외연성
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1. 개요
외연성은 수학에서 함수, 관계, 집합 등이 동일한 확장을 가질 경우 같다고 정의하는 개념을 의미한다. 집합론의 외연성 공리는 두 집합이 동일한 원소를 포함할 때만 같다고 명시하며, 다른 수학적 객체들도 외연적 동일성에 일치하도록 구성된다. 외연성 원리에는 명제적 외연성, 함수적 외연성, 단일성이 있으며, 선택된 기초에 따라 일부 원리가 다른 원리를 함의할 수 있다. 예를 들어, 두 함수가 동일한 입력을 주었을 때 같은 값을 생성하면 외연적으로 같다고 할 수 있지만, 함수의 정의가 다르면 내포적으로는 다르다.
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2. 수학에서의 외연성
수학에서 외연성은 주로 함수, 관계, 집합 등을 정의할 때 사용된다.
수학에서는 함수의 동일성에 대한 외연적 정의가 일반적으로 사용된다. 즉, 두 함수가 같은 확장을 가지면 같다고 본다. 관계에 대해서도 비슷하게 외연적 정의가 적용되어, 두 관계가 동일한 확장을 가질 경우 같다고 본다.
집합론에서 외연성의 공리는 두 집합이 동일한 원소를 포함할 때, 그리고 오직 그럴 때만 같다고 명시한다. 집합론으로 형식화된 수학에서는 관계, 그리고 무엇보다도 함수를 그들의 확장과 동일시하는 것이 일반적이므로, 동일한 확장을 가진 두 관계나 함수는 구별할 수 없다.
다른 수학적 객체들도 "동일성"에 대한 직관적인 개념이 집합 수준의 외연적 동일성과 일치하도록 구성된다. 따라서 동일한 순서쌍은 동일한 원소를 가지며, 동치 관계로 관련된 집합의 원소들은 동일한 동치류에 속한다.
하지만 수학의 유형론적 기초는 일반적으로 이러한 의미에서 "외연적"이지 않으며, 집합체는 보통 내포적 동일성과 더 일반적인 동치 관계(일반적으로 부실한 구성 가능성 또는 결정 가능성 속성을 가짐) 사이의 차이를 유지하는 데 사용된다.
2. 1. 함수와 관계
수학에서 함수의 동일성에 대한 외연적 정의가 일반적으로 사용된다. 비슷하게, 두 관계는 동일한 확장을 가질 경우 같다고 하는 외연적 정의가 일반적으로 관계에 적용된다.집합론에서 외연성의 공리는 두 개의 집합이 동일한 원소를 포함할 때, 그리고 오직 그럴 때만 같다고 명시한다. 집합론으로 형식화된 수학에서는 관계, 그리고 무엇보다도 함수를 위에 언급된 바와 같이 그들의 확장과 동일시하는 것이 일반적이므로, 동일한 확장을 가진 두 개의 관계 또는 함수는 구별될 수 없다.
다른 수학적 객체들도 "동일성"에 대한 직관적인 개념이 집합 수준의 외연적 동일성과 일치하도록 구성된다. 따라서 동일한 순서쌍은 동일한 원소를 가지며, 동치 관계로 관련된 집합의 원소들은 동일한 동치류에 속한다.
수학의 유형론적 기초는 일반적으로 이러한 의미에서 "외연적"이지 않으며, 집합체는 일반적으로 내포적 동일성과 더 일반적인 동치 관계 (일반적으로 부실한 구성 가능성 또는 결정 가능성 속성을 가짐) 사이의 차이를 유지하는 데 사용된다.
2. 2. 집합론
집합론에서 외연성의 공리는 두 개의 집합이 동일한 원소를 포함할 때, 그리고 오직 그럴 때만 같다고 명시한다. 이는 내용이나 정의 방식과 관계없이 동일한 원소를 가지는 두 집합은 동일한 집합으로 간주함을 의미한다.수학의 유형론적 기초는 일반적으로 이러한 의미에서 "외연적"이지 않으며, 집합체는 일반적으로 내포적 동일성과 더 일반적인 동치 관계(일반적으로 부실한 구성 가능성 또는 결정 가능성 속성을 가짐) 사이의 차이를 유지하는 데 사용된다.
2. 3. 유형 이론
수학의 유형론적 기초는 일반적으로 이러한 의미에서 "외연적"이지 않으며, 집합체는 일반적으로 내포적 동일성과 더 일반적인 동치 관계(일반적으로 부실한 구성 가능성 또는 결정 가능성 속성을 가짐) 사이의 차이를 유지하는 데 사용된다.[1]3. 외연성 원리
수학에는 다양한 외연성 원리가 존재한다.
선택된 기초에 따라 일부 외연성 원리가 다른 원리를 암시할 수 있다. 예를 들어, 단일형 기초에서 단일성 공리는 명제적 외연성과 함수적 외연성 모두를 함의한다. 외연성 원리는 일반적으로 공리로 가정되는데, 특히 계산 내용을 보존해야 하는 형식 이론에서 그렇다. 그러나 집합론 및 기타 외연적 기초에서는 함수적 외연성이 기본적으로 성립함을 증명할 수 있다.
3. 1. 명제적 외연성
두 명제가 서로 동치이면, 두 명제는 같다. (만약 이면 이다.)[1]3. 2. 함수적 외연성
모든 x에 대해 이면, 이다.[1]3. 3. 단일성
두 집합 A와 B가 동형이면, 이다.[1] 선택된 기초에 따라 일부 외연성 원리가 다른 원리를 함의할 수 있다.4. 예시
함수와 술어는 외연적으로는 같지만, 내포적으로는 다른 경우가 있다.
자연수에서 자연수로 가는 두 함수 ''f''와 ''g''는 다음과 같이 정의될 수 있다.
- ''f''(''n'')을 구하려면, 먼저 ''n''에 5를 더한 다음 2를 곱한다.
- ''g''(''n'')을 구하려면, 먼저 ''n''에 2를 곱한 다음 10을 더한다.
이 두 함수는 외연적으로는 같지만, 내포적으로는 다르다.
어떤 마을에 조(Joe)라는 이름의 사람이 한 명 있고, 그 사람이 마을에서 가장 나이가 많은 사람이라고 가정할 때, "조라고 불리는 것"과 "이 마을에서 가장 나이가 많은 사람인 것"이라는 두 술어는 내포적으로는 다르지만 외연적으로는 같다.
4. 1. 함수 예시
함수 ''f''와 ''g''를 자연수에서 자연수로 대응되는 함수로 정의할 때, 다음과 같이 정의할 수 있다.- ''f''(''n'')을 구하려면, 먼저 ''n''에 5를 더한 다음 2를 곱한다.
- ''g''(''n'')을 구하려면, 먼저 ''n''에 2를 곱한 다음 10을 더한다.
이 함수들은 모든 자연수 ''n''에 대해서 ''f''(''n'') = ''g''(''n'')이 성립하므로, 외연적으로 같다. 즉, 동일한 입력을 주면 두 함수 모두 항상 동일한 값을 생성한다. 그러나 함수의 정의는 같지 않으며, 내포적 의미에서 이 함수들은 동일하지 않다.
4. 2. 술어 예시
어떤 마을에 조(Joe)라는 이름의 사람이 한 명 있고, 그 사람이 마을에서 가장 나이가 많은 사람이라고 가정해 보자. 그러면 "조라고 불리는 것"과 "이 마을에서 가장 나이가 많은 사람인 것"이라는 두 술어는 내포적으로는 다르지만, 이 마을의 (현재) 인구에 대해 외연적으로는 같다.[1]
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