E₈

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 역사
5. 응용
참조

1. 개요

E₈은 다양한 방식으로 정의될 수 있는 리 대수이다. 슈발레 기저를 통해 선형 대수적 군으로 정의할 수 있으며, 팔원수나 15차원 초구를 사용하여 정의할 수도 있다. E₈은 세 개의 실수 형식을 가지며, 복소수 리 대수 외에도 세 가지 실수 형태의 리 대수가 존재한다. E₈은 248차원의 수반 표현을 가지며, 최소의 기약 표현의 차원은 1, 248, 3875 등이다. 또한, E₈의 콤팩트 형식은 248차원 매끄러운 다양체이며, 호모토피 군은 π₃(E₈)와 π₁₅(E₈)가 ℤ와 동형이다. E₈ 근계는 240개의 근으로 구성되며, 바일 군의 크기는 696,729,600이다. E₈은 E₇×SU(2), Spin(16)/(ℤ/2), E₆×SU(3), SU(9)/(ℤ/3), (SU(5)×SU(5))/(ℤ/5) 등의 부분군을 포함하며, 이론물리학, 특히 끈 이론과 초중력 분야에서 응용된다.

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2. 정의

E₈은 여러 가지 방법으로 정의할 수 있다.

E₈은 팔원수를 사용하여 정의할 수 있다.^[16] 15차원 초구를 사용한 구성 또한 알려져 있다.^[17]

리 군 E₈는 248차원이며, 계수(최대 원환면의 차원)는 8이다. 근계의 벡터들은 8차원 유클리드 공간에 존재한다. E₈의 바일 군은 최대 원환면의 대칭 그룹이다.

콤팩트 군 E₈는 단순 콤팩트 리 군 중에서 가장 작은 차원의 비자명 표현이 리 대수 E₈ 자체에 작용하는 수반 표현(248차원)인 점에서 유일하다. 또한 중심이 자명하고, 콤팩트하며, 단일 연결되고, 단일 끈(모든 근이 같은 길이)을 갖는다는 네 가지 성질을 갖는 유일한 군이다.

복소수 차원이 248인 복소수 리 군에 해당하는 유일한 E₈형 복소수 리 대수가 있다. 복소수 차원이 248인 복소수 리 군 E₈은 실수 차원이 496인 단순한 실수 리 군으로 간주될 수 있다.

E₈형 복소수 리 군 외에도, 리 대수의 세 가지 실수 형태, 중심이 자명한 세 가지 실수 형태의 군이 있으며, 모두 실수 차원이 248이다.

E₈은 다음과 같은 세 가지 실수 형식을 갖는다.

기호	다른 기호	설명	기본군	외부자기동형군	극대 콤팩트 리 부분군
E_8(−248)		콤팩트 형식	1	1	E_8(−248)
E₈₍₈₎	EⅧ	갈린(split) 형식	$\mathbb Z/2\mathbb Z$	1	PSpin(16)
E₈₍₋₂₄₎	EⅨ		$\mathbb Z/2\mathbb Z$	1	(E₇×SU(2)) / (−1,−1)

리 대수에 대한 슈발레 기저를 사용하면 E₈을 정수, 가환환, 체 위에 선형 대수적 군으로 정의할 수 있으며, 이는 소위 E₈의 분할형을 정의한다. 대수적으로 닫힌 체에서는 이것이 유일한 형태이다.

유한체 위에서, 랑-스타인버그 정리에 의하여 E₈에 꼬인 형태가 없다.

실수 및 복소수 리 대수 및 리 군의 유한 차원 표현의 문자는 모두 바일 문자 공식에 의해 주어진다. 최소의 기약 표현의 차원은 1, 248, 3875, 27000, 30380, 147250, 779247, 1763125, 2450240, 4096000 등이다. (OEIS의 수열 A121732)

248 차원 표현은 수반 표현이다. 8634368000 차원의 두 개의 비동형 기약 표현이 있다. 기본 표현은 3875, 6696000, 6899079264, 146325270, 2450240, 30380, 248 및 147250 차원을 갖는 표현이다.

E₈의 무한 차원 기약 표현에 대한 문자 공식의 계수는 Lusztig–Vogan 다항식인 다항식으로 구성된 일부 큰 정사각 행렬에 의존한다.

유한체 위의 E₈ 군의 표현은 들리뉴-루스틱 이론에 의해 주어진다.

(콤팩트 형태의) E₈ 군은 해당 '''e'''₈ 리 대수의 자기 동형 사상 군으로 구성할 수 있다.

2. 1. SO(16)을 통한 정의

E₈의 리 대수

\mathfrak e_8

은

\mathfrak o(16)

을 사용하여 정의할 수 있다.^[15]

\mathfrak e_8

의 248차원 딸림표현은

\mathfrak o(16)

의 120차원 딸림표현과

\mathfrak{so}(16)

의 128차원 마요라나-바일 스피너로 분해된다. 즉,

\operatorname{Spin}(16)

의 스피너 공간을

V

라고 할 때, 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

\mathfrak e_8 = \mathfrak{so}(16;\mathbb R) \oplus V

\mathfrak o(16)

의 생성원을

J_{ij}

로 표현하면, 스핀 군 Spin(16)은 마요라나-바일 스피너

Q_a

위에 다음과 같이 작용한다.

:

[J_{ij},J_{k\ell}]=\delta_{jk}J_{i\ell}-\delta_{j\ell}J_{ik}-\delta_{ik}J_{j\ell}+\delta_{i\ell}J_{jk}

:

[J_{ij},Q_a] = \frac 14 (\gamma_i\gamma_j-\gamma_j\gamma_i)_{ab} Q_b,

여기서

\gamma_i

는 16차원 디랙 행렬이다.

스피너 사이의 교환자는 다음과 같이 정의된다.

:

[Q_a,Q_b]=\gamma^{[i}_{ac}\gamma^{j]}_{cb} J_{ij}

이렇게 정의된 교환자는 야코비 항등식을 만족시킨다. 리 대수가 정의되면, 그 리 군은 리 대수의 자기 동형군으로 정의할 수 있다.

SO(16)의 실수 형식 중 128차원 마요라나-바일 스피너를 갖는 경우는 부호수

(p,q)

가

p \equiv q \pmod8

를 만족하는 경우뿐이다. 이는

(p,q) \in \{ (0,16), \; (4,12),\; (8,8)\}

이며, 각각 E₈의 세 실수 형식 E_8(−248) (콤팩트), E₈₍₋₂₄₎, E₈₍₈₎ (분할)에 대응한다.

2. 2. 팔원수를 사용한 정의

팔원수를 사용하여 E₈을 정의할 수 있다.^[16]

2. 3. 15차원 초구를 사용한 구성

팔원수를 사용하여 E₈을 정의할 수 있다.^[16]

15차원 초구를 사용한 구성 또한 알려져 있다.^[17]

2. 4. 실수 형식

E₈은 세 가지 실수 형식을 갖는다. 이들은 다음과 같다 (\중심이 없는 형태).

{\bullet}-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet ||

\circ-\circ-\overset{\displaystyle \circ \atop \displaystyle |}{\circ}-\circ-\circ-\circ-\circ

|-

| E₈₍₈₎ || EⅧ || 갈린(split) 형식 ||

\mathbb Z/2\mathbb Z

|| 1 || PSpin(16) ||

\circ-\circ-\overset{\displaystyle \circ \atop \displaystyle |}{\circ}-\circ-\circ-\circ-\circ

||

\bullet-\circ-\overset{\displaystyle \circ \atop \displaystyle |}{\circ}-\circ-\circ-\circ-\circ

|-

| E₈₍₋₂₄₎ || EⅨ || ||

\mathbb Z/2\mathbb Z

|| 1 || (E₇×SU(2)) / (−1,−1) ||

\circ-\bullet-\overset{\displaystyle \bullet \atop \displaystyle |}{\bullet}-\bullet-\circ-\circ-\circ

||

\circ-\circ-\overset{\displaystyle \circ \atop \displaystyle |}{\circ}-\circ-\circ-\circ-\bullet

|}

3. 성질

리 군 E₈는 248차원이다. 계수, 즉 최대 원환면의 차원은 8이다. E₈의 바일 군은 최대 원환면의 대칭 그룹으로, 그 차수는 696,729,600이다.

콤팩트 군 E₈는 단순 콤팩트 리 군 중에서 가장 작은 차원의 비자명하지 않은 표현이 리 대수 E₈ 자체에 작용하는 수반 표현 (248차원)이라는 점에서 유일하다. 또한 중심이 자명하고, 콤팩트하며, 단일 연결되고, 모든 근이 같은 길이를 갖는다는 점에서 유일하다.

E₈형 복소수 리 군 외에도, 리 대수의 세 가지 실수 형태가 있으며, 중심이 자명한 세 가지 실수 형태의 군(그중 두 개는 비대수적 이중 피복을 가지며, 두 개의 추가적인 실수 형태를 제공함)이 있으며, 모두 실수 차원이 248이다.

콤팩트 형태는 단일 연결이며 자명한 외대 자 동형 군을 갖는다.
분리 형태 EVIII (또는 E₈(8))는 기본군의 차수가 2이다. 이는 이중 피복을 의미하며, 단일 연결 리 실수 군이지만 대수적이지 않으며, 자명한 외대 자 동형 군을 갖는다.
EIX (또는 E₈(−24))는 기본군의 차수가 2이다(이중 피복을 의미하며, 대수적이지 않음). 또한 자명한 외대 자 동형 군을 갖는다.

E₈ 근계의 좀 모델, 3차원으로 투영되었으며, 4₂₁ 다포체의 꼭짓점으로 표현된다.

H3 대칭을 제공하는 기본 벡터 [''u'',''v'',''w'']를 사용하여 3D 투영으로 표시.

3. 1. 대수적 성질

E₈의 주요 극대 부분군은 다음과 같다.

(E₇×SU(2))/(ℤ/2): E₈의 ℤ/2 자기 동형에 의해 고정되는 원소들로 구성된 부분군이다.^[14] E₈ 딘킨 도표에서 특정 꼭짓점을 추가하고 제거하여 얻을 수 있다.
Spin(16)/(ℤ/2): E₈의 또 다른 ℤ/2 자기 동형에 의해 고정되는 원소들로 구성된 부분군이다.^[14] 이 역시 E₈ 딘킨 도표에서 특정 꼭짓점을 추가하고 제거하여 얻을 수 있다.
(E₆×SU(3))/(ℤ/3): E₈의 ℤ/3 자기 동형에 의해 고정되는 원소들로 구성된 부분군이다.^[14] E₈ 딘킨 도표에서 특정 꼭짓점을 추가하고 제거하는 방식으로 유도된다.
SU(9)/(ℤ/3): E₈의 또 다른 ℤ/3 자기 동형에 의해 고정되는 원소들로 구성된 부분군이다.^[14] E₈ 딘킨 도표를 변형하여 얻는다.
(SU(5)×SU(5))/(ℤ/5): E₈의 ℤ/5 자기 동형에 의해 고정되는 원소들로 구성된 부분군이다.^[14] E₈ 딘킨 도표에서 특정 꼭짓점을 추가하고 제거하여 얻을 수 있다.

3. 2. 위상수학적 성질

E₈의 콤팩트 형식은 248차원 매끄러운 다양체이다. 그 호모토피 군은 다음과 같다.^[18]

:

\pi_3(E_8)\cong\pi_{15}(E_8)\cong\mathbb Z

:

\pi_n(E_8)\cong0,\qquad n<15,n\ne3

\mathfrak e_8

의 불변 다항식의 차수는 2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30이다. 즉, E₈의 콤팩트 형식의 유리수 계수 코호몰로지 환은 3차 · 15차 · 23차 · 27차 · 35차 · 39차 · 47차 · 59차 생성원으로 생성되는 외대수이다.

3. 3. 근계

E₈의 근계는 같은 길이의 240개의 근으로 구성된다. E₈의 SO(16) 부분군을 사용하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

(±1, ±1, 0, 0, 0, 0, 0, 0)의 모든 순열 (복부호 동순일 필요 없음) 형태의 근 112개 (이는 SO(16) 근계를 이룬다).
(±½, ±½, ±½, ±½, ±½, ±½, ±½, ±½) (복부호 동순일 필요 없음) 가운데, 음의 부호의 수가 짝수인 형태의 근 128개 (이는 SO(16)의 '''128''' 스피너 표현의 무게를 이룬다).

E₈의 240개의 근들은 8차원에 존재하는 고른 폴리토프 4₂₁의 꼭짓점을 이룬다.

E₈의 바일 군 크기는 696,729,600이며, 다음과 같이 표기할 수 있다.

:

이는 2차 순환군 를 크기가 174,182,400인 유일한 단순군 로 확대한 뒤, 다시 2차 순환군 로 확대한 것이다.^[19]

E₈의 딘킨 도표는 다음과 같이 8개의 꼭짓점으로 구성되며, 모든 변이 1겹이다 (simply laced^영어). 중앙의 꼭짓점에 붙은 3개의 "팔"의 길이는 각각 1, 2, 4이다.

:

\bullet-\bullet-\overset{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet

E₈의 아핀 딘킨 도표는 다음과 같이 9개의 꼭짓점으로 구성되며, 역시 모든 변이 1겹이다. 3개의 "팔" 가운데 가장 긴 팔에 로 표기한 꼭짓점이 추가된다.

:

\bullet-\bullet-\overset{\displaystyle\bullet\atop\displaystyle|}\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\scriptstyle\otimes

랭크 8인 근계는 8차원 유클리드 공간을 이루고 특정 기하학적 속성을 만족하는 '근'이라고 하는 특정 유한 벡터 집합이다. 특히, 근계는 임의의 근에 수직인 초평면에 대한 반사에 대해 불변이어야 한다.

'''E₈ 근계'''는 '''R'''⁸을 이루는 240개의 근 벡터를 포함하는 랭크 8 근계이다. 이는 더 작은 랭크의 근계로부터 구성될 수 없다는 의미에서 기약이다. E₈의 모든 근 벡터는 길이가 같다. 여러 목적을 위해 길이를 로 정규화하는 것이 편리하다. 이 240개의 벡터는 1900년 토럴드 고셋이 발견한 준정규 다포체의 꼭짓점이며, 때로는 4₂₁ 다포체라고도 한다.

짝수 좌표계에서 E₈은 좌표가 모두 정수이거나 모두 반정수이고 좌표의 합이 짝수가 되도록 제곱 길이가 2인 '''R'''⁸의 모든 벡터 집합으로 주어진다.

구체적으로, 다음과 같이 얻은 정수 항목을 가진 112개의 근이 있다.

:

\left(\pm 1,\pm 1,0,0,0,0,0,0\right)\,

임의의 부호 조합과 좌표의 임의 순열을 취하여 얻으며, 다음과 같이 얻은 반정수 항목을 가진 128개의 근이 있다.

:

\left(\pm\tfrac12,\pm\tfrac12,\pm\tfrac12,\pm\tfrac12,\pm\tfrac12,\pm\tfrac12,\pm\tfrac12,\pm\tfrac12\right) \,

짝수 개의 마이너스 부호를 취함으로써 (또는 동등하게, 모든 8개 좌표의 합이 짝수가 되도록 요구함으로써). 모두 240개의 근이 있다.

정수 항목을 가진 112개의 근은 D₈ 근계를 형성한다. E₈ 근계는 또한 A₈의 사본 (72개의 근을 가짐)과 E₆ 및 E₇을 포함한다 (사실, 후자 두 개는 일반적으로 E₈의 하위 집합으로 ''정의''된다).

홀수 좌표계에서 E₈은 짝수 좌표계의 근을 취하고 임의의 하나의 좌표의 부호를 변경하여 주어진다. 정수 항목을 가진 근은 동일하며 반정수 항목을 가진 근은 짝수 개수 대신 홀수 개의 마이너스 부호를 가진다.

이 다이어그램은 근 구조를 간결하게 시각적으로 요약한 것이다. 이 다이어그램의 각 노드는 단순근을 나타낸다. 두 단순근을 연결하는 선은 서로 120°의 각도를 이룬다는 것을 나타낸다. 선으로 연결되지 않은 두 단순근은 직교한다.

랭크 인 근계의 카르탕 행렬은 단순근에서 파생된 항목을 가진 행렬이다. 구체적으로, 카르탕 행렬의 항목은 다음과 같이 주어진다.

:

A_{ij} = 2\frac{\left(\alpha_i, \alpha_j\right)}{\left(\alpha_i, \alpha_i\right)}

여기서 는 유클리드 내적이고 는 단순근이다. 항목은 단순근의 선택에 (순서를 제외하고) 의존하지 않는다.

E₈에 대한 카르탕 행렬은 다음과 같다.

:

\left [\begin{array}{rr}2 & -1 &  0 &  0 &  0 &  0 &  0 & 0 \\

1 & 2 & -1& 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & -1 \\0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 2 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0 & 2\end{array}\right ].

이 행렬의 행렬식은 1과 같다.

E₈ 근 포셋의 Hasse diagram이며, 가장자리 레이블은 추가된 단순 근의 위치를 식별함

근계 Φ의 단순 근 집합은 Φ로 뻗어 나가는 유클리드 공간의 기저를 형성하는 근들의 집합으로, 모든 근이 이 기저에 대해 모두 음이 아닌 또는 모두 양이 아닌 성분을 갖는다는 특수한 속성을 갖는다.

E₈ 카르탕 행렬 (위)와 다음의 Dynkin diagram 노드 순서를 고려한다:

단순 근의 한 가지 선택은 다음 행렬의 행으로 주어진다:

:

\left [\begin{array}{rr}1&-1&0&0&0&0&0&0 \\0&1&-1&0&0&0&0&0 \\0&0&1&-1&0&0&0&0 \\0&0&0&1&-1&0&0&0 \\0&0&0&0&1&-1&0&0 \\0&0&0&0&0&1&1&0 \\

\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\

0&0&0&0&0&1&-1&0 \\\end{array}\right ].

3. 4. 표현론

E₈의 리 대수

\mathfrak e_8

의 기약 표현 차원은 다음과 같다.^[20]

:1, 248, 3875, 27000, 30380, 147250, 779247, 1763125, 2450240, 4096000, 4881384, 6696000, 26411008, 70680000, 76271625, 79143000, 146325270, 203205000, 281545875, 301694976, 344452500, 820260000, 1094951000, 2172667860, 2275896000, 2642777280, 2903770000, 3929713760, 4076399250, 4825673125, 6899079264, 8634368000 (두 개), 12692520960, …

E₈의 바일 군은

v\mapsto-v

를 포함하므로, E₈은 복소수 표현을 갖지 않으며, 모든 표현은 실수 표현이다. 즉, E₈은 사원수 표현을 갖지 않는다.

E₈의 기본 표현은 '''248''', '''3875''', '''30380''', '''147250''', '''6696000''', '''2450240''', '''146325270''', '''6899079264'''이다. 이 가운데 가장 작은 '''248'''은 딸림표현이다. 기본 표현들은 딘킨 도표의 꼭짓점에 다음과 같이 대응한다.^[20]

:

\mathbf{3875}-\mathbf{6696000}-\overset{\mathbf{6899079264}}-\mathbf{146325270}-\mathbf{2450240}-\mathbf{30380}-\mathbf{248}

E₈의 표현들은 부분군에 대하여 다음과 같이 분해된다.^[20]

E₈의 표현	부분군에 따른 분해
$\mathbf{248}_{E_8}$	$(\mathbf{133},\mathbf1)_{E_7\times\operatorname{SU}(2)}\oplus(\mathbf1,\mathbf3)_{E_7\times\operatorname{SU}(2)}\oplus(\mathbf{56},\mathbf2)_{E_7\times\operatorname{SU}(2)}$
$\mathbf{248}_{E_8}$	$(\mathbf{78},\mathbf1)_{E_6\times\operatorname{SU}(3)}\oplus(\mathbf1,\mathbf8)_{E_6\times\operatorname{SU}(3)}\oplus(\mathbf{27},\mathbf3)_{E_6\times\operatorname{SU}(3)}\oplus(\overline{\mathbf{27}},\overline{\mathbf3})_{E_6\times\operatorname{SU}(3)}$
$\mathbf{248}_{E_8}$	$\mathbf{120}_{\operatorname{SO}(16)}\oplus\mathbf{128}_{\operatorname{SO}(16)}$
$\mathbf{248}_{E_8}$	$\mathbf{80}_{\operatorname{SU}(9)}\oplus\mathbf{84}_{\operatorname{SU}(9)}\oplus\overline{\mathbf{84}}_{\operatorname{SU}(9)}$
$\mathbf{248}_{E_8}$	$(\mathbf{24},\mathbf1)_{\operatorname{SU}(5)^2}\oplus(\mathbf1,\mathbf{24})_{\operatorname{SU}(5)^2}\oplus(\mathbf5,\overline{\mathbf{10}})_{\operatorname{SU}(5)^2}\oplus(\overline{\mathbf5},\mathbf{10})_{\operatorname{SU}(5)^2}\oplus(\mathbf{10},\mathbf5})_{\operatorname{SU}(5)^2}\oplus(\overline{\mathbf{10}},\overline{\mathbf5}})_{\operatorname{SU}(5)^2}$

3. 5. 대수기하학적 성질

슈발레 기저를 사용하여 정수 계수의 리 대수

\mathfrak e_8(\mathbb Z)

및 군

E_8(\mathbb Z)

을 정의할 수 있다. 이는 임의의 가환환

R

에 대하여 대수군으로 정의할 수 있다.

특히, 유한체

\mathbb F_q

에 대한 계수의 슈발레 군

E_8(\mathbb F_q)

의 크기는 다음과 같다.

:

|E_8(\mathbb F_q)|=q^{120}(q^{30}-1)(q^{24}-1)(q^{20}-1)(q^{18}-1)(q^{14}-1)(q^{12}-1)(q^8-1)(q^2-1)

이는 모든 유한체에 대하여 유한 단순군을 이룬다.^[19]

4. 역사

빌헬름 킬링은 1888년에 리 대수를 분류하던 중 E₈을 발견하였으나, 그 존재를 엄밀히 증명하지는 못했다.^[21] 1894년 엘리 카르탕은 박사 학위 논문에서 E₈의 존재를 엄밀히 증명하고, E₈이 세 가지 실수 형식을 가짐을 보였다.

킬링은 단순 콤팩트 리 대수를 분류하는 과정에서 복소 리 대수 E₈을 발견했지만, 그 존재를 증명하지는 못했다. 이는 엘리 카르탕에 의해 처음 증명되었다. 카르탕은 E₈형의 복소 단순 리 대수가 세 개의 실수 형태를 가진다는 것을 밝혀냈다. 각각의 형태는 248차원의 단순 리 군을 생성하며, 그 중 하나는 콤팩트하다. 슈발레는 다른 체에 대한 E₈형 대수적 군과 리 대수를 소개했다. 예를 들어, 유한체의 경우, 이는 리 유형의 무한한 유한 단순군족으로 이어진다. E₈은 모든 리 군의 유니타리 표현을 결정하는 것을 목표로 하는 리 군과 표현 아틀라스에서 활발하게 기초 연구가 진행되는 분야이다.^[11]

5. 응용

잡종 끈 이론은 변칙을 피하기 위하여 Spin(32) 또는 E₈×E₈의 게이지 군을 지닌다. 이 가운데 E₈은 E₆, 나아가 대통일군 SO(10)을 포함하므로 표준 모형 및 대통일 이론을 재현할 수 있다. E₈×E₈는 두 가지 유형의 이종 끈 중 하나의 게이지 군이며 10차원에서 ''N'' = 1 초중력에 결합될 수 있는 두 개의 이상 현상 없는 게이지 군 중 하나이다.

입자 물리학의 표준 모형을 이종 끈 이론에 통합하는 한 가지 방법은 E₈을 최대 부분 대수 SU(3)×E₆로 대칭 깨짐을 이용하는 것이다.

1982년, 마이클 프리드먼은 E₈ 격자를 사용하여 위상 다양체인 E8 다양체의 예를 구성했는데, 이 다양체는 미분 구조를 갖지 않는다.

앤토니 가렛 리시의 불완전한 "모든 것의 예외적으로 간단한 이론"은 물리학에서 알려진 모든 기본 상호 작용을 E₈ 리 대수의 일부로 설명하려고 시도한다.^[7]^[8]

코발트-나이오븀 결정의 전자 스핀이 특정 조건에서 E₈와 관련된 8개의 피크 중 2개를 나타내는 실험이 보고되었다.^[9]^[10]

참조

_[1] 서적 Алгебраические группы и теория чисел Наука
_[2] 웹사이트 The 600-Cell (Part 1) https://johncarlosba[...] 2017-12-16
_[3] 서적 Atlas of Finite Groups: Maximal Subgroups and Ordinary Characters for Simple Groups Oxford University Press
_[4] 서적 Simple Groups of Lie Type John Wiley & Sons
_[5] 서적 The Finite Simple Groups Springer-Verlag
_[6] 문서 Conway &al, ''op. cit.'', p. 235.
_[7] 저널 A Geometric Theory of Everything http://www.scientifi[...]
_[8] 뉴스 Garrett Lisi's Exceptional Approach to Everything http://seedmagazine.[...] 2008-11-17
_[9] 웹사이트 'Most beautiful' math structure appears in lab for first time https://www.newscien[...] 2010-01-07
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