웨이어-펠란 구조

2. 역사 및 켈빈 문제

1887년, 켈빈 경(윌리엄 톰슨)은 3차원 공간을 동일한 부피의 셀(cell)로 분할할 때 경계면의 총 면적을 최소화하는 방법, 즉 가장 효율적인 비눗방울 거품 구조는 무엇인가 하는 문제를 제기했다.^[3] 이 문제는 이후 '''켈빈 문제'''(Kelvin problem)로 불리게 되었다. 이는 2차원 평면에서 동일 면적의 도형으로 최소 둘레를 가지며 공간을 채우는 구조가 육각형 벌집이라는 벌집 추측의 3차원 버전이라 할 수 있다. 벌집 추측은 고대 로마 학자 마르쿠스 테렌티우스 바로까지 거슬러 올라가지만, 1999년에야 토머스 C. 헤일스에 의해 증명되었다.

켈빈은 이 문제의 해답으로 깎은 팔면체를 기반으로 한 잘린 정육면체 벌집 구조를 변형한, 이른바 '''켈빈 구조'''(Kelvin structure)를 제안했다. 이 구조는 오랫동안 가장 효율적인 구조로 여겨졌고, 이를 '''켈빈 추측'''(Kelvin conjecture)이라고 부르게 되었다.^[1] 켈빈 구조는 플라토의 법칙을 더 잘 만족시키기 위해 면과 모서리가 약간 휘어진 형태를 가진다.

켈빈 추측은 100년 이상 널리 받아들여졌으나, 1993년 더블린 트리니티 칼리지의 물리학자 데니스 웨이어와 그의 제자 로버트 펠란(Robert Phelan)이 컴퓨터 시뮬레이션을 통해 켈빈 구조보다 표면적이 더 작은 새로운 구조를 발견했다. 이 구조가 바로 웨이어-펠란 구조이며, 이 발견으로 켈빈 추측은 반증되었다. 웨이어-펠란 구조는 켈빈 구조보다 표면적이 약 0.3% 더 작다.

웨이어-펠란 구조가 발견된 이후, 켈빈 추측에 대한 다른 반례들이 추가로 발견되었지만, 웨이어-펠란 구조는 현재까지 알려진 구조 중에서 단위 부피당 표면적이 가장 작은 구조로 남아있다. 수치적 계산 결과는 웨이어-펠란 구조가 최적해일 가능성을 시사하지만, 수학적으로 엄밀하게 증명되지는 않았다. 일반적으로 최소 표면 문제의 최적성을 증명하는 것은 매우 어려운 과제로 알려져 있다. 예를 들어, 단일 부피를 감싸는 최소 표면이 구라는 사실은 19세기에 증명되었고, 두 부피를 감싸는 최소 표면 문제인 이중 거품 추측은 2002년에야 해결되었다.

2. 1. 켈빈 구조

2. 2. 웨이어-펠란 구조

• 하나는 오각형 면 12개를 가진 불규칙 십이면체인 파이라이토헤드론(pyritohedron)으로, 사면체 대칭(''T_h'')을 갖는다.
• 다른 하나는 육각형 면 2개와 오각형 면 12개를 가진 테트라데카에드론(tetrakaidecahedron)의 한 종류로, 잘린 육각형 사다리꼴 다면체의 형태이며 각기둥의 대칭성(''D_2d'')을 갖는다.

• 클라스레이트 수화물: 메탄 하이드레이트와 같은 가스 하이드레이트는 저온에서 "I형 클라스레이트 구조"라고 불리는 웨이어-펠란 구조와 동일한 결정 구조를 가진다. 물 분자가 구조의 꼭짓점(node)에 위치하여 수소 결합으로 다면체 틀을 형성하고, 메탄과 같은 큰 분자가 그 안의 공간에 포접된다.
• A15상: 부피가 같은 거품 집합체에 적절한 경계 조건을 부여하면 웨이어-펠란 구조와 동일한 위상을 갖는 A15상을 형성하는 것이 실험적으로 확인되었다.^[4][5] A15상은 웨이어-펠란 구조의 각 셀 중심에 원자를 배치한 결정 구조를 말한다.
• 기타 화합물: 일부 알칼리 금속의 규화물 및 게르마늄 화합물, 실리카 광물인 멜라노플로자이트(melanophlogite) 등도 이 구조를 가진다. 국제 제올라이트 학회는 멜라노플로자이트와 동일한 골격 구조에 MEP(MElanoPhlogite)라는 기호를 부여했다. 멜라노플로자이트는 SiO₂의 준안정형으로, 기체 분자가 케이지 내에 트랩됨으로써 안정화된다.
• 프랭크-캐스퍼 상: 프랭크-캐스퍼 상(Frank–Kasper phases)으로 알려진 금속 합금의 복잡한 결정 구조 중 일부도 다면체 웨이어-펠란 구조를 포함한다.^[7]
• 나노 물질: 팔라듐 기판 위에 형성된 납-팔라듐 합금 박막에서 웨이어-펠란 구조와 매우 유사한 나노 물질이 발견되었으며, 2008년 베이징 올림픽 수영 경기장인 베이징 국가 수영 센터의 외관과 비슷하여 "나노 워터큐브(Nano WaterCube)"라고 명명되었다.^[8]

3. 구조 설명

웨이어-펠란 구조는 켈빈 구조와 달리, 부피가 같은 두 종류의 세포(cell)를 사용하여 공간을 채운다. 이 두 세포는 모두 볼록 다면체와 조합적으로 동일하며, 표면적을 최소화하기 위해 면이 약간 휘어진 최소 표면의 형태를 띤다.

웨이어-펠란 구조를 이루는 두 종류의 세포

세포 종류	다른 이름	면 구성	대칭성
-- 불규칙 십이면체	파이라이토헤드론	오각형 12개	사면체 대칭 (Th)
-- 테트라데카에드론	잘린 육각형 사다리꼴 다면체 형태	육각형 2개, 오각형 12개	D2d 대칭성

각 세포의 오각형 면은 켈빈 구조의 육각형 면처럼 완벽한 평면이 아니라 약간 휘어져 있다. 이는 표면적을 최소화하려는 최소 표면의 원리를 따른 결과이다. 이러한 구조 덕분에 웨이어-펠란 구조는 켈빈 구조보다 전체 표면적이 약 0.3% 더 작아, 같은 부피를 더 효율적으로 감쌀 수 있다. 하지만 이것이 수학적으로 가장 효율적인 최적의 구조임이 증명된 것은 아니다.

구조 내에서 테트라데카에드론 세포들은 서로의 육각형 면을 맞대어 연결되면서, 세 개의 서로 수직인 방향으로 무한히 이어지는 사슬 형태를 이룬다. 웨이어-펠란 구조는 테트라스티스(Tetrastix)라는 구조와 조합적으로 동일하다. 테트라스티스는 단위 정육면체로 공간을 타일링(tiling)한 후, 특정 방식으로 정육면체들을 제거하고 남은 공간을 사각기둥으로 채워 만들 수 있는 구조이다. 웨이어-펠란 구조에서 세포의 개수 비율은 십이면체 1/4, 테트라데카에드론 3/4이다.

웨이어-펠란 구조의 면을 평평하게 하고 가장자리를 직선으로 만든 다면체 벌집 구조 역시 느슨하게 웨이어-펠란 구조라고 불리기도 한다. 이 벌집 구조 자체는 웨이어-펠란 구조가 발견되기 오래전부터 알려져 있었지만, 켈빈 문제와의 연관성은 간과되었다.

자연계에서도 웨이어-펠란 구조와 유사한 구조가 발견된다. 특정 조건 하에서 부피가 같은 거품들이 모이면 스스로 A15상이라는 결정 구조를 형성하는 것이 실험적으로 확인되었다.^[4][5] A15상은 웨이어-펠란 구조의 각 세포 중심에 원자를 배치한 것과 같은 원자 배열 구조를 가진다.

4. 응용

웨이어-펠란 구조는 자연 현상과 인공 구조물 디자인 등 다양한 분야에서 응용되거나 발견된다.

물리적 시스템에서는 유리한 경계 조건 하에서 동일한 부피의 거품들이 자발적으로 자기 조립하여 웨이어-펠란 구조를 형성하는 경향이 있으며, 화학 분야에서는 특정 결정 구조와 관련이 있다. 예를 들어, 원자가 다면체 중심에 위치하는 프랭크-카스퍼 상(Frank–Kasper phases) 중 A15 상이나, 원자가 다면체 꼭짓점에 위치하는 'I형 클라트레이트 구조'가 이에 해당한다. 후자의 예로는 특정 조건에서 형성되는 기체 수화물이나 일부 알칼리 금속 규화물 및 게르마늄 화합물 등이 있다.

건축 분야에서는 2008년 하계 올림픽을 위해 건설된 베이징 국가 수영 센터(통칭 '워터 큐브')의 독특한 외관 디자인이 웨이어-펠란 구조에서 영감을 받아 만들어졌다.^[9]

4. 1. 물리적 시스템

실험에 따르면, 유리한 경계 조건 하에서 동일 부피의 거품은 자발적으로 자기 조립되어 웨이어-펠란 구조를 형성하는 것으로 나타났다.^[4][5]

이 구조와 관련된 다면체 벌집 구조는 화학 분야의 두 가지 관련 결정 구조에서도 발견된다. 결정의 구성 요소가 다면체의 중심에 위치하면 프랭크-카스퍼 상(Frank–Kasper phases) 중 하나인 A15 상을 형성한다.^[7] A15상은 웨이어-펠란 구조의 각 셀 중심에 원자를 배치한 결정 구조에 해당한다.

반대로 결정의 구성 요소가 다면체의 꼭짓점에 위치하는 경우, 이를 'I형 클라트레이트 구조'라고 부른다. 저온에서 메탄, 프로판, 이산화 탄소 등이 형성하는 기체 수화물이 대표적인 예이다. 이 구조에서는 물 분자가 웨이어-펠란 구조의 꼭짓점(노드)에 위치하여 서로 수소 결합을 이루고, 상대적으로 크기가 큰 기체 분자들이 다면체 모양의 빈 공간(케이지) 안에 갇히게 된다. 일부 알칼리 금속의 규화물이나 게르마늄 화합물도 이 구조를 가지는데, 이때는 규소(Si)나 게르마늄(Ge) 원자가 꼭짓점 위치를 차지하고 알칼리 금속 원자가 케이지 안에 들어간다. 실리카 광물의 일종인 멜라노플로자이트(melanophlogite)도 비슷한 구조를 가진다. 여기서는 규소(Si) 원자가 꼭짓점에 위치하고, 산소(O) 원자가 변을 따라 결합을 형성한다. 멜라노플로자이트는 이산화 규소(SiO₂)의 준안정 상태이며, 기체 분자가 케이지 내부에 갇힘으로써 안정화된다. 국제 제올라이트 학회는 멜라노플로자이트와 동일한 골격 구조에 MEP(MElanoPhlogite)라는 기호를 부여했다.

웨이어-펠란 구조는 켈빈 구조와 달리 부피가 같은 두 종류의 셀로 구성된다. 하나는 12개의 오각형 면을 가진 오각십이면체(pyritohedron)이다. 이는 정십이면체와는 다르며, 황철석과 같은 T_h 대칭성을 가진다.

다른 하나는 2개의 육각형 면과 12개의 오각형 면을 가지는 십사면체로, 잘린 준육각뿔대(truncated hexagonal trapezohedron) 형태이다. 이 셀은 D_2d 대칭성을 가진다. 두 종류의 셀 모두에서 오각형 면은 약간 휘어져 있다.

웨이어-펠란 구조의 단위 부피당 표면적은 켈빈 구조보다 약 0.3% 작지만, 이것이 표면적을 최소화하는 최적의 구조인지는 아직 증명되지 않았다.

웨이어-펠란 구조에서 면과 변의 곡률을 없애 직선으로 만들면, 다면체에 의한 공간 채움 구조를 얻을 수 있다. 이것도 넓은 의미에서 웨이어-펠란 구조라고 불리기도 한다. 이러한 다면체 공간 채움 구조 자체는 웨이어와 펠란 이전에도 알려져 있었으나^[6], 켈빈 문제와의 관련성은 주목받지 못했다.

최근에는 팔라듐 기판 위에 형성된 납-팔라듐 합금 박막에서 웨이어-펠란 구조와 매우 유사한 나노 구조가 발견되기도 했다. 이 구조는 2008년 베이징 올림픽 당시 수영 경기가 열렸던 베이징 국가수영센터(통칭 '워터 큐브')의 외관과 비슷하여 '나노 워터 큐브(Nano WaterCube)'라는 별칭으로 불린다.^[8]

4. 2. 건축

2008년 하계 올림픽을 위해 트리스트럼 카프라에가 디자인한 베이징 국가 수영 센터(통칭 '워터 큐브')는 웨이어-펠란 구조에서 영감을 받아 건설되었다.^[9] 이 건축물은 웨이어-펠란 구조의 특징을 활용하여 강인하면서도 가벼운 구조를 구현했다. 구조재를 정사면체에 가까운 각도로 접합함으로써, 2차원에서의 육각형처럼 적은 양의 지지재만으로도 넓은 공간을 효율적으로 확보할 수 있었다.