아이젠슈타인 정수

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1. 개요
2. 성질
3. 유클리드 정역
4. 아이젠슈타인 소수
- 4.1. 아이젠슈타인 소수의 분기
5. 소인수분해의 유일성
6. 아이젠슈타인 급수
7. 역사
8. C/Z[ω]
참조

1. 개요

아이젠슈타인 정수는 1의 원시 세제곱근 ω를 사용하여 표현되는 대수적 정수이며, 가환환을 형성한다. 이는 대수적 정수의 대수적 수체 Q(ω) 내에 존재하며, a + bω 꼴로 나타낼 수 있다. 아이젠슈타인 정수는 노름과 가역원을 가지며, 유클리드 정역을 이루어 유일 소인수분해를 갖는다. 아이젠슈타인 소수는 3, 3n+1, 3n+2 형태의 유리 소수로 분류되며, 3은 분기한다. 아이젠슈타인 정수는 3차 상호 법칙 연구에 중요한 역할을 하며, 고트홀트 아이젠슈타인이 도입했다.

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아이젠슈타인 정수
아이젠슈타인 정수
정의	아이젠슈타인 정수는 복소수 평면에서 삼각 격자를 형성하는 복소수이다.
형태	'a + bω (여기서 a와 b는 정수이고, ω는 1의 원시 세제곱근이다.)'
표기	ℤ[ω]
관련 개념	대수적 정수 이차 정수 가우스 정수
성질
대수적 성질	아이젠슈타인 정수는 대수적 정수이다. 아이젠슈타인 정수는 ℚ[ω] 필드의 정수환을 형성한다. ℚ[ω]는 ℚ에 1의 원시 세제곱근을 첨가하여 얻어진 원분체이다.
참고 문헌
참고 서적	Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1990). A Classical Introduction to Modern Number Theory. Graduate Texts in Mathematics. 84 (Second edition). New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97329-X.
관련 항목
관련 항목	아이젠슈타인 소수 페르마의 마지막 정리

2. 성질

아이젠슈타인 정수는 가환환을 이루며, 원분체 $\mathbb{Q}(\omega)$ 의 대수적 정수환이다. 여기서 $\omega = e^{2\pi i / 3} = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$ 는 1의 원시 세제곱근이다. 아이젠슈타인 정수환은 유클리드 정역의 구조를 가진다.

모든 아이젠슈타인 정수 $z = a + b\omega$ 는 정수 계수를 가지는 모닉 다항식의 근이 되기 때문에 대수적 정수이다. 구체적으로, $z$ 는 다음 이차 방정식의 해가 된다.

: $x^2 - (2a - b)x + (a^2 - ab + b^2) = 0$

여기서 $a$ 와 $b$ 는 정수이다. 특히, $\omega$ 자체는 다음 방정식을 만족시킨다.

: $\omega^2 + \omega + 1 = 0$

두 아이젠슈타인 정수 $a + b\omega$ 와 $c + d\omega$ 의 곱은 다음과 같이 계산된다.

: $(a + b\omega)(c + d\omega) = (ac - bd) + (bc + ad - bd)\omega$

또한, $\omega$ 의 복소켤레는 다음 관계를 만족한다.

: $\bar\omega = \omega^2$

2. 1. 노름

아이젠슈타인 정수 의 '''노름'''은 다음과 같이 정의되는 음이 아닌 정수이다.

:

N(a + b\omega) = a^2 - ab + b^2

이는 아이젠슈타인 정수 가 근이 되는 모닉 다항식

x^2 - (2a - b)x + (a^2 - ab + b^2) = 0

의 상수항과 같다.

아이젠슈타인 정수의 노름은 복소수로서의 절댓값의 제곱과 같다.

:

N(\alpha) = |\alpha|^2 = |a + b\omega|^2 = (a - \tfrac{1}{2} b)^2 + \tfrac{3}{4} b^2 = a^2 - ab + b^2

따라서 노름은 항상 음이 아닌 값을 가지며, 그 값은 3의 배수이거나 3으로 나누었을 때 나머지가 1인 정수이다.

노름은 곱셈적 성질을 가진다. 즉, 두 아이젠슈타인 정수 에 대해 다음이 성립한다.

:

N(\alpha\beta) = N(\alpha)N(\beta)

이는 복소수 절댓값이 곱셈적 성질을 가지기 때문이다.

아이젠슈타인 정수 환의 단위군은 노름 값이 1인 아이젠슈타인 정수들로 구성되며, 이는 복소 평면에서의 여섯 개의 여섯 번째 단위근

\{\pm 1, \pm\omega, \pm\omega^2\}

으로 이루어진 순환군이다.

2. 2. 가역원

아이젠슈타인 정수환의 가역원군(단위군)은 복소평면에서 여섯 번째 단위근으로 구성된 순환군이며, 6개의 원소를 가진다. 가역원은 구체적으로 다음과 같다.

:

\{\pm1, \pm\omega, \pm\omega^2\}

이들은 노름이 1인 아이젠슈타인 정수들이다.

2. 3. 정제성

정수환 '''Z'''에서 사용하는 용어와 마찬가지로, 아이젠슈타인 정수 환에서도 '''배수''', '''약수'''와 같이 정제성에 관한 용어를 정의한다. 1의 약수를 '''단위'''라고 부른다. 아이젠슈타인 정수의 노름이 곱셈적 성질을 갖는다는 사실을 이용하면, 아이젠슈타인 정수환에서 단위는 ±1, ±''ω'', ±''ω''² (= ∓(1 + ''ω''))의 6개뿐이라는 것을 알 수 있다.

두 아이젠슈타인 정수의 비가 단위일 때, 이 두 아이젠슈타인 정수는 서로 '''동반'''이라고 한다. 예를 들어, 1 + 3''ω'' = (2 - ''ω'') × ''ω'' 이 성립하므로, 1 + 3''ω''와 2 - ''ω''는 서로 동반 관계에 있다. 단위는 6개의 단위를 약수로 가진다. 단위가 아닌 임의의 아이젠슈타인 정수는 6개의 단위와 자기 자신과 동반 관계에 있는 6개의 아이젠슈타인 정수, 이렇게 총 12개의 약수를 가진다. 이 약수들을 '''자명한 약수'''라고 한다.

3. 유클리드 정역

아이젠슈타인 정수의 환 $\mathbb{Z}[\omega]$ 는 노름 $N$ 을 유클리드 함수로 사용하는 유클리드 정역이다.^[1]^[2] 이때 노름은 아이젠슈타인 정수의 켤레를 곱한 값, 즉 절댓값의 제곱으로 정의되며, 구체적인 식은 다음과 같다.

$N(a+b\,\omega) = |a+b\,\omega|^2 = a^2 - a b + b^2.$

이는 나눗셈 알고리즘이 성립함을 의미한다. 즉, 임의의 아이젠슈타인 정수 $\alpha$ 와 0이 아닌 $\beta$ 에 대해, 다음을 만족하는 아이젠슈타인 정수 몫 $\gamma$ 와 나머지 $\delta$ 가 존재한다:^[3]

$\alpha = \gamma \beta + \delta \quad \text{with} \quad N(\delta) < N(\beta).$

이 나눗셈 알고리즘 덕분에 아이젠슈타인 정수환에서는 유클리드 호제법을 사용할 수 있으며, 이는 유클리드의 보조정리와 아이젠슈타인 소수로의 소인수분해의 유일성을 증명하는 데 사용된다.^[4] 따라서 아이젠슈타인 정수환은 단항 아이디얼 정역이며 소인수분해 정역이다.

나눗셈 알고리즘을 구체적으로 실행하는 한 방법은 다음과 같다. 먼저 복소수체에서 나눗셈 $\frac{\alpha}{\beta} = a+bi$ (여기서 $a, b \in \mathbb{Q}$ 는 유리수)를 계산한다. 이를 $\omega$ 를 이용해 표현하면 $a+\tfrac{1}{\sqrt3}b+\tfrac{2}{\sqrt3}b\omega$ 가 된다. 그 다음, 각 유리수 계수를 가장 가까운 정수로 반올림하여 아이젠슈타인 정수 몫 $\gamma$ 를 얻는다.

$\gamma = \left\lfloor a+\tfrac{1}{\sqrt3}b\right\rceil + \left\lfloor \tfrac{2}{\sqrt3}b\right\rceil\omega$

여기서 $\lfloor x\rceil$ 는 가장 가까운 정수로의 반올림 함수를 의미한다. 나머지 $\delta$ 는 $\delta = \alpha - \gamma\beta$ 로 계산한다. 이 과정을 통해 항상 $N(\delta) < N(\beta)$ 가 성립함이 보장된다.^[5]

이 알고리즘이 성립하는 기하학적 이유는 복소 평면에서 아이젠슈타인 정수들이 이루는 정삼각형 격자 구조 때문이다. 임의의 복소수를 가장 가까운 아이젠슈타인 정수로 근사했을 때, 그 오차(나머지에 해당)의 노름은 항상 1보다 작게 만들 수 있기 때문이다. 구체적으로, 복소수 $\frac{\alpha}{\beta}$ 에 가장 가까운 아이젠슈타인 정수 $\gamma$ 를 선택하면, 이들 사이의 거리 제곱, 즉 노름은 $N(\frac{\alpha}{\beta} - \gamma) \le \frac{1}{3}$ (정삼각형의 중심에서 꼭짓점까지 거리의 제곱)이 성립한다. 따라서 $N(\alpha - \beta\gamma) = N(\beta) N(\frac{\alpha}{\beta} - \gamma) \le \frac{1}{3} N(\beta) < N(\beta)$ 이므로, $\delta = \alpha - \beta\gamma$ 라고 두면 조건을 만족하는 나머지가 된다.^[6]

4. 아이젠슈타인 소수

복소 평면 위의 아이젠슈타인 소수. 동반원소들은 정육각형의 꼭짓점에 위치하여 대칭적인 모양을 이룬다.

아이젠슈타인 정수는 유클리드 정역이므로, 유일 소인수분해를 가진다. 이때 나타나는 소수를 '''아이젠슈타인 소수'''(Eisenstein prime^영어)라고 한다. 아이젠슈타인 소수는 단위원(unit)이 아니면서, 자명한 약수(단위원과 자기 자신의 동반원소)만을 갖는 아이젠슈타인 정수를 말한다.^[1]^[2] 이는 가우스 정수에서의 가우스 소수와 유사한 개념이다. 구분을 위해 일반적인 소수는 '''유리 소수'''라고 부르기도 한다.

아이젠슈타인 정수

z=a+b\omega

가 아이젠슈타인 소수일 필요충분조건은 다음 중 하나를 만족하는 것이다.

$z$ 는 단위원과 $p\equiv2\pmod3$ 인 유리 소수 $p$ 의 곱과 같다.
$|z|^2=a^2-ab+b^2$ (아이젠슈타인 정수의 노름)가 유리 소수이다. (이 경우 노름 값은 항상 $p=3$ 이거나 $p\equiv1\pmod3$ 인 유리 소수이다.)

이 조건에 따라 아이젠슈타인 소수를 분류할 수 있다. 유리 소수

p

가 아이젠슈타인 정수 환

\mathbb{Z}[\omega]

에서 어떻게 행동하는지는

p

를 3으로 나눈 나머지에 따라 달라진다. 자세한 분류(분기, 관성, 분해)는 하위 섹션에서 다룬다.

'''유리 소수이면서 아이젠슈타인 소수인 경우:''' $p \equiv 2 \pmod 3$ 인 유리 소수 $p$ 는 아이젠슈타인 정수 환에서도 소수이다.^[3]
예: 2, 5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, 83, 89, 101, …
'''유리 소수가 아닌 아이젠슈타인 소수:''' 노름 $N(z) = a^2 - ab + b^2$ 이 유리 소수 $p$ ( $p=3$ 또는 $p \equiv 1 \pmod 3$ )인 아이젠슈타인 정수 $z = a+b\omega$ 는 아이젠슈타인 소수이다. 이 경우 유리 소수 $p$ 는 아이젠슈타인 정수 환에서 두 아이젠슈타인 소수의 곱으로 분해된다.
예 (실수가 아닌 아이젠슈타인 소수): $2 + \omega$ (노름 3), $3 + \omega$ (노름 7), $4 + \omega$ (노름 13), $5 + 2\omega$ (노름 19), $6 + \omega$ (노름 31), $7 + \omega$ (노름 43), $7 + 3\omega$ (노름 37), …

반대로, 유리 소수이지만 아이젠슈타인 소수가 아닌 수들도 있다. 이들은 아이젠슈타인 정수 환에서 더 작은 인수로 분해된다.

예:
$3 = -(1+2\omega)^2$ (여기서 $1+2\omega$ 는 아이젠슈타인 소수)
$7 = (3+\omega)(2-\omega)$ (여기서 $3+\omega$ 와 $2-\omega$ 는 아이젠슈타인 소수)

2023년 10월 기준으로, 알려진 가장 큰 실수 아이젠슈타인 소수는

10223 \times 2^{31172165} + 1

이다. 이 소수는 PrimeGrid 프로젝트의 페테르 사볼치(Peter Szabolcs)에 의해 발견되었으며, 당시 알려진 소수 중 열 번째로 큰 소수였다.^[4] 알려진 더 큰 소수들은 대부분 메르센 소수인데, 3보다 큰 메르센 소수는

1 \pmod 3

과 합동이므로 아이젠슈타인 소수가 아니다.

4. 1. 아이젠슈타인 소수의 분기

유리 소수

p

가 아이젠슈타인 정수 환

\mathbb{Z}[\omega]

에서 어떻게 소인수분해되는지는

p

를 3으로 나눈 나머지에 따라 세 가지 경우로 나뉜다.

'''3의 경우 (분기):''' 유리 소수 3은 아이젠슈타인 정수환에서 동반 관계인 두 아이젠슈타인 소수의 곱으로 표현된다 (더 정확히는, 한 아이젠슈타인 소수의 제곱과 단위원의 곱이다). 이처럼 유리 소수가 아이젠슈타인 정수환에서 유일한 소인수(의 거듭제곱)로 분해되는 경우를 '''분기'''(ramify)한다고 한다.

::

3 = -(1 + 2\omega)^2

:: 여기서

1+2\omega

는 노름이

1^2 - 1(2) + 2^2 = 3

인 아이젠슈타인 소수이다.

''' $p \equiv 2 \pmod 3$ 인 경우 (관성):''' 3으로 나누어 나머지가 2인 유리 소수 $p$ 는 아이젠슈타인 정수환 $\mathbb{Z}[\omega]$ 에서도 여전히 아이젠슈타인 소수로 남는다. 즉, 더 이상 분해되지 않는다. 이를 '''관성'''(inert)한다고 한다.^[3]

:: 예를 들어, 유리 소수 2, 5, 11, 17 등은 아이젠슈타인 정수환에서도 소수이다.

''' $p \equiv 1 \pmod 3$ 인 경우 (분해):''' 3으로 나누어 나머지가 1인 유리 소수 $p$ 는 아이젠슈타인 정수환 $\mathbb{Z}[\omega]$ 에서 서로 동반하지 않는 두 아이젠슈타인 소수의 곱으로 분해된다.^[3] 이는 $p$ 가 어떤 아이젠슈타인 정수 $z = a+b\omega$ 의 노름 $N(z) = a^2 - ab + b^2$ 과 같다는 것과 동치이며 ( $p = a^2 - ab + b^2$ ), 이 경우 $p$ 는 다음과 같이 아이젠슈타인 소수인 $a+b\omega$ 와 그의 켤레 $a+b\omega^2 = (a-b)-b\omega$ 의 곱으로 분해된다.

::

p = (a + b\omega)(a + b\omega^2) = (a + b\omega)((a-b) - b\omega)

:: 예를 들어, 유리 소수 7은

7 \equiv 1 \pmod 3

이고,

7 = 3^2 - 3(1) + 1^2

(즉,

a=3, b=1

)로 표현 가능하므로, 다음과 같이 분해된다.

::

7 = (3 + \omega)(3 + \omega^2) = (3 + \omega)(2 - \omega)

:: 여기서

3+\omega

와

2-\omega

는 노름이 7인 아이젠슈타인 소수이며, 서로 동반관계가 아니다.

결과적으로, 아이젠슈타인 소수는 그 노름이나 유리 소수와의 관계에 따라 다음과 같이 분류할 수 있다.

노름이 3인 아이젠슈타인 소수 $1-\omega$ 와 그 동반원소들 ( $\pm(1-\omega), \pm(1+2\omega), \pm(2+\omega)$ ). 이들은 유리 소수 3의 유일한 소인수(동반원소 제외)이다.
$p \equiv 1 \pmod 3$ 인 유리 소수 $p$ 의 소인수인, 노름이 $p$ 인 아이젠슈타인 소수.
$p \equiv 2 \pmod 3$ 인 유리 소수 $p$ 와 동반하는 아이젠슈타인 정수 (즉, 유리 소수 $p$ 자체와 그에 단위원 $\pm 1, \pm\omega, \pm\omega^2$ 을 곱한 것).

5. 소인수분해의 유일성

아이젠슈타인 정수들은 유클리드 정역이므로, 유일 소인수분해를 가진다. 이는 임의의 아이젠슈타인 정수가 아이젠슈타인 소수의 곱으로 유일하게 표현될 수 있음을 의미한다. 여기서 "유일"하다는 것은 곱하는 순서를 바꾸거나, 아이젠슈타인 소수를 동반인으로 바꾸는 경우는 같은 분해로 간주한다는 의미이다. 이 유일 소인수분해에 등장하는 소수들을 아이젠슈타인 소수(Eisenstein prime^영어)라고 한다.

아이젠슈타인 정수 $z=a+b\omega$ 가 아이젠슈타인 소수일 필요충분조건은 다음 두 경우 중 하나에 해당되는 것이다. (여기서 통상적인 정수 $\mathbb{Z}$ 에서의 소수를 '유리소수'라고 부르기로 한다.)

# $z$ 는 가역원과 $p\equiv2\pmod3$ 인 유리소수 $p$ 의 곱과 같다. 즉, 유리소수 $p$ 가 $p \equiv 2 \pmod 3$ 이면, $p$ 는 아이젠슈타인 정수환에서도 소수이다.

# $|z|^2=a^2-ab+b^2$ 가 유리소수이다. 이 경우 항상 $|z|^2\equiv0,1\pmod3$ 이 성립한다. 즉, 유리소수 $p$ 가 $p=3$ 이거나 $p \equiv 1 \pmod 3$ 이면, $p$ 는 두 아이젠슈타인 소수의 곱으로 분해된다.

따라서, 아이젠슈타인 소수의 예는 다음과 같다.

갈리지 않는 (유리소수인) 아이젠슈타인 소수: 2, 5, 11, 17, 23, 29, 41, 47, 53, 59, 71, 83, 89, 101, …
실수가 아닌 아이젠슈타인 소수: 2 + ω, 3 + ω, 4 + ω, 5 + 2ω, 6 + ω, 7 + ω, 7 + 3ω, …

반면, 유리소수이지만 아이젠슈타인 소수가 아닌 수들은 다음과 같이 분해된다.

$3 = -(1+2\omega)^2$
$7 = (3+\omega)(2-\omega)$
$13 = (4+\omega)(3-\omega)$
$19 = (5+2\omega)(3-2\omega)$
…

아이젠슈타인 정수환

\mathbb{Z}[\omega]

가 유클리드 정역이라는 사실은 일반적인 환론에 따라 이 환이 단항 아이디얼 정역이며, 더 나아가 소인수분해 정역임을 보장한다.

\mathbb{Z}[\omega]

가 노름

N(z)=|z|^2

에 관하여 유클리드 정역이라는 것은 다음 명제가 성립함을 의미한다:

임의의 아이젠슈타인 정수 $\alpha, \beta (\ne 0)$ 에 대하여, $\alpha = \beta\gamma + \delta$ 이고 $N(\delta) < N(\beta)$ 를 만족하는 아이젠슈타인 정수 $\gamma, \delta$ 가 존재한다.

이는 복소수 평면에서

\frac{\alpha}{\beta}

에 가장 가까운 아이젠슈타인 정수

\gamma

를 취함으로써 증명할 수 있다. 이 경우,

\left| \frac{\alpha}{\beta}-\gamma \right| \le \frac{1}{\sqrt{3}}<1

(여기서

\frac{1}{\sqrt{3}}

은 한 변의 길이가 1인 정삼각형의 무게중심에서 꼭지점까지의 거리)이므로,

N(\alpha - \beta\gamma) = \left| \alpha - \beta\gamma \right|^2 = \left| \beta \left( \frac{\alpha}{\beta} - \gamma \right) \right|^2 = |\beta|^2 \left| \frac{\alpha}{\beta} - \gamma \right|^2 \le |\beta|^2 \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^2 = \frac{1}{3} N(\beta) < N(\beta)

가 된다. 따라서

\delta = \alpha - \beta\gamma

라고 하면 조건을 만족한다.

6. 아이젠슈타인 급수

0을 제외한 모든 아이젠슈타인 정수의 4제곱 역수의 합은 0이다.^[5]

$\sum_{z\in\mathbf{E}\setminus\{0\}}\frac{1}{z^4}=G_4\left(e^{\frac{2\pi i}{3}}\right)=0$

이 결과는 $e^{2\pi i/3}$ 가 j-불변량의 근임을 의미한다.

일반적으로, 아이젠슈타인 급수 $G_k$ 에 대해 $k$ 가 6의 배수가 아닐 때 ( $k\not\equiv 0 \pmod 6$ ) $G_k\left(e^{\frac{2\pi i}{3}}\right)=0$ 이 성립한다.^[6]

또한, 0을 제외한 모든 아이젠슈타인 정수의 6제곱 역수의 합은 감마 함수 $\Gamma$ 를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

$\sum_{z\in\mathbf{E}\setminus\{0\}}\frac{1}{z^6}=G_6\left(e^{\frac{2\pi i}{3}}\right)=\frac{\Gamma (1/3)^{18}}{8960\pi^6}$

여기서 '''E'''는 아이젠슈타인 정수의 집합을 나타내고, ''G''₆는 가중치 6의 아이젠슈타인 급수이다.^[7]

7. 역사

아이젠슈타인은 세제곱 잉여 문제, 즉 정수 ''n''과 소수 ''p''에 대해 합동식 ''x''³ ≡ ''n'' (mod ''p'')가 해를 갖는 조건을 탐구하는 과정에서 아이젠슈타인 정수를 도입하였다. 이는 가우스가 4차 상호 법칙을 연구하면서 가우스 정수를 도입한 것과 유사한 맥락이다.

가우스는 1796년에 제곱 잉여의 상호 법칙을 증명한 이후 고차 상호 법칙 연구에 매진했다. 그는 1828년과 1832년에 발표한 논문에서 4차 상호 법칙을 다루면서, 이 문제를 해결하기 위해서는 기존의 정수 체계(유리 정수환 '''Z''')를 확장하여 1의 원시 네제곱근 ''i''를 포함하는 가우스 정수 체계를 고려하는 것이 핵심임을 밝혔다.

아이젠슈타인은 이와 비슷하게, 세제곱 잉여 문제를 해결하는 데 있어 아이젠슈타인 정수가 본질적인 역할을 한다는 것을 발견했다. 그는 1844년에 3차 상호 법칙을 명확히 정립하고 그 증명을 제시하였다. 즉, 아이젠슈타인 정수는 3차 상호 법칙 연구에 있어 가우스 정수가 4차 상호 법칙 연구에서 했던 것과 유사한 중요한 역할을 수행한다.

8. C/Z[ω]

복소 평면 '''C'''를 모든 아이젠슈타인 정수를 포함하는 격자로 나눈 몫환은 실수 차원이 2인 복소수 토러스이다. 이것은 모든 복소수 토러스 중에서 최대 대칭성을 가진 두 개의 토러스 중 하나이다. 이 토러스는 정육각형의 세 쌍의 반대쪽 모서리를 각각 동일시하여 얻을 수 있다.

다른 최대 대칭 토러스는 가우스 정수의 가산 격자로 복소 평면을 나눈 것이며, [0, 1] × [0, 1]과 같은 정사각형 기본 영역의 두 쌍의 반대쪽 변을 각각 동일시하여 얻을 수 있다.

참조

_[1] MathWorld EisensteinPrime
_[2] 서적 Primes of the Form x2+ny2: Fermat, Class Field Theory and Complex Multiplication https://www.math.uto[...] Wiley 1997-05-08
_[3] 웹사이트 " $X^2 +X +1$ is reducible in $\mathbb{F}_p [X]$ iff $p\equiv 1\pmod 3$ " https://math.stackex[...]
_[4] 웹사이트 Largest Known Primes https://primes.utm.e[...] 2023-02-27
_[5] 웹사이트 What are the zeros of the j-function? https://math.stackex[...]
_[6] 웹사이트 Show that $G_4(i)\neq 0$ , and $G_6(\rho)\neq 0$ , $\rho=e^{2\pi i /3}$ https://math.stackex[...]
_[7] 웹사이트 Entry 0fda1b – Fungrim: The Mathematical Functions Grimoire https://fungrim.org/[...] 2023-06-22
_[8] 서적 Algebra TYPOTEX
_[null] 서적 Számelmélet Tankönyvkiadó

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