지붕 (기하학)

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1. 개요
2. 지붕 (Cupola)
- 2.1. 지붕의 종류
- 2.2. 꼭짓점 좌표
3. 별 지붕 (Star Cupola)
- 3.1. 별 지붕의 높이
4. 역지붕 (Anticupola)
5. 초지붕 (Hypercupola)
6. 한국의 관점
참조

1. 개요

지붕은 밑면이 n각형과 2n각형으로 이루어지고 옆면이 직사각형과 삼각형으로 교대로 배치되는 다면체이다. 삼각지붕, 사각지붕, 오각지붕 등이 있으며 육각지붕은 평면 도형이 된다. 별 지붕은 별 다각형을 밑면으로 하는 지붕이며, 역지붕은 정2n각형 밑면과 삼각형, 정n각형 윗면으로 구성된다. 초지붕은 지붕의 개념을 4차원으로 확장한 도형으로, 정사면체 지붕, 정육면체 지붕 등이 있다.

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지붕 (기하학)
개요
종류	다면체
면	개의 삼각형, 개의 정사각형, 1개의 -각형}}, 1개의 -각형}}
변	개
꼭짓점	개
면 배치	해당사항 없음
슐레플리 기호	t{n} }}
위소프 기호	해당사항 없음
콘웨이 다면체 표기법	해당사항 없음
콕서터 다이어그램	해당사항 없음
대칭군	]], [1,n], (*nn),}} 차수
회전군	, [1,n]⁺, (nn),}} 차수
겉넓이	해당사항 없음
부피	해당사항 없음
쌍대다면체	반으로 자른 사다리꼴면체
성질	볼록 다포체, 각기둥
꼭짓점 도형	해당사항 없음
전개도	해당사항 없음

2. 지붕 (Cupola)

지붕은 밑면이 n각형과 2n각형으로 구성되고, 옆면이 직사각형과 삼각형으로 번갈아 배치되는 다면체이다.

== 지붕의 종류 ==

밑면의 형태에 따라 삼각지붕, 사각지붕, 오각지붕 등으로 분류된다. 육각지붕은 평면 도형이 되며, 이보다 높은 차수의 지붕은 정다각형 면만으로는 만들 수 없다.

볼록한 지붕족
n	3	4	5	6
이름	{3}	t{3}	{4}	t{4}	{5}	t{5}	{6}	t{6}
지붕	100px 삼각지붕	85px 사각지붕	오각지붕	75px 육각지붕 (평면)
관련된 고른 다면체	85px 육팔면체	85px 마름모육팔면체	85px 마름모십이이십면체	마름모삼육각형 타일링

삼각지붕과 관련된 고른 다면체는 육팔면체(밑면끼리 비틀어 붙임)이다.

사각지붕과 관련된 고른 다면체는 마름모육팔면체(서로 맞붙이고 그 사이에 정팔각기둥(4.4.8)을 끼워 넣음)이다.

오각지붕과 관련된 고른 다면체는 마름모십이이십면체이다.

육각지붕 (평면)과 관련된 고른 타일링은 마름모삼육각형 타일링이다.

== 꼭짓점 좌표 ==

지붕의 꼭짓점 좌표는 다음과 같이 표현할 수 있다.

''V''_2''j''−1: (''r_b'' cos[2π(''j'' − 1) / ''n'' + α], ''r_b'' sin[2π(''j'' − 1) / ''n'' + α], 0)
''V''_2''j'': (''r_b'' cos(2π''j'' / ''n'' − α), ''r_b'' sin(2π''j'' / ''n'' − α), 0)
''V''_2''n''+''j'': (''r_t'' cos(π''j'' / ''n''), ''r_t'' sin(π''j'' / ''n''), ''h'')

(단, ''j'' = 1, 2, ..., ''n'')

여기서 ''r_b''는 밑면의 반지름, ''r_t''는 윗면의 반지름, ''h''는 높이, α는 회전 각도이다. 밑면은 ''xy'' 평면에 놓이고 윗면은 ''xy'' 평면에 평행하다. ''z''축은 ''n''-fold 축이고 거울면은 ''z''축을 지나면서 밑면의 변을 이등분하며, 윗면의 변이나 각 또는 둘 다를 이등분한다.

V₁V₂V_2n+2V_2n+1 등은 직사각형이므로, r_b, r_t, 그리고 α의 값에는 제약이 따른다. V₁V₂의 길이는 r_b{2[1 − cos(2π / n − 2α)]}^1/2이고, V_2n+1V_2n+2의 길이는 r_t{2[1 − cos(π / ''n'')]}^1/2이다. 이 두 길이는 같으므로, 공통 모서리를 s로 표시하면, r_b = s / {2[1 − cos(2π / n − 2α)]}^1/2, r_t = s / {2[1 − cos(π / ''n'')]}^1/2로 표현할 수 있다. 이 값들을 위의 꼭짓점 좌표 공식에 대입하여 정리할 수 있다.

2. 1. 지붕의 종류

밑면의 형태에 따라 삼각지붕, 사각지붕, 오각지붕 등으로 분류된다. 육각지붕은 평면 도형이 되며, 이보다 높은 차수의 지붕은 정다각형 면만으로는 만들 수 없다.

볼록한 지붕족
n	3	4	5	6
이름	{3}	t{3}	{4}	t{4}	{5}	t{5}	{6}	t{6}
지붕	\|100px]] 삼각지붕	\|85px]] 사각지붕	75px 오각지붕	\|75px]] 육각지붕 (평면)
관련된 고른 다면체	육팔면체	마름모육팔면체	마름모 십이이십면체	마름모삼육각형 타일링

삼각지붕과 관련된 고른 다면체는 육팔면체(밑면끼리 비틀어 붙임)이다.

사각지붕과 관련된 고른 다면체는 마름모육팔면체(서로 맞붙이고 그 사이에 정팔각기둥(4.4.8)을 끼워 넣음)이다.

오각지붕과 관련된 고른 다면체는 마름모십이이십면체이다.

육각지붕 (평면)과 관련된 고른 타일링은 마름모삼육각형 타일링이다.

2. 2. 꼭짓점 좌표

지붕의 꼭짓점 좌표는 다음과 같이 표현할 수 있다.

''V''_2''j''−1: (''r_b'' cos[2π(''j'' − 1) / ''n'' + α], ''r_b'' sin[2π(''j'' − 1) / ''n'' + α], 0)
''V''_2''j'': (''r_b'' cos(2π''j'' / ''n'' − α), ''r_b'' sin(2π''j'' / ''n'' − α), 0)
''V''_2''n''+''j'': (''r_t'' cos(π''j'' / ''n''), ''r_t'' sin(π''j'' / ''n''), ''h'')

(단, ''j'' = 1, 2, ..., ''n'')

여기서 ''r_b''는 밑면의 반지름, ''r_t''는 윗면의 반지름, ''h''는 높이, α는 회전 각도이다. 밑면은 ''xy'' 평면에 놓이고 윗면은 ''xy'' 평면에 평행하다. ''z''축은 ''n''-fold 축이고 거울면은 ''z''축을 지나면서 밑면의 변을 이등분하며, 윗면의 변이나 각 또는 둘 다를 이등분한다.

V₁V₂V_2n+2V_2n+1 등은 직사각형이므로, r_b, r_t, 그리고 α의 값에는 제약이 따른다. V₁V₂의 길이는 r_b{2[1 − cos(2π / n − 2α)]}^1/2이고, V_2n+1V_2n+2의 길이는 r_t{2[1 − cos(π / ''n'')]}^1/2이다. 이 두 길이는 같으므로, 공통 모서리를 s로 표시하면, r_b = s / {2[1 − cos(2π / n − 2α)]}^1/2, r_t = s / {2[1 − cos(π / ''n'')]}^1/2로 표현할 수 있다. 이 값들을 위의 꼭짓점 좌표 공식에 대입하여 정리할 수 있다.

3. 별 지붕 (Star Cupola)

별 지붕은 밑면이 별 다각형{n/d}으로 이루어진 지붕이다. 별 지붕은 6/5 < n/d < 6 (d는 홀수) 범위에서 존재하며, 이 범위를 벗어나면 삼각형과 사각형 면이 찌그러진다. n/d가 정수이면 각기둥이 되고, d가 짝수이면 지붕형 다면체(Cuploid)가 된다. 사반육면체는 {3/2}-지붕형 다면체로 볼 수 있다.^[4]^[5]

별-지붕족
n / d	4	5	7	8
3	80px {4/3}	80px {5/3}	80px {7/3}	80px {8/3}
5	—	—	80px {7/5}	80px {8/5}

별-지붕형 다면체족
n / d	3	5	7
2	80px 교차 삼각지붕형 다면체	80px 별 오각지붕형 다면체	80px 별 칠각지붕형 다면체
4	—	80px 별 교차 오각지붕현 다면체	80px 별 교차 칠각지붕형 다면체

위의 표에서, 별 지붕은 그들의 면을 구분하는 것을 돕기 위해 일관된 색 구성으로 주어졌다. 밑면 ''n''/''d''각형은 빨간색, 밑면 2''n''/''d''각형은 노란색, 사각형은 파란색, 그리고 삼각형은 초록색이다. 지붕형 다면체는 밑면 다른 밑면이 사라진 것처럼 ''n''/''d''각형을 빨간색, 사각형은 노란색, 그리고 삼각형은 파란색으로 칠했다.

3. 1. 별 지붕의 높이

}}-컵 또는 컵로이드의 높이 는 다음 공식으로 구할 수 있다:^[1]^[2]

:

h = \sqrt{1 - \frac{1}{4 \sin^{2} \left( \frac{\pi d}{n} \right)}}.

특히, 및 의 한계에서 이고, 는 에서 최대화된다(이각 컵: 삼각형 기둥에서 삼각형이 똑바로 서 있음).

4. 역지붕 (Anticupola)

''n''각 역지붕은 정2''n''각형 밑면과, 두 종류의 삼각형 3''n''개와, 정''n''각형 윗면으로 이루어져있다. ''n''=2일 때, 이각형 윗면은 변 하나로 줄어든다. 윗면의 꼭짓점은 ''n''각형의 꼭짓점과 정렬되어있다. 대칭은 C_''n''v, 2''n''차이다.

역지붕은 일부는 정다각형으로 만들 수는 있지만 전부 정다각형 면으로는 만들수 없다. ''n''각형 윗면과 삼각형이 정다각형이라고 하면, 2''n''각형 밑면은 평면다각형이나 정다각형이 될 수 없다. 이런 경우에서, ''n''=6일 때는 밑면이 큰 육각형처럼 생겨서 일직선에 놓인 모서리를 가지는 대칭적인 12각형인 부피가 없는 다면체로 다듬은 정육각형 타일링의 정육각형과 둘러싸는 정삼각형을 생성한다.

역지붕 둘을 밑면끼리 붙여서 맞붙인 역지붕을 만들 수 있다.

볼록 역지붕족
n	2	3	4	5	6...
이름	s{2}	t{2}	s{3}	t{3}	s{4}	t{4}	s{5}	t{5}	s{6}	t{6}
그림	이각	삼각	사각	80px	육각
투명	70px	80px	80px	80px	80px
전개도	80px	80px	80px	80px	80px

5. 초지붕 (Hypercupola)

초지붕은 지붕의 개념을 확장한 4차원 도형이다. 초지붕의 밑면은 플라톤의 다면체와 그 확장된 형태로 이루어져 있다.^[6] 초지붕은 고르지 않은 4차원 볼록 다포체족에 속한다.^[6]

초지붕의 종류는 다음과 같다:

이름	정사면체 지붕		정육면체 지붕		정팔면체 지붕		정십이면체 지붕		정육각형 타일링 지붕
슐레플리 기호	{3,3}		rr{3,3}	{4,3}		rr{4,3}	{3,4}		rr{3,4}	{5,3}	rr{5,3}	{6,3}	rr{6,3}
Segmentochora 지표^[6]	K4.23		K4.71		K4.107		K4.152		colspan="2"\|
외접반지름	1		sqrt((3+sqrt(2))/2) = 1.485634		sqrt(2+sqrt(2)) = 1.847759		3+sqrt(5) = 5.236068		colspan="2"\|
그림	\|150px]]		\|150px]]		\|150px]]		\|150px]]		colspan="2"\|
덮개 세포	\|60px]] \|60px]]		\|60px]] \|60px]]		\|60px]]60px		\|60px]] \|60px]]		\|60px]] \|60px]]
꼭짓점	16		32		30		80		∞
모서리	42		84		84		210		∞
면	42	24 {3} + 18 {4}	80	32 {3} + 48 {4}	82	40 {3} + 42 {4}	194	80 {3} + 90 {4} + 24 {5}	∞
세포	16	정사면체 1개 삼각기둥 4개 삼각기둥 6개 삼각뿔 4개 육팔면체 1개	28	정육면체 1개 사각기둥 6개 삼각기둥 12개 삼각뿔 8개 마름모육팔면체 1개	28	정팔면체 1개 삼각기둥 8개 삼각기둥 12개 사각뿔 6개 마름모육팔면체 1개	64	정십이면체 1개 오각기둥 12개 삼각기둥 30개 삼각뿔 20개 마름모십이이십면체 1개	∞	정육각형 타일링 1개 육각기둥 ∞개 삼각기둥 ∞개 삼각뿔 ∞개 마름모삼육각형 타일링 1개
관련 고른 4차원 다포체	runcinated 정오포체		runcinated 정팔포체		runcinated 정이십사포체		runcinated 정백이십포체		runcinated 정육각형 타일링 벌집

6. 한국의 관점

참조

_[1] 웹사이트 cupolas http://www.orchidpal[...] 2018-04-21
_[2] 웹사이트 semicupolas http://www.orchidpal[...] 2018-04-21
_[3] 간행물 Convex Segmentochora http://www.bendwavy.[...]
_[4] 웹사이트 http://www.orchidpal[...]
_[5] 웹사이트 http://www.orchidpal[...]
_[6] 간행물 Convex Segmentochora http://www.bendwavy.[...]

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