심플렉틱 벡터 공간

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 심플렉틱 사상과 심플렉틱 군
- 4.1. 심플렉틱 사상
- 4.2. 심플렉틱 군
5. 부분 공간
6. 하이젠베르크 군
참조

1. 개요

심플렉틱 벡터 공간은 체 K 위의 벡터 공간 V에 정의된 쌍선형 형식 Ω가 특정 조건을 만족하는 경우를 말한다. 심플렉틱 쌍선형 형식이라고 불리며, (V, Ω)로 표현된다. 표준 심플렉틱 공간은 왜대칭 행렬로 주어진 심플렉틱 형식을 갖는 R2n이며, 다르부 기저 또는 심플렉틱 기저라고 불리는 기저를 갖는다. 심플렉틱 벡터 공간은 복소 구조를 통해 거의 복소 구조와 심플렉틱 구조를 가지며, 라그랑지안 부분 공간은 실수 부분 공간이다. 표준 부피 형식은 심플렉틱 벡터 공간에서 정의되는 부피 형식이다. 심플렉틱 사상은 심플렉틱 형식을 보존하는 선형 사상이며, 심플렉틱 군은 심플렉틱 변환의 집합이다. 심플렉틱 벡터 공간의 부분 공간은 심플렉틱, 등방적, 공등방적, 라그랑지안의 네 가지 유형으로 분류된다. 하이젠베르크 군은 심플렉틱 벡터 공간에 대해 정의되며, 정준 교환 관계와 관련된 구조를 갖는다.

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심플렉틱 벡터 공간
개요
정의	정의: V가 체 F 위의 벡터 공간이고, ω가 V × V → F인 쌍선형 형식일 때, 다음 두 조건을 만족하면 ω를 심플렉틱 형식이라 하고, (V, ω)를 심플렉틱 벡터 공간이라 한다. 반대칭성: 임의의 u, v ∈ V에 대해 ω(u, v) = −ω(v, u)이다. 비퇴화성: 임의의 v ∈ V에 대해 ω(u, v) = 0이면 u = 0이다.
추가 설명	유한 차원 벡터 공간 V에 심플렉틱 형식이 존재할 필요충분조건은 V의 차원이 짝수라는 것이다.
주의사항	심플렉틱 형식 ω와 내적 g는 둘 다 쌍선형 형식이라는 공통점이 있지만, 몇 가지 중요한 차이점이 있다. 내적 g는 임의의 벡터 v에 대해 g(v, v) > 0을 만족하지만, 심플렉틱 형식 ω는 ω(v, v) = 0을 만족한다.
같이 보기
관련 항목	사교 기하학 푸아송 다양체 켈러 다양체
참고 문헌
참고 도서	Dusa McDuff and Dietmar Salamon, Introduction to Symplectic Topology, ISBN 0-19-850451-4
외부 링크
관련 링크	MathWorld: Symplectic Vector Space

2. 정의

체 $K$ 위의 벡터 공간 $V$ 위의 쌍선형 형식

: $\Omega \colon V\otimes_KV\to K$

: $\Omega \colon (a\otimes b)\mapsto \Omega(a,b)$

가 다음 조건을 만족시키면, '''심플렉틱 쌍선형 형식'''(symplectic bilinear form^영어)이라고 한다.

$\Omega(v,v) = 0\qquad\forall v\in V$
(비퇴화성) 선형 변환 $V \to V^*$ , $v\mapsto \Omega(v,-)$ 는 단사 함수이다. 즉, 만약 $\Omega(v,u) = 0 \forall u\in V$ 라면, $v=0$ 이다.

심플렉틱 쌍선형 형식이 주어진 벡터 공간

(V,\Omega)

를 '''심플렉틱 벡터 공간'''이라고 한다.

표준 심플렉틱 공간은 비특이적이고 왜대칭 행렬로 주어진 심플렉틱 형식을 갖는

\mathbb{R}^{2n}

이다. 일반적으로

\omega

는 다음과 같은 블록 행렬로 선택된다.

:

\omega = \begin{bmatrix} 0 & I_n \\ -I_n & 0 \end{bmatrix}

여기서 ''I''_''n''은 항등 행렬이다. 기저 벡터

(x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n)

로 표현하면 다음과 같다.

:

\begin{align}\omega(x_i, y_j) = -\omega(y_j, x_i) &= \delta_{ij}, \\\omega(x_i, x_j) =  \omega(y_i, y_j) &= 0.\end{align}

그람-슈미트 과정의 변형은 임의의 유한 차원 심플렉틱 벡터 공간이

\omega

가 이러한 형태를 취하는 기저, 즉 흔히 '''''다르부 기저''''' 또는 심플렉틱 기저라고 불리는 것을 갖는다는 것을 보여준다.

표준 심플렉틱 형식을 해석하는 또 다른 방법이 있다. 위에서 사용한 모델 공간

\mathbb{R}^{2n}

는 오해를 일으킬 수 있는 많은 표준적인 구조를 가지므로, 그 대신 일반화된 벡터 공간을 사용한다.

V

를

n

차원의 실수 벡터 공간,

V^*

를 그 쌍대 벡터 공간이라고 하자. 여기서, 다음 형식을 갖는 이러한 공간들의 직합

W := V \oplus V^*

를 생각한다.

:

\omega(x \oplus \eta, y \oplus \xi) = \xi(x) - \eta(y)

그리고,

V

의 임의의 기저

(v_1, \ldots, v_n)

를 취하고, 그 쌍대 기저

:

(v^*_1, \ldots, v^*_n)

를 생각한다.

x_i = (v_i, 0)

및

y_i = (0, v^*_i)

라고 쓰면, 이들 기저 벡터가

W

내에 있다고 해석할 수 있다. 이것들을 한데 묶어 생각하면,

W

의 완전한 기저

:

(x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n)

를 얻을 수 있다.

여기서 정의한 형식

\omega

는, 본 절의 처음에 있는 형식과 동일한 특징을 가짐을 보일 수 있다.

3. 성질

표수가 2가 아닌 유한 차원 심플렉틱 벡터 공간 $(V,\Omega)$ 는 항상 짝수 차원이며, 다르부 기저를 갖는다.

심플렉틱 벡터 공간에는 표준 부피 형식이 존재한다. $2n$ 차원 심플렉틱 벡터 공간 $(V,\Omega)$ 에서, $\overbrace{\Omega\wedge\Omega\wedge\dotsb\wedge\Omega}^n \in\bigvee^n(V)$는 $V$ 위의 부피 형식을 이루며, 이를 $V$ 의 '''표준 부피 형식'''(standard volume form^영어)이라고 한다.

또한, 심플렉틱 벡터 공간은 라그랑주 부분 공간을 갖는다. 임의의 체 K^영어 위의 유한 차원 벡터 공간 V^영어에 대해, 심플렉틱 쌍선형 형식은 $Ω(a⊕α, b⊕β) = ⟨a,β⟩ - ⟨b,α⟩^영어 (a,b∈V, α,β∈V*^영어)$와 같이 정의된다. 심플렉틱 벡터 공간의 동형 $V^영어⊕V*^영어 → W^영어$에서, V^영어는 W^영어의 라그랑주 부분 공간이다.

3. 1. 다르부 기저

표수가 2가 아닌 유한 차원 심플렉틱 벡터 공간

(V,\Omega)

는 항상 짝수 차원이며,

\Omega

가 다음과 같은 행렬로 표현되게 만드는 기저가 존재한다.

:

\Omega = \begin{pmatrix}0_{n\times n}&1_{n\times n}\\

1_{n\times n}&0_{n\times n}

\end{pmatrix}

이러한 기저를 '''다르부 기저'''(Darboux basis^영어)라고 한다.

표준 심플렉틱 공간은 비특이적이고 왜대칭 행렬로 주어진 심플렉틱 형식을 갖는

\mathbb{R}^{2n}

이다. 일반적으로

\omega

는 다음과 같은 블록 행렬로 선택된다.

:

\omega = \begin{bmatrix} 0 & I_n \\ -I_n & 0 \end{bmatrix}

여기서 ''I''_''n''은 항등 행렬이다. 기저 벡터 로 표현하면 다음과 같다.

:

\begin{align}\omega(x_i, y_j) = -\omega(y_j, x_i) &= \delta_{ij}, \\\omega(x_i, x_j) =  \omega(y_i, y_j) &= 0.\end{align}

그람-슈미트 과정의 변형은 임의의 유한 차원 심플렉틱 벡터 공간이

\omega

가 이러한 형태를 취하는 기저, 즉 흔히 '''다르부 기저''' 또는 심플렉틱 기저라고 불리는 것을 갖는다는 것을 보여준다.

표준 심플렉틱 형식을 해석하는 또 다른 방법이 있다. 위에서 사용한 모델 공간

\mathbb{R}^{2n}

는 오해를 일으킬 수 있는 많은 표준적인 구조를 가지므로, 그 대신 일반화된 벡터 공간을 사용한다.

V

를

n

차원의 실수 벡터 공간,

V^*

를 그 쌍대 벡터 공간이라고 하자. 여기서, 다음 형식을 갖는 이러한 공간들의 직합

W := V \oplus V^*

를 생각한다.

:

\omega(x \oplus \eta, y \oplus \xi) = \xi(x) - \eta(y)

그리고,

V

의 임의의 기저

(v_1, \ldots, v_n)

를 취하고, 그 쌍대 기저

:

(v^*_1, \ldots, v^*_n)

를 생각한다.

x_i = (v_i, 0)

및

y_i = (0, v^*_i)

라고 쓰면, 이들 기저 벡터가

W

내에 있다고 해석할 수 있다. 이것들을 한데 묶어 생각하면,

W

의 완전한 기저

:

(x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n)

를 얻을 수 있다.

3. 2. 라그랑주 부분 공간

임의의 체 K^영어 위의 유한 차원 벡터 공간 V^영어가 주어졌을 때,

:V^영어⊕V*^영어

위에 다음과 같은 심플렉틱 쌍선형 형식을 정의할 수 있다.

:Ω(a⊕α, b⊕β) = ⟨a,β⟩ - ⟨b,α⟩^영어 (a,b∈V, α,β∈V*^영어)

심플렉틱 벡터 공간의 동형

:V^영어⊕V*^영어 → W^영어

가 주어졌을 때, V^영어를 W^영어의 '''라그랑주 부분 공간'''이라고 한다. 모든 유한 차원 심플렉틱 벡터 공간은 라그랑주 부분 공간을 가지며, 이는 일반적으로 유일하지 않다.

W^영어를 V^영어의 부분 공간으로 둘 때, W^영어의 '''심플렉틱 여공간'''은 다음과 같이 정의된다.

:

심플렉틱 여공간은 다음을 만족한다.

:

:

하지만, 직교 여공간과 달리, 가 이 될 필요는 없다.

일 때, ''''는 '''라그랑주'''(Lagrangian)라고 한다. 부분 공간은 등방적이면서 여등방적일 때, 그리고 그 때에만 라그랑주적이다. 유한 차원 벡터 공간에서, 라그랑주 부분 공간은 ''''의 차원의 절반의 차원을 갖는 등방 부분 공간이다. 임의의 등방 부분 공간은 라그랑주 부분 공간으로 확장될 수 있다.

위의 표준적인 벡터 공간 에 비추어보면,

로 생성되는 부분 공간은 라그랑주적이다.

3. 3. 표준 부피 형식

2n

차원 심플렉틱 벡터 공간

(V,\Omega)

가 주어졌을 때, 다음 식이 성립한다.

:

\overbrace{\Omega\wedge\Omega\wedge\dotsb\wedge\Omega}^n \in\bigvee^n(V)

이는

V

위의 부피 형식을 이룬다. 이를

V

의 '''표준 부피 형식'''(standard volume form^영어)이라고 한다.

표준 심플렉틱 공간은 비특이적이고 왜대칭 행렬로 주어진 심플렉틱 형식을 갖는

\mathbb{R}^{2n}

이다. 일반적으로

\omega

는 다음과 같은 블록 행렬로 표현된다.

:

\omega = \begin{bmatrix} 0 & I_n \\ -I_n & 0 \end{bmatrix}

여기서 ''I''_''n''은 항등 행렬이다. 기저 벡터

(x_1, \dots, x_n, y_1, \dots, y_n)

로 표현하면 다음과 같다.

:

\begin{align}\omega(x_i, y_j) = -\omega(y_j, x_i) &= \delta_{ij}, \\\omega(x_i, x_j) =  \omega(y_i, y_j) &= 0.\end{align}

그람-슈미트 과정을 변형하면 임의의 유한 차원 심플렉틱 벡터 공간에서

\omega

가 위와 같은 형태를 취하는 기저를 갖는다는 것을 알 수 있다. 이러한 기저를 '''''다르부 기저''''' 또는 심플렉틱 기저라고 부른다.

''ω''를 ''n''차원 실수 벡터 공간 ''V'' 위의 교대 쌍선형 형식이라고 하자. 그러면 ''ω''가 비퇴화적일 필요충분조건은 ''n''이 짝수이고

\omega^{n/2} = \omega \wedge \dots \wedge \omega

가 부피 형식인 것이다. ''n''차원 벡터 공간 ''V'' 위의 부피 형식은 ''V''의 기저

(e_1, \dots, e_n)

에 대해, ''n''-형식

e_1^* \wedge \dots \wedge e_n^*

의 0이 아닌 배수이다.

앞 절에서 정의된 표준 기저에 대해, 다음이 성립한다.

:

\omega^n = (-1)^\frac{n}{2} x^*_1 \wedge \dotsb \wedge x^*_n \wedge y^*_1 \wedge \dotsb \wedge y^*_n.

이를 재정렬하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\omega^n = x^*_1 \wedge y^*_1 \wedge \dotsb \wedge x^*_n \wedge y^*_n.

여러 저자들이 ''ω''^''n'' 또는 (−1)^''n''/2''ω''^''n''을 '''표준 부피 형식'''으로 정의한다. 교대 곱의 정의에 ''n''!의 인수가 포함되는지 여부에 따라 간혹 ''n''!의 인수가 나타날 수 있다. 부피 형식은 심플렉틱 벡터 공간

(V, \omega)

에 방향을 정의한다.

4. 심플렉틱 사상과 심플렉틱 군

(''V'', ''ω'')^영어와 (''W'', ''ρ'')^영어가 심플렉틱 벡터 공간일 때, 선형 변환 f^영어: ''V'' → ''W''가 당김을 통해 심플렉틱 형식을 보존하면, 즉 1=''f''^∗''ρ'' = ''ω''^영어이면, f^영어를 '''심플렉틱 사상'''이라고 한다. 여기서 당김 형식은 (''f''^∗''ρ'')(''u'', ''v'') = ''ρ''(''f''(''u''), ''f''(''v''))^영어로 정의된다. 심플렉틱 사상은 부피와 방향을 보존하고, 동형이다.

만약 V = W^영어이면, 심플렉틱 사상은 ''V''의 '''선형 심플렉틱 변환'''이라고 불린다.

4. 1. 심플렉틱 사상

()와 ()가 심플렉틱 벡터 공간이라고 가정하자. 그러면 선형 변환 가 '''심플렉틱 사상'''이라고 불리는데, 만약 당김이 심플렉틱 형식을 보존하는 경우, 즉 일 때이다. 여기서 당김 형식은 로 정의된다. 심플렉틱 사상은 부피와 방향을 보존한다.

()와 ()를 심플렉틱 벡터 공간이라 하자. 이때, 선형 사상 는 당김 이 심플렉틱 형식을 보존할 때, 즉 일 때, '''심플렉틱 사상'''이라고 한다. 당김 형식은

:

로 정의되므로, 가 심플렉틱 사상인 것은

:

와 동치이다. 특히, 심플렉틱 사상은 부피를 보존하고, 방향을 보존하며, 동형이다.

위의 두 문단의 내용은 사실상 동일한 내용을 표현만 다르게 반복하고 있으므로, 두 번째 문단을 제거하고 첫 번째 문단을 간결하게 수정하여 중복을 제거한다.

와 가 심플렉틱 벡터 공간이고, 가 선형 변환일 때, 당김이 심플렉틱 형식을 보존하면, 즉 이면, 를 '''심플렉틱 사상'''이라고 한다. 당김 형식은 로 정의된다. 심플렉틱 사상은 부피와 방향을 보존하고, 동형이다.

4. 2. 심플렉틱 군

만약 이면, 심플렉틱 사상은 ''V''의 '''선형 심플렉틱 변환'''이라고 불린다. 특히 이 경우, 이 성립하며, 따라서 선형 변환 ''f''는 심플렉틱 형식을 보존한다. 모든 심플렉틱 변환의 집합은 군을 이루며, 특히 리 군을 이루는데, 이를 심플렉틱 군이라고 부르며, Sp(''V'') 또는 때로는 Sp(''V'', ''ω'')로 표기한다. 행렬 형태로 심플렉틱 변환은 심플렉틱 행렬로 주어진다.

5. 부분 공간

''W''를 ''V''의 선형 부분 공간이라고 하자. ''W''의 '''심플렉틱 여공간'''은 다음과 같이 정의된다.

: $W^\perp = \{v \in V \mid \omega(v,w) = 0 \mbox{ 모든 } w \in W에 대해\}.$

심플렉틱 여공간은 다음을 만족한다.

: $\begin{align}\left(W^\perp\right)^\perp &= W \\\dim W + \dim W^\perp &= \dim V.\end{align}$

그러나 직교 여공간과는 달리, ''W''^⊥ ∩ ''W''는 0일 필요는 없다. 네 가지 경우를 구분한다.

''W''가 $W^\perp \cap W = \{0\}$ 이면 '''심플렉틱'''이다. 이는 ''ω''가 ''W''에서 비퇴화 형식을 제한할 필요충분조건이다. 제한된 형식을 갖는 심플렉틱 부분 공간은 그 자체로 심플렉틱 벡터 공간이다.
''W''가 $W \subseteq W^\perp$ 이면 '''등방적'''이다. 이는 ''ω''가 ''W''에서 0으로 제한될 때 참이다. 모든 1차원 부분 공간은 등방적이다.
''W''가 $W^\perp \subseteq W$ 이면 '''공등방적'''이다. ''ω''가 몫 공간 ''W''/''W''^⊥에서 비퇴화 형식으로 내려갈 때 ''W''는 공등방적이다. 또는 ''W''^⊥이 등방적일 때 ''W''는 공등방적이다. 모든 코차원 1 부분 공간은 공등방적이다.
''W''가 $W = W^\perp$ 이면 '''라그랑지안'''이다. 부분 공간이 라그랑지안이 되는 것은 등방적이면서 공등방적일 때이다. 유한 차원 벡터 공간에서 라그랑지안 부분 공간은 차원이 ''V''의 절반인 등방적 부분 공간이다. 모든 등방적 부분 공간은 라그랑지안 부분 공간으로 확장될 수 있다.

표준적인 벡터 공간 '''R'''^2''n''을 예로 들면,

{''x''₁, ''y''₁}에 의해 생성된 부분 공간은 심플렉틱이다.
{''x''₁, ''x''₂}에 의해 생성된 부분 공간은 등방적이다.
{''x''₁, ''x''₂, ..., ''x''_''n'', ''y''₁}에 의해 생성된 부분 공간은 공등방적이다.
{''x''₁, ''x''₂, ..., ''x''_''n''}에 의해 생성된 부분 공간은 라그랑지안이다.

6. 하이젠베르크 군

하이젠베르크 군은 임의의 심플렉틱 벡터 공간에 대해 정의될 수 있으며, 이는 하이젠베르크 군이 발생하는 전형적인 방식이다.

벡터 공간은 (덧셈 하에서) 가환 리 군, 또는 동등하게 자명한 리 괄호를 갖는 가환 리 대수로 생각할 수 있다. 하이젠베르크 군은 이러한 가환 리 군/대수의 중앙 확장이다. 심플렉틱 형식은 정준 교환 관계(CCR)와 유사하게 교환 관계를 정의하며, 다르부 기저는 정준 좌표에 해당한다. 즉, 물리학 용어로 운동량 연산자와 위치 연산자에 해당한다.

실제로, 스톤- 폰 노이만 정리에 의해 CCR을 만족하는 모든 표현(하이젠베르크 군의 모든 표현)은 이러한 형태를 갖거나, 더 정확히는 표준 표현과 유니타리 공액 관계에 있다.

또한, 벡터 공간(의 쌍대)의 군 대수는 대칭 대수이고, (쌍대) 하이젠베르크 군의 군 대수는 바일 대수이다. 중앙 확장은 양자화 또는 변형에 대응한다고 생각할 수 있다.

형식적으로, 체 ''F'' 위의 벡터 공간 ''V''의 대칭 대수는 쌍대의 군 대수 Sym(''V'') := ''F''[''V''^∗]이고, 바일 대수는 (쌍대) 하이젠베르크 군의 군 대수 ''W''(''V'') = ''F''[''H''(''V''^∗)]이다. 군 대수로의 전환은 반변 공변자이므로, 중앙 확장 사상 ''H''(''V'') → ''V''는 포함 Sym(''V'') → ''W''(''V'')가 된다.

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