정사각수

3. 성질

모든 정사각수는 홀수개의 약수를 가지는 반면, 다른 자연수는 짝수개의 약수를 가진다. 정사각수는 완전수가 아니다.

정사각수는 1부터 시작하는 연속된 홀수의 합과 같다. 즉, 음이 아닌 정수 $n$에 대하여 다음이 성립한다.

:$n^2=\backslash sum\_\{k=1\}^n(2k-1)$

이는 다음과 같이 그림으로 나타낼 수 있다.

$0\; +\; \backslash color\{blue\}1\; \backslash color\{black\}=\; 1$	$1\; +\; \backslash color\{blue\}3\; \backslash color\{black\}=\; 4$	$4\; +\; \backslash color\{blue\}5\; \backslash color\{black\}=\; 9$	$9\; +\; \backslash color\{blue\}7\; \backslash color\{black\}=\; 16$

라그랑주 네 제곱수 정리에 따르면, 모든 자연수는 최대 4개의 정사각수의 합으로 표현할 수 있다. 또한, 31개의 수를 제외한 모든 자연수는 서로 다른 제곱수의 합으로 나타낼 수 있다.

두 개의 연속하는 삼각수의 합은 정사각수이며, 모든 홀수 제곱수는 중심 팔각수이다.

어떤 소수 p가 정사각수 m을 나누면, p²도 m을 나눈다.

정사각수 ''m''은 ''m''개의 점을 정사각형으로 배열할 수 있을 때 정사각수가 된다.

3. 1. 홀수와 짝수 정사각수

3. 2. 특정 경우

• 숫자가 m5 형태로 끝나면, 그 제곱은 n25 형태가 되는데, 여기서 n = m(m+1)이다. 예를 들어, 65의 제곱은 6 × (6 + 1) = 42이므로, 4225가 된다.
• 숫자가 m0 형태로 끝나면, 그 제곱은 n00 형태가 되는데, 여기서 n = m²이다. 예를 들어, 70의 제곱은 4900이다.
• 두 자리 수가 5m 형태이면, 그 제곱은 aabb 형태가 되는데, 여기서 aa = 25 + m이고 bb = m²이다. 예를 들어, 57의 제곱은 25 + 7 = 32이고, 7² = 49이므로, 3249가 된다.
• 숫자가 5로 끝나면 제곱도 5로 끝나고, 6으로 끝나면 제곱도 6으로 끝나는 등 자동형 숫자의 성질을 가진다. 예를 들어, 55376의 제곱은 3066501376인데, 둘 다 '376'으로 끝난다.^[3]

3. 3. 진법 관련 성질

• 10진법에서 정사각수의 자릿수근은 1, 4, 7, 9 중 하나이다.
• 10진법에서 제곱수의 아래 두 자리는 00, 01, 04, 09, 16, 21, 24, 25, 29, 36, 41, 44, 49, 56, 61, 64, 69, 76, 81, 84, 89, 96 중 하나이다.
• 십의 자리가 홀수인 제곱수는 일의 자리가 반드시 6이다.
• 아래 두 자리가 25인 제곱수는 백의 자리가 반드시 0, 2, 6 중 하나이다.
• 제곱수를 이진법으로 표시했을 때, 이의 자리는 반드시 0이다. (이진법에서는 아래 두 자리가 00, 01, 10, 11의 네 가지이며, 각각 제곱하면 00, 01, 100, 1001로 이의 자리가 모두 0이기 때문이다.)

3. 4. 다른 수와의 관계

• 피보나치 수이면서 제곱수인 수는 0, 1, 144뿐이다.^[2]
• 삼각수이면서 제곱수인 수는 제곱 삼각수이다.
• 오각수이면서 제곱수인 수가 존재한다.
• 세제곱수이면서 제곱수인 수는 6제곱수이다.
• 하샤드 수인 제곱수가 존재한다.
• 숫자를 재배열하여 다른 제곱수가 되는 경우가 있다.

4. 사각뿔수

'''정사각수'''의 개념을 공간으로 확장하여, 물체를 사각뿔을 이루도록 공간에 배치했을 때의 물체의 총 수를 '''사각뿔수'''라고 한다.

제$n$ 사각뿔수는 제1 정사각수에서부터 제$n$ 정사각수까지의 합이고, 그 값 $N$은 $N\; =\; \backslash frac\; \{n(n+1)(2n+1)\}\; 6$으로 쓸 수 있다.

사각뿔수를 1항부터 써보면 다음과 같다.

1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, ...

사각뿔수와 사면체수는 서로 밀접한 연관이 있다. 예를 들어, 이웃한 두 사면체수를 더하면 사각뿔수가 된다. 사면체수는 1, 4, 10, 20, 35, 56, .. 등이 있는데, 1+4=5, 4+10=14처럼 이웃한 두 사면체수의 합은 정확히 사각뿔수가 된다. n번째 사면체수를 $T\_n$, n번째 사각뿔수를 $P\_n$라고 하고 이 공식을 일반화하면 $T\_n\; +\; T\_\{n+1\}\; =\; P\_\{n+1\}$가 된다. 이 공식은 사각뿔수와 사면체수의 공식을 가지고 계산하면 쉽게 알 수 있다.

5. 일반화

유리수의 제곱으로 표시되는 유리수를 제곱수라고도 한다. 더 나아가 일반적으로는, 가환체 의 곱셈군 의 부분 집합 } ( 등으로 표기)의 원소를 제곱수 또는 제곱원이라고 부르는 경우가 있다. 주로 일 때 의미를 가진다.

6. 관련 정리

• '''니코마코스의 정리'''

• '''두 제곱수의 합 정리'''

• '''다각수 정리'''

• '''와링의 문제'''

참조

_[1] 문서 Some authors also call squares of rational numbers perfect squares.
_[2] 서적 The Mechanical Universe: Introduction to Mechanics and Heat https://books.google[...] Cambridge University Press 2008-01-14
_[3] 간행물