유니모듈러 격자

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 분류
5. 예시
6. 응용
참조

1. 개요

유니모듈러 격자는 자유 유한 생성 아벨 군과 정수 값을 갖는 대칭 쌍선형 형식으로 정의되는 격자이다. 유니모듈러 격자는 기저를 잡았을 때 행렬식이 ±1인 조건을 만족하며, 모든 벡터의 노름이 짝수이면 짝 유니모듈러 격자, 그렇지 않으면 홀 유니모듈러 격자라고 한다. 유니모듈러 격자는 정수 격자이며, 짝수 유니모듈러 격자는 8로 나누어 떨어지는 차원에서만 존재한다. 유니모듈러 격자는 정부호와 부정부호 격자로 분류되며, 26차원 미만의 정부호 유니모듈러 격자는 모두 분류되어 있다. 유니모듈러 격자는 4차원 다양체의 코호몰로지 군으로 나타나는 등 다양한 수학 분야에 응용된다.

더 읽어볼만한 페이지

격자점 - 역격자
역격자는 브라베 격자의 쌍대 개념으로, 해당 격자의 모든 벡터와의 내적이 정수가 되는 벡터들의 집합으로 정의되며, 결정 구조 분석 및 블로흐 정리와 관련된 브릴루앙 영역 연구에 활용되는 또 다른 브라베 격자이다.
격자점 - 아이젠슈타인 정수
아이젠슈타인 정수는 1의 원시 세제곱근 ω를 사용하여 a + bω 꼴로 나타낼 수 있는 대수적 정수이며, 유클리드 정역을 이루어 유일 소인수분해를 갖는다.
이차 형식 - 밀너 환
밀너 환은 체 위의 가역원군으로 정의되는 등급환으로, 각 등급 성분인 밀너 K군은 대수적 K-이론, 고차 류체론, 갈루아 코호몰로지, 에탈 코호몰로지, 이차 형식 등 여러 수학 분야와 연결되는 심오한 추측들과 연관된다.
이차 형식 - 클리퍼드 대수
클리퍼드 대수는 가환환 위의 가군과 이차 형식으로부터 정의되는 단위 결합 대수로서, 보편 성질이나 텐서 대수의 몫대수를 통해 정의 및 구성되며, 물리학, 컴퓨터 비전, K이론 등 다양한 분야에서 응용되는 대수적 구조이다.

유니모듈러 격자
수학
유형	격자
쌍대 격자	자기 쌍대
판별식	±1
예시
차원 8	E8 격자
차원 24	리치 격자

2. 정의

'''격자'''(lattice^영어) $(L,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ 는 자유 유한 생성 아벨 군 $L$ 과 정수 값을 갖는 대칭 쌍선형 형식 $\langle\cdot,\cdot\rangle\colon L\times L\to\mathbb Z$ 으로 이루어진다. 격자는 (·,·)가 정수 값을 가지면 '''정수 격자'''이다.

'''유니모듈러 격자'''는 행렬식이 ±1인 격자이다. '''짝 유니모듈러 격자'''는 모든 원소의 노름이 짝수인 유니모듈러 격자이며, 그렇지 않은 경우는 '''홀 유니모듈러 격자'''이다.

2. 1. 기본 정의

'''격자'''(lattice|^영어)

(L,\langle\cdot,\cdot\rangle)

는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

$L$ 은 자유 유한 생성 아벨 군이다.
$\langle\cdot,\cdot\rangle\colon L\times L\to\mathbb Z$ 는 정수 값을 갖는 대칭 쌍선형 형식이다.

'''유니모듈러 격자'''는 다음 조건을 만족시키는 격자

(L,\langle\cdot,\cdot\rangle)

이다.

$L$ 이 $n$ 차원이라고 하자. $L$ 의 기저 $\{v_1,\dots,v_n\}$ 을 잡았을 때, $n\times n$ 대칭 정수행렬 $M\in\operatorname{Mat}_n(\mathbb Z)$ 을 $(M)_{ij}=\langle v_i,v_j\rangle$ 로 정의한다. 그렇다면 $\det M=\pm1$ 이다. (행렬 $M$ 은 기저의 선택에 따라 달라지지만, 그 행렬식은 바뀌지 않는다.)

'''짝 유니모듈러 격자'''(even unimodular lattice|^영어)는 모든

v\in L

에 대하여

\langle v,v\rangle

이 짝수인 격자다. 짝 유니모듈러 격자가 아닌 유니모듈러 격자를 '''홀 유니모듈러 격자'''(odd unimodular lattice|^영어)라고 한다.

2. 2. 추가 정의

격자의 '''차원'''은 자유 아벨 군의 계수와 같다.
격자 원소 ''a''의 '''노름'''은 (''a'', ''a'')이다.
격자는 모든 0이 아닌 원소의 노름이 양수이면 '''양의 정부호'''이다.
격자의 '''행렬식'''은 격자의 기저를 형성하는 원소 ''a_i''를 사용하여 항목 (''a_i'', ''a_j'')으로 구성된 그람 행렬의 행렬식이다.
정수 격자는 행렬식이 1 또는 -1이면 '''유니모듈러'''이다.
유니모듈러 격자는 모든 노름이 짝수이면 '''짝수''' 또는 '''타입 II'''이고, 그렇지 않으면 '''홀수''' 또는 '''타입 I'''이다.
양의 정부호 격자의 '''최소값'''은 가장 낮은 0이 아닌 노름이다.
격자는 종종 대칭 쌍선형 형식을 갖는 실수 벡터 공간에 임베딩된다. 격자는 벡터 공간이 '''양의 정부호''', '''로렌츠''' 등인 경우이다.
격자의 '''시그니처'''는 벡터 공간에 대한 형식의 시그니처이다.

2. 3. 유니모듈러 격자

'''유니모듈러 격자'''는 다음 조건을 만족시키는 격자

(L,\langle\cdot,\cdot\rangle)

이다.

$L$ 이 $n$ 차원이라고 하자. $L$ 의 기저 $\{v_1,\dots,v_n\}$ 을 잡았을 때, $n\times n$ 대칭 정수행렬 $M\in\operatorname{Mat}_n(\mathbb Z)$ 을 $(M)_{ij}=\langle v_i,v_j\rangle$ 로 정의한다. 그렇다면 $\det M=\pm1$ 이다. (행렬 $M$ 은 기저의 선택에 따라 달라지지만, 그 행렬식은 바뀌지 않는다.)

'''짝 유니모듈러 격자'''(even unimodular lattice^영어)는 모든

v\in L

에 대하여

\langle v,v\rangle

이 짝수인 격자다. 짝 유니모듈러 격자가 아닌 유니모듈러 격자를 '''홀 유니모듈러 격자'''(odd unimodular lattice^영어)라고 한다.

정수 격자는 쌍대 격자가 정수일 때에만 단일 모듈러이다. 단일 모듈러 격자는 쌍대 격자와 같으며, 이러한 이유로 단일 모듈러 격자는 자기 쌍대 격자라고도 한다.

음이 아닌 정수 쌍 (''m'',''n'')이 주어지면, 시그니처 (''m'',''n'')인 짝수 단일 모듈러 격자는 ''m''−''n''이 8로 나누어 떨어질 때에만 존재하지만, 시그니처 (''m'',''n'')인 홀수 단일 모듈러 격자는 항상 존재한다. 특히, 짝수 단일 모듈러 결정 격자는 8로 나누어 떨어지는 차원에서만 존재한다.

단일 모듈러 양의 정부호 격자의 세타 함수는 차수의 절반이 가중치인 모듈러 형식이다. 격자가 짝수이면 형식은 레벨 1을 가지며, 격자가 홀수이면 형식은 Γ₀(4) 구조를 갖는다(즉, 레벨 4의 모듈러 형식이다). 모듈러 형식 공간의 차원 경계로 인해, 짝수 단일 모듈러 격자의 0이 아닌 벡터의 최소 노름은 ⎣''n''/24⎦ + 1보다 크지 않다. 이 경계를 달성하는 짝수 단일 모듈러 격자는 극값이라고 한다. 극값 짝수 단일 모듈러 격자는 최대 80차원까지 알려져 있으며,^[1] 163,264차원 이상의 경우 존재하지 않음이 수학적 증명되었다.^[2]

2. 4. 짝/홀 유니모듈러 격자

격자(

(L,\langle\cdot,\cdot\rangle)

)에서 모든

v\in L

에 대하여

\langle v,v\rangle

이 짝수이면 '''짝 유니모듈러 격자'''(even unimodular lattice^영어)라고 한다. 짝 유니모듈러 격자가 아닌 유니모듈러 격자는 '''홀 유니모듈러 격자'''(odd unimodular lattice^영어)라고 한다.^[1]

모든 노름이 짝수이면 '''짝수''' 또는 '''타입 II'''이고, 그렇지 않으면 '''홀수''' 또는 '''타입 I'''인 단일 모듈러 격자이다. 쌍대 격자가 정수일 때 그리고 오직 그 때만 정수 격자는 단일 모듈러이다. 단일 모듈러 격자는 쌍대 격자와 같으며, 이러한 이유로 자기 쌍대 격자라고도 한다.

음이 아닌 정수 쌍 (''m'',''n'')이 주어지면, 시그니처 (''m'',''n'')인 짝수 단일 모듈러 격자는 ''m''−''n''이 8로 나누어 떨어질 때에만 존재하지만, 시그니처 (''m'',''n'')인 홀수 단일 모듈러 격자는 항상 존재한다. 특히, 짝수 단일 모듈러 결정 격자는 8로 나누어 떨어지는 차원에서만 존재한다.^[1]

3. 성질

유니모듈러 격자는 정부호(definite)와 부정부호(indefinite) 두 종류가 있다. 부호수가 $(m,n)$ 인 부정부호 격자 $\Lambda\subset\mathbb R^{m,n}$ 의 경우, (동형을 무시하면) 오직 하나의 홀 유니모듈러 격자 $I_{m,n}$ 가 존재한다. 이는 $\mathbb Z^{m+n}\subset\mathbb R^{m+n}$ 에 의해 주어진다. 부정부호수에서 짝 유니모듈러 격자가 존재할 필요충분조건은 $m\equiv n\pmod8$ 이며, 이 경우 (동형을 무시하면) 오직 하나의 짝 유니모듈러 격자 $II_{m,n}$ 가 존재한다. 이는 구체적으로

$\{(a_1,a_2,\dots,a_{m+n}\colon 2a_i\in\mathbb Z,\;\sum_ka_k/2\in\mathbb Z\}\subset\mathbb R^{m+n}$

이다. 또한, $II_{8,0}$ 은 E₈ 격자와 동형이다.

정부호 유니모듈러 격자는 분류하기가 더 어렵다.

7차원 이하의 경우 유일한 홀 정부호 유니모듈러 격자 $I_{n,0}$ 가 존재한다. 짝 유니모듈러 격자는 존재하지 않는다.
짝 유니모듈러 격자가 존재하는 최소 차원은 8차원이다. 이 차원에서는 E₈ 격자가 존재하며, 이는 E₈ 리 군의 근계로 생성된다.
8차원 다음으로 짝 유니모듈러 격자가 존재하는 차원은 16차원이며, 이 차원에서는 두 개의 짝 유니모듈러 격자가 존재한다. 이는 $E_8\oplus E_8$ 과
24차원에서는 총 24개의 짝 유니모듈러 격자가 존재하며, 이들을 니마이어 격자(Niemeier lattice^영어)라고 한다. 이 가운데 근이 없는 격자는 리치 격자(Leech lattice^영어) 하나밖에 없다.

차원이 26 미만인 정부호 유니모듈러 격자는 모두 분류되었으며, 홀 유니모듈러 격자의 수와 짝 유니모듈러 격자의 수는 다음과 같다.

차원	홀격자	근이 없는 홀격자	짝격자	근이 없는 짝격자
0	0	0	1	1
1	1	0
2	1	0
3	1	0
4	1	0
5	1	0
6	1	0
7	1	0
8	1	0	1 (E₈ 격자)	0
9	2	0
10	2	0
11	2	0
12	3	0
13	3	0
14	4	0
15	5	0
16	6	0	2 (E₈², D₁₆⁺)	0
17	9	0
18	13	0
19	16	0
20	28	0
21	40	0
22	68	0
23	117	1 (짧은 리치 격자)
24	273	1 (홀 리치 격자)	24 (니마이어 격자)	1 (리치 격자)
25	665	0
26	≥2307	1
27	≥14179	3
28	≥327972	38
29	≥37938009	≥8900
30	≥20169641025	≥82000000
31	≥5000000000000	≥800000000000
32	≥80000000000000000	≥10000000000000000	≥1160000000	≥10900000

정수 격자는 쌍대 격자가 정수일 때, 그리고 오직 그 때만 단일 모듈러이다. 단일 모듈러 격자는 쌍대 격자와 같으며, 이러한 이유로 단일 모듈러 격자는 자기 쌍대 격자라고도 한다.

음이 아닌 정수 쌍 (''m'',''n'')이 주어지면, 시그니처 (''m'',''n'')인 짝수 단일 모듈러 격자는 ''m''−''n''이 8로 나누어 떨어질 때에만 존재하지만, 시그니처 (''m'',''n'')인 홀수 단일 모듈러 격자는 항상 존재한다. 특히, 짝수 단일 모듈러 결정 격자는 8로 나누어 떨어지는 차원에서만 존재한다. 모든 허용 가능한 시그니처의 예는 각각 ''II_m,n'' 및 ''I_m,n'' 구성을 통해 제공된다.

단일 모듈러 양의 정부호 격자의 세타 함수는 차수의 절반이 가중치인 모듈러 형식이다. 격자가 짝수이면 형식은 레벨 1을 가지며, 격자가 홀수이면 형식은 Γ₀(4) 구조를 갖는다(즉, 레벨 4의 모듈러 형식이다). 모듈러 형식 공간의 차원 경계로 인해, 짝수 단일 모듈러 격자의 0이 아닌 벡터의 최소 노름은 ⎣''n''/24⎦ + 1보다 크지 않다. 이 경계를 달성하는 짝수 단일 모듈러 격자는 극값이라고 한다. 극값 짝수 단일 모듈러 격자는 최대 80차원까지 알려져 있으며,^[1] 163,264차원 이상의 경우 존재하지 않음이 수학적 증명되었다.^[2]

4. 분류

유니모듈러 격자는 정부호(definite)와 부정부호(indefinite) 두 종류로 분류할 수 있다.

부정부호 격자는 비교적 분류가 간단한 반면, 정부호 격자는 분류하기가 더 어렵다. 특히 25차원을 넘어가면 그 수가 급격하게 증가한다. 예를 들어 32차원에는 8,000,000,000,000,000개 이상의 정부호 유니모듈러 격자가 존재한다.

9차원까지의 유니모듈러 격자는 E₈ 격자에 의해 제어되고, 25차원까지는 리치 격자에 의해 제어되는 경향을 보인다. 하지만 25차원을 넘어서면 이러한 경향성이 약해지며, 격자의 수가 매우 빠르게 증가한다.

짝수 양정 유니모듈러 격자는 8로 나누어 떨어지는 차원에서만 존재한다. 8차원에는 E₈ 격자 하나, 16차원에는 둘, 24차원에는 니마이어 격자를 포함하여 24개가 존재한다. 24차원을 넘어서면 그 수가 매우 빠르게 증가하여 32차원에는 10억 개 이상이 존재한다.

루트(노름 1 또는 2의 벡터)가 없는 유니모듈러 격자는 28차원까지 분류되었다. 23차원 미만에는 존재하지 않으며(영 격자 제외), 23차원에는 하나, 24차원에는 리치 격자를 포함하여 둘, 25, 26, 27, 28차원에는 각각 0, 1, 3, 38개가 존재한다. 29차원에는 최소 8000개가 존재하며, 충분히 높은 차원에서는 대부분의 유니모듈러 격자에 루트가 없다.

32차원 미만에서 루트가 없는 짝수 양정 유니모듈러 격자의 유일한 예는 24차원의 리치 격자이다. 32차원에는 1000만 개 이상의 예가 있으며, 32차원 이상에서는 숫자가 매우 빠르게 증가한다.

차원에 따른 유니모듈러 격자의 개수(또는 하한)는 아래 표와 같다.

차원	홀수 격자	근이 없는 홀수 격자	짝수 격자	근이 없는 짝수 격자
0	0	0	1	1
1	1	0
2	1	0
3	1	0
4	1	0
5	1	0
6	1	0
7	1	0
8	1	0	1 (E₈ 격자)	0
9	2	0
10	2	0
11	2	0
12	3	0
13	3	0
14	4	0
15	5	0
16	6	0	2 (E₈², D₁₆⁺)	0
17	9	0
18	13	0
19	16	0
20	28	0
21	40	0
22	68	0
23	117	1 (짧은 리치 격자)
24	273	1 (홀수 리치 격자)	24 (니마이어 격자)	1 (리치 격자)
25	665	0
26	≥ 2307	1
27	≥ 14179	3
28	≥ 327972	38
29	≥ 37938009	≥ 8900
30	≥ 20169641025	≥ 82000000
31	≥ 5x10¹²	≥ 8×10¹¹
32	≥ 8x10¹⁶	≥ 1×10¹⁶	≥ 1162109024	≥ 10000000

4. 1. 부정부호 격자

부호수가

(m,n)

인 부정부호 격자

\Lambda\subset\mathbb R^{m,n}

의 경우, (동형을 무시하면) 오직 하나의 홀 유니모듈러 격자

I_{m,n}

가 존재한다. 이는

\mathbb Z^{m+n}\subset\mathbb R^{m+n}

에 의해 주어진다. 부정부호수에서 짝 유니모듈러 격자가 존재할 필요충분조건은

m\equiv n\pmod8

이며, 이 경우 (동형을 무시하면) 오직 하나의 짝 유니모듈러 격자

II_{m,n}

가 존재한다. 이는 구체적으로

:

\{(a_1,a_2,\dots,a_{m+n}\colon 2a_i\in\mathbb Z,\;\sum_ka_k/2\in\mathbb Z\}\subset\mathbb R^{m+n}

이다. 또한,

II_{8,0}

은 E₈ 격자와 동형이다.

4. 2. 정부호 격자

정부호 유니모듈러 격자는 분류하기가 더 어렵다.

7차원 이하의 경우 유일한 홀 정부호 유니모듈러 격자 $I_{n,0}$ 가 존재한다. 짝 유니모듈러 격자는 존재하지 않는다.
짝 유니모듈러 격자가 존재하는 최소 차원은 8차원이다. 이 차원에서는 E₈ 격자가 존재하며, 이는 E₈ 리 군의 근계로 생성된다.
8차원 다음으로 짝 유니모듈러 격자가 존재하는 차원은 16차원이며, 이 차원에서는 두 개의 짝 유니모듈러 격자가 존재한다. 이는 $E_8\oplus E_8$ 과 $D_{16}^+$ 이다.
24차원에서는 총 24개의 짝 유니모듈러 격자가 존재하며, 이들을 니마이어 격자(Niemeier lattice^영어)라고 한다. 이 가운데 근이 없는 격자는 리치 격자(Leech lattice^영어) 하나밖에 없다.

차원이 26 미만인 정부호 유니모듈러 격자는 모두 분류되었고, 홀 유니모듈러 격자의 수와 짝 유니모듈러 격자의 수는 다음과 같다.

차원	홀격자	근이 없는 홀격자	짝격자	근이 없는 짝격자
0	0	0	1	1
1	1	0
2	1	0
3	1	0
4	1	0
5	1	0
6	1	0
7	1	0
8	1	0	1 (E₈ 격자)	0
9	2	0
10	2	0
11	2	0
12	3	0
13	3	0
14	4	0
15	5	0
16	6	0	2 ( $E_8^2$ , $D_{16}^+$ )	0
17	9	0
18	13	0
19	16	0
20	28	0
21	40	0
22	68	0
23	117	1 (짧은 리치 격자)
24	273	1 (홀 리치 격자)	24 (니마이어 격자)	1 (리치 격자)
25	665	0
26	≥2307	1
27	≥14179	3
28	≥327972	38
29	≥37938009	≥8900
30	≥20169641025	≥82000000
31	≥5000000000000	≥800000000000
32	≥80000000000000000	≥10000000000000000	≥1160000000	≥10900000

짝수 양정 유니모듈러 격자는 8로 나누어 떨어지는 차원에서만 존재한다. 8차원에는 하나(E₈ 격자), 16차원에는 둘( $E_8^2$ 및 $II_{16,0}$ ), 24차원에는 24개가 있으며, 이를 니미어 격자라고 한다(예: 리치 격자, $II_{24,0}$ , $II_{16,0}$ + $II_{8,0}$ , $II_{8,0}^3$ ). 24차원을 넘어서면 숫자가 매우 빠르게 증가한다. 32차원에는 10억 개 이상이 있다.

루트(노름 1 또는 2의 벡터)가 없는 유니모듈러 격자는 28차원까지 분류되었다. 23차원 미만에는 없다(영 격자 제외!). 23차원에는 하나(단축 Leech 격자), 24차원에는 둘(리치 격자 및 홀수 Leech 격자)이 있으며, 25, 26, 27, 28차원에서 각각 0, 1, 3, 38개가 있음이 밝혀졌다. 이를 넘어서면 숫자가 매우 빠르게 증가한다. 29차원에는 최소 8000개가 있다. 충분히 높은 차원에서는 대부분의 유니모듈러 격자에 루트가 없다.

32차원 미만에서 루트가 없는 짝수 양정 유니모듈러 격자의 유일한 비영 예는 24차원의 리치 격자이다. 32차원에는 1000만 개 이상의 예가 있으며, 32차원 이상에서는 숫자가 매우 빠르게 증가한다.

4. 3. 차원에 따른 분류

유니모듈러 격자는 정부호(definite)와 부정부호(indefinite) 두 종류로 나뉜다.

부정부호 유니모듈러 격자의 경우, 부호수가

(m,n)

인 격자

\Lambda\subset\mathbb R^{m,n}

에 대해, (동형을 무시하면) 유일한 홀 유니모듈러 격자 :

I_{m,n}

가 존재한다. 이는

\mathbb Z^{m+n}\subset\mathbb R^{m+n}

으로 주어진다. 짝 유니모듈러 격자가 존재할 필요충분조건은 :

m\equiv n\pmod8

이며, 이 경우 유일한 짝 유니모듈러 격자 :

II_{m,n}

가 존재한다. 이는

:

\{(a_1,a_2,\dots,a_{m+n}\colon 2a_i\in\mathbb Z,\;\sum_ka_k/2\in\mathbb Z\}\subset\mathbb R^{m+n}

와 같이 주어진다.

II_{8,0}

은 E₈ 격자와 동형이다.

정부호 유니모듈러 격자는 분류가 더 어렵다.

7차원 이하에서는 유일한 홀 정부호 유니모듈러 격자 $I_{n,0}$ 만 존재하고, 짝 격자는 없다.
8차원에서는 E₈ 격자가 유일한 짝 유니모듈러 격자로 존재하며, 이는 E₈ 리 군의 근계로 생성된다.
16차원에서는 $E_8\oplus E_8$ 과 두 개의 짝 유니모듈러 격자가 존재한다.
24차원에서는 24개의 짝 유니모듈러 격자인 니마이어 격자(Niemeier lattice^영어)가 존재하며, 이 중 리치 격자(Leech lattice^영어)는 근이 없는 유일한 격자이다.

26차원 미만의 정부호 유니모듈러 격자는 모두 분류되었으며, 홀 유니모듈러 격자의 수와 짝 유니모듈러 격자의 수는 다음과 같다.

차원	홀격자	근이 없는 홀격자	짝격자	근이 없는 짝격자
0	0	0	1	1
1	1	0
2	1	0
3	1	0
4	1	0
5	1	0
6	1	0
7	1	0
8	1	0	1 (E₈ 격자)	0
9	2	0
10	2	0
11	2	0
12	3	0
13	3	0
14	4	0
15	5	0
16	6	0	2 (E₈², D₁₆⁺)	0
17	9	0
18	13	0
19	16	0
20	28	0
21	40	0
22	68	0
23	117	1 (짧은 리치 격자)
24	273	1 (홀 리치 격자)	24 (니마이어 격자)	1 (리치 격자)
25	665	0
26	≥ 2307	1
27	≥ 14179	3
28	≥ 327972	38
29	≥ 37938009	≥ 8900
30	≥ 20169641025	≥ 82000000
31	≥ 5x10¹²	≥ 8×10¹¹
32	≥ 8x10¹⁶	≥ 1×10¹⁶	≥ 1162109024	≥ 10000000

32차원을 넘어서면 유니모듈러 격자의 수는 훨씬 더 빠르게 증가한다.

5. 예시

유니모듈러 격자는 정부호(definite)와 부정부호(indefinite) 두 종류가 있다.

부호수가 $(m,n)$ 인 부정부호 격자 $\Lambda\subset\mathbb R^{m,n}$ 의 경우, (동형을 무시하면) 오직 하나의 홀 유니모듈러 격자

: $I_{m,n}$

가 존재한다. 구체적으로 이는 $\mathbb Z^{m+n}\subset\mathbb R^{m+n}$ 에 의해 주어진다. 부정부호수에서 짝 유니모듈러 격자가 존재할 필요충분조건은

: $m\equiv n\pmod8$

이며, 이 경우 (동형을 무시하면) 오직 하나의 짝 유니모듈러 격자

: $II_{m,n}$

가 존재한다. 이는 구체적으로

: $\{(a_1,a_2,\dots,a_{m+n}\colon 2a_i\in\mathbb Z,\;\sum_ka_k/2\in\mathbb Z\}\subset\mathbb R^{m+n}$

이다. 또한, $II_{8,0}$ 은 E₈ 격자와 동형이다.

정부호 유니모듈러 격자는 분류하기가 더 어렵다.

7차원 이하의 경우 유일한 홀 정부호 유니모듈러 격자 $I_{n,0}$ 가 존재한다. 짝 유니모듈러 격자는 존재하지 않는다.
짝 유니모듈러 격자가 존재하는 최소 차원은 8차원이다. 이 차원에서는 E₈ 격자가 존재하며, 이는 E₈ 리 군의 근계로 생성된다.
8차원 다음으로 짝 유니모듈러 격자가 존재하는 차원은 16차원이며, 이 차원에서는 두 개의 짝 유니모듈러 격자가 존재한다. 이는 $E_8\oplus E_8$ 과
24차원에서는 총 24개의 짝 유니모듈러 격자가 존재하며, 이들을 니마이어 격자(Niemeier lattice^영어)라고 한다. 이 가운데 근이 없는 격자는 리치 격자(Leech lattice^영어) 하나밖에 없다.

차원이 26 미만인 정부호 유니모듈러 격자는 모두 분류되었고, 다음과 같다.

차원	홀격자	근이 없는 홀격자	짝격자	근이 없는 짝격자
0	0	0	1	1
1	1	0
2	1	0
3	1	0
4	1	0
5	1	0
6	1	0
7	1	0
8	1	0	1 (E₈ 격자)	0
9	2	0
10	2	0
11	2	0
12	3	0
13	3	0
14	4	0
15	5	0
16	6	0	2 (E₈ 격자², D₁₆⁺)	0
17	9	0
18	13	0
19	16	0
20	28	0
21	40	0
22	68	0
23	117	1 (짧은 리치 격자)
24	273	1 (홀 리치 격자)	24 (니마이어 격자)	1 (리치 격자)
25	665	0
26	≥2307	1
27	≥14179	3
28	≥327972	38
29	≥37938009	≥8900
30	≥20169641025	≥82000000
31	≥5000000000000	≥800000000000
32	≥80000000000000000	≥10000000000000000	≥1160000000	≥10900000

유니모듈러 격자의 가장 중요한 세 가지 예는 다음과 같다.

1차원 격자인 '''Z'''.
짝수 8차원 격자인 ''E''₈ 격자.
뿌리가 없는 24차원 짝수 유니모듈러 격자인 리치 격자.

6. 응용

닫힌 단순 연결 지향 위상 4차원 다양체의 두 번째 코호몰로지 군은 유니모듈러 격자이다. 마이클 프리드먼은 이 격자가 거의 다양체를 결정한다는 것을 보였다. 즉, 각 짝수 유니모듈러 격자에 대해 그러한 다양체가 하나 있고, 각 홀수 유니모듈러 격자에 대해 정확히 두 개가 있다. 특히 격자를 0으로 잡으면, 이는 4차원 위상 다양체에 대한 푸앵카레 추측을 암시한다. 도널드슨 정리는 다양체가 미분 가능하고 격자가 양의 정부호이면, '''Z'''의 사본의 합이어야 하므로, 이러한 다양체의 대부분은 미분 구조를 갖지 않는다고 말한다. 그러한 예 중 하나는 E8 다양체이다.

참조

_[1] 웹사이트 Unimodular Lattices, Together With A Table of the Best Such Lattices http://www.math.rwth[...] 2015-05-30
_[2] 서적 Diophantine methods, lattices, and arithmetic theory of quadratic forms American Mathematical Society

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com