G\; \backslash subset\; Diff\_+(S^1)$는 $\backslash \{f\_1,f\_2\backslash \}$에 의해 생성된 하위 그룹이다. 이러한 $\backslash Sigma\text{'}$의 사본은 식별에 의해 서로 연결된다.^[1]

:$(z^-,g(y\_0))\; \backslash equiv\; (z^+,f\_1(g(y\_0)))$ for each $z\; \backslash in\; C\_1$,

:$(z^-,g(y\_0))\; \backslash equiv\; (z^+,f\_2(g(y\_0)))$ for each $z\; \backslash in\; C\_2$,

여기서 ''g''는 ''G''에 걸쳐 있다. 잎은 $y\_0\; \backslash in\; S^1$의 ''G''-궤도에 의해 완전히 결정되며 단순하거나 엄청나게 복잡할 수 있다. 예를 들어, 해당 ''G''-궤도가 유한한 경우에 정확히 잎이 콤팩트하다. 극단적인 예로, ''G''가 자명한 경우 ($f\_1\; =\; f\_2\; =\; id\_\{S^1\}$), $\backslash mathcal\{F\}(f\_1,f\_2)\; =\; \backslash mathcal\{F\}$. 궤도가 $S^1$에서 조밀하면 해당 잎은 ''M''에서 조밀하다. 예로, $f\_1$과 $f\_2$가 2π의 유리적으로 독립적인 배수로의 회전인 경우, 모든 잎은 조밀하다. 다른 예에서 일부 잎 ''L''은 각 인자 $\backslash \{w\backslash \}\; \backslash times\; S^1$을 칸토어 집합에서 만나는 폐포 $\backslash bar\{L\}$을 갖는다. 유사한 구조는 $\backslash Sigma\; \backslash times\; I$에서 만들 수 있으며, 여기서 ''I''는 콤팩트하고 비퇴화적인 간격이다. 여기에서 $f\_1,\; f\_2\; \backslash in\; Diff\_+(I)$를 사용하고, $\backslash partial\; I$는 모든 방향 보존 미분 동형 사상에 의해 점별로 고정되므로, $\backslash partial\; M$의 두 구성 요소를 잎으로 갖는 엽층이 얻어진다. 이 경우 ''M''을 형성하면 모서리가 있는 엽층 다양체가 얻어진다. 어느 경우든, 이 구조는 일련의 미분 동형 사상의 "현수"라고 불리며, 코드 차원이 1인 엽층의 흥미로운 예의 비옥한 원천이다.^[1]

4. 9. 선형 엽층(Linear foliation)

원환면 ''T''²의 1차원 엽층의 중요한 부류는 ''T''²에서 상수 벡터장을 투영하여 파생된다. 상수 벡터장

:$\backslash tilde\{X\}\; \backslash equiv\; \backslash begin\{bmatrix\}a\; \backslash \backslash \; b\; \backslash end\{bmatrix\}$

은 '''R'''²에서 모든 '''R'''²의 변환에 의해 불변이므로, 토러스에 투영될 때 잘 정의된 벡터장 ''X''로 전달된다. ''a'' ≠ 0이라고 가정한다. $\backslash tilde\{X\}$에 의해 생성된 '''R'''²의 엽층 $\backslash mathcal\{\backslash tilde\{F\}\}$는 기울기 θ = ''b''/''a''의 평행한 직선을 잎으로 가진다. 이 엽층 또한 변환에 불변이며, ''X''에 의해 생성된 ''T''²의 엽층 $\backslash mathcal\{F\}$로 전달된다.

$\backslash mathcal\{\backslash tilde\{F\}\}$의 각 잎은 다음 형식이다.

:$\backslash tilde\{L\}\; =\; \backslash \{(x\_0\; +\; ta,y\_0\; +\; tb)\backslash \}\_\{t\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}\}.$

기울기가 유리수이면 모든 잎은 원에 위상 동형인 닫힌 곡선이다. 이 경우 ''a'',''b'' ∈ '''Z'''를 사용할 수 있다. 고정된 ''t'' ∈ '''R'''에 대해, $\backslash tilde\{L\}$의 값에 해당하는 점은 ''t'' ∈ ''t''₀ + '''Z'''로 '''T'''²의 동일한 점으로 투영된다. 따라서 $\backslash mathcal\{F\}$의 해당 잎 ''L''은 ''T''²에 임베딩된 원이다. ''L''이 임의적이므로, $\backslash mathcal\{F\}$는 원으로 구성된 ''T''²의 엽층 구조이다. 이 엽층 구조는 실제로 섬유 다발 π : ''T''² → ''S''¹임이 쉽게 뒤따른다. 이것은 "선형 엽층 구조"로 알려져 있다.

기울기 θ = ''b''/''a''가 무리수일 때, 잎은 비콤팩트하고 비콤팩트화된 실수선과 위상 동형이며 조밀한 토러스에 있다(cf 무리수 회전). 각 점(''x''₀,''y''₀)의 궤적은 동일한 점으로 돌아오지 않고, 토러스 주위에 "어디에나 조밀한" 감기를 생성한다. 즉, 임의로 주어진 점에 접근한다. 따라서 궤적의 폐포는 전체 2차원 토러스이다. 이 경우는 레오폴트 크로네커와 그의 "크로네커의 밀도 정리"를 따라 "크로네커 엽층 구조"로 명명되었다. 실수 θ가 π의 각 유리수 배수와 다르면, 집합 {''e^inθ'' | ''n'' ∈ '''Z'''}는 단위 원에서 조밀하다.