사각지붕

3. 성질

정사각 돔은 4개의 삼각형, 5개의 정사각형, 1개의 팔각형 면을 가지고 있다. 이 중 팔각형은 밑면이고 정사각형 중 하나는 윗면이다. 모서리 길이가 모두 같으면, 삼각형과 팔각형은 정다각형이 되며, 팔각형의 모서리 길이는 삼각형과 정사각형의 모서리 길이와 같다.

두 정사각형과 삼각형 사이의 이각은 약 $144.7^\backslash circ$이고, 삼각형과 팔각형 사이의 이각은 약 $54.7^\backslash circ$이다. 정사각형과 팔각형 사이의 이각은 정확히 $45^\backslash circ$이며, 인접한 두 정사각형 사이의 이각은 $135^\backslash circ$이다. 모든 면이 정다각형인 볼록 다면체는 존슨의 다면체라고 하는데, 정사각 돔은 네 번째 존슨의 다면체로 $J\_\{4\}$로 표기된다.

모서리 길이가 $a$일 때, 정사각 돔의 표면적 $A$는 모든 면의 넓이를 합한 값으로 다음과 같이 계산할 수 있다.

$$A\; =\; \backslash left(7+2\backslash sqrt\{2\}+\backslash sqrt\{3\}\backslash right)a^2\; \backslash approx\; 11.560a^2.$$

높이 $h$, 외접원의 반지름 $C$, 부피 $V$는 각각 다음과 같다.

$$\backslash begin\{align\}$$

h &= \frac{\sqrt{2}}{2}a \approx 0.707a, \\

C &= \left(\frac{1}{2}\sqrt{5+2\sqrt{2}}\right)a \approx 1.399a, \\

V &= \left(1+\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)a^3 \approx 1.943a^3.

\end{align}

정사각 돔은 윗면과 밑면의 중심을 지나는 대칭축을 가지고 있다. 이 축을 중심으로 전체 회전 각도의 1/4, 2/4, 3/4만큼 회전했을 때 자기 자신과 똑같은 모양이 된다. 또한, 밑면 변의 수직이등분선을 포함하는 모든 평면에 대해 거울 대칭이다. 따라서 정사각 돔은 피라미드형 대칭을 가지며, 대칭군은 순환군 $C\_\{4v\}$이고 그 차수(order)는 8이다.

4. 관련 다면체와 벌집

사각지붕은 여러 다면체를 구성하는 데 사용된다. 예를 들어, 마름모육팔면체는 8개의 사각지붕이 겹쳐진 구조로 볼 수 있다.

사각지붕의 밑면에 다른 다면체를 붙이는 것을 확장이라고 한다. 특히 밑면에 각기둥이나 엇각기둥을 붙이는 경우는 각각 연장 또는 자이로연장이라고 부른다. 이러한 방법으로 만들어지는 존슨의 다면체에는 다음과 같은 예시들이 있다.

• 늘린 사각 돔 (J₁₉)
• 꼬인 늘린 사각 돔 (J₂₃)
• 동상 쌍사각 돔 (J₂₈)
• 이상 쌍사각 돔 (J₂₉)
• 늘린 이상 쌍사각 돔 (J₃₇)
• 꼬인 늘린 쌍사각 돔 (J₄₅)

4. 1. 쌍대다면체

사각지붕의 쌍대다면체	쌍대다면체의 전개도

4. 2. 다른 볼록 지붕

• '''정삼각 돔''': 밑면이 삼각형인 형태로, 사각지붕보다 각의 수가 적다.
• '''정오각 돔''': 밑면이 오각형인 형태로, 사각지붕보다 각의 수가 많다.

4. 3. 교차된 사각지붕

4. 4. 벌집

• 정사면체와 함께 사용되는 경우
• 정육면체 및 직육면체와 함께 사용되는 경우
• 정사면체, 사각뿔, 정육면체, 늘린 사각뿔, 늘린 사각쌍뿔의 다양한 조합과 함께 사용되는 경우^[1]

4. 5. 관련 도형