원통좌표계

3. 표기법

원통좌표계의 표기법은 통일되어 있지 않다. ISO 표준 31-11은 (''ρ'', ''φ'', ''z'')를 권장하며, 여기서 ''ρ''는 반지름, ''φ''는 방위각, ''z''는 높이를 나타낸다. 그러나 반지름은 ''r'' 또는 ''s''로, 방위각은 ''θ'' 또는 ''t''로, 높이는 ''h''로 표시되거나, 원통축이 수평으로 간주되는 경우 ''x'' 또는 상황에 맞는 다른 문자로 표시되기도 한다.

4. 좌표계 변환

원통 좌표계와 데카르트 좌표계 간의 변환을 위해 기준 평면을 데카르트 ''xy''-평면 (''z'' = 0 일 때) 으로 가정하고, 원통축을 데카르트 z-축으로 가정하는 것이 편리하다. 그러면 z-좌표는 두 시스템에서 동일하기 때문에 원통 좌표 (''ρ'', ''φ'', ''z'') 와 데카르트 좌표 (''x'', ''y'', ''z'') 간의 대응은 극좌표계와 데카르트 좌표의 대응과 같게 된다.

원통좌표계를 데카르트 좌표계로 변환할 때는

: x = ''ρ'' cos ''φ''

: y = ''ρ'' sin ''φ''

: z = z

와 같고, 반대 방향으로는

: ''ρ'' = √(''x''² + ''y''²)

: ''φ'' =

:{ x = 0 이고 y = 0 이면, 정의 불가

:{ x ≥ 0 이면, arcsin(''y''/''ρ'')

:{ x < 0 이고 y ≥ 0 이면, -arcsin(''y''/''ρ'') + π

:{ x < 0 이고 y < 0 이면, -arcsin(''y''/''ρ'') + π

와 같다.

arcsin 함수는 sin 함수의 역함수이며, 치역은 일반적으로 [−π/2, +π/2] (-90°, +90°) 에 속한다. 위의 공식들은 방위각 ''φ''를 [-90°, +270°] 구간으로 변환한다.

치역이 [−π/2, +π/2] (-90°, +90°)에 속하는 arctan 함수를 사용하면 ''ρ''를 먼저 계산하지 않고도 방위각 ''φ''를 계산할 수 있다.

: ''φ'' =

:{ x = 0 이고 y = 0 이면, 정의 불가

:{ x = 0 이고 y ≠ 0 이면, (π/2) * ''y''/|''y''|

:{ x > 0 이면, arctan(''y''/''x'')

:{ x < 0 이고 y ≥ 0 이면, arctan(''y''/''x'') + π

:{ x < 0 이고 y < 0 이면, arctan(''y''/''x'') - π

다른 공식들을 보려면 극좌표계 문서를 참고하여라.

많은 현대 프로그래밍 언어에서는 위에서 설명한 조건을 주어진 ''x''와 ''y''에 대해 분석하지 않고도 올바른 방위각 ''φ''를 (-π, π) 범위에서 계산하는 함수를 제공한다. 예를 들어, C 언어에서는 이 함수가 `atan2(''y'', ''x'')`로 호출되며, Common Lisp에서는 `(atan ''y'' ''x'')`로 호출된다.

4. 1. 데카르트 좌표계와의 변환

4. 2. 구면좌표계와의 변환

구면 좌표계에서 원통 좌표계로의 변환 공식은 다음과 같다.

원통 좌표계에서 구면 좌표계로의 변환 공식은 다음과 같다.

5. 미분 요소

원통 좌표계를 포함하는 많은 문제에서 선 및 부피 요소를 아는 것이 유용하다. 이들은 경로와 관련된 문제를 풀고 부피를 구하는 데 적분에 사용된다.

선 요소는 다음과 같다.

:$$\backslash mathrm\{d\}\backslash boldsymbol\{r\}\; =\; \backslash mathrm\{d\}\backslash rho\backslash ,\backslash boldsymbol\{\backslash hat\{\backslash rho\}\}\; +\; \backslash rho\backslash ,\backslash mathrm\{d\}\backslash varphi\backslash ,\backslash boldsymbol\{\backslash hat\{\backslash varphi\}\}\; +\; \backslash mathrm\{d\}z\backslash ,\backslash boldsymbol\{\backslash hat\{z\}\}.$$

부피 요소는 다음과 같다.

:$$\backslash mathrm\{d\}V\; =\; \backslash rho\backslash ,\backslash mathrm\{d\}\backslash rho\backslash ,\backslash mathrm\{d\}\backslash varphi\backslash ,\backslash mathrm\{d\}z.$$

반지름 ρ가 일정한 표면(수직 원통)에서 표면 요소는 다음과 같다.

:$$\backslash mathrm\{d\}S\_\backslash rho\; =\; \backslash rho\backslash ,\backslash mathrm\{d\}\backslash varphi\backslash ,\backslash mathrm\{d\}z.$$

방위각 φ가 일정한 표면(수직 반평면)에서 표면 요소는 다음과 같다.

:$$\backslash mathrm\{d\}S\_\backslash varphi\; =\; \backslash mathrm\{d\}\backslash rho\backslash ,\backslash mathrm\{d\}z.$$

높이 z가 일정한 표면(수평면)에서 표면 요소는 다음과 같다.

:$$\backslash mathrm\{d\}S\_z\; =\; \backslash rho\backslash ,\backslash mathrm\{d\}\backslash rho\backslash ,\backslash mathrm\{d\}\backslash varphi.$$

이 시스템의 델 연산자는 기울기, 발산, 회전 및 라플라시안에 대한 다음 식을 이끌어낸다.

:$$\backslash begin\{align\}$$

\nabla f &= \frac{\partial f}{\partial \rho}\boldsymbol{\hat{\rho}} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \varphi}\boldsymbol{\hat{\varphi}} + \frac{\partial f}{\partial z}\boldsymbol{\hat{z}} \\[8px]

\nabla \cdot \boldsymbol{A} &= \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho A_\rho\right) + \frac{1}{\rho} \frac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi} + \frac{\partial A_z}{\partial z} \\[8px]

\nabla \times \boldsymbol{A} &= \left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial A_z}{\partial \varphi} - \frac{\partial A_\varphi}{\partial z}\right)\boldsymbol{\hat{\rho}} +

\left(\frac{\partial A_\rho}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial \rho}\right)\boldsymbol{\hat{\varphi}} +

\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho A_\varphi\right) - \frac{\partial A_\rho}{\partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat{z}} \\[8px]

\nabla^2 f &= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} \left(\rho \frac{\partial f}{\partial \rho}\right) +

\frac{1}{\rho^2} \frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}

\end{align}

원통 좌표계에서 부피 적분에 대한 자세한 내용은 다중 적분을, 벡터 미적분학 공식은 원통 및 구면 좌표계의 델 연산자를 참조한다.

5. 1. 선 요소

5. 2. 부피 요소

5. 3. 면 요소

6. 미분 연산자

원통 좌표계에서 선 및 부피 요소를 알면 경로 및 부피 관련 문제를 적분으로 풀 수 있다.

선 요소는 다음과 같다.

:$\backslash mathrm\{d\}\backslash boldsymbol\{r\}\; =\; \backslash mathrm\{d\}\backslash rho\backslash ,\backslash boldsymbol\{\backslash hat\{\backslash rho\}\}\; +\; \backslash rho\backslash ,\backslash mathrm\{d\}\backslash varphi\backslash ,\backslash boldsymbol\{\backslash hat\{\backslash varphi\}\}\; +\; \backslash mathrm\{d\}z\backslash ,\backslash boldsymbol\{\backslash hat\{z\}\}.$

부피 요소는 다음과 같다.

:$\backslash ,\; \{d\; V\}\; =\; r\; d\; r\; d\; \backslash theta\; dz$

반지름 $\{\backslash rho\}$가 일정한 표면(수직 원통)에서 표면 요소는 다음과 같다.

:$\backslash mathrm\{d\}S\_\backslash rho\; =\; \backslash rho\backslash ,\backslash mathrm\{d\}\backslash varphi\backslash ,\backslash mathrm\{d\}z.$

방위각 $\{\backslash varphi\}$가 일정한 표면(수직 반평면)에서 표면 요소는 다음과 같다.

:$\backslash mathrm\{d\}S\_\backslash varphi\; =\; \backslash mathrm\{d\}\backslash rho\backslash ,\backslash mathrm\{d\}z.$

높이 $\{z\}$가 일정한 표면(수평면)에서 표면 요소는 다음과 같다.

:$\backslash mathrm\{d\}S\_z\; =\; \backslash rho\backslash ,\backslash mathrm\{d\}\backslash rho\backslash ,\backslash mathrm\{d\}\backslash varphi.$

이 시스템의 델 연산자는 기울기, 발산, 회전 및 라플라시안에 대한 다음 식을 이끌어낸다.

$$\backslash begin\{align\}$$

\nabla f &= \frac{\partial f}{\partial \rho}\boldsymbol{\hat{\rho}} + \frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \varphi}\boldsymbol{\hat{\varphi}} + \frac{\partial f}{\partial z}\boldsymbol{\hat{z}} \\[8px]

\nabla \cdot \boldsymbol{A} &= \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho A_\rho\right) + \frac{1}{\rho} \frac{\partial A_\varphi}{\partial \varphi} + \frac{\partial A_z}{\partial z} \\[8px]

\nabla \times \boldsymbol{A} &= \left(\frac{1}{\rho}\frac{\partial A_z}{\partial \varphi} - \frac{\partial A_\varphi}{\partial z}\right)\boldsymbol{\hat{\rho}} +

\left(\frac{\partial A_\rho}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial \rho}\right)\boldsymbol{\hat{\varphi}} +

\frac{1}{\rho}\left(\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho A_\varphi\right) - \frac{\partial A_\rho}{\partial \varphi}\right) \boldsymbol{\hat{z}} \\[8px]

\nabla^2 f &= \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} \left(\rho \frac{\partial f}{\partial \rho}\right) +

\frac{1}{\rho^2} \frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}

\end{align}

원통 좌표계에서 부피 적분에 대한 자세한 내용은 다중 적분을, 벡터 미적분학 공식은 원통 및 구면 좌표계의 델 연산자를 참조하라.

7. 응용

원통좌표계 대칭계를 갖는 라플라스 방정식의 해를 원통 조화 함수/cylindrical harmonics^영어라고 한다.

7. 1. 원통 조화 함수

7. 2. 운동학

참조

_[1] 논문 Resonant electron beam interaction with several lower hybrid waves http://pop.aip.org/r[...] 2002-01-01
_[2] 논문 Solitary Vortex Pairs in Viscoelastic Couette Flow
_[3] 서적 Basic Mathematics for Electronic Engineers: models and applications https://books.google[...] Taylor & Francis 1989
_[4] 서적 Intermediate Fluid Mechanics https://books.google[...] Taylor & Francis 1989
_[5] 서적 Galaxies in the Universe: An Introduction https://books.google[...] Cambridge University Press 2007
_[6] 서적 Classical Mechanics University Science Books 2005
_[7] 논문 Resonant electron beam interaction with several lower hybrid waves http://pop.aip.org/r[...] 2013-02-09
_[8] 논문 Solitary Vortex Pairs in Viscoelastic Couette Flow
_[9] 서적 Basic Mathematics for Electronic Engineers: models and applications https://books.google[...] Taylor & Francis 1989
_[10] 서적 Intermediate Fluid Mechanics https://books.google[...] Taylor & Francis 1989
_[11] 서적 Galaxies in the Universe: An Introduction https://books.google[...] Cambridge University Press 2007
_[12] 논문 Resonant electron beam interaction with several lower hybrid waves https://pubs.aip.org[...] 2002-06-01
_[13] 논문 Solitary Vortex Pairs in Viscoelastic Couette Flow https://ui.adsabs.ha[...] 1997-02-01
_[14] 서적 Basic mathematics for electronic engineers: models and applications https://archive.org/[...] Van Nostrand Reinhold 1989
_[15] 서적 Intermediate fluid mechanics Hemisphere Pub. Corp 1989
_[16] 서적 Galaxies in the universe: an introduction https://www.worldcat[...] Cambridge University Press 2007