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지겔 모듈러 다양체

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목차

1. 개요

지겔 모듈러 다양체는 g차원 주 극화 아벨 다양체를 매개변수화하는 복소 해석 공간으로, 심플렉틱 군의 작용에 의해 g차 지겔 상반 공간의 몫으로 구성된다. 이 다양체는 심플렉틱 군, 레벨 구조, 또는 시무라 데이텀을 사용하여 구성할 수 있으며, 세르의 GAGA에 따라 대수 다양체와 연관된다. 지겔 모듈러 다양체는 g(g+1)/2 차원이며, g가 7 이상일 때 일반형이다. 콤팩트화될 수 있으며, 끈 이론, 등각장 이론, 그리고 팔팅스 정리 증명에 응용된다.

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지겔 모듈러 다양체
정의
설명수학에서, 지겔 모듈러 다양체(Siegel modular variety)는 주로 편극된 아벨 다양체의 모듈라이 공간인 대수적 다양체다.
역사
기원이 개념은 카를 루트비히 지겔(Carl Ludwig Siegel)의 이름을 따서 명명되었다.

2. 구성

g 차원 주 극화 아벨 다양체를 매개변수화하는 지겔 모듈러 다양체 A_g는 심플렉틱 군 작용에 의해 ''g차'' 지겔 상반 공간의 몫으로 구성된 복소 해석 공간으로 구성될 수 있다. 복소 해석 공간은 세르의 GAGA에 따라 자연스럽게 연관된 대수 다양체를 갖는다.[24][4]

레벨 ''n'' 구조를 사용하여 g 차원 주 극화 아벨 다양체를 매개변수화하는 지겔 모듈러 다양체 A_g(n)은 심플렉틱 군의 레벨 ''n'' 주 합동 부분군의 작용에 의해 지겔 상반 공간의 몫으로 발생한다.[24][4]

지겔 모듈형 다양체는 심플렉틱 벡터 공간과 연관된 시무라 데이텀에 의해 정의된 시무라 다양체로 구성될 수도 있다.[19][3]

2. 1. 심플렉틱 군을 이용한 구성

g 차원 주 극화 아벨 다양체를 매개변수화하는 지겔 모듈러 다양체 A_g는 심플렉틱 군의 작용에 의해 ''g차'' 지겔 상반 공간의 몫으로 구성된 복소 해석 공간으로 구성될 수 있다. 이 복소 해석 공간은 세르의 GAGA에 따라 자연스럽게 연관된 대수 다양체를 갖는다.[24][4]

레벨 ''n'' 구조를 사용하여 g 차원 주 극화 아벨 다양체를 매개변수화하는 지겔 모듈러 다양체 A_g(n)은 심플렉틱 군의 레벨 ''n'' 주 합동 부분군의 작용에 의해 지겔 상반 공간의 몫으로 발생한다.[24][4]

지겔 모듈형 다양체는 심플렉틱 벡터 공간과 연관된 시무라 데이텀에 의해 정의된 시무라 다양체로 구성될 수도 있다.[19][3]

2. 2. 레벨 구조를 이용한 구성

g 차원 주 극화 아벨 다양체를 매개변수화하는 지겔 모듈러 다양체 A_g(n)은 레벨 n 구조를 갖는 심플렉틱 군의 레벨 n 주 합동 부분 군의 작용에 의해 지겔 상반 공간의 몫으로 구성될 수 있다.[24] 이는 세르의 GAGA에 따라 자연스럽게 연관된 대수 다양체를 갖는다.[24] 또한 지겔 모듈형 다양체는 심플렉틱 벡터 공간과 연관된 시무라 데이텀에 의해 정의된 시무라 다양체로 구성될 수도 있다.[19][3]

2. 3. 시무라 다양체를 이용한 구성

지겔 모듈형 다양체는 심플렉틱 벡터 공간과 연관된 시무라 데이텀에 의해 정의된 시무라 다양체로 구성될 수 있다.[19][3] ''g''차원 주 편광 아벨 다양체를 매개변수화하는 지겔 모듈러 다양체 ''A''''g''는 복소 해석 공간으로 구성될 수 있으며, 이는 ''g''차 지겔 상반 공간을 심플렉틱 군의 작용으로 기하학적 몫을 취하여 구성된다.[4] 이 복소 해석 공간은 장 피에르 세르의 GAGA에 의해 자연스럽게 관련된 대수 다양체를 갖는다.[4][24]

레벨 ''n'' 구조를 가진 ''g''차원 주 편광 아벨 다양체를 매개변수화하는 지겔 모듈러 다양체 ''A''''g''(''n'')는 지겔 상반 공간을 심플렉틱 군의 레벨 ''n''에 대한 주 합동 부분군의 작용으로 몫을 취하여 얻어진다.[4][24]

3. 성질

지겔 모듈러 다양체 A_g는 g(g+1)/2차원 다양체이다.[24][20][4][5] 융-성 타이(Yung-Sheng Tai영어), 에버하르트 프라이탁(Eberhard Freitag), 데이비드 멈포드(David Mumford)는 g \ge 7일 때 A_g가 일반형임을 증명하였다.[4][6][7][8][21][22][23] 지겔 모듈러 다양체는 사영 대수다양체를 얻기 위해 콤팩트화될 수 있다.[24][4] 특히, ''A''2(2)의 콤팩트화는 유리적인 세그르 삼차 곡면과 유리 동치이다.[24][4] 마찬가지로, ''A''2(3)의 콤팩트화는 또한 유리적인 부르크하르트 사차 곡면과 유리 동치이다.[24][4] 또 다른 지겔 모듈러 다양체인 ''A''1,3(2)는 바르트-니에토 오차 곡면과 유리 동치인 콤팩트화를 가지며, 이는 고다이라 차원이 0인 모듈러 칼라비-야우 다양체와 유리 동치이다.[24][4] 지겔 모듈러 다양체는 비아벨일 수 없다.[9]

3. 1. 차원

지겔 모듈러 다양체 A_g는 g(g+1)/2차원 다양체이다.[24][20][4][5] 융-성 타이(Yung-Sheng Tai), 에버하르트 프라이탁(Eberhard Freitag), 데이비드 멈포드(David Mumford)는 ''A_g''가 ''g'' ≥ 7일 때 일반형임을 증명하였다.[24][4][6][7][8] 지겔 모듈형 다양체는 사영 다양체를 얻기 위해 콤팩트화될 수 있다.[24][4]

3. 2. 일반형 (General Type)

지겔 모듈러 다양체 A_g는 g(g+1)/2차원 다양체이다.[24][20] 융-성 타이(Yung-Sheng Tai), 에버하르트 프라이탁(Eberhard Freitag), 데이비드 멈포드(David Mumford)는 g \ge 7일 때 A_g가 일반형임을 증명하였다.[4][6][7][8][21][22][23] 지겔 모듈러 다양체는 사영 대수다양체를 얻기 위해 콤팩트화될 수 있다.[4] 지겔 모듈러 다양체는 비아벨일 수 없다.[9]

3. 3. 콤팩트화

지겔 모듈형 다양체는 사영 다양체를 얻기 위해 콤팩트화될 수 있다.[24][4] ''A''2(2)의 콤팩트화는 유리 다양체인 세그레 삼차 삼중체와 쌍유리적이다.[24][4] ''A''2(3)의 콤팩트화는 유리 다양체인 Burkhardt 사차 삼중체와 쌍유리적이다.[24][4] ''A''1,3(2)는 고다이라 차원이 0인 모듈러 칼라비-야우 다양체와 쌍유리적인 바르토-니에로 오차 삼중체와 쌍유리적인 콤팩트화를 갖는다.[24][4]

4. 응용

지겔 모듈러 형식은 지겔 모듈러 다양체에서 벡터 값 미분 형식으로 발생한다.[24][4] 지겔 모듈러 다양체는 지겔 모듈러 형식 이론을 통해 등각장 이론에 응용되었다.[25][10] 끈 이론에서, 초대칭 블랙홀의 D1D5P 시스템에서 블랙홀 엔트로피의 미세 상태를 자연스럽게 포착하는 함수는 지겔 모듈러 형식이다.[26][11]

1968년, 알렉세이 파르신은 파르신 트릭을 도입하여 샤파레비치 유한성 추측이 참이라면 모델 추측 (현재는 팔팅스 정리로 알려짐)이 성립함을 보였다.[12][15][27][30] 1983년과 1984년, 게르트 팔팅스는 샤파레비치 유한성 추측을 증명하여 모델 추측의 증명을 완성했다.[13][14][15][28][29][30] 팔팅스 증명의 주요 아이디어는 팔팅스 높이와 단순 높이를 지겔 모듈러 다양체를 통해 비교하는 것이다.[16][31]

4. 1. 모듈러 형식 이론

지겔 모듈러 형식은 지겔 모듈러 다양체에서 벡터 값 미분 형식으로 발생한다.[24][4] 지겔 모듈러 다양체는 지겔 모듈러 형식 이론을 통해 등각장 이론에 응용되었다.[25][10] 끈 이론에서 초대칭 블랙홀의 D1D5P 계에서 블랙홀 엔트로피의 미시 상태를 자연스럽게 포착한다.[26][11]

1968년에 알렉세이 파르신은 파르신 트릭을 도입하여 샤파레비치 유한성 추측이 참이라면 모델 추측(현재 팔팅스의 정리로 알려짐)이 성립함을 보여주었다.[27][30][12][15] 1983년과 1984년에 게르트 팔팅스는 샤파레비치 유한성 추측을 증명하여 모델 추측의 증명을 완성했다.[28][29][30][13][14][15] 팔팅스 증명의 주요 아이디어는 팔팅스 높이와 단순 높이를 지겔 모듈러 다양체를 통해 비교하는 것이다.[31][16]

4. 2. 등각장 이론 (Conformal Field Theory)

지겔 모듈러 다양체는 지겔 모듈러 형식 이론을 통해 등각장 이론에 응용되었다.[25][10] 지겔 모듈러 형식은 끈 이론에서 초대칭 블랙홀의 D1D5P 계에서 블랙홀 엔트로피의 미시 상태를 자연스럽게 포착한다.[26][11]

4. 3. 끈 이론 (String Theory)

지겔 모듈러 형식은 끈 이론에서 초대칭 블랙홀의 D1D5P 계에서 블랙홀 엔트로피의 미시 상태를 자연스럽게 포착한다.[26][11] 이는 지겔 모듈러 다양체에서 벡터 값 미분 형식으로 발생하며,[24][4] 지겔 모듈러 형식 이론을 통해 등각장 이론에 응용되었다.[25][10]

4. 4. 팔팅스 정리 증명

1968년 알렉세이 파르신은 파르신 트릭을 도입하여 샤파레비치 유한성 추측이 참이라면 모델 추측(현재 팔팅스의 정리)이 성립함을 보였다.[12][15][27][30] 1983년과 1984년에 게르트 팔팅스는 샤파레비치 유한성 추측을 증명하여 모델 추측의 증명을 완성했다.[13][14][15][28][29][30] 팔팅스 증명의 주요 아이디어는 팔팅스 높이와 단순 높이를 지겔 모듈러 다양체를 통해 비교하는 것이다.[16][31]

참조

[1] 서적 Automorphic Forms, Research in Number Theory from Oman Springer
[2] 저널 Symplectic Geometry The Johns Hopkins University Press
[3] 서적 Harmonic Analysis, the Trace Formula, and Shimura Varieties American mathematical Society and Clay Mathematics Institute
[4] 서적 Higher Dimensional Birational Geometry
[5] 서적 The Handbook of Moduli, Volume 1 International Press
[6] 저널 On the Kodaira dimension of the moduli space of abelian varieties https://gdz.sub.uni-[...]
[7] 서적 Siegelsche Modulfunktionen Springer-Verlag
[8] 서적 Algebraic Geometry - Open Problems, Proceedings of the Conference held in Ravello, May 31 - June 5, 1982 Springer
[9] 서적 Geometric Galois Actions 1: Around Grothendieck's Esquisse d'un Programme Cambridge University Press
[10] 저널 Siegel paramodular forms and sparseness in AdS3/CFT2 2018-11-07
[11] 저널 Siegel modular forms and black hole entropy https://link.springe[...] 2017-04-11
[12] 저널 Algebraic curves over function fields I http://www.mathnet.r[...]
[13] 저널 Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern https://gdz.sub.uni-[...]
[14] 저널 Erratum: Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern
[15] 서적 Arithmetic geometry. Papers from the conference held at the University of Connecticut, Storrs, Connecticut, July 30 – August 10, 1984 Springer-Verlag
[16] 저널 The Proof of the Mordell Conjecture http://pdfs.semantic[...]
[17] 서적 Automorphic Forms, Research in Number Theory from Oman
[18] 저널 Symplectic Geometry
[19] 서적 Harmonic Analysis, the Trace Formula, and Shimura Varieties
[20] 서적 The Handbook of Moduli, Volume 1
[21] 저널 On the Kodaira dimension of the moduli space of abelian varieties https://gdz.sub.uni-[...]
[22] 서적 Siegelsche Modulfunktionen
[23] 서적 Algebraic Geometry - Open Problems, Proceedings of the Conference held in Ravello, May 31 - June 5, 1982
[24] 서적 Higher Dimensional Birational Geometry
[25] 저널 Siegel paramodular forms and sparseness in AdS3/CFT2 2018-11-07
[26] 저널 Siegel modular forms and black hole entropy https://link.springe[...] 2017-04-11
[27] 저널 Algebraic curves over function fields I http://www.mathnet.r[...]
[28] 저널 Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern https://gdz.sub.uni-[...]
[29] 저널 Erratum: Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern
[30] 서적 Arithmetic geometry. Papers from the conference held at the University of Connecticut, Storrs, Connecticut, July 30 – August 10, 1984
[31] 저널 The Proof of the Mordell Conjecture http://pdfs.semantic[...]


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